第1章 二次函数 单元强化提升卷 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级上册二次函数单元强化提升卷，满分120分，覆盖二次函数图像性质、解析式、最值及应用，通过女足训练、水幕电影等真实情境，梯度设计基础巩固与创新应用，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|开口方向、增减性、图像翻折|结合表格数据（题4）、矩形运动（题10）考推理意识| |填空题|6/18|交点坐标、最值、对称点|水幕电影抛物线解析式（题14）体现模型观念| |解答题|8/72|利润问题、运动轨迹、综合证明|女足训练轨迹（题22）、手工营销利润（题20）强化应用意识，考运算与创新能力|

浙教版2026年九年级上册 第1章 二次函数 单元强化提升卷 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共30分） 1．若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 3．已知点均在抛物线上，下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 1 5 5 且，下列结论中，正确的个数有（    ） ①图象开口向下        ②当随增大而减小 ③函数图象与轴交于    ④解集为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（     ） A．5 B．4 C．2 D．1 6．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 7．说明：二次函数，也可以由表示，例如：当时，已知二次函数与轴有交点，且的根与的根完全一致，则的根为（     ） A． B．2 C．或2 D．以上都不对 8．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 10．如图，在矩形中，M是的中点，，P，Q两点分别从点B，点M同时出发，并都以的速度沿着方向运动，当点Q到达点D时，两点同时停止运动．在P，Q两点运动的过程中，与的面积S随时间t变化的图象最接近的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为_______________（用“”连接）． 12．函数的最小值为________． 13．已知二次函数的图象经过点，，该图象与轴的另一个交点为，则的长为___． 14．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________． 15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点，抛物线的顶点为．在轴下方的抛物线上取一点，若点关于直线的对称点恰好落在直线上，则点的横坐标是______． 三、解答题（共72分） 17．（8分）已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)将化成的形式，并写出此函数图象与轴交点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 18．（8分）已知为实数，是关于的二次函数，其函数表达式为． (1)当时，求该函数的顶点坐标； (2)无论取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； (3)求该函数顶点纵坐标的最大值． 19．（8分）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（8分）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 21．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于两点，且长度大于4，直接写出的取值范围； (3)若，当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 22．（10分）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 23．（10分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，直线经过点． (1)求点的坐标； (2)不等式的解集为_____； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 24．（12分）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B D C A C D B 二、填空题 11． 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．(1)，顶点坐标为 (2)，与x轴的交点坐标为 (3)所作函数图象如图所示： 18．（1）解：当时，， 此时该函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴当，即时，， ∴该定点坐标为； （3）解：∵，且， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 19．（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 20．（1）解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件， 则， ∵制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴， 解得：， ∵且， 解得：， ∴， ∵，且， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为4800， 此时， 即制作A品100件，B品200件时总利润最大． 21．（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； （2）解：令，则，且， 因式分解得， 解得，， ， ， ，即， 或． （3）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 22．（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 23．（1）解：对于抛物线， 令，得， ∴， 令，则，解得，， ∴，； （2）解：由图象可得的解集为直线在抛物线上方时对应的取值范围， 即或； （3）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，的坐标代入，得：，解得， ∴直线的解析式为， 如图，当点位于轴左侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴取，此时， 故； 如图，当点位于轴右侧时，过点作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∴， ∴，解得， ∵， 取，， 故； 综上，或． 24．（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $