1.5二次函数的应用同步训练 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

1.5 二次函数的应用 第1课时 一、知识梳理 1. 解抛物线形问题的一般方法：建立合适的平面直角坐标系，创建________模型。 2. 解面积问题，只要建立图形的面积 与图中某线段长 的________函数关系，即可解题。 二、基础巩固 1. [2025 甘肃]一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 ，喷头 向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离 之间的函数表达式为 ，则水流喷出的最大高度是（ ） A． B． C． D． 2. 如图，在 中，，，，点 从点 出发，沿 向点 以 的速度运动，同时点 从点 出发，沿 向点 以 的速度运动（当点 运动到点 时，点 同时停止运动）。在运动过程中，四边形 的最小面积为（ ） A． B． C． D． 3. 如图，小明的父亲想用长为 的栅栏，一边借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园。已知房屋外墙长 ，则可围成的菜园的最大面积是________ 。 4. 如图，现打算用 的篱笆围成一个“日”字形菜园 （含隔离栏 ），菜园的一面靠墙 ，墙 可利用的长度为 （篱笆的宽度忽略不计）。 (1) 菜园的面积可能为 吗？若可能，求 的长；若不可能，请说明理由。 (2) 因场地限制，菜园的宽度 不能超过 ，求该菜园的最大面积。 三、能力提升 5. 如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的 根钢索垂直相连，其正下方的路面 的长度为 米，这些钢索中最短的一根长 米，那么这些钢索中最长的一根长为（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 6. 如图，在边长为 的正方形 中，点 分别从点 同时出发，均以 的速度分别向点 匀速运动，当点 到达点 时，四点同时停止运动。在运动过程中，当运动时间为________ 时，四边形 的面积最小，最小面积为________ 。 7. 如图，矩形 是一个月季种植园， 米， 米。为了便于养护与运输，种植园内留有四横四纵等宽道路，种植面积与道路面积之比为 。 (1) 求道路的宽度。 (2) 种植区域内月季小盆栽要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样。每平方米最多能摆放 盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低。种植区域内现在每平方米有月季小盆栽 盆，每盆的出售价为 元。分析发现：每平方米每增加 盆，每盆的出售价会下降 元。种植人员准备增加种植数量，以获得最多的出售总额，那么每平方米应该摆放多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？ 四、创新拓展 8. [2025 陕西]某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 ，左、右门洞 均呈抛物线形，水平横梁 ， 的最高点 到 的距离 ， 关于 所在直线对称。 为框架，点 在 上，点 分别在 上，，，。以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系。 (1) 求抛物线 对应的函数表达式； (2) 已知抛物线 对应的函数表达式为 ，，求 的长。 二次函数的应用 第课时 距离问题和利润问题 一、知识梳理 1．将二次函数的性质与勾股定理相结合，可解距离问题. 2．利润问题的一般解法：建立利润 关于售价 的＿＿＿＿＿＿＿＿函数模型，利用二次函数的性质求 的＿＿＿＿＿＿＿＿值. 二、基础巩固 1．若一种服装的销售利润 （万元）与销售数量 （万件）之间的函数表达式为 ，则最大销售利润为（　） ．万元 ．万元 ．万元 ．万元 2．设商品的利润为 元，售价为 元，且 ，表明（　） ．当售价为 元时，有最大利润 元 ．当售价为 元时，有最大利润 元 ．当售价为 元时，有最小利润 元 ．当售价为 元时，有最小利润 元 3．如图，一名学生推铅球，铅球飞行高度 （）与水平距离 （）之间的函数表达式为 ，则铅球推出的距离 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．新情境 生活实际 教材变式题 如图所示为两条互相垂直的街道，且 地到 ，两地的距离都是 现甲从 地走向 地，乙从 地走向 地，两人同时出发且速度都是 ，何时甲、乙两人之间的距离最近？最近距离是多少？ 5．教材变式题 某公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售. 根据市场调查，每辆轮椅盈利 元时，每天可售出 辆；单价每降低 元，每天可多售出 辆. 公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 元. 设每辆轮椅降价 元，每天的销售利润为 元. 求 与 之间的函数表达式. 当每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大销售利润为多少元？ 全国助残日当天，公司共获得销售利润 元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 三、能力提升 6．一种工艺品的进价为每件 元，按标价 元售出，每天可售出 件. 据统计，一件工艺品每降价 元出售，则每天可多售出 件，要使每天获得的利润最大，每件需降价（　） ．元 ．元 ．元 ．元 7．如图，的长为 ，为线段 上一动点，分别以 ，为斜边在 的同侧作等腰直角三角形 、等腰直角三角形 ，则 长的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿. 8．[内江]年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出 ，两款“哪吒”文旅纪念品. 已知购进 款 个，款 个，需花费 元；购进 款 个，款 个，需花费 元. ，两款“哪吒”纪念品每个的进价分别为多少元？ 根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过 元的资金购进 ，两款“哪吒”纪念品共 个，那么至少需要购进 款“哪吒”纪念品多少个？ 在销售中，该商家发现当每个 款“哪吒”纪念品的售价为 元时，可售出 个，售价每增加 元，销售量将减少 个. 设每个 款“哪吒”纪念品的售价为 元，该商家销售 款“哪吒”纪念品的利润为 元，求 关于 的函数表达式，并求出 的最大值. 四、创新拓展 9．某超市购入一批发进价为 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现，当销售价格不低于进价时，日销售量 （盒）与销售价格 （元/盒）之间满足一次函数关系，与 的几组对应值如下表： 求 与 之间的函数表达式. 当糖果的销售价格定为多少时，超市所获的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果的最大日销售利润为 元，求 的值. 第1课时参考答案 知识梳理 1. 二次函数 2. 二次 基础巩固·能力提升·创新拓展 1. B 2. C 3. 4. (1) 可能。设 的长为 ，则 的长为 。根据题意，得 ，解得 或 。当 时，，，舍去；当 时，，，满足题意。所以菜园的面积可能是 ，此时 的长为 (2) 设 的长为 ，菜园的面积为 。由题意，得 ，因为 ，所以当 时， 随 的增大而增大。因为 ，，所以 。所以当 时， 取最大值，为 。所以该菜园的最大面积为 5. D 6. 7. (1) （平方米），（平方米）。把种植区域放在一起，如图，设道路的宽度为 米，则 ，化简，得 ，解得 或 。若 ，则 ，故 不符合题意。所以道路的宽度为 米 (2) 设每平方米增加 盆月季小盆栽，每平方米月季小盆栽的出售总额为 元。根据题意，得 ，化简，得 。因为 ，所以 。又因为 ，所以当 时， 取最大值。此时 （盆）。所以每平方米应该摆放 盆月季小盆栽才能使出售总额最多 8. (1) 因为 ，所以抛物线 的顶点 的坐标为 。设抛物线 对应的函数表达式为 。因为 ，所以由抛物线的对称性，得 。将点 的坐标代入 ，得 ，解得 。所以抛物线 对应的函数表达式为 (2) 由(1)，得抛物线 对应的函数表达式为 ，又因为 ，，，，且抛物线 对应的函数表达式为 ，所以 。整理，得 ，解得 。由抛物线的对称性，得 第2课时参考答案与解析 知识梳理　将二次函数的性质与勾股定理相结合，可解距离问题。 二次；最大 1． 2． 3． 4．出发 时甲、乙两人之间的距离最近，最近距离为 。 解析：设出发了 ，则此时甲到 地的距离是 ，乙到 地的距离是 。由勾股定理，得甲、乙两人之间的距离为 。令 。因为 ，所以当 时 取到最小值 。因为 ，所以当出发 时甲、乙两人之间的距离最近，最近距离是 。 5．每辆轮椅降价 元时每天销售利润最大，最大销售利润为 元；这天售出 辆轮椅。 解析：由题意，得 。因为 ，所以 。又因为 ，所以当 时 取得最大值，最大值为 。所以当每辆轮椅降价 元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为 元。由可知 。令 ，得 ，解得 （不合题意，舍去），。所以这天售出了 （辆）轮椅。 6． 7． 8．款每个进价 元，款每个进价 元；至少购进 款 个；，当 时 最大，最大值为 元。 解析：设每个 款纪念品进价为 元，每个 款纪念品进价为 元。由题意得 ，解得 。所以每个 款进价 元，每个 款进价 元。设购进 款 个，则购进 款 个。由题意得 ，解得 ，所以 的最小值为 ，即至少购进 款 个。由题意得 。因为 ，，所以当 时 最大，最大值为 。 9．；销售价格定为 元/盒时最大，最大日销售利润为 元；的值为 。 解析：设 。由题表得 ，解得 ，所以 。设日销售利润为 元。由题意得 。因为 ，，所以 。又因为 ，所以当 时 取得最大值 ，即销售价格定为 元/盒时超市所获日销售利润最大，最大日销售利润是 元。由及题意得 。因为最大日销售利润为 元，所以 ，整理得 ，解得 ，。当 时，该糖果售价为 （元/盒），此时每盒糖果的利润为 （元），故舍去。所以 的值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $