1.5 二次函数的应用 同步练习 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学二次函数同步练，以“基础巩固—综合应用—拓展探究”分层设计，覆盖函数表达式、图像性质及实际应用，适配新授课知识内化与能力进阶，体现数学建模与推理思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二次函数概念、表达式及简单应用|选择题1-6、填空题11-14，如产量增长模型（题1）、利润基本计算（题6），聚焦单一知识点| |综合应用|函数与几何、实际问题结合|选择题7-10、填空题15-16、解答题17-20，如抛物线与直线交点（题3）、矩形面积最值（题20），培养应用能力| |拓展探究|跨情境综合与创新|解答题21-24，如羽毛球轨迹分析（题23）、“月牙线”定义探究（题24），发展建模与推理意识|

第1章 二次函数 1.5二次函数的应用 选择题(每题3分，共30分) 1.某工厂一种产品今年产量是20件，如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后该产品的产量y与x之间的函数关系为 ( ) A. B. y=20+2x C. D. 2.一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y(m)与时间x(s)的平方成正比例，当乒乓球滚下3m时，经过的时间为1.5s，则当x=2时，该乒乓球所经过的路程为 ( ) A.5m B. c. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n与抛物线 bx+c交于A(-1,p),B(2,q)两点,则关于x的不等式 mx+n> 的解集是 ( ) A. x<-1 B. x>2 C.-1<x<2 D. x<-1或x>2 4.某汽车刹车后行驶的距离y(m)与行驶的时间t(s)之间近似满足函数关系： 如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为 ( ) A.2.25s B.1.25s C.0.75s D.0.25s 5.小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y(m)与旋转时间x(min)之间的关系可以近似地用二次函数来刻画。经测试得部分数据如下表所示： x(min) … 2.66 3.23 3.46 … y(m) … 69.16 69.62 68.46 … 下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是 ( ) A.7 min B.6.5min C.6min D.5.5min 6.某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元。经调查每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表，设销售该商品每天的利润为W(元)，则W的最大值为 ( ) 售价x(元/千克) 40 50 60 销售量y(千克) 120 100 80 A.1800 B.1600 C.1400 D.1200 7.若抛物线 向上平移p(p为正数且不等于3)个单位后，在-2<x<3范围内与x轴只有一个交点，则p的取值范围是 ( ) A. p>7 B.7<p≤12 C. p≥12 D.7≤p<12 8.如图所示为王阿姨晚饭后步行的路程s(m)与时间t(min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线的一部分。下列说法不正确的是( ) A.25 min~50 min,王阿姨步行的路程为800m B.线段CD的函数表达式为s=32t+400(25≤t≤50) C.5min~20 min,王阿姨步行速度由慢到快 D.曲线段AB的函数表达式为. 9.超市里有一种果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线(如图)，为了节省成本，包装应尽可能小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( ) 10.如图,已知A₁,A₂,A₃,…,An是x轴上的点,且( 1,分别过点A₁,A₂,A₃,···,An作x轴的垂线交二次函数 的图象于点 P₁,P₂,P₃,…,Pn。若记△OA₁P₁的面积为S₁,过点P₁作P₁B₁⊥A₂P₂于点B₁,记△P₁B₁P₂的面积为S₂,过点P₂作P₂B₂⊥A₃P₃于点B₂,记△P₂B₂P₃的面积为S₃……依次进行下去,最后记 的面积为 Sn，则 Sn等于( ) 填空题(每题3分，共18分) 11.一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，(4，3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数表达式为 。 12.一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是 m²。 13.如图，抛物线. 交x轴于点G，F，交y轴于点D，在x轴上方的抛物线上有两点B，E，它们关于y轴对称，点G,B在y轴左侧,BA⊥OG于点A,BC⊥OD于点C,四边形OABC与四边形ODEF 的面积分别为6 和10，则△ABG与△BCD的面积之和为 。 14.某网店出售吉祥物玩偶礼盒，每盒进价为30元。当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高不能超过50元/盒。在销售过程中发现该礼盒每周的销量y(盒)与销售单价x(元)之间近似满足函数关系y=-2x+180(30≤x≤50)。 (1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为w(元)，则ω关于x的函数表达式为 。 (2)该网店每周销售该礼盒所获最大利润为 元。 15.小林家的洗手台上有一瓶洗手液(如图1)。如图2，当手按住顶部A下压位置时，洗手液瞬间从喷口B流出，路线呈抛物线且经过C与E两点。瓶子上部分是由CE和FD组成的，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，GH=10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线。若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液，则手心距水平台面的高度为 cm。 16.如图，图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)，碗口宽CD=12cm,碗的最大深度EG=8cm。 (1)当碗中水的深度ET为4cm时，水面的直径PQ长为 。 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分水，当∠ABM=45°时停止，此时碗中水面宽度CH= 。 三解答题(共72分) 17.(6分)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(min)之间满足函数关系： y值越大，表示接受能力越强。 (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强? (2)某同学思考10 min后提出概念，他的接受能力是多少? 18.(6分)如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时桥下水面AB的宽度为20m，这时，拱高(点O到AB的距离)为4m。 (1)在如图1所示的坐标系中，求抛物线的函数表达式。 (2)如果将平面直角坐标系建成如图2所示，抛物线的形状、表达式与(1)中相比有变化吗? 19.(8分)某公司推销一种产品，公司付给推销员的月报酬有两种方案如图：方案一所示图形是顶点在原点的抛物线的一部分，方案二所示图形是射线，其中x(件)表示推销员推销产品的数量，y(元)表示付给推销员的月报酬。 (1)分别求两种方案中y关于x的函数表达式。 (2)当推销员推销产品的数量达到多少件时，两种方案的月报酬差额将达到7125元? 20.(8分)一段长为25m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用90m长的篱笆围成如图所示的图形(靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计)，其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形,四边形EBGF是边长为5m的正方形,设CD= xm。 (1)若矩形CDHG的面积为125m²,求CD的长。 (2)当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是多少? 21.(10分)有一建筑的一面墙近似呈抛物线形，该抛物线的水平跨度OQ=8m，顶点P的高度为4m，建立平面直角坐标系。现计划给该墙面安装门窗，已经确定需要安装矩形门框ABCD(点B，C在抛物线上，边AD在地面上)，针对窗框的安装设计师给出了两种方案。 方案一：如图1，在门框的两边加装两个矩形窗框(点G，H在抛物线上)，AE=DF=1m。 方案二：如图2，在门框的上方加装一个矩形的窗框(点G，H在抛物线上)，BE=CF=1m。 (1)求该抛物线的函数表达式。 (2)若要求门框AB的高度为3m，哪种方案的透光面积(窗框和门框的面积和)较大?(窗框与门框的宽度忽略不计) 22.(10分)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表所示： 时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90 售价(元/件) x+40 90 每天销量(件) 200-2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的利润为每天y元。 (1)求出y关于x的函数表达式。 (2)问：销售该商品第几天时，当天销售利润最大?最大利润是多少元? (3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果。 23.(12分)根据以下素材，探索完成任务。 你知道羽毛球的比赛规则吗? 问题背景 素材1 如图1，在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左、右边界和前、后边界。球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场。 素材2 球员在发球时，必须将球击过网并发到对方场地的对角后场边界之内。若球落在边界之外，则发球方失分。在接发球时，球员必须站在自己一方的接发球区域内。 素材3 如图2，若发球队员的击球点距离地面1m，网高1.55m，对方的前边界与击球点水平距离为3.96m，对方的后边界与击球点水平距离为8.68m，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛物线的一部分。 问题解决 条件 在水平地面上建x轴，过击球点A向水平地面作垂线，建y轴。在平面直角坐标系中，发球人的击球点A的坐标为(0，1)。(以下三次发球均为有效发球，不考虑左、右边界) 任务1 第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足 (a≠0)，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2m，且抛物线恰好关于球网对称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网。 请问：此时的羽毛球是否出界?请说明理由。 任务2 第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足 bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4m，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2m。 请问：此时的羽毛球能过网吗?请说明理由。 任务3 第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足 bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为8m，球网与发球人的击球点的水平距离为2m，此时对方球员站立的地点与球网的水平距离为3m，该球员向上伸直手臂挥拍的最大高度为2.2m。 (参考数据：( 请问：该球员至少要后退多少米才能接到球? 24.(12分)定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。如图，抛物线C₁与抛物线C₂组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁、抛物线C₂与x轴有相同的交点M，N(点M在点N的左侧)，与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为(0，-3)，抛物线C₂的函数表达式为 (1)请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两条抛物线的函数表达式。 (2)求M,N两点的坐标。 (3)在第三象限内的抛物线C₁上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大?若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，请说明理由。 1. C 2. B 【解析】设 将(1.5,3)代入,得3=2.25a,解得 当x=2时, 即乒乓球所经过的路程是 故选B。 3. D 4. B 5. C 6. B 【解析】设y与x的函数表达式为y= kx+b。把(40,120),(50,100)代入,得 解得 ∴y=-2x+200。由题意得W=(x-40)· ∵-2<0,抛物线开口向下,∴当x<70时,W随x的增大而增大。又∵40≤x≤60,∴当x=60时, 故选B。 7. D【解析】根据题意得，平移后的抛物线的表达式为 ∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴要使在-2<x<3范围内与x轴只有一个交点，则当x=-2时，函数值小于零；当x=3时，函数值大于或等于零。 解得7≤p<12。故选D。 8. C 9. A【解析】设左侧抛物线的函数表达式为. 由题意得点A的坐标为(-3，4)，将点A坐标代入上式并解得 ∴抛物线的函数表达式为 由题意得，MG是矩形HFEO的中线，∴点N的纵坐标为2。将y=2代入抛物线的函数表达式得 解得 (负值舍去)。∴AD=2AH+2MN= 故选A。 10. A 12.450 13.4 (2)1600 【解析】(1)由题意得，该网店每周销售该礼盒所获利润w=(x-30)(-2x+180), 5400。 ∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=60。又∵30≤x≤50，∴当x=50时，该网店每周销售该礼盒所获利润最大为 (元)。15.11 16.(1)6 cm 【解析】(1)以E为原点,直线GF为y轴建立坐标系。∵CD=12cm,EG=8cm,∴C(6,8),D(-6,8)。设抛物线表达式为y=ax²。将(6,8)代入,得36a=8,解得 当 y=4 时 , 解得 (2)由题意得∠DCH=∠ABM=45°。如图,以E为原点,直线EG为y轴建立坐标系。设CH与y轴的交点为M。∵∠CGM=90°, ∴GM=GC=6cm。∴EM=EG- GM=2cm,即M(0,2)。设直线CH的表达式为y= kx+b。 将(6,8),(0,2)代入,得 解得 ∴y=x+2。联立 解 得 17.(1)∵y=-0.1(x²-26x+169)+16.9+43= ∴对称轴是直线x=13。 ∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。 (2)当x=10时, 18.(1)设抛物线的函数表达式为 由题意得B(10,-4),代入 得100a=-4,解得a=- ∴抛物线的函数表达式为 (2)设抛物线的表达式为 由题意得，点(10,0)(0,4)在函数图象上,代入得 解得 .抛物线的表达式为y=- x²+4。 与(1)中抛物线比较，形状不变、表达式有变化。 19.(1)设 把(60,7500)代入得3600a=7500,解得 设 把(0,3000),(60,7500)代入得 解得 (2)由题意得 整理得 解得x₁=90,x₂=-54(舍去)。 ∴当销售数量达到90件时，两种方案的月报酬差额将达到7125元。 20.(1)∵CD=HG=AB= xm,EF=BG=5m,∴GC=90-3x-5-5=(80-3x)m。 由题意得x(80-3x)=125,解得 ∵BC=80-3x+5≤25,∴x≥20。∴CD的长为25m。 (2)设矩形ABCD的面积为Sm²,则S=BC•CD= ∵-3<0,∴抛物线开口向下。∵x≥20,∴当x=20时，S取得最大值为 ∴当CD的长为20m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是500m²。 21.(1)由题意得，抛物线的顶点P的坐标为(4，4)。设抛物线的表达式为 把(0,0)代入表达式中，得( 解得 ∴该抛物线的表达式为 (2)当y=3时, 解得 ∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(2,3),BC=4m。方案一:∵AE=DF=1m,∴点E的坐标为(1,0)。 当x=1时 方案二:∵BE=CF=1m,∴点E的坐标为(3,3)。当x=3时 ∴方案一的透光面积较大。 22.(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)= 当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000。 综上所述， (2)当1≤x<50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为直线x=45,当x=45时, 180×45+2000=6050。当50≤x≤90时,y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000。综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元。 (3)当1≤x<50时,. 解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50,共30天。当50≤x≤90时,y=-120x+12000≥4800,解得x≤60。∴利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，∴该商品在销售过程中，共有41天每天销售利润不低于4800元。 23.任务1：羽毛球未出界。理由如下：∵抛物线y= 经过点(0，1)，抛物线的对称轴是直线x=2,∴c=1,-b/a=2,l即(b=-4a。 当羽毛球落地时，y=0，l即 解得x= ∵羽毛球能够过网,∴当x=2时,y≥1.55,即1-4a≥1.55。∴a≤-0.1375。 ∴羽毛球未出界。 任务2：羽毛球不能过网。理由如下：由题意得，y= 经过点(0,1),(4,0), 解得 ∴∴抛物线表达式为 当x=2时,y=-1+1.5+1=1.5。∵1.5<1.55,∴羽毛球不能过网。 任务3：由题意得 经过点(8,0),(0.1),. 解得 当y=2.2 时, 解得 (不合题意，舍去)。∵6.4-2-3=1.4(m),∴该球员至少要后退1.4m。 24.(1)答案不唯一，如图1所示，抛物线. 2x+3与抛物线 所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”。 (2)在抛物线C₂的函数表达式 中,当y=0时, ∵m≠0, 4x-12=0,解得. ∵点M在点N的左边,∴M(-6,0),N(2,0)。 (3)存在。如图2所示,连结AM,PO,PM,PA。∵抛物线C₁和抛物线C₂与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，∴可设抛物线C₁的函数表达式为y= ∵抛物线C₁与y轴的交点为A(0,-3),∴-12n=-3。∴ 抛物线C₁的函数表达式为 ∴可设点P的坐标为 -6<t<0,∴当t=-3时,即点P的坐标为 时，△PAM的面积有最大值，最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $