1.5二次函数的应用 专项训练 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 以“问题转化-模型构建-最值求解”为主线，通过五步解题法和四大题型体系，系统培养二次函数应用的模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心解题思想|1个通用模型|实际问题转化为二次函数模型，强调自变量实际取值范围|从本质认知到易错点突破，奠定应用基础| |标准解题步骤|1套流程|审题定变量→建立函数式→划定范围→求解→检验|形成规范化解题路径，培养有序思维| |最值公式与规则|2个公式+2条判定规则|顶点坐标公式，顶点/区间端点最值判定|从代数公式到几何意义，深化函数性质理解| |四大必考题型|4类（含12道提升/培优题）|销售利润用单件利润×销量，几何面积用边长表面积，抛物线模型优先设顶点式|覆盖中考高频场景，实现从基础到综合应用的能力进阶|

2026-2027年浙教版九年级上册第一单元：二次函数之二次函数的应用 【思维导图】 【知识梳理】 一、核心解题思想 二次函数应用题的本质：将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的最值、增减性、对应函数值解决问题。 通用函数模型： 重中之重（易错核心）：实际问题中自变量 存在实际取值范围，图像只是抛物线的一部分，最值不一定在顶点！ 二、标准解题五步步骤 1. 审题定变量：确定自变量、因变量，梳理题目数量关系； 2. 建立函数式：根据题意列出二次函数解析式； 3.划定取值范围：结合实际意义（长度、数量、售价≥0等），写出 的取值区间； 4. 求解函数问题：利用顶点、增减性、方程求最值或对应变量值； 5.检验作答：舍去不符合实际的解，规范答题。 三、二次函数最值通用公式 对于 顶点横坐标： 顶点纵坐标（最值）： · ，开口向上，顶点为最低点，函数有最小值，无最大值； · ，开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，无最小值。 最值判定特殊规则（高频考点） 1. 若顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 2. 若顶点横坐标不在取值范围内：最值出现在区间端点，根据函数增减性判断。 四、四大必考题型（全覆盖） 题型一：销售利润最值问题（中考最高频） 核心公式： 单件利润 = 售价 − 进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 常见模型：涨价销量减少、降价销量增加，最终求最大利润、最优定价。 解题技巧：常设涨价/降价 元，构造 的二次函数，求顶点最大值。 题型二：几何面积最值问题 常见场景：靠墙围栏、矩形窗框、图形裁剪、阴影面积等。 解题思路：利用周长、面积公式，用一个变量表示图形边长，建立面积二次函数，求最大面积。 经典结论：固定周长的矩形中，正方形面积最大；一边靠墙围栏，长为宽2倍时面积最大。 题型三：抛物线型实物模型问题 常见场景：拱桥、隧道、喷泉、投篮、抛球、导弹飞行轨迹。 解题步骤： 1. 建立平面直角坐标系（一般以顶点为原点或地面中点为原点）； 2. 优先设顶点式，计算更简便； 3. 代入已知点求解析式； 4. 求解高度、宽度、能否通行、落点距离等问题。 题型四：动态变化与方案问题 点动、线动、图形动引发的面积、线段长度变化，以及多方案收益对比问题，利用二次函数增减性和最值筛选最优方案。 一阶学习（基础训练） 1.阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用倒序相加的方法求出的和，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设这群人共有人，则这群人摘的石榴数依次为，设总的石榴数为S， 则①， 又∵② ∴由得， ∴， 又∵平均每人分得10个石榴， ∴总石榴数S也可表示为， 因此方程为， 故选：C． 2.如图，有长为篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值．如图，设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：如图， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大面积为 故答案为：． 3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求． 【详解】在函数式中，令，得 ，解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离是10m． 故答案为10． 4.如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽_____米． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键． 依据题意，当拱顶到水面的距离为4米时，可令，得，从而求出，进而得出A、B的坐标，从而可以计算的解． 【详解】解：由题意，当拱顶到水面的距离为4米时， ∴令，得， ∴， ∴，， ∴（米）． 故答案为：8． 5. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，求出当时，x的值即可得到答案． 详解】解：当时，则 ， 解得， ∴米， 故答案为：． 二阶学习（提升训练） 1.某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元 （2）每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． 【小问2详解】 解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 2.草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． （1）直接写出m关于t的函数关系式______． （2）求第30天当天的销售利润． （3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 【答案】（1）（且t为整数） （2）3600元 （3）第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，即可解答； （2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润（价格－成本），再乘以销售量得总利润； （3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，在前25天中，建立利润二次函数，求顶点横坐标（整数天），计算最大利润，再后5天中，建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论． 【小问1详解】 解：设m关于t的函数关系式为， 将，和，代入得： ， 解得， ∴m关于t的函数关系式为（，且t为整数）． 故答案为：（，且t为整数）； 【小问2详解】 第30天价格（元/千克），销售量（千克）， 故利润（元）． 答：第30天当天销售利润为3600元； 小问3详解】 ①当时， 利润， 即， 二次函数开口向下，顶点横坐标， 故或16时，最大，为（元）； ②当时，利润，随t增大而增大， 故时，（元）； 比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元． 答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元． 3.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ （2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件售价应定为50元 （2）每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大销售利润450元 【解析】 【分析】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，从而根据题意列出一元二次方程求解，并舍去不合题意的根即可； （2）由每件利润乘以销售量得到利润的函数关系式，化为顶点式，利用函数性质解答． 【小问1详解】 设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每件售价应定为50元； 【小问2详解】 设每天的销售利润为w元． 依题意，得： 整理，得：， 化成顶点式，得， ∴当时．每天的销售利润最大，最大利润是450元． 4.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 … 一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 … （1）直接写出y与x的函数关系式：　 　.　 （2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？ （3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？ 【答案】解：（1）y=﹣10x+1000；（2）当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（3）该商家最大捐款数额是8750元． 【解析】 【详解】（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式： 设y=kx+b，由题意得，，解得：． ∴y与x的函数关系式为：y=﹣10x+1000． （2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000） =﹣10x2+1400x﹣40000 =﹣10（x﹣70）2+9000． ∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70． ∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大． （3）当购进该商品的贷款为10000元时，y=10000÷40=250（件），此时x=75． 由（2）得当x≥70时，S随x的增大而减小， ∴当x=75时，销售利润最大，此时S=9750． ∴该商家最大捐款数额是8750元． 5.某商店销售一批玩具，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件.设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元. 求y关于x的函数表达式. 该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利1200元，则每件玩具应降价多少元. 【答案】；   降价30元  【解析】由题意得：； 当时，， 解得：，； 该商店为了尽快减少库存， 答：每件玩具应降价30元． 由题意得：，即可求解； 解方程即可． 6.食品厂加工生产某规格的食品的成本价为45元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为57元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下．工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低3元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） 5850元 （2） （3） 当降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． （1）由每千克利润乘以销售数量可得总利润； （2）由每千克利润乘以销售数量可得函数关系式； （3）把二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：元， 答：该工厂销售此规格的食品每天的利润为元； 【小问2详解】 解：， ∵保证盈利， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，最大，最大为元， 即降价1元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大，最大利润为6050元． 7.武义琭园的文创店新进了一批“琭园二十四节气”冰箱贴，成本价为14元/个。根据以往的销售经验，每周的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足关系式()。 （1）当销售单价定为25元时，求该店每周销售冰箱贴的总利润。 （2）当销售单价定为多少元时，该店每周销售冰箱贴的总利润最大？并求出最大利润。 解：（1）设总利润为w元。 因为销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足：， 所以当时，，即销售单价为25元时，销量为100个。 总利润w=(25-14)×100=1100（元）。 答：该文创店每周销售冰箱贴的总利润为1100元。 （2）设总利润为w元 因为，所以当时， 答：当销售单价定为32元时，该文创店每周销售冰箱贴的总利润最大，最大利润为1296元。8.某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件销售价（元）的关系数据如下： 30 32 34 36 40 36 32 28 （1）已知与满足一次函数关系，根据上表，求出与之间的关系式； （2）设该商店每天销售这种商品所获利润为（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是找到题中的等量关系并列出函数解析式． （1）待定系数法求解一次函数解析式即可； （2）根据题意得，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设该函数的表达式为，根据题意，得： ， 解得 ， ∴y与x之间的关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， ∵， ∴当时，w的值最大， ，符合题意， ∴当销售单价为35元时，获得利润最大，最大利润是450元． 9.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 【答案】（1） （2），单价为元时利润最大，最大利润是元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据每一瓶的利润乘以销量，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得，根据销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 设关于的函数表达式为 由题意得： 解得： 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意得： ， 当时，有最大值元． ∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元． 【小问3详解】 由题意得： 二次函数的对称轴为： ，当销售单价不超过元时，利润随着增大而增大 ， 的最小值为． 10.随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）①；② （2）每组手办降价5元时利润可以为3500元 （3）当时，有利润的最大值为3600元 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【小问1详解】 解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． 【小问3详解】 每天的利润为， 则 ， 当时，有利润的最大值为3600元． 11.用10米的铝合金制成如图窗框矩形，其中点分别在边上，点分别在上，且，．记窗框矩形的面积为s平方米，边长为x米． （1）用含x的代数表达式表示出线段的长为　 　； （2）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围； （3）求s的最大值． 【答案】（1） （2）（）． （3）3 【解析】 【分析】（1）先说明，由边长为x米，可得，根据矩形的面积公式列出函数解析式，然后得到求出即可； （2）先根据题意得可得，再根据、求出x的取值范围即可； （3）根据（1）（2）中解析式和自变量的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解∵四边形是矩形，， ∴四边形为矩形，， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵边长为x米， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴． 故答案为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：， ∴s关于x的表达式为（）． 【小问3详解】 解：结合（1）的结果，， ∴对称轴为， ∵，，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，s有最大值，最大值为． 答：s的最大值为3平方米． 12.为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果——草莓．周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多．”小明说：“甲、乙两种草莓的单价之比为．” （1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价； （2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共，已知采摘的乙种草莓不少于且不多于甲种草莓的一半．设采摘乙种草莓为千克，总费用为元， ①请写出W关于m的关系式； ②如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）． 【答案】（1）甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元； （2）①；②采摘甲种草莓，乙种草莓时费用最低，最低费用为1334元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式、函数解析式成为解题的关键． （1）设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）①根据题意可列不等式可求得且m为正整数，再用m表示出总费用W， ②运用一次函数的增减性求最值即可解答． 【小问1详解】 解：∵甲、乙种草莓的单价之比为， ∴设甲、乙两种草莓的单价分别为元，元， 由题意得， 解得． 经检验，是方程的解，且符合题意， ，， 答：甲、乙两种草莓的单价分别为40元，50元； 【小问2详解】 解：①设采摘乙种草莓，则采摘甲种草莓， 由题意知，， 解得，，且m为正整数， ∴总费用； ②∵， ∴， ∴W随m的增大而减小， 又∵，且m是整数， ∴当时，． 答：采摘甲种草莓，乙种草莓时费用最低，最低费用为1334元． 三阶学习（培优训练） 1.掷实心球是中考体育考试项目之一，小王准备投掷实心球（如图），实心球行进路线呈抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，距离地面． （1）求关于的函数表达式； （2）根据舟山市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分分．判断小王在此次考试中是否得到满分，并说明理由． 【答案】（1）； （2）达到满分，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）观察抛物线图像得出顶点坐标和与轴的交点，代入顶点式公式即可求解； （2）先求出抛物线与轴的交点，再作比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵由图可知，二次函数图像的顶点为，与轴的交点为， ∴设函数表达式为， 将代入得：， 求得：， ∴函数表达式为． 【小问2详解】 解：达到满分．理由如下： 设，， 解得：（舍去），， ∵，， ∵， ∴， ∴此次考试得到满分． 2.小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，如图，网前吊球的运动路线可以近似为抛物线．如图，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过拦网的正上方点，点与地面距离为，落点为点．以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系． （1）求击球路线的函数表达式； （2）求网前吊球的落点到点的距离的长； （3）甲在处网前吊球时，羽毛球下降的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能否接到球． 【答案】（1）函数表达式为 （2） （3）乙能接到网前吊球 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键. ()以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； ()利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求； ()分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与秒比较即可得出结论， 【小问1详解】 解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， ，， 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，； ∴． 【小问3详解】 解：∵从点击球，击球点是抛物线的最高点， ∴， ∵， ∴， ∴乙能接到网前吊球． 3.经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意求出点的坐标，进而求解． 【详解】解：将代入， 则， ∴， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为． 4. 2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 【答案】（1） （2）此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确地求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解． 【小问1详解】 解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内． 5.如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】（1）喷出水的最大射程为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 6.在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球落在点（单位：）处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式． （2）斜坡上点处有一棵树，点的横坐标为，小球恰好擦过树的顶端，求这棵树的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式、直线解析式、求两点之间距离等知识，熟记抛物线及直线解析式的求法是解决问题的关键． （1）由待定系数法将代入求出即可得到答案； （2）延长交轴于点，如图所示，得到的横坐标为，求出直线解析式，再由（1）中抛物线解析式，将代入抛物线及直线解析式得到、即可求出这棵树的高度． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：延长交轴于点，如图所示： 点的横坐标为， ， 当时，，即； 设直线， 将代入，得， 则直线解析式为， 当时，，即； ， 答：这棵树的高度． 7.如图是一座抛物线型拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高．以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式． （2）现在需要对拱桥进行夜景改造，在桥洞拱形上安装盏彩灯，为了美观需要盏彩灯相邻两盏之间距离相等，其中，，三点分别安装一盏．另外两盏分别安装在哪个位置？小聪给出了一种安装思路：将四等分，然后把两盏灯分别安装在距离点和的等分点的正上方． 请计算说明小聪的方案是错误的． 请你求出正确的安装位置坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为： （2）正确的安装位置坐标为和 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数解析式的确定，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）建立直角坐标系， 利用待定系数法求解即可； （2）分别求出当和时，对应的值，再比较各点离水面高度的距离进行判断；设正确的安装位置横坐标为，则两盏灯的坐标为和，根据坐标系中点的坐标特征列式计算即可． 【小问1详解】 解：建立如图所示的直角坐标系， 顶点为，且过点，． 设抛物线的表达式为：， 把点代入得：， ， 抛物线的函数表达式为：． 【小问2详解】 解：把两盏灯分别安装在距离点和的等分点的正上方，即安装在和处， 当时，； 当时，； 此时这两点离水面高度为，点离水面高度为，、两点离水面高度为， 小聪的方案仅保证了水平距离相等，但垂直距离不同，说明小聪的方案不能保证“相邻两盏间距离相等”（距离为直线距离，而非仅水平距离），故小聪的方案是错误的． 设正确的安装位置横坐标为，则两盏灯的坐标为和． ，解得， ， 正确的安装位置坐标为和． 8.如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为10m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线． （1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． （2）一艘宽为6m，高出水面3m的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 【分析】（1）依据题意，以水面中心为坐标原点建立坐标系，求出其它两点的坐标，用待定系数法求解析式； （2）依据题意，由船的宽度为6m，从而可令x＝3，求出y的值，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，如图，以水面中心为坐标原点建立坐标系， ∴A（﹣5，0），B（5，0），顶点（0，4）． 设y＝ax2+4， 把B（5，0）代入上式， ∴25a+4＝0， ∴a＝﹣． ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4； （2）由题意，∵船的宽度为6m， ∴令x＝3，则y＝﹣×22+4＝＞3． ∴这艘船能从该桥下通过． 9.如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． （1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． （2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 【答案】（1）能浇灌到小树后面的草坪 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的顶点式、解析式的求解以及二次函数最值的求法是解题的关键． （1）先根据抛物线顶点式设出表达式，代入已知点求出解析式，再代入求出水流高度，与小树高度比较判断能否浇灌． （2）先求出斜坡高度的表达式，再求出的表达式，根据二次函数性质求最大值． 【小问1详解】 解：由题可知：抛物线的顶点为，设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 解得， ∴抛物线为， 当时， ， 答：能浇灌到小树后面的草坪； 【小问2详解】 解：由题可知点坐标为，则直线为， ， ， 当时，的最大值为； 答：的最大值为； 10.大部分低速新能源电车都采用鼓刹制动，工作原理是通过机械外力将刹车片与刹车盘紧密接触，通过摩擦力使车辆减速或停止．已知某新能源电车在一次刹车后，行驶距离与行驶时间的函数图象是下面抛物线的一部分，且点为该图象的顶点，抛物线经过原点． （1）解释点坐标的意义，并求出抛物线解析式； （2）已知该新能源电车在此次刹车后的运动速度（单位：）与（单位：）之间满足关系式，试驾者驾驶该新能源电车，突然导航提示前面35米处有隔离带，于是立即刹车．为确保安全通过隔离带，需要将车速降低到5米/秒以下．通过计算说明试驾者是否有安全风险． 【答案】（1）意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米； （2）试驾者有安全风险，计算说明见解析 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用， （1）根据题意得到点P的意义，然后设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先将代入求出，然后代入求解比较即可． 【小问1详解】 解：意义：该新能源电车采取制动4秒后车辆停止，制动后行驶的最大距离为40米； ∵点是抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为． 将原点坐标代入可得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 把代入得：， ∵， 答：试驾者有安全风险． 11.2026年世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为． （1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式； （2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？ （3）守门员站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止梅西的此次射门吗？如果不能，需要至少后退几米？ 【答案】（1）抛物线解析式为： （2）足球能射进球门 （3）他至少后退，才能阻止梅西的射门 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意得：抛物线的顶点坐标是，，然后可设抛物线的解析式是，进而利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中函数解析式进行求解即可； （3）把和分别代入函数解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标是，，则可设抛物线的解析式是， 把代入，得，， 解得， 则抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知：抛物线解析式为：， 当时，， 答：足球能射进球门． 【小问3详解】 解：当时，， 守门员不能阻止梅西的此次射门， 当时，， 解得：，舍去， ， 答：他至少后退，才能阻止梅西的射门． 12.掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处掷出点高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据杭州市中考体育考试评分标准（男生版），见下表．该男生在此项考试中能得多少分，请说明理由． 表：杭州市中考掷实心球部分得分标准（男生版） 掷实心球（米） 10 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 … 分值（分） 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 … （3）在掷出的实心球行进路线的形状不变而对称轴变为直线的情况下，若不改变掷出点高度，请问该同学可得满分吗？ 【答案】（1） （2）7.5分，理由见详解 （3）该同学可以得满分 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，且过点 ，设y与x之间的关系式为，将点代入，求得，即可得抛物线的解析式； （2）求出（1）中抛物线，当时x的值即可得该男生抛掷的最远距离，对照表格即可知他的得分. （3）根据题意可设，将点代入得，由此得.求得，x的正数解为，对照表格可知 该同学可以得满分. 【小问1详解】 解：由题意得抛物线的顶点坐标为，且过点 ， 设y与x之间的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴y与x之间的关系式为，即. 【小问2详解】 解：根据题意，当时， 得（舍去），， ∴该男生在此项考试中能掷出9米远，由表格可知他能得7.5分. 【小问3详解】 解：由于掷出的实心球行进路线的形状不变而对称轴变为直线， ∴设， ∵不改变掷出点高度， ∴此抛物线过点， 将点代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得（舍去），， ∴该同学可以得满分. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版九年级上册第一单元：二次函数之二次函数的应用 【思维导图】 【知识梳理】 一、核心解题思想 二次函数应用题的本质：将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的最值、增减性、对应函数值解决问题。 通用函数模型： 重中之重（易错核心）：实际问题中自变量 存在实际取值范围，图像只是抛物线的一部分，最值不一定在顶点！ 二、标准解题五步步骤 1. 审题定变量：确定自变量、因变量，梳理题目数量关系； 2. 建立函数式：根据题意列出二次函数解析式； 3.划定取值范围：结合实际意义（长度、数量、售价≥0等），写出 的取值区间； 4. 求解函数问题：利用顶点、增减性、方程求最值或对应变量值； 5.检验作答：舍去不符合实际的解，规范答题。 三、二次函数最值通用公式 对于 顶点横坐标： 顶点纵坐标（最值）： ，开口向上，顶点为最低点，函数有最小值，无最大值； ，开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，无最小值。 最值判定特殊规则（高频考点） 1. 若顶点横坐标在自变量取值范围内：最值在顶点处； 2. 若顶点横坐标不在取值范围内：最值出现在区间端点，根据函数增减性判断。 四、四大必考题型（全覆盖） 题型一：销售利润最值问题（中考最高频） 核心公式： 单件利润 = 售价 − 进价 总利润 = 单件利润 × 销售数量 常见模型：涨价销量减少、降价销量增加，最终求最大利润、最优定价。 解题技巧：常设涨价/降价 元，构造 的二次函数，求顶点最大值。 题型二：几何面积最值问题 常见场景：靠墙围栏、矩形窗框、图形裁剪、阴影面积等。 解题思路：利用周长、面积公式，用一个变量表示图形边长，建立面积二次函数，求最大面积。 经典结论：固定周长的矩形中，正方形面积最大；一边靠墙围栏，长为宽2倍时面积最大。 题型三：抛物线型实物模型问题 常见场景：拱桥、隧道、喷泉、投篮、抛球、导弹飞行轨迹。 解题步骤： 1. 建立平面直角坐标系（一般以顶点为原点或地面中点为原点）； 2. 优先设顶点式，计算更简便； 3. 代入已知点求解析式； 4. 求解高度、宽度、能否通行、落点距离等问题。 题型四：动态变化与方案问题 点动、线动、图形动引发的面积、线段长度变化，以及多方案收益对比问题，利用二次函数增减性和最值筛选最优方案。 一阶学习（基础训练） 1.阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 2.如图，有长为篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m． 4.如图是公园的一座抛物线型拱桥，建立坐标系得到函数，当拱顶到水面的距离为4米时，水面宽_____米． 5. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是________米． 二阶学习（提升训练） 1.某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 2.草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量（千克）与时间（天）存在一次函数关系，数据如表： 时间t（天） 1 2 5 10 20 日销售量 128 136 160 200 280 在这30天内，前25天每天的价格（元/千克）与时间t（天）的函数关系式为（且t为整数），从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克． （1）直接写出m关于t的函数关系式______． （2）求第30天当天的销售利润． （3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润． 3.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ （2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 4.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 … 一周的销售量y（件） … 450 400 300 250 … （1）直接写出y与x的函数关系式：　 　.　 （2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？ （3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？ 5.某商店销售一批玩具，平均每天可售出15件，每件盈利50元，为了扩大销售，增加盈利，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件玩具每降价2元，商店平均每天可多售出3件.设每件玩具降价x元，每天的盈利为y元. 求y关于x的函数表达式. 该商店为了尽快减少库存，且每天要盈利1200元，则每件玩具应降价多少元. 6.食品厂加工生产某规格的食品的成本价为45元/千克，根据市场调查发现，当出厂价定为57元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下．工厂采取降价措施，调查发现：出厂价每降低1元，每天可多销售50千克． （1）若出厂价降低3元，求该工厂销售此规格的食品每天的利润； （2）求工厂销售此规格的食品每天获得的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系； （3）当降价多少元时，工厂销售此食品每天获得的利润最大？最大利润为多少元？ 7.武义琭园的文创店新进了一批“琭园二十四节气”冰箱贴，成本价为14元/个。根据以往的销售经验，每周的销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足关系式()。 （1）当销售单价定为25元时，求该店每周销售冰箱贴的总利润。 （2）当销售单价定为多少元时，该店每周销售冰箱贴的总利润最大？并求出最大利润。 8.某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件销售价（元）的关系数据如下： 30 32 34 36 40 36 32 28 （1）已知与满足一次函数关系，根据上表，求出与之间的关系式； （2）设该商店每天销售这种商品所获利润为（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润？ 9.某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 10.随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 11.用10米的铝合金制成如图窗框矩形，其中点分别在边上，点分别在上，且，．记窗框矩形的面积为s平方米，边长为x米． （1）用含x的代数表达式表示出线段的长为　 　； （2）求s关于x的表达式及自变量x的取值范围； （3）求s的最大值． 12.为积极落实乡村振兴政策，某市鼓励农民种植人们喜欢的水果——草莓．周末，小东和小明一起去采摘园采摘草莓，小东说：“我用200元采摘的甲种草莓比你用200元采摘的乙种草莓多．”小明说：“甲、乙两种草莓的单价之比为．” （1）根据小东和小明的对话，求出甲、乙两种草莓的单价； （2）由于草莓的成熟期较短，该草莓采摘园为吸引顾客，推出一种优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售；采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．某公司团建活动准备采摘两种草莓共，已知采摘的乙种草莓不少于且不多于甲种草莓的一半．设采摘乙种草莓为千克，总费用为元， ①请写出W关于m的关系式； ②如何采摘能使采摘的总费用最低？最低费用为多少元？（两种草莓的采摘量均为正整数）． 三阶学习（培优训练） 1.掷实心球是中考体育考试项目之一，小王准备投掷实心球（如图），实心球行进路线呈抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点，距离地面． （1）求关于的函数表达式； （2）根据舟山市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，即可得满分分．判断小王在此次考试中是否得到满分，并说明理由． 2.小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，如图，网前吊球的运动路线可以近似为抛物线．如图，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过拦网的正上方点，点与地面距离为，落点为点．以为原点，，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系． （1）求击球路线的函数表达式； （2）求网前吊球的落点到点的距离的长； （3）甲在处网前吊球时，羽毛球下降的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能否接到球． 3.经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 4. 2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． （1）求抛物线的解析式； （2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； 5.如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为______； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 6.在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球落在点（单位：）处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． （1）求抛物线的解析式． （2）斜坡上点处有一棵树，点的横坐标为，小球恰好擦过树的顶端，求这棵树的高度． 7.如图是一座抛物线型拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高．以水平方向为轴，以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系． （1）求出该抛物线的函数表达式． （2）现在需要对拱桥进行夜景改造，在桥洞拱形上安装盏彩灯，为了美观需要盏彩灯相邻两盏之间距离相等，其中，，三点分别安装一盏．另外两盏分别安装在哪个位置？小聪给出了一种安装思路：将四等分，然后把两盏灯分别安装在距离点和的等分点的正上方． 请计算说明小聪的方案是错误的． 请你求出正确的安装位置坐标． 8.如图是一座拱桥的示意图，当水面宽为10m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线． （1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式． （2）一艘宽为6m，高出水面3m的货船能否从该拱桥安全通过？请说明理由． 9.如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． （1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． （2）记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 10.大部分低速新能源电车都采用鼓刹制动，工作原理是通过机械外力将刹车片与刹车盘紧密接触，通过摩擦力使车辆减速或停止．已知某新能源电车在一次刹车后，行驶距离与行驶时间的函数图象是下面抛物线的一部分，且点为该图象的顶点，抛物线经过原点． （1）解释点坐标的意义，并求出抛物线解析式； （2）已知该新能源电车在此次刹车后的运动速度（单位：）与（单位：）之间满足关系式，试驾者驾驶该新能源电车，突然导航提示前面35米处有隔离带，于是立即刹车．为确保安全通过隔离带，需要将车速降低到5米/秒以下．通过计算说明试驾者是否有安全风险． 11.2026年世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底部中心点O的正前方处起脚射门，足球沿抛物线向球门中心线；当足球飞离地面高度为时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为，已知球门的横梁高为． （1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式； （2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？ （3）守门员站在距离球门处，他跳起时手的最大摸高为，他能阻止梅西的此次射门吗？如果不能，需要至少后退几米？ 12.掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处掷出点高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求关于的函数表达式； （2）根据杭州市中考体育考试评分标准（男生版），见下表．该男生在此项考试中能得多少分，请说明理由． 表：杭州市中考掷实心球部分得分标准（男生版） 掷实心球（米） 10 9.8 9.6 9.4 9.2 9 8.8 8.6 8.4 8.2 8 … 分值（分） 10 9.5 9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 … （3）在掷出的实心球行进路线的形状不变而对称轴变为直线的情况下，若不改变掷出点高度，请问该同学可得满分吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $