16.2 线段的垂直平分线 课时作业 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

16.2　线段的垂直平分线 冀教版数学八年级上册　第十六章　轴对称和中心对称　课时作业 一、学习目标 1．理解线段垂直平分线的概念，知道线段是轴对称图形； 2．掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，能运用它们进行计算和说理； 3．会用尺规作已知线段的垂直平分线（即作线段的中点）； 4．了解三角形三边垂直平分线的交点的性质，并能解决简单的实际选址问题。 二、知识梳理 知识点1　线段垂直平分线的概念 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫做这条线段的中垂线。 图 1　直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上 如图 1，直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB，则 l 是 AB 的垂直平分线，此时 AO=BO，∠AOl=∠BOl=90°。 概念中有两个条件：一是“经过中点”（平分），二是“垂直”，两者缺一不可。只过中点的直线不一定垂直，只垂直的直线不一定过中点。 知识点2　线段的轴对称性 线段是轴对称图形，它有两条对称轴：一条是它所在的直线，另一条就是它的垂直平分线。 知识点3　线段垂直平分线的性质定理 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 用符号语言表示：如图 1，因为 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上，所以 PA=PB。 这个定理是“由位置关系得到数量关系”，是今后证明两条线段相等的重要工具。 知识点4　线段垂直平分线的判定定理 判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 用符号语言表示：如图 1，因为 PA=PB，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。 这个定理是“由数量关系得到位置关系”，是今后证明“某直线是垂直平分线”的重要依据。若有两个点都到 A、B 的距离相等，那么经过这两点的直线就是 AB 的垂直平分线。 【例题1】如图 1，l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上。若 PA=6 cm，AO=4 cm，求 PB 与 AB 的长。 【解】因为 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上，所以 PB=PA=6 cm；又因为 O 是 AB 的中点，所以 AB=2AO=2×4=8（cm）。 知识点5　尺规作线段的垂直平分线 图 2　作线段 AB 的垂直平分线 作法：（1）分别以点 A、点 B 为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧在 AB 两侧分别相交于点 M、N； （2）作直线 MN，直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线，它与 AB 的交点 O 就是 AB 的中点。 道理：由作法知 MA=MB，NA=NB，所以点 M、N 都在 AB 的垂直平分线上（判定定理），因此直线 MN 就是 AB 的垂直平分线。 作图时半径必须大于 AB，否则两弧不能相交；作图痕迹（弧线）要保留，不能擦去。 知识点6　三角形三边的垂直平分线 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等。 图 3　△ABC 三边的垂直平分线交于点 P，PA=PB=PC 三、基础巩固 （一）判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1．线段的垂直平分线是一条线段。（　　） 2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（　　） 3．到线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上。（　　） 4．经过线段中点的直线就是这条线段的垂直平分线。（　　） 5．三角形三条边的垂直平分线交于一点。（　　） （二）选择题 1．如图 1，l 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 在 l 上。若 PA=5 cm，则 PB 等于（　　） A．2.5 cm　　B．5 cm　　C．10 cm　　D．不能确定 2．下列说法中正确的是（　　） A．垂直于一条线段的直线就是这条线段的垂直平分线 B．经过线段中点的直线就是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 D．到线段两端点距离相等的点只有线段的中点 3．如图 4，在 △ABC 中，直线 l 是边 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 D，连接 AD。若 BD=4 cm，则 AD 等于（　　） 第 3、4、10 题图（记为图 4） A．2 cm　　B．4 cm　　C．8 cm　　D．不能确定 4．如图 4，若 AC=6 cm，DC=2.5 cm，BD=3.5 cm，则 △ADC 的周长为（　　） A．12 cm　　B．11 cm　　C．10 cm　　D．9 cm 5．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离（　　） A．相等　　B．不相等　　C．不能确定　　D．以上都不对 6．在三角形中，到三个顶点距离相等的点是（　　） A．三条角平分线的交点　　B．三边垂直平分线的交点 C．三条中线的交点　　D．三条高所在直线的交点 7．用尺规作线段 AB 的垂直平分线时，分别以 A、B 为圆心所画弧的半径必须（　　） A．大于 AB　　B．等于 AB　　C．大于 AB　　D．小于 AB 8．如图 1，若 PA=PB，则点 P 一定在（　　） A．线段 AB 上　　B．线段 AB 的垂直平分线上 C．线段 AB 的延长线上　　D．不能确定 9．已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，且 PA=6 cm，则 PB 等于（　　） A．3 cm　　B．6 cm　　C．12 cm　　D．不能确定 10．如图 4，若 △ABC 的周长为 20 cm，AC=8 cm，BC=7 cm，则 △ADC 的周长为（　　） A．13 cm　　B．14 cm　　C．15 cm　　D．16 cm （三）填空题 1．线段垂直平分线上的点到这条线段 ＿＿＿＿＿＿ 的距离相等。 2．到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 ＿＿＿＿＿＿ 上。 3．如图 1，若 AO=3 cm，则 AB= ＿＿＿＿＿＿ cm。 4．如图 1，若 PA=7 cm，则 PB= ＿＿＿＿＿＿ cm。 5．三角形三条边的垂直平分线交于 ＿＿＿＿＿＿ 点，这一点到三角形三个 ＿＿＿＿＿＿ 的距离相等。 6．已知线段 AB=10 cm，点 P 在 AB 的垂直平分线上，且 PA=13 cm，则 PB= ＿＿＿＿＿＿ cm。 7．如图 4，若 BD=5 cm，则 AD= ＿＿＿＿＿＿ cm。 8．如图 4，若 △ADC 的周长为 13 cm，AC=5 cm，则 BC= ＿＿＿＿＿＿ cm。 9．尺规作线段的垂直平分线时，要分别以线段的两个端点为 ＿＿＿＿＿＿，以大于这条线段 ＿＿＿＿＿＿ 的长为半径画弧。 10．线段是轴对称图形，它的对称轴是 ＿＿＿＿＿＿ 和 ＿＿＿＿＿＿。 四、能力提升 （四）解答题 1．如图 1，l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上。若 PA=8 cm，AO=3 cm，求 PB 和 AB 的长。 2．如图 4，边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D。若 BD=6 cm，DC=4 cm，求 BC 和 AD 的长。 3．如图 4，若 △ADC 的周长为 14 cm，AC=6 cm，求 BC 的长。 4．用尺规作出线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹），并写出作法。 5．已知点 P、点 Q 到线段 AB 两个端点的距离都相等，即 PA=PB，QA=QB。请说明直线 PQ 是线段 AB 的垂直平分线。 6．如图 3，某地有 A、B、C 三个村庄，现要修建一个水站，使它到三个村庄的距离都相等。请说明水站应建在什么位置，并简述确定的方法。 7．如图 5，A、B 两村在公路 l 的同侧，现要在公路 l 上修建一个车站 P，使 P 到 A、B 两村的距离相等。请说明如何确定点 P 的位置。 第 7、拓展 1 题图（记为图 5） 8．请证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 9．请证明线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 10．在 △ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 AC 的垂直平分线相交于点 O。请说明 OA=OB=OC，并说明边 BC 的垂直平分线也一定经过点 O。 五、拓展探究 1．如图 5，A、B 两村在公路 l 的同侧。 （1）若要在 l 上建一个车站 P，使 PA=PB，应如何确定 P 的位置？ （2）若要在 l 上建一个车站 Q，使 QA+QB 最短，应如何确定 Q 的位置？ （3）比较（1）（2）两问所用的知识有什么不同。 2．在平面内，到两个定点 A、B 距离相等的点一共有多少个？它们组成一个什么图形？请说明理由。 3．如图 4，已知 AB=5 cm，AC=4 cm，BC=7 cm，边 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，连接 AD。求 △ADC 的周长。 六、综合应用 1．如图 1，若 PA=PB=10 cm，AB=12 cm，求 AO 的长。 2．如图 4，若 AB=6 cm，BD=4 cm，DC=3 cm，求 △ABD 的周长和 BC 的长。 3．一条公路的两侧各有一个村庄 A 和 B，现要在公路上修建一个加油站，使它到两个村庄的距离相等。请说明加油站应建在什么位置。 4．已知 △ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，且 DA=DB。若 BC=9 cm，AC=6 cm，求 △ADC 的周长。 5．小明说：“只要一条直线垂直于线段 AB，这条直线上的点到 A、B 的距离就相等。”他的说法对吗？请举例说明。 参考答案与解析 （一）判断题 1．× 　【解析】线段的垂直平分线是一条直线，可以向两方无限延伸。 2．√ 　【解析】这是线段垂直平分线的性质定理。 3．√ 　【解析】这是线段垂直平分线的判定定理，是性质定理的逆定理。 4．× 　【解析】还必须垂直于这条线段。经过中点的直线有无数条，其中只有一条与线段垂直。 5．√ 　【解析】三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三个顶点的距离相等。 （二）选择题 1．【答案】B　【解析】由性质定理得 PB=PA=5 cm。故选 B。 2．【答案】C　【解析】A 缺少“过中点”；B 缺少“垂直”；D 错误，垂直平分线上的所有点（不只是中点）到两端点的距离都相等；C 正确。故选 C。 3．【答案】B　【解析】因为 l 垂直平分 AB，点 D 在 l 上，所以 DA=DB=4 cm。故选 B。 4．【答案】A　【解析】因为 AD=BD=3.5 cm，所以 △ADC 的周长 ADDCAC（cm）。故选 A。 5．【答案】A　【解析】三边垂直平分线的交点同时在三条垂直平分线上，由性质定理得它到三个顶点的距离都相等。故选 A。 6．【答案】B　【解析】到两顶点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上，到三个顶点距离都相等的点必在三边垂直平分线上，即三线的交点。故选 B。 7．【答案】C　【解析】半径若不大于 AB，两弧就不能相交，无法作出交点。故选 C。 8．【答案】B　【解析】由判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。故选 B。 9．【答案】B　【解析】由性质定理得 PB=PA=6 cm。故选 B。 10．【答案】C 【解析】因为 AD=BD，所以 △ADC 的周长 ADDCAC BDDCAC BCAC（cm）。故选 C。 （三）填空题 1．【答案】两个端点　【解析】性质定理的内容。 2．【答案】垂直平分线　【解析】判定定理的内容。 3．【答案】　【解析】O 是 AB 的中点，ABAO（cm）。 4．【答案】　【解析】由性质定理得 PBPA cm。 5．【答案】一；顶点　【解析】三角形三边垂直平分线的交点的性质。 6．【答案】　【解析】由性质定理得 PBPA cm，与 AB 的长无关。 7．【答案】　【解析】点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 ADBD cm。 8．【答案】　【解析】△ADC 的周长 ADDCAC BDDCAC BCAC，所以 BC（cm）。 9．【答案】圆心；一半　【解析】半径须大于 AB 两弧才能相交。 10．【答案】线段所在的直线；线段的垂直平分线　【解析】线段有两条对称轴。 （四）解答题 1．【解】因为 l 垂直平分 AB，点 P 在 l 上，所以 PBPA cm。 又因为点 O 是 AB 的中点，所以 ABAO（cm）。 答：PB 的长为 8 cm，AB 的长为 6 cm。 2．【解】BCBDDC（cm）。 因为点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 ADBD cm。 3．【解】因为 ADBD，所以 △ADC 的周长 ADDCAC BDDCAC BCAC。 所以 BC（cm）。 【点拨】利用垂直平分线把 AD 转化成 BD，再把 BDDC 合并成 BC，这种“线段转移”的方法在本节中使用非常频繁。 4．【解】作法：（1）分别以点 A、点 B 为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 M、N； （2）作直线 MN。直线 MN 就是线段 AB 的垂直平分线（作图痕迹见图 2）。 5．【解】因为 PAPB，所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上（判定定理）； 因为 QAQB，所以点 Q 也在线段 AB 的垂直平分线上。 因为经过两点有且只有一条直线，而 AB 的垂直平分线是一条经过 P、Q 两点的直线， 所以直线 PQ 就是线段 AB 的垂直平分线。 6．【解】水站应建在 △ABC 三边垂直平分线的交点 P 处。 方法：分别作线段 AB 和线段 BC 的垂直平分线，它们的交点即为点 P。因为 P 在 AB 的垂直平分线上，所以 PAPB；因为 P 在 BC 的垂直平分线上，所以 PBPC。所以 PAPBPC，即点 P 到三个村庄的距离相等。 7．【解】连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线，与公路 l 的交点就是所求的车站 P。 理由：点 P 在 AB 的垂直平分线上，所以 PAPB。 8．【证明】如图 1，设 l 垂直平分 AB 于点 O，点 P 是 l 上任意一点，连接 PA、PB。 因为 l 垂直平分 AB，所以 AOBO，∠POA∠POB。 在 △POA 和 △POB 中，AOBO，∠POA∠POB，POPO， 所以 △POA≌△POB（SAS），所以 PAPB。 （当点 P 与点 O 重合时，PAPB 显然成立。） 9．【证明】设 PAPB，过点 P 作 PO⊥AB 于点 O。 在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，PAPB，POPO， 所以 Rt△POA≌Rt△POB（HL），所以 AOBO。 又因为 PO⊥AB，所以直线 PO 是线段 AB 的垂直平分线，即点 P 在 AB 的垂直平分线上。 10．【解】因为点 O 在 AB 的垂直平分线上，所以 OAOB； 因为点 O 在 AC 的垂直平分线上，所以 OAOC。所以 OAOBOC。 又因为 OBOC，由判定定理知点 O 在 BC 的垂直平分线上， 所以边 BC 的垂直平分线也一定经过点 O。这就说明三角形三边的垂直平分线交于同一点。 （五）拓展探究 1．【解】（1）连接 AB，作 AB 的垂直平分线交 l 于点 P，则 PAPB。 （2）作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B 交 l 于点 Q，则 QAQB 最短。 （3）第（1）问用的是线段垂直平分线的性质（解决“距离相等”问题）；第（2）问用的是轴对称的性质与“两点之间线段最短”（解决“距离之和最小”问题）。两类问题的条件不同，所用的工具也不同。 2．【解】有无数个。这些点组成线段 AB 的垂直平分线。 理由：由判定定理，凡是到 A、B 距离相等的点都在 AB 的垂直平分线上；由性质定理，AB 的垂直平分线上的每一点到 A、B 的距离都相等。两方面合起来说明，满足条件的点组成的图形恰好就是线段 AB 的垂直平分线。 3．【解】因为点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 ADBD。 所以 △ADC 的周长 ADDCAC BDDCAC BCAC（cm）。 【点拨】本题中 AB cm 是多余条件，解题时要能识别并排除干扰条件。 （六）综合应用 1．【解】因为 PAPB，所以点 P 在 AB 的垂直平分线上，即直线 l 垂直平分 AB， 所以 AOAB（cm）。 2．【解】因为点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 ADBD cm。 所以 △ABD 的周长 ABBDAD（cm）；BCBDDC（cm）。 3．【解】加油站应建在线段 AB 的垂直平分线与公路的交点处。 理由：连接 AB，作 AB 的垂直平分线，它与公路相交于点 P，由性质定理得 PAPB，即点 P 到两个村庄的距离相等。 4．【解】因为 DADB，所以 △ADC 的周长 ADDCAC BDDCAC BCAC（cm）。 5．【解】不对。例如：作一条与线段 AB 垂直但不经过 AB 中点的直线 m，在 m 上任取一点 P， 由于点 P 到 A、B 的距离分别是斜着的两条线段，它们一般并不相等。 只有当这条垂线同时经过 AB 的中点（即它是 AB 的垂直平分线）时，线上的点到 A、B 的距离才都相等。 七、课堂小结 1．一个概念：垂直平分线必须同时满足“过中点”和“垂直”两个条件。 2．两个定理：性质定理由位置关系得到线段相等；判定定理由线段相等得到位置关系。它们互为逆定理，使用时要分清方向。 3．一种作图：以两端点为圆心、以大于线段一半的长为半径画弧，连接两交点即可，作图痕迹必须保留。 4．一类常用方法：利用 PAPB 把一条线段“搬到”另一处，从而把分散的线段集中到一条线段上，这是求周长问题的通用思路。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $