16.2线段的垂直平分线（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

16.2线段的垂直平分线 （8大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 题型二 由垂直平分线的性质求周长 题型三 由垂直平分线的性质求角度 题型四 由垂直平分线的性质求最值 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 题型五 证明是线段的垂直平分线 题型六 尺规作线段的垂直平分线 题型七 尺规作垂线 题型八 线段的垂直平分线的实际应用 能力提升题 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 基础达标练 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解本题的关键． 先证明，再证明，结合，从而可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长是13， ∴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 2．如图，垂直平分，为线段上的一点．若，则的长可能为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，判断即可． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长可能为3． 故选：A． 3．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 5．如图，在中，的垂直平分线交于于点D，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， ， ， ， 的长为； 故选：C． 6．如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，，则可得垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据线段和差求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型二 由垂直平分线的性质求周长 7．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（    ） A．21 B．9 C．18 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：D． 8．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知，根据四边形周长的公式即可求出四边形的周长． 【详解】解：垂直平分， ，， 垂直平分， ，， ， 四边形的周长为. 故选：C． 9．如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， ， 的周长为， 故选：C． 10．如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F， ∴，， ∴的周长是， 故选：B． 11．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键． 由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得的周长． 【详解】解：与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为5． 故选：C． 12．如图在中，和分别垂直平分和，分别交、于、两点，分别交、于、两点，连接、，若之长为21，则的周长是（    ）    A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到，，即可求出的周长． 【详解】解：和分别垂直平分和， ，， ， 的周长， 故选：D． 13．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 14．如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为7可得，于是可得的周长，于是得解； （2）由三角形的内角和定理可得，利用可证得，于是可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， 的周长 ； （2）解：，， ， ∵在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 题型三 由垂直平分线的性质求角度 15．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质和平行线的性质，结合三角形内角和定理计算是解题的重要步骤． 根据和垂直平分线的条件，可得到，再根据三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质和垂直平分线的性质计算即可． 【详解】的垂直平分线与交于点， ，， ，， ，， ， ， 由可得， ． 故选：． 16．如图，在四边形中，的垂直平分线交于，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的垂直平分线交于，得，再由三角形外角性质解答即可． 【详解】解：的垂直平分线交于， ， ∴， ∴， 故选：． 17．如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，延长交于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得，，根据三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：连接，延长交于D， ， ∵点P是，的垂直平分线的交点， ， ，， ， 故选：A． 18．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，以及，再利用翻折变换的性质得出进而求出即可． 【详解】解：连接， 的平分线与的中垂线交于点O， ，， ， ∵在等腰中，， ， ， 在和中， ， ， ∵点C沿折叠后与点O重合， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键． 19．如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． (1)若垂直平分线段，求的度数； (2)若是的高线，是的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由垂直平分线的定义可得，，即；易证可得，最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，三角形的内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】（1）解：∵垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴． 题型四 由垂直平分线的性质求最值 20．如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，连接，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 根据两点之间线段最短，则，最小，此时点P与点E重合， 所以的最小值即为的长，为4． 即的最小值为4． 故选：B． 21．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，先根据线段的垂线段的性质找到最小值，再根据三角形的周长公式求解．掌握线段想垂直平分线的性质和三角形的周长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足， ， 的周长为：， 故选：D． 22．如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（   ）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 23．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 24．如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】要求PC+PD的值最小，当PC、PD在一条这线上值最小，根据垂直平分线定理可以把PD转化为PA，可得知A、P、C在一条直线上值最小，即最小值为AC的长． 【详解】连接PA， ∵直线MN为线段AD的垂直平分线， ∴， ∴， 当P在AC上时，最小，即最小， ∴最小值为1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是垂直平分线定理的运用，以及动点问题，熟练掌握垂直平分线的性质以及四边形动点问题的转化是解决本题的关键． 25．如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)周长的最小值是． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． （1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，即可求解． 【详解】（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点， ∴； （2）解：∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交于D，如图： ∵， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长的最小值是： ． 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 26．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形周长公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接． 垂直平分， ， ，， ∴垂直平分， ， ； （2）的周长为21cm， ， ， ， ，， ， ． 27．如图，与相交于点O，且是的垂直平分线，于点E，于点F． (1)求证； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的性质得到，进而利用证明，即可证明； （2）由（1）得，则，由全等三角形的性质得到，再证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线 ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 28．已知：如图， AD∥BC，EF垂直平分BD与AD，BC，BD分别交于点E，F，O． 求证：（1）△BOF≌△DOE； （2）DE=DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由线段垂直平分线的定义可知OB=OD，且∠BOF=∠EOD，利用平行可得∠BFO=∠DEO，利用AAS可证明△BOF≌△DOE （2）由△BOF≌△DOE得到BF=DE, EF垂直平分BD,得到BF=DF,即可得到DE=DF. 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠BFO=∠DEO， ∵EF垂直平分BD， ∴， 在△BOF和△DOE中 ∴△BOF≌△DOE（AAS）. （2）， ， ∵EF垂直平分BD， ， 题型五 证明是线段的垂直平分线 29．下列说法错误的是（    ） A．若点P是线段的垂直平分线上的点，则 B．若，，则直线是线段的垂直平分线 C．若，则点P在线段的垂直平分线上 D．若，则过点P的直线是线段的垂直平分线 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定方法，即可一一判定． 【详解】解：A.若点P是线段的垂直平分线上的点，则，故该说法正确，不符合题意； B.若，，则直线是线段的垂直平分线，故该说法正确，不符合题意； C.若，则点P在线段的垂直平分线上，故该说法正确，不符合题意； D.若，则过点P的直线不一定是线段的垂直平分线，故该说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定方法，熟练掌握和运用线段垂直平分线的判定方法是解决本题的关键． 30．下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、 ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； B、 ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； C、当时， 是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段 的垂直平分线，故选项符合题意； D、平分， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； 故选：C． 31．如图，AC＝AB，DC＝DB，AD与BC相交于O.求证：AD垂直平分BC． 【答案】证明见解析. 【分析】根据线段垂直平分线的判定方法即可证明. 【详解】证明：∵AB＝AC， ∴点A在BC的垂直平分线上， ∵DC＝DB， ∴点D在BC的垂直平分线上， ∴AD垂直平分BC. 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 32．如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 33．如图，为的角平分线，，求证：是的垂直平分线小高证明如下： 证明：   平分， ， 又点在上，． ∴是的垂直平分线． 小高的证法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程． 【答案】不正确，见解析 【分析】根据小高过程中不是已知条件，可得小高证明方法不正确；通过证明，得出，即可求证． 【详解】解：∵不是已知条件， ∴小高证明方法不正确， 证明：平分， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握垂直平分线的判定方法． 34．如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）要证是线段的垂直平分线，需证垂直（已知）且平分，即证，可通过证明来实现． （2）利用（1）中全等及垂直关系，结合同角的余角相等，推导与的等量关系． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴（） ∴ 又∵，即垂直且平分 ∴是线段的垂直平分线 （2）证明：由（1）知， ∴． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，，； 在中，，． ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质以及三角形内角和等知识，熟练掌握全等三角形判定和线段垂直平分线性质，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 35．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由等边三角形的性质得出，结合，即可得出是的垂直平分线进行作答． （2）先由等边三角形的性质得出，结合角平分线的性质，得出，证明，再证明，结合边的等量代换以及边的运算，即可作答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 在的垂直平分线上， ， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）证明： 过作，如图： 是等边三角形， ，， ． ． ，． ，平分， ， ， ． ，， ． ． 又， ， 题型六 尺规作线段的垂直平分线 36．直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用．这类问题的解答依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”．利用线段垂直平分线的性质可求解． 【详解】解：连接，作的垂直平分线交直线l于点M， 故选：C． 37．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 38．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 【详解】解：由作图可知， 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． 垂直平分， ， 的周长为， ，， 的周长为， 故选：D． 39．如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交边于点D，E，连接．若的面积为7，的面积为2，则的面积为（　　） A．7 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作法，线段中点求面积，根据题意得到是线段的垂直平分线，进而得到点D是的中点，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，是线段的垂直平分线， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为5， 故选：B． 40．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求． 【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求． （2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求， 题型七 尺规作垂线 41．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 42．如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 【答案】A 【分析】本题考查了用尺规作直线的垂线，熟练掌握做法和原理是解题的关键．利用尺规作直线的垂线的方法解答即可． 【详解】解：由画图痕迹可得：于点O， 点P在点O处． 故选：A． 43．下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC的边BC上的高AD． 作法：如图2， （1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E； （2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 【答案】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线 【分析】利用作法和线段垂直平分线定理的逆定理可得到BC垂直平分AE,然后根据三角形高的定义得到AD为高 【详解】解：由作法得BC垂直平分AE， 所以该尺规作图的依据为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线． 故答案为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线． 【点睛】此题考查三角形高的定义，解题的关键在于利用线段垂直平分线定理的逆定理求解. 题型八 线段的垂直平分线的实际应用 44．如图，码头B在码头A的正东方向，甲船从码头A出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛C．若甲船与乙船分别从码头A，B同时等速出发，均直接驶向小岛C，两船可以同时到达． (1)在如图中，用尺规作图画出小岛C的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，请用方位角和距离描述小岛C相对于码头B的位置，并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)小岛C在码头B的北偏西35°方向，距离码头B为的位置．理由见解析 【分析】（1）作出线段的垂直平分线交于点C，点C为小岛C的位置； （2）连接，过点B作，求出即可得出结论． 【详解】（1）小岛C的位置如图1所示： （2）如图2，连接，过点B作， 根据题意，若甲船与乙船分别从码头A，B同时等速向小岛C出发，同时到达，可得，，且，则， ∴小岛C在码头B的北偏西方向，距离码头B为的位置． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与画法以及方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键． 45．如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． 【答案】同学乙指出的最短路径正确，见解析 【分析】本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称−最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键．作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接，，即可得到结论 【详解】解：同学乙指出的最短路径正确． 理由：如图，在直线上任意选一点，在直线上任意选一点，连接，，，． 由轴对称性质，易得，． ， ， 当共线时， ∵ 是最短路径． ． 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 46．如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定．①由证明；②根据垂直平分线性质即可判断；③根据垂直平分线性质即可判断；④根据三角形面积公式得到四边形的面积四边形的面积即可判断． 【详解】在与中， ， ∴，故①正确； ，， 垂直平分，故②正确； ∵不一定等于，不一定等于， ∴不一定垂直平分 ∴不一定平分，故③错误； ∴四边形的面积，故④正确； 综上所述，①②④正确，共3个正确． 故选：C． 47．如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为所以，连接，由是等腰直角三角形，即．又因为，得垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴．故①正确； 在和中， ∵，，且， ∴． 又∵， ∴． ∴；． ∵， ∴；故②正确； 在和中， ∵平分， ∴． 又∵ ∴． ∴． 又由（2）知， ∴；故③正确； 连接． ∵是等腰直角三角形， ∴ 又， ∴垂直平分． ∴ 在中，是斜边，是直角边， ∴． ∵， ∴．故④错误． 综上，正确的是①②③， 故选：C． 48．在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有______（请填序号） ①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，余角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法； （1）根据证明即可； （2）证明，得出，即可证明； （3）根据，得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形； （4）根据，得出，，说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分， 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故①正确； ，， ， ， ， ∴ D为中点， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故②正确； 连接， ， ， 在中，， ， 不可能是等边三角形， 故③错误； ， ，， 点M、B在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故选：B． 49．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 50．如图，在中，是的垂直平分线，点在上，连接，，，已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质，即可解决问题； （）延长，利用三角形的外角性质求得，，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵是的垂直平分线，点为上一点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 51．如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，得到，即可求解； （2）由平行线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)44 (2)36° (3)24° 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）、三角形内角和定理，等边对等角． （1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质分别求出、，计算即可； （2）仿照（2）的方法计算； （3）仿照（1）的方法计算． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， 同理可得：， ； （2）解：， ， ，， ； （3）解：， ， ． 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 53．已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 54．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 55．如图，平面上的四边形是一个“风筝”的骨架，其中． (1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线，垂足为，并且，你同意王云同学的判断吗？请说明理由． (2)设对角线，请用含的式子表示四边形的面积． 【答案】(1)同意王云同学的说法，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． （1）根据题意可得 垂直平分，则，，由此可得结论； （2）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：同意王云同学的说法，理由如下： ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴同意王云同学的说法； （2）解：∵，， ∴ ． 56．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)45° (3)点在边的垂直平分线上，见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 57．如图，，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）若的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）40°＜α＜90° 【分析】（1）根据ASA证明：△APM≌△BPN； （2）由（1）中的全等得：MN=2PN，所以PN=BN，由等边对等角可得结论； （3）直角三角形的三边垂直平分线的交点是斜边上的中点，钝角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的外部，只有锐角三角形的三边垂直平分线的交点在三角形的内部，所以根据题中的要求可知：△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论． 【详解】（1）证明：∵P是AB的中点， ∴PA=PB， 在△APM和△BPN中， ∵， ∴△APM≌△BPN（ASA）； （2）解：由（1）得：△APM≌△BPN， ∴PM=PN， ∴MN=2PN， ∵MN=2BN， ∴BN=PN， ∴α=∠B=50°； （3）解：∵的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部， ∴△BPN是锐角三角形， ∵∠B=50°， ∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，利用其性质求角的度数，结合三角形三边垂直平分线的交点的知识确定三角形的形状，进而求出角度，此题难度适中，但是第三问学生可能考虑不到三角形的形状问题，而出错． 58．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明． “”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中（已作）， （_________ ） （中点定义） （_________ ）， （2）探究得出的取值范围是_____； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3）6 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）延长到点，使 在和中，（已作） （对顶角相等） （中点定义） ， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴，则， 故，即， 故答案为：； （3）延长交的延长线于点，如图    ∵，， ∴ ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴． 59．数学活动：利用全等三角形研究“筝形”的特征． 认识图形：如图，四边形中，．像这样，两条邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)研究特征：琪琪猜想筝形的对角与相等，他的结论成立吗？说明理由． (2)嘉嘉连接筝形的对角线、后发现垂直平分，请你补全图形，并帮她说明理由． (3)拓展应用：在筝形中，对角线长为8，长为12，请直接写出此筝形的面积． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)补全图形，理由见解析 (3)筝形的面积为48 【分析】（1）连接，通过证明，即可求解； （2）补全图形，通过垂直平分线的判定定理，求解即可； （3）由题意可得，筝形的面积，求解即可． 【详解】（1）解：成立， 理由：如图，连接． 在与中， ∵ ∴． ∴． （2）解：补全图形如图， 理由：∵ ∴点、在线段的垂直平分线上， 即垂直平分； （3）解：面积为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定以及四边形面积的求解，解题的关键是掌握相关基础性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2线段的垂直平分线 （8大题型基础达标练+3大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 题型二 由垂直平分线的性质求周长 题型三 由垂直平分线的性质求角度 题型四 由垂直平分线的性质求最值 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 题型五 证明是线段的垂直平分线 题型六 尺规作线段的垂直平分线 题型七 尺规作垂线 题型八 线段的垂直平分线的实际应用 能力提升题 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 基础达标练 题型一 由垂直平分线的性质求线段长度 1．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，垂直平分，为线段上的一点．若，则的长可能为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，的垂直平分线交于于点D，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，，为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，当，，时，求的长． 题型二 由垂直平分线的性质求周长 7．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（    ） A．21 B．9 C．18 D．13 8．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 10．如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是（   ） A． B． C． D． 11．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．如图在中，和分别垂直平分和，分别交、于、两点，分别交、于、两点，连接、，若之长为21，则的周长是（    ）    A．18 B．19 C．20 D．21 13．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 14．如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 题型三 由垂直平分线的性质求角度 15．如图，在中，，，的垂直平分线与交于点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 16．如图，在四边形中，的垂直平分线交于，若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 17．如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A． B． C． D． 18．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 19．如图，在中，E是边上一点，点P在的延长线上，于点M，且，． (1)若垂直平分线段，求的度数； (2)若是的高线，是的角平分线，求的度数． 题型四 由垂直平分线的性质求最值 20．如图，在中，，，，是的垂直平分线，P是直线上的任意一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 22．如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（   ）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 23．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 24．如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（    ） A．1 B． C． D．3 25．如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 题型四 由垂直平分线的性质进行证明 26．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 27．如图，与相交于点O，且是的垂直平分线，于点E，于点F． (1)求证； (2)若，求的长． 28．已知：如图， AD∥BC，EF垂直平分BD与AD，BC，BD分别交于点E，F，O． 求证：（1）△BOF≌△DOE； （2）DE=DF． 题型五 证明是线段的垂直平分线 29．下列说法错误的是（    ） A．若点P是线段的垂直平分线上的点，则 B．若，，则直线是线段的垂直平分线 C．若，则点P在线段的垂直平分线上 D．若，则过点P的直线是线段的垂直平分线 30．下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 31．如图，AC＝AB，DC＝DB，AD与BC相交于O.求证：AD垂直平分BC． 32．如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 33．如图，为的角平分线，，求证：是的垂直平分线小高证明如下： 证明：   平分， ， 又点在上，． ∴是的垂直平分线． 小高的证法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程． 34．如图，在中，，是的平分线，交于点，垂足为．求证： (1)是线段的垂直平分线； (2)． 35．如图，是等边三角形外的一点，，，点，分别在，上． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若平分，写出，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 题型六 尺规作线段的垂直平分线 36．直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄．欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离相等的方案是（　　） A． B． C． D． 37．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线分别与边相交于点，连结．若，则的长为（   ） A．24 B．25 C．7 D．9 38．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 39．如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交边于点D，E，连接．若的面积为7，的面积为2，则的面积为（　　） A．7 B．5 C．4 D．2 40．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）． (1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）； (2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置． 题型七 尺规作垂线 41．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 42．如图，在平面内，使用尺规过一点P作直线的垂线，根据作图痕迹判断 （       ） A．点P在点O处 B．点P在点A处 C．点P在点B处 D．无法确定点P的位置 43．下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC的边BC上的高AD． 作法：如图2， （1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E； （2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 题型八 线段的垂直平分线的实际应用 44．如图，码头B在码头A的正东方向，甲船从码头A出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛C．若甲船与乙船分别从码头A，B同时等速出发，均直接驶向小岛C，两船可以同时到达． (1)在如图中，用尺规作图画出小岛C的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，请用方位角和距离描述小岛C相对于码头B的位置，并简述理由． 45．如图，牧马人从地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到处，要求指出最短路径． 同学甲：牧马人从地出发，把马牵到草地与河边的交汇处点，牧马又饮马，然后回到处． 同学乙：作点关于直线对称的点，再作点关于直线对称的点，连接交直线于点，交直线于点，则路径为最短路径． 你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由． ． 题型一 与垂直平分线有关的多结论问题 46．如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 48．在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有______（请填序号） ①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 49．如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型二 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系 50．如图，在中，是的垂直平分线，点在上，连接，，，已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)若，求的度数． 51．如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交于点E，F． (1)若，求的度数． (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 52．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 题型三 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用 53．已知：如图，，点E在上，求证：． 54．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 55．如图，平面上的四边形是一个“风筝”的骨架，其中． (1)九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条对角线，垂足为，并且，你同意王云同学的判断吗？请说明理由． (2)设对角线，请用含的式子表示四边形的面积． 56．如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接． (1)若，的周长为19，则的长为 ； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 57．如图，，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）若的三边垂直平分线的交点在该三角形的内部，直接写出的取值范围． 58．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明． “”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中（已作）， （_________ ） （中点定义） （_________ ）， （2）探究得出的取值范围是_____； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，中，是的中线，，且，求的长． 59．数学活动：利用全等三角形研究“筝形”的特征． 认识图形：如图，四边形中，．像这样，两条邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)研究特征：琪琪猜想筝形的对角与相等，他的结论成立吗？说明理由． (2)嘉嘉连接筝形的对角线、后发现垂直平分，请你补全图形，并帮她说明理由． (3)拓展应用：在筝形中，对角线长为8，长为12，请直接写出此筝形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $