专题05 椭圆（期中真题汇编，天津专用）高二数学上学期

专题05 椭圆 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C 9．B 10．C 11．C 12．A 13．B 14．D 15．B 16．A 17．C 18．B 19．A 20．C 21．A 22．B 23．A 24．C 25．B 26．D 27．C 28．A 29．A 30．B 31．D 32．B 33．A 34．D 35．A 36．A 37．C 38．C 39．D 40．【答案】 【分析】 由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以 ，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 41．【答案】14 【分析】 借助椭圆定义即可得. 【详解】 由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 42．【答案】24 【分析】 由椭圆的定义与性质可知椭圆的焦点三角形的周长为，即可得到答案. 【详解】 由可知，， ∴. 故答案为：24. 43．【答案】 【分析】 先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点的坐标，最后计算面积即可. 【详解】 根据题意有： ，所以椭圆的方程为：， 设，则，，， 所以， 所以. 故答案为：. 44．【答案】 【分析】 通过椭圆方程可求出值，从而求出结果. 【详解】 已知椭圆方程，则，所以， 即，故焦距为：. 故答案为： 45．【答案】（1） 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，； 顶点为，，，；离心率.     （2）      【分析】 （1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. (1) 小问详解： 由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. (2) 小问详解： 由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 46．【答案】 【分析】 根据长轴定义得到，再利用离心率公式即可得到答案. 【详解】 由题可设椭圆方程为， 则由题意得 ，解得 ， 则. 则其标准方程为. 故答案为：. 47．【答案】. 【分析】 根据题意，结合椭圆方程的标准形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由方程表示椭圆， 则满足 ； 解得或，所以实数的取值范围. 故答案为：. 48．【答案】8 【分析】 根据椭圆方程可知，再结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】 设椭圆的长轴长为， 由题意可知：，且， 因为，可得， 所以点与另一个焦点的距离为8. 故答案为：8. 49．【答案】 【分析】 由题设求出椭圆的两个顶点得到，再结合和离心率定义即可求解. 【详解】 对直线，令，， 所以直线经过椭圆的两个顶点， 故，所以该椭圆的离心率为． 故答案为： 50．【答案】 【分析】 取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，然后根据椭圆的性质结合条件及余弦定理可得离心率的值. 【详解】 取椭圆的右焦点，连接，， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， 又，而， 所以，所以， 在中，， 整理，得，即，又， 所以. 故答案为：. 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意设，，如图所示： 联立 ， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 52．【答案】 【分析】 易知椭圆焦点在轴上，设椭圆方程，再将代入椭圆方程，可得与的坐标，再由等腰直角三角形可知，化简可得解. 【详解】 由已知可得椭圆焦点在轴上，不妨设椭圆方程为，， 设为椭圆的右焦点，且点在轴上方，则，， 又轴，所以，代入椭圆方程可知， 化简可得，结合椭圆的对称性可知，且为中点， 即，又为等腰直角三角形，则， 即，等式左右同时除以， 可得，解得，或（舍）， 故答案为：. 53．【答案】（1）     （2）直线的方程为，      【分析】 （1）由题意可得，，可求得，进而可求得椭圆方程； （2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，，进而求得弦长与点到直线的距离，结合题意可得，求解即可. (1) 小问详解： 因为点在椭圆上，所以， 又椭圆的焦距为，所以，即. 又因为，所以，解得或（舍去）； 所以椭圆的方程. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立 ，消去得， 展开并整理得， 则，所以或， 所以，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以直线方程为， 所以弦长. 54．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. (1) 小问详解： 由题意：，所以．        又因为，，所以，，      即椭圆的方程为． (2) 小问详解： 当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组 得， ∴              ，      ∴，      ∴                                    ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或． 55．【答案】 【详解】 由已知，点P(－c，y)在椭圆上，且在第二象限，代入椭圆方程，得.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是. 答案： 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 56．【答案】6 【分析】 易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】 如图所示： 由，得， 则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，， 则圆的圆心为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故答案为：6. 57．【答案】（1） （2） 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立 消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 58．【答案】（1）     （2）是定值，理由如下： 依题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 由 消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 由 消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 显然是圆的直径，则，直线的方程为， 用代替，得， 直线的斜率， 直线的斜率， 因为，所以，故， 所以，为定值.      【分析】 （1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）设直线的方程，分别联立椭圆方程和园的方程求出的坐标，同理可得的坐标，运用两点的斜率公式，分别计算直线的斜率，直线的斜率，即可得证. (1) 小问详解： 依题意，椭圆的半焦距，将代入椭圆方程得， 得，则， 而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 59．【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. (1) 小问详解： 由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立 ，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立 ，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1. 60．【答案】.6 【分析】 由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】 由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 61．【答案】 【分析】 设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】 设椭圆的左焦点为，连接，     因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以. 故答案为：. 62．【答案】 【分析】 设动点的坐标，根据题目条件列出等式即可求出点坐标，再根据等量关系即可求解轨迹方程. 【详解】 设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 63．【答案】①     ② 【分析】 由得出的齐次等式，从而可求得离心率，的最小值是0，是短轴端点时，最大，求出此角后得范围． 【详解】 由题意，， 因此当时，，，当时，，也有， 所以，，，． 当是短轴端点时，由于，因此是等腰直角三角形，，当是长轴端点时，， 所以的取值范围是． 故答案为：；． 64．【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意可知，代入点可得，即可得椭圆方程； （2）求和直线的方程，设，根据面积关系求点B的坐标，即可得直线方程. (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为，则， 即，则椭圆方程为， 代入点可得，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 因为，，则，        直线：，即， 设，， 则点到直线的距离， 因为，即， 可得或（舍去）， 又因为，则， 可得或，解得或， 若，即，则直线：； 若，即，则直线为，即； 综上所述：直线的方程为或. 65．【答案】 【分析】 根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】 由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 66．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设椭圆的焦距为，由条件可得，，结合椭圆的定义可得，根据离心率定义求结论； （2）结合（1）求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求，的坐标，由条件列方程求，由此可得结论. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，故， 因为，， 所以，， 所以，， 又由椭圆的定义可得， 所以，即， 所以椭圆的离心率， (2) 小问详解： 由（1），又， 所以，故点的坐标为 又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立 ，可得， 所以， 所以或， 所以点的坐标为，又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立 ，可得， 所以， 所以， 所以或， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，由已知， 所以， 所以，， 所以椭圆的方程为. 67．【答案】 【分析】 设直线与直线的交点为，利用相似三角形可得，，由此解出的关系代入离心率公式即可. 【详解】 如图，设直线与直线的交点为， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以， 故答案为： 68．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． (1) 小问详解： 由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； (2) 小问详解： 设直线l：，设，， 则 ，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 69．【答案】（1）；.     （2）      【分析】 （1）利用椭圆过点和焦距求出，即求得椭圆方程与离心率； （2）通过设直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理表示坐标，利用平行条件建立方程求出坐标. (1) 小问详解： 由题意可知，，由焦距，则， 所以， 所以椭圆方程为，离心率 (2) 小问详解： 若斜率不存在，则，则； 设直线方程，， 则 ，消元可得； 则， 设，由点是直线上一点，， 则存在，使得，则， 由,则， 故，代入可得， , 故点的横坐标为. 70．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入坐标即可列方程组求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式即可求解， （3）根据等腰梯形的性质，求解直线的方程为，进而得，联立方程得韦达定理，得，代入化简可得，进而可求解坐标，即可求解斜率. (1) 小问详解： 将点代入椭圆方程， 得 ，化简为 ， 设，则 ， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 直线过且斜率为，方程为， 联立 ，消去得， 整理得， 设，则， 由弦长公式（为直线斜率）， ，代入得. (3) 小问详解： 由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴， 故,故, 取的中点为，连接,则, 则直线的方程为， 令 设直线，避免斜率不存在情况)，联立 ， 消去得， 则，则 ， ， 所以, 则,因此，又 所以直线 所以直线的方程为 71．【答案】 【分析】 根据椭圆的定义求解. 【详解】 因为椭圆方程为，所以 设椭圆的左焦点为，则，， 所以的周长， 因为，所以， 所以，即的周长的取值范围为， 故答案为：. 72．【答案】① ② ④ 【分析】 利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断① ，利用椭圆的对称性合理转化长度判断② ，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断③ ，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解④ 即可. 【详解】 对于① ，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故① 正确； 对于② ，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故② 正确； 对于③ ，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故③ 错误； 对于④ ，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故④ 正确． 故选：① ② ④ ． 73．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题设列方程可得，进而求解即可； （2）由（1）可得，，，椭圆的方程为，设直线的方程为，可得，联立直线与椭圆方程，结合题意可求得，进而得到直线的方程，根据平分可得点到直线的距离也为，结合点到直线的距离公式可求得，进而求解即可. (1) 小问详解： 由题意，，，，的面积为， 则， 即，所以椭圆的离心率为. (2) 小问详解： 由（1）知，则， 而，即，则，则， 则椭圆的方程为，即. 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即， 联立 ，得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以，，即，， 所以直线的方程为，即， 因为平分，又点到直线的距离为， 则点到直线的距离也为，所以，所以， 所以椭圆方程为.     74．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆定义和几何性质求出即可得方程； （2）分斜率为0、不存在、存在且不为0讨论，记中点为，根据，结合弦长公式求解可得. (1) 小问详解： 依题意，且，解得， 所以椭圆方程为. (2) 小问详解： 若为等边三角形，则点为的垂直平分线与直线的交点. ① 当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得， 解得，此时， 此时，，不满足题意； ② 当直线斜率为0时，显然不满足题意； ③ 当直线斜率存在且不为0时，设直线为，， 设直线与椭圆交于不同的两点，，中点为， 由方程组 ，整理得， 则，，， ， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 因为三角形为等边三角形，所以，整理得， 即，直线方程为 75．【答案】（1）     （2） ，理由如下： 设直线， 联立 ，得，（*） ， 整理为，解得：或， 由题意结合图形可知，，所以， 当时，代回（*）得，即，， 所以点的坐标为，，所以 设直线，联立，，， ，得，（*） ， 整理为，解得：， ，， ，， ， ， 即，解得：（舍去）， 即，则直线的斜率为， 而，所以. 【分析】 （1）根据条件，列出关于得到方程，即可求解； （2）首先设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，再根据，求出直线，即可判断直线与直线的位置关系. (1) 小问详解： 由条件可知， ，解得：，，， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是利用弦长公式表示两点间的距离， 76．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题目条件，代入点坐标，结合原点到直线的距离为即可求出椭圆的标准方程. （2）首先确定直线的方程，设直线的方程为，联立椭圆方程，再利用韦达定理求坐标，进而写出直线，最后求出，应用斜率的两点式得到关系式，即可得. (1) 小问详解： 已知椭圆过点，代入方程得， 又是椭圆上顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为可得： ，，代入可得，， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，故直线的方程为， 直线的斜率为，点，则直线的方程为， 联立 ，得， 又点在椭圆上，故有， 则，， 故直线的方程为，即， 又点为直线与轴交点，令得，， 将直线与直线联立，得 ，解得 ，则， 故直线的斜率为，则，此时． 77．【答案】. 【分析】由题意利用几何关系得到关于离心率的不等式，求解不等式即可确定椭圆的离心率的取值范围. 【详解】∵圆M与轴相切于焦点F， ∴不妨设M(c,y),则(因为相切,则圆心与F的连线必垂直于x轴)M在椭圆上, 则或(a2=b2+c2)， ∴圆的半径为， 过M作MN⊥y轴与N,则PN=NQ,MN=c， PN,NQ均为半径,则△PQM为等腰三角形， ∴PN=NQ=， ∵∠PMQ为钝角,则∠PMN=∠QMN>45°， 即PN=NQ>MN=c 所以得,即， 得， a2−2c2+c2e2>2c2， ， e4−4e2+1>0 (e2−2)2−3>0 e2−2<−(0<e<1) e2<−+2 ∴0<e<. 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ① 求出a，c，代入公式； ② 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 78．【答案】（1）；     （2）① 当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为. 因为右焦点，直线的方程为，设. 由 ，消去得，. ，，. 所以线段的中点M的坐标，，即. 同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成）， 所以线段的中点N的坐标，，即. 所以的斜率，其中，直线的方程为 ，化简，即 所以当，直线：过定点.如图：    当时，，此时直线与轴垂直且过定点； 当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点； 当直线的斜率不存在时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 当直线的斜率为0时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 综上可知，直线过定点. ②.      【分析】 （1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）① 根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点. ② 由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值. (1) 小问详解： 因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线的斜率存在且不等于零时， 由① 可知， 同理可得（只需将换成），因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值. 当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换， 此时，，或者， 所以，显然. 综上可知，所以四边形面积有最小值. 79．【答案】（1）     （2），切点坐标为；，切点坐标为；     （3），.      【分析】 （1）由离心率及长轴长列出等式即可求解； （2）直线方程与椭圆方程联立，由，即可求解； （3）设直线方程为，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由，得， 所以， 所以椭圆方程为； (2) 小问详解： 联立直线和椭圆方程： ，消去得：， 由题意， 解得， 当时，由， 解得，此时，即切点坐标为， 当时，由， 解得，此时，即切点坐标为， (3) 小问详解： 由题意直线斜率存在， 设直线方程为， 联立椭圆方程消去得：， 设， 则， 所以， 由到直线的距离， 所以， 解得：，即， 则 所以直线方程为. 80．【答案】① ；    ② . 【分析】 设，先求出椭圆的性质，结合的最大值为，求出，，的值，可得椭圆的标准方程，设，由对称性可知：，由图形可得，又，所以，利用椭圆方程结合两点间距离公式，可得当时，的最大值为48，从而可得的最小值． 【详解】 解：设，则，即， 由题意， ，， 所以，所以，即， 由椭圆的对称性可知的最大值为，所以， 解方程组 ，得 ， 所以椭圆的标准方程为. 如图所示： 不妨设，由对称性可知：， 则， 在中，， 所以， 因为， 所以， 因为，所以当时，的最大值为48， 故的最小值为， 故答案为：；. 81．【答案】（1）     （2） 如图所示： 设直线：， 联立 ，消去得， 所以， 由韦达定理有， 从而， 所以线段的中点的坐标为，即， 从而直线的斜率与的斜率的乘积为， 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.     （3）      【分析】 （1）由焦点坐标、离心率首先确定的值，即可以先得到的值，利用平方关系即可求出的值，从而得解. （2）画出图形，若要证明直线的斜率与的斜率的乘积为定值，只需证明为定值，设直线方程为，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得证. （3）由题意先根据得到，进一步利用弦长公式、点到直线的距离公式得到面积的表达式，从而利用函数的观点即可得解. (1) 小问详解： 因为椭圆的左右焦点分别为、， 所以， 又因为， 所以， 从而椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知， 其中， 又直线：上有点， 所以 ， 若，则有，即， 所以，此时， 如图所示： 原点到的距离为， 而 ， 所以面积的表达式为 ， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以面积的取值范围. 82．【答案】（1）     （2）① ② 由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点.      【分析】 （1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）① 先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ② 设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. (1) 小问详解： 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程 ，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ② 略 83．【答案】（1）； （2）由点知，又 所以 所以椭圆的方程为， 设，， 则直线AM的方程为， 令，得点E的横坐标， 所以点， 同理，点， 由 得， 则，， 所以 . 所以. 解得，此时， 所以直线l经过定点. 【分析】 （1）由知，根据，即可求出离心率（2）由结合（1）可求出椭圆方程，设，，得出点坐标，联立与椭圆方程，根据韦达定理可得，，利用化简可求m，可求出直线所过定点. 【详解】 （1）设椭圆的半焦距为c，由已知有， 又由， 消去b得， 解得. 所以，椭圆的离心率为； （2）略 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，属于难题. 84．【答案】 【分析】 由面积得，结合椭圆方程可判断. 【详解】 由 ，得， 设，则，且， ， 所以，即，又，所以椭圆恒过点，满足， 解得， 所以椭圆恒过点， 故答案为： 85．【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）将点代入椭圆方程计算即可得； （2）（i）设出点，则可利用坐标表示出两向量，从而用表示点坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得；（ii）借助中垂线性质可计算出与的关系，也可表示出中垂线，再将直线与椭圆方程联立，得到与横坐标有关的韦达定理，再表示出斜率、，由为钝角可得两向量数量积为负数，代入计算即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： （i）由，则椭圆的标准方程为， 则，设，则，， 由，则 ，解得 ， 则有，解得，又，故； （ii）由，则，又，中垂线的斜率为， 则，解得，故，则的中点坐标为， 故的方程为：， 联立 ，消去可得， ， 设、，则，， 故、， 则由为钝角，则， 即有 ， 故，又，故. 86．【答案】（1）；     （2）①或或； ② 证明：显然直线l不垂直于y轴，因直线过点，且，由① 得直线的方程为， 由 得点，直线的方程为：， 由 解得： ，因此点， 由① 知，，即线段中点坐标为， 所以点M为线段的中点.      【分析】 （1）利用给定的点B及离心率，求出a，b作答. （2）由（1）求出坐标，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，① 求出点P，Q纵坐标差的绝对值结合三角形面积求出l方程；② 求出直线方程并求得M的坐标即可作答. (1) 小问详解： 因椭圆的上顶点B，则，令椭圆半焦距为c， 由离心率为得，，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）知，，，显然直线l不垂直于y轴，设直线， 由 消去x并整理得：，设， 则，， 因此，解得或， 直线l的方程为或或. ② 略 【点睛】 结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 87．【答案】 【分析】 首先根据椭圆性质和已知条件确定线段长度，，然后利用向量关系和已知条件求出，进而在中利用余弦定理建立等式，最后化简等式并求解离心率. 【详解】 如图所示，设，由已知得，则有． 因为为线段的中点，所以，则由，可知，即，则． 在中，由余弦定理得，则，整理得． 故椭圆的离心率． 故答案为：. 88．【答案】（1）     （2）①； ② 证明：由① 知，， 所以 ， 故为定值． 【分析】 （1）根据离心率定义和三角形面积公式列方程组求解可得； （2）① 直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理求解即可；② 利用韦达定理代入化简即可得证. (1) 小问详解： 因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． (2) 小问详解： ① 将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ② 略 89．【答案】（1）；     （2） 设，由 ，得， ，又，， ， 于是 ， 即为定值.     （3）      【分析】 （1）将点代入求出，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解. （3）设出直线:，直线:，利用点到直线的距离公式可得、是关于的方程的两实根，根据题意为定值，可得，，设，，将直线:，直线:与椭圆联立，求出，即可求解.. (1) 小问详解： 由已知条件得，因为，则，又， 因此的面积为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为直线:与相切，则，即， 同理，由直线:与相切，可得， 于是、是关于的方程的两实根， 注意到，且，故， 因为定值，故不妨设（定值）， 于是有，即. 依题意可知，变化，而、均为定值，即有 ，解得，， 设，，由 得 ，同理 ， 所以 ，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以的范围为， 故的最大值为. 【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（     ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 2．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）“”是“曲线表示椭圆”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高二上·天津河西·期中）椭圆与椭圆的（       ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 5．（25-26学年高二上·天津西青·期中）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（       ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 26 8．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（     ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 9．（25-26学年高二上·河北·期中）若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·天津河西·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）椭圆与椭圆的（       ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 15．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（       ）cm A. 12 B. 24 C. 10 D.  16．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知椭圆，则其焦距为（     ） A. 8 B. 2 C. 4 D.  18．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）椭圆的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（       ） A.  B. 3 C. 4 D. 1 29．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（       ）． A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高二上·河北·期中）如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（     ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. P到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线C关于直线，均对称 D. 曲线C所围区域面积必小于36 33．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为 A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知集合直线l，其中m，n是正常数，，下列结论中正确的是（     ） A. 当时，S中直线的斜率为 B. S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 C. 当时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n D. S中所有直线均经过同一个定点 38．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知椭圆C：上存在关于直线：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　. 41．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离　　　　　　． 42．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为　　　　　　　　. 43．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为　　　　　　　　　　. 44．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的焦距为　　　　　　 45．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. （1）求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； （2）求的面积； 46．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为　　　　　　　． 47．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 48．（25-26学年高二上·天津西青·期中）如果椭圆上一点与焦点的距离等于2，那么点与另一个焦点的距离为　　　　　　　　　　. 49．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 52．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　. 53．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 54．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 55．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是　　　　　　　　． 56．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为　　　　　　. 57．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 58．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 59．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 60．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为　　　　　　． 61．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是　　　　　　. 62．（25-26学年高二上·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为　　　　　． 63．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知椭圆的长､短轴端点分别为A､B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，，设Q是椭圆上任意一点，､分别是左､右焦点，则椭圆的离心率　　　　　　　　　　　；的取值范围是　　　　　　　　　　　. 64．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知椭圆的长轴长为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点为椭圆的上顶点，若过点的直线交椭圆于点（异于点），且的面积为9，求直线的方程. 65．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为　　　　　. 66．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，． （1）求椭圆的离心率； （2）点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程． 67．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为　　　　　　　 68．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 69．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求的横坐标. 70．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求|MN|的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 71．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）椭圆的左顶点为A，右焦点为F，P为Γ上一点，则△APF的周长的取值范围为　　　　　 72．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是　　　　　　（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 73．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 74．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，已知过的直线l与椭圆交于M，N两点，且的周长为，短轴长为2 （1）求椭圆C的方程； （2）若在直线上存在一点P，使得为等边三角形，求直线l的方程. 75．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 76．（25-26学年高二上·天津河西·期中）如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点．    （1）求椭圆的方程； （2）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接．设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 77．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　　　． 78．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 79．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）求直线与椭圆相切时的值及切点坐标； （3）过定点的直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线方程及弦的长. 80．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知椭圆，为左焦点，，为左、右顶点，是椭圆上任意一点，椭圆长轴长为4，直线和满足，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　　　　，过作圆的两条切线、，切点分别为、则的最小值为　　　　　　　　　　　　. 81．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，若不过坐标原点且不平行于坐标轴． （1）求椭圆的方程； （2）记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 82．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 83．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）设椭圆的上顶点为A，右顶点为B.已知（O为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设点，直线与椭圆交于两个不同点M，N，直线AM与x轴交于点E，直线AN与x轴交于点F，若.求证：直线l经过定点. 84．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知直线与椭圆1（a＞b＞0）交于A，B两点，点A关于轴的对称点记为P，且的面积为3，则椭圆恒过定点 　　　　　　　　　 85．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆． （1）若点在椭圆上，求椭圆的标准方程； （2）已知点是椭圆的右顶点． （i）若，且椭圆上存在一点，满足，求的值； （ii）若中垂线的斜率为2，且与椭圆交于两点，为钝角，求的取值范围． 86．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点． ①若的面积为，求直线l的方程； ②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点． 87．（25-26学年高二上·河北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为　　　　　　． 88．（25-26学年高二上·河北·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 89．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. （1）若点M的坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的最大值， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆 1大高频考点概览 考点01 椭圆 考点01 椭圆 1．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，则的值等于（     ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 12 【答案】B 【分析】 根据条件，得，即可求解. 【详解】 由题知，又椭圆的焦点在轴上，所以，解得， 故选：B. 2．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】 由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 3．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）“”是“曲线表示椭圆”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 利用充分条件和必要条件的判断以及椭圆方程的特征求解即可. 【详解】 曲线表示椭圆等价于 ，解得且， 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B． 4．（25-26学年高二上·天津河西·期中）椭圆与椭圆的（       ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【分析】 根据椭圆的方程，求得长短半轴长及半焦距、离心率，即可判断. 【详解】 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 对于椭圆的长短半轴长及半焦距分别为， 所以它们的长轴不相等，短轴不相等，离心率不相等，焦距相等. 故选：D 5．（25-26学年高二上·天津西青·期中）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】 由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 6．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依据题干信息得出的值即可得椭圆方程. 【详解】 设椭圆方程为，则且，得，故椭圆方程为. 故选：A. 7．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的左，右焦点分别为为椭圆上一点，若，则（       ） A. 4 B. 6 C. 14 D. 26 【答案】C 【分析】 根据椭圆的定义求得正确答案. 【详解】 椭圆对应， 根据椭圆的定义可知. 故选：C 8．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）若椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（     ） A. 2 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用椭圆的定义求解． 【详解】 椭圆的长轴长，由点P到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义，得P到另一个焦点的距离为． 故选：C． 9．（25-26学年高二上·河北·期中）若椭圆的焦距是短轴长的2倍，则椭圆的离心率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用结合已知条件：焦距是短轴长的2倍，带入离心率计算公式可求解 【详解】 设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为，则 ， 所以，， 所以椭圆的离心率. 故选：B 10．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案. 【详解】 设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为， 设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为， 依题意， ，整理得，即， 而，解得， 此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为. 故选：C 11．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 运用椭圆定义和焦距性质可解. 【详解】 根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得. 则离心率为. 故选：C 12．（25-26学年高二上·天津河西·期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，的面积为，过点的直线交于点，且的周长为12.则的标准方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据“逼近法”先确定，再结合椭圆的定义计算即可. 【详解】 设椭圆的长半轴长与短半轴长分别为，结合题意可知椭圆方程为：， 由条件得， 又的周长为， 所以，即椭圆方程为：. 故选：A 13．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则 ， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：① 又② ， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 14．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）椭圆与椭圆的（       ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【分析】 由椭圆方程即可求得，进而即可求解. 【详解】 因为第一个椭圆的，则焦距为， 所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为， 第二个椭圆的， 则焦距为， 所以长轴长为，短轴长为，离心率为， 所以A，B，C错误，D正确， 故选：D. 15．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为12cm，则小椭圆的长轴长为（       ）cm A. 12 B. 24 C. 10 D.  【答案】B 【分析】 利用椭圆的扁平程度可知两椭圆离心率相同，即可求得小椭圆的长轴长为. 【详解】 由扁平程度相同可知其离心率相同，设大小椭圆的离心率为； 对于大椭圆可得， 设小椭圆的长轴长为，则，解得. 故选：B 16．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知椭圆的左､右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用点到直线的距离公式得出即可求出. 【详解】 以线段为直径的圆与直线相切， 则原点到直线的距离，得， 则离心率. 故选：A 17．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知椭圆，则其焦距为（     ） A. 8 B. 2 C. 4 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，结合，求得的值，进而得到椭圆的焦距. 【详解】 由椭圆，可得，则， 所以椭圆的焦距为. 故选：C. 18．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】 设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 19．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若，，则椭圆的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设，则由，，推出，，且为的中点，根据椭圆定义可知用表示，根据等边三角形的高，求出用表示，再由椭圆的离心率公式，即可得到答案． 【详解】 解：设， ，， ，， 由为等边三角形，得， 由对称性可知，垂直于轴，为的中点，， ，即， 由椭圆定义：，即， 椭圆的离心率． 故选：A． 20．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）椭圆的焦点坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 化椭圆的方程为，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】 由椭圆化为标准方程为， 可得，则，可得，且焦点在轴上， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：C. 21．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过设弦的端点坐标，利用椭圆方程作差结合中点坐标，运用点差法求出中点弦的斜率. 【详解】 设以为中点的弦的两个端点为， 则，代入椭圆方程中得 ，两式相减得，， 因式分解， 将代入(1) ， 因为弦的斜率， 所以整理(1) 可得， 故选： 22．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）过椭圆：的中心作直线l交椭圆于M，T两点，是椭圆的左焦点，则周长的最小值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆的几何性质可得，进而将三角形的周长转化为，再由椭圆的定义及椭圆的上点的范围可得最小值. 【详解】 由椭圆：，得，即，. 如图，作出符合题意的图形， 因为椭圆和直线l都是中心对称图形，所以，. 所以的周长为. 设，则，， 又因为，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立. 故选：B. 23．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】若△AF1B的周长为4, 由椭圆的定义可知,, ,, ， 所以方程为，故选A. 考点：椭圆方程及性质 24．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设点，利用二次函数的基本性质可求得点到圆心的最大距离，结合圆的几何性质可求得结果. 【详解】 圆的圆心为，半径为， 设点，则且， ，当且仅当时，等号成立， 所以，. 故选：C. 25．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【详解】 设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故选：B. 26．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点间距离公式即可得到结果. 【详解】 设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：D. 27．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知为椭圆的左､右焦点，点为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解. 【详解】 根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解. 如图，由椭圆的定义可知，且，又， 利用余弦定理可知： ， 化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即，所以， 即可得， 所以，离心率. 故选：C 28．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（       ） A.  B. 3 C. 4 D. 1 【答案】A 【分析】 利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】 由椭圆的标准方程，可得，所以， 又因为，即， 因为， 在，根据余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以， 故选：A 29．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设出，坐标，利用点在椭圆上，通过平方差公式，结合中点坐标，求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【详解】 解：设弦的两端点为，，，，为中点，，在椭圆上，， ， 两式相减得：， ，，可得：， 则，且过点，有，整理得． 故选：A． 【点睛】 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 30．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知椭圆的左､右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意可得，延长与交于点，根据几何关系求出，结合离心率公式即可进一步求解. 【详解】 根据题意可得，延长与交于点，由等腰三角形三线合一可知， 由椭圆的定义可得，所以， 所以，由是的中位线， 可得，所以，解得， 所以的离心率为. 故选：B. 31．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据条件得,再利用正弦定理得关系，即得离心率. 【详解】 因为为等腰三角形，，所以, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 32．（25-26学年高二上·河北·期中）如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（     ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. P到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线C关于直线，均对称 D. 曲线C所围区域面积必小于36 【答案】B 【分析】 求出椭圆的离心率判断A；利用椭圆的定义判断B；利用椭圆的对称性判断C；利用椭圆的顶点构成图形判断D. 【详解】 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率 ，，A正确； 对于B，为椭圆的左右焦点，为 椭圆的两个焦点，当点为两个椭圆交点时，点到四点距离的和为20； 当点时，点到四点距离的和为，因此距离之和不为定值，B错误； 对于C，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，C正确； 对于D，椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的 左、右顶点分别为，曲线在两组平行直线所围正方形及内部， 该正方形边长为6，因此曲线C所围区域面积必小于36，D正确. 故选：B 33．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，M为椭圆C上任意一点，P为曲线E：上任意一点，则的最小值（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用椭圆定义将问题转化为求的最小值问题，结合图形分析即可得解. 【详解】 由题意，得，， 将曲线的方程化为，则圆心为，半径， 由椭圆定义得，即， 所以， 当且仅当点在线段上时等号成立， 因为，所以的最小值为. 故选：A 34．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】 由题设，令，故，， 所以，故① ， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得② ， 联立① ② ，得，，故，即， 所以. 故选：D 35．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆， ，动圆满足与外切且与内切 设动圆半径为，则 表示椭圆，轨迹方程为： 故答案选A 【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键. 36．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，已知椭圆的上顶点为，离心率为，若过点A作圆的两条切线分别与椭圆C相交于点B，D（不同于点A）．则直线BD过定点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由条件列方程求，可得椭圆方程，再设两切线，的斜率分别为，（），由切线性质可得，再表示出直线的方程，确定其过定点. 【详解】 ∵椭圆的上顶点为，离心率为， ∴ 解得，∴椭圆C的方程为． 设切线方程为，则，即， 设两切线AB，AD的斜率分别为， 则是上述方程的两根，根据韦达定理可得：， ∵由 ，消掉y得， 设，∴， 同理可得， ∴， ∴直线BD方程为． 令，得 ∴故直线BD过定点． 故选：A 【点睛】 方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 37．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知集合直线l，其中m，n是正常数，，下列结论中正确的是（     ） A. 当时，S中直线的斜率为 B. S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 C. 当时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n D. S中所有直线均经过同一个定点 【答案】C 【分析】 对于A：代入根据直线方程求斜率即可判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：分析可知直线l与曲线相切，结合圆和椭圆的性质分析判断. 【详解】 对于选项A：当时，则， 所以S中直线的斜率，故A错误； 对于选项B：因为不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面，故B错误； 对于选项C：设， 可知点在直线l上，也在曲线上， 联立方程 ，消去y可得：，解得， 可知直线l与曲线相切， 若，可知曲线表示半径为n的圆， 所以S中的两条平行线间的距离均为2n； 若，可知曲线表示短半轴长为的椭圆， 所以S中的两条平行线间的距离的最小值为2n； 综上所述：S中的两条平行直线间的距离为，故C正确； 对于选项D：若，则直线为，若，则直线为， 两直线平行，没有公共点，所以S中所有直线不可能经过同一个定点，故D错误； 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：对于C：联立方程证明直线l与曲线相切，将距离问题转化为切线问题，进而分析判断. 38．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知椭圆C：上存在关于直线：对称的点，则实数m的取值范围为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设对称两点，则，由与椭圆相交得范围， 由中点在直线上又在直线上得之间的关系，利用的范围求范围. 【详解】 设椭圆上关于直线对称的两点为，中点为， 则得，且， 设，则由 ，得， 则，解得， 且，所以，所以， 又，所以，得， 又，所以， 故选：C. 39．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由N在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质结合，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【详解】 因为点在椭圆的外部，所以，可得 ， 由椭圆的离心率， 又因为，且，， 要恒成立，即， 则椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 40．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由椭圆的标准方程的特征列方程组求解可得. 【详解】 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以 ，解得，即实数k的取值范围为. 故答案为： 41．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离　　　　　　． 【答案】14 【分析】 借助椭圆定义即可得. 【详解】 由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 42．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，则的周长为　　　　　　　　. 【答案】24 【分析】 由椭圆的定义与性质可知椭圆的焦点三角形的周长为，即可得到答案. 【详解】 由可知，， ∴. 故答案为：24. 43．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点的坐标，最后计算面积即可. 【详解】 根据题意有： ，所以椭圆的方程为：， 设，则，，， 所以， 所以. 故答案为：. 44．（25-26学年高二上·天津河东·期中）椭圆的焦距为　　　　　　 【答案】 【分析】 通过椭圆方程可求出值，从而求出结果. 【详解】 已知椭圆方程，则，所以， 即，故焦距为：. 故答案为： 45．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点在椭圆上，且. （1）求椭圆的长轴长､短轴长､焦点坐标､顶点坐标､离心率； （2）求的面积； 【答案】（1） 椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，； 顶点为，，，；离心率.     （2）      【分析】 （1）由椭圆方程求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. (1) 小问详解： 由椭圆方程得，，，， 所以椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点为，；顶点为，，，；离心率. (2) 小问详解： 由椭圆的定义知：，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 46．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据长轴定义得到，再利用离心率公式即可得到答案. 【详解】 由题可设椭圆方程为， 则由题意得 ，解得 ， 则. 则其标准方程为. 故答案为：. 47．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）方程表示椭圆，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】. 【分析】 根据题意，结合椭圆方程的标准形式，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由方程表示椭圆， 则满足 ； 解得或，所以实数的取值范围. 故答案为：. 48．（25-26学年高二上·天津西青·期中）如果椭圆上一点与焦点的距离等于2，那么点与另一个焦点的距离为　　　　　　　　　　. 【答案】8 【分析】 根据椭圆方程可知，再结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】 设椭圆的长轴长为， 由题意可知：，且， 因为，可得， 所以点与另一个焦点的距离为8. 故答案为：8. 49．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知中心在坐标原点的椭圆，其两个顶点分别为直线与轴和轴的交点，则该椭圆的离心率为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题设求出椭圆的两个顶点得到，再结合和离心率定义即可求解. 【详解】 对直线，令，， 所以直线经过椭圆的两个顶点， 故，所以该椭圆的离心率为． 故答案为： 50．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 取椭圆的右焦点，由直线过原点及椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，然后根据椭圆的性质结合条件及余弦定理可得离心率的值. 【详解】 取椭圆的右焦点，连接，， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 则，， 又，而， 所以，所以， 在中，， 整理，得，即，又， 所以. 故答案为：. 51．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. （1）求C的标准方程； （2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. (1) 小问详解： 由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. (2) 小问详解： 由题意设，，如图所示： 联立 ， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 52．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知椭圆，为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点，为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 易知椭圆焦点在轴上，设椭圆方程，再将代入椭圆方程，可得与的坐标，再由等腰直角三角形可知，化简可得解. 【详解】 由已知可得椭圆焦点在轴上，不妨设椭圆方程为，， 设为椭圆的右焦点，且点在轴上方，则，， 又轴，所以，代入椭圆方程可知， 化简可得，结合椭圆的对称性可知，且为中点， 即，又为等腰直角三角形，则， 即，等式左右同时除以， 可得，解得，或（舍）， 故答案为：. 53．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知椭圆的焦距为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 【答案】（1）     （2）直线的方程为，      【分析】 （1）由题意可得，，可求得，进而可求得椭圆方程； （2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，，进而求得弦长与点到直线的距离，结合题意可得，求解即可. (1) 小问详解： 因为点在椭圆上，所以， 又椭圆的焦距为，所以，即. 又因为，所以，解得或（舍去）； 所以椭圆的方程. (2) 小问详解： 当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立 ，消去得， 展开并整理得， 则，所以或， 所以，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以直线方程为， 所以弦长. 54．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. (1) 小问详解： 由题意：，所以．        又因为，，所以，，      即椭圆的方程为． (2) 小问详解： 当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组 得， ∴              ，      ∴，      ∴                                    ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或． 55．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 由已知，点P(－c，y)在椭圆上，且在第二象限，代入椭圆方程，得.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，则＝，即该椭圆的离心率是. 答案： 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 56．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则|PQ|－|PM|的最大值为　　　　　　. 【答案】6 【分析】 易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】 如图所示： 由，得， 则，所以椭圆的左，右焦点坐标分别为，， 则圆的圆心为椭圆的左焦点， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故答案为：6. 57．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立 消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 58．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知直线经过椭圆的右焦点为F，且被椭圆C截得的线段长为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆C的下顶点为A，P 是椭圆C上一动点，直线AP 与圆O：相交于点 M(异于点A)，M关于O的对称点记为N，直线AN与椭圆C相交于点Q (异于点A).设直线 MN，PQ 的斜率分别为，试探究当时，是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）     （2）是定值，理由如下： 依题意，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为， 由 消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 由 消去并整理得，解得或0（舍去）， 将代入得， 则点， 显然是圆的直径，则，直线的方程为， 用代替，得， 直线的斜率， 直线的斜率， 因为，所以，故， 所以，为定值.      【分析】 （1）运用椭圆的几何性质，解方程可得，，，进而得到所求椭圆方程； （2）设直线的方程，分别联立椭圆方程和园的方程求出的坐标，同理可得的坐标，运用两点的斜率公式，分别计算直线的斜率，直线的斜率，即可得证. (1) 小问详解： 依题意，椭圆的半焦距，将代入椭圆方程得， 得，则， 而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. (2) 小问详解： 略 59．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，且左焦点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点在椭圆的长轴上，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点，若，求面积的最大值. 【答案】（1）     （2）1      【分析】 （1）由短轴长求出，由点到直线的距离得到，再结合，求出、，即可得解； （2）方法一：设直线的方程为：，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，由则，从而得到，即可得到，再由基本不等式计算可得；方法二：设直线的方程为：，，，联立直线与椭圆方程，依题意可得，列出韦达定理得到，再表示出及点到的距离，最后由基本不等式计算可得. (1) 小问详解： 由椭圆短轴长为，得， 又椭圆左焦点到直线的距离为， 即，解得， 又，解得，， 椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： 方法一：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，，， 联立 ，消去整理得， 显然，，， ，，则，， 代入可得，所以， 的面积， ，当且仅当时取等号， 面积的最大值为. 方法二：依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：，，， ，， 联立 ，消去整理得， 所以，. ，， ，， 则， 可得， 又 ， 设原点到直线的距离为，则， 的面积， 当且仅当时取等号， 面积的最大值为1. 60．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为　　　　　　． 【答案】.6 【分析】 由正弦定理得到，再根据三角形面积公式和余弦定理得到，从而根据得到方程，求出离心率. 【详解】 由题意得， 由正弦定理得，故， 由椭圆定义可知，， 故， 又， 由余弦定理得 ， 即，解得， 故， 解得， 因为，所以，解得. 故答案为： 61．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知右焦点为的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点，且，则的离心率是　　　　　　. 【答案】 【分析】 设出左焦点以及，利用椭圆定义表示出相关线段的长度，然后分别在直角中运用勾股定理，最后得到的关系式可求结果. 【详解】 设椭圆的左焦点为，连接，     因为点平分，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形， 设，则， 在直角中，，所以， 整理可得，所以， 在直角中，，所以， 所以，所以. 故答案为：. 62．（25-26学年高二上·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 设动点的坐标，根据题目条件列出等式即可求出点坐标，再根据等量关系即可求解轨迹方程. 【详解】 设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 63．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知椭圆的长､短轴端点分别为A､B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，，设Q是椭圆上任意一点，､分别是左､右焦点，则椭圆的离心率　　　　　　　　　　　；的取值范围是　　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 由得出的齐次等式，从而可求得离心率，的最小值是0，是短轴端点时，最大，求出此角后得范围． 【详解】 由题意，， 因此当时，，，当时，，也有， 所以，，，． 当是短轴端点时，由于，因此是等腰直角三角形，，当是长轴端点时，， 所以的取值范围是． 故答案为：；． 64．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知椭圆的长轴长为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点为椭圆的上顶点，若过点的直线交椭圆于点（异于点），且的面积为9，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据题意可知，代入点可得，即可得椭圆方程； （2）求和直线的方程，设，根据面积关系求点B的坐标，即可得直线方程. (1) 小问详解： 因为椭圆的长轴长为，则， 即，则椭圆方程为， 代入点可得，解得， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 因为，，则，        直线：，即， 设，， 则点到直线的距离， 因为，即， 可得或（舍去）， 又因为，则， 可得或，解得或， 若，即，则直线：； 若，即，则直线为，即； 综上所述：直线的方程为或. 65．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】 由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 66．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知椭圆：，的左、右焦点分别为，过作轴垂线交椭圆于点、两点，． （1）求椭圆的离心率； （2）点为该椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点，线段的延长线交椭圆于点，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为．若，求椭圆的方程． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设椭圆的焦距为，由条件可得，，结合椭圆的定义可得，根据离心率定义求结论； （2）结合（1）求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求直线的方程，与椭圆方程联立求点的坐标，再求，的坐标，由条件列方程求，由此可得结论. (1) 小问详解： 设椭圆的焦距为，故， 因为，， 所以，， 所以，， 又由椭圆的定义可得， 所以，即， 所以椭圆的离心率， (2) 小问详解： 由（1），又， 所以，故点的坐标为 又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立 ，可得， 所以， 所以或， 所以点的坐标为，又点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立 ，可得， 所以， 所以， 所以或， 所以点的坐标为， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，由已知， 所以， 所以，， 所以椭圆的方程为. 67．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点，若，直线与直线的交点在轴上，则椭圆的离心率为　　　　　　　 【答案】 【分析】 设直线与直线的交点为，利用相似三角形可得，，由此解出的关系代入离心率公式即可. 【详解】 如图，设直线与直线的交点为， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以，即， 所以， 故答案为： 68．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． (1) 小问详解： 由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； (2) 小问详解： 设直线l：，设，， 则 ，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 69．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求的横坐标. 【答案】（1）；.     （2）      【分析】 （1）利用椭圆过点和焦距求出，即求得椭圆方程与离心率； （2）通过设直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出韦达定理表示坐标，利用平行条件建立方程求出坐标. (1) 小问详解： 由题意可知，，由焦距，则， 所以， 所以椭圆方程为，离心率 (2) 小问详解： 若斜率不存在，则，则； 设直线方程，， 则 ，消元可得； 则， 设，由点是直线上一点，， 则存在，使得，则， 由,则， 故，代入可得， , 故点的横坐标为. 70．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知椭圆过点，过点的直线与交于两点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）若直线的斜率为，求|MN|的值； （3）已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）代入坐标即可列方程组求解， （2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式即可求解， （3）根据等腰梯形的性质，求解直线的方程为，进而得，联立方程得韦达定理，得，代入化简可得，进而可求解坐标，即可求解斜率. (1) 小问详解： 将点代入椭圆方程， 得 ，化简为 ， 设，则 ， 解方程组得，即， 所以椭圆的方程为. (2) 小问详解： 直线过且斜率为，方程为， 联立 ，消去得， 整理得， 设，则， 由弦长公式（为直线斜率）， ，代入得. (3) 小问详解： 由四边形为等腰梯形，且均在轴上，轴， 故,故, 取的中点为，连接,则, 则直线的方程为， 令 设直线，避免斜率不存在情况)，联立 ， 消去得， 则，则 ， ， 所以, 则,因此，又 所以直线 所以直线的方程为 71．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）椭圆的左顶点为A，右焦点为F，P为Γ上一点，则△APF的周长的取值范围为　　　　　 【答案】 【分析】 根据椭圆的定义求解. 【详解】 因为椭圆方程为，所以 设椭圆的左焦点为，则，， 所以的周长， 因为，所以， 所以，即的周长的取值范围为， 故答案为：. 72．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B两点，右焦点为F，直线与椭圆C相交于P，Q两点，则下列说法正确的是　　　　　　（填写序号） ①椭圆C的焦距为2； ②为定值； ③当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为； ④直线和的斜率的乘积为. 【答案】① ② ④ 【分析】 利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断① ，利用椭圆的对称性合理转化长度判断② ，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断③ ，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解④ 即可. 【详解】 对于① ，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故① 正确； 对于② ，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故② 正确； 对于③ ，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故③ 错误； 对于④ ，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故④ 正确． 故选：① ② ④ ． 73．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知椭圆（）的右顶点为A，已知点，，且的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），且平分，求椭圆的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题设列方程可得，进而求解即可； （2）由（1）可得，，，椭圆的方程为，设直线的方程为，可得，联立直线与椭圆方程，结合题意可求得，进而得到直线的方程，根据平分可得点到直线的距离也为，结合点到直线的距离公式可求得，进而求解即可. (1) 小问详解： 由题意，，，，的面积为， 则， 即，所以椭圆的离心率为. (2) 小问详解： 由（1）知，则， 而，即，则，则， 则椭圆的方程为，即. 易知直线的斜率存在，设直线的方程为，则，即， 联立 ，得， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以，，即，， 所以直线的方程为，即， 因为平分，又点到直线的距离为， 则点到直线的距离也为，所以，所以， 所以椭圆方程为.     74．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，已知过的直线l与椭圆交于M，N两点，且的周长为，短轴长为2 （1）求椭圆C的方程； （2）若在直线上存在一点P，使得为等边三角形，求直线l的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据椭圆定义和几何性质求出即可得方程； （2）分斜率为0、不存在、存在且不为0讨论，记中点为，根据，结合弦长公式求解可得. (1) 小问详解： 依题意，且，解得， 所以椭圆方程为. (2) 小问详解： 若为等边三角形，则点为的垂直平分线与直线的交点. ① 当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得， 解得，此时， 此时，，不满足题意； ② 当直线斜率为0时，显然不满足题意； ③ 当直线斜率存在且不为0时，设直线为，， 设直线与椭圆交于不同的两点，，中点为， 由方程组 ，整理得， 则，，， ， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 因为三角形为等边三角形，所以，整理得， 即，直线方程为 75．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2） ，理由如下： 设直线， 联立 ，得，（*） ， 整理为，解得：或， 由题意结合图形可知，，所以， 当时，代回（*）得，即，， 所以点的坐标为，，所以 设直线，联立，，， ，得，（*） ， 整理为，解得：， ，， ，， ， ， 即，解得：（舍去）， 即，则直线的斜率为， 而，所以. 【分析】 （1）根据条件，列出关于得到方程，即可求解； （2）首先设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，再根据，求出直线，即可判断直线与直线的位置关系. (1) 小问详解： 由条件可知， ，解得：，，， 所以椭圆的方程为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是利用弦长公式表示两点间的距离， 76．（25-26学年高二上·天津河西·期中）如图，，，是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为，且椭圆过点．    （1）求椭圆的方程； （2）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线与相交于点，连接．设直线的斜率为，直线的斜率为，问是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据题目条件，代入点坐标，结合原点到直线的距离为即可求出椭圆的标准方程. （2）首先确定直线的方程，设直线的方程为，联立椭圆方程，再利用韦达定理求坐标，进而写出直线，最后求出，应用斜率的两点式得到关系式，即可得. (1) 小问详解： 已知椭圆过点，代入方程得， 又是椭圆上顶点，点为椭圆的右焦点，原点到直线的距离为可得： ，，代入可得，， 故椭圆的方程为. (2) 小问详解： 由（1）知，故直线的方程为， 直线的斜率为，点，则直线的方程为， 联立 ，得， 又点在椭圆上，故有， 则，， 故直线的方程为，即， 又点为直线与轴交点，令得，， 将直线与直线联立，得 ，解得 ，则， 故直线的斜率为，则，此时． 77．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】. 【分析】由题意利用几何关系得到关于离心率的不等式，求解不等式即可确定椭圆的离心率的取值范围. 【详解】∵圆M与轴相切于焦点F， ∴不妨设M(c,y),则(因为相切,则圆心与F的连线必垂直于x轴)M在椭圆上, 则或(a2=b2+c2)， ∴圆的半径为， 过M作MN⊥y轴与N,则PN=NQ,MN=c， PN,NQ均为半径,则△PQM为等腰三角形， ∴PN=NQ=， ∵∠PMQ为钝角,则∠PMN=∠QMN>45°， 即PN=NQ>MN=c 所以得,即， 得， a2−2c2+c2e2>2c2， ， e4−4e2+1>0 (e2−2)2−3>0 e2−2<−(0<e<1) e2<−+2 ∴0<e<. 【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ① 求出a，c，代入公式； ② 只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 78．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 【答案】（1）；     （2）① 当直线的斜率存在且不等于零时，设斜率为，因，所以直线的斜率为. 因为右焦点，直线的方程为，设. 由 ，消去得，. ，，. 所以线段的中点M的坐标，，即. 同理将直线的方程，代入椭圆方程，同理可得（只需将换成）， 所以线段的中点N的坐标，，即. 所以的斜率，其中，直线的方程为 ，化简，即 所以当，直线：过定点.如图：    当时，，此时直线与轴垂直且过定点； 当时，，此时直线仍与轴垂直且过定点； 当直线的斜率不存在时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 当直线的斜率为0时，与轴垂直且过焦点，根据椭圆的对称性可知， 此时为椭圆的长轴，所以，所以直线为轴，过定点； 综上可知，直线过定点. ②.      【分析】 （1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）① 根据直线的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定点. ② 由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值. (1) 小问详解： 因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 略 ② 当直线的斜率存在且不等于零时， 由① 可知， 同理可得（只需将换成），因为， 所以 ， 当且仅当时等号成立，即时，四边形面积有最小值. 当直线的斜率不存在时，或者斜率等于零时与位置互换， 此时，，或者， 所以，显然. 综上可知，所以四边形面积有最小值. 79．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）求直线与椭圆相切时的值及切点坐标； （3）过定点的直线与椭圆交于两点，若的面积为，求直线方程及弦的长. 【答案】（1）     （2），切点坐标为；，切点坐标为；     （3），.      【分析】 （1）由离心率及长轴长列出等式即可求解； （2）直线方程与椭圆方程联立，由，即可求解； （3）设直线方程为，结合弦长公式及点到线的距离公式即可求解. (1) 小问详解： 由，得， 所以， 所以椭圆方程为； (2) 小问详解： 联立直线和椭圆方程： ，消去得：， 由题意， 解得， 当时，由， 解得，此时，即切点坐标为， 当时，由， 解得，此时，即切点坐标为， (3) 小问详解： 由题意直线斜率存在， 设直线方程为， 联立椭圆方程消去得：， 设， 则， 所以， 由到直线的距离， 所以， 解得：，即， 则 所以直线方程为. 80．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知椭圆，为左焦点，，为左、右顶点，是椭圆上任意一点，椭圆长轴长为4，直线和满足，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　　　　，过作圆的两条切线、，切点分别为、则的最小值为　　　　　　　　　　　　. 【答案】① ；    ② . 【分析】 设，先求出椭圆的性质，结合的最大值为，求出，，的值，可得椭圆的标准方程，设，由对称性可知：，由图形可得，又，所以，利用椭圆方程结合两点间距离公式，可得当时，的最大值为48，从而可得的最小值． 【详解】 解：设，则，即， 由题意， ，， 所以，所以，即， 由椭圆的对称性可知的最大值为，所以， 解方程组 ，得 ， 所以椭圆的标准方程为. 如图所示： 不妨设，由对称性可知：， 则， 在中，， 所以， 因为， 所以， 因为，所以当时，的最大值为48， 故的最小值为， 故答案为：；. 81．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知椭圆的左右焦点分别为、，离心率，直线交椭圆于、两点，若不过坐标原点且不平行于坐标轴． （1）求椭圆的方程； （2）记线段的中点为，求证：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （3）若，求面积的取值范围． 【答案】（1）     （2） 如图所示： 设直线：， 联立 ，消去得， 所以， 由韦达定理有， 从而， 所以线段的中点的坐标为，即， 从而直线的斜率与的斜率的乘积为， 所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.     （3）      【分析】 （1）由焦点坐标、离心率首先确定的值，即可以先得到的值，利用平方关系即可求出的值，从而得解. （2）画出图形，若要证明直线的斜率与的斜率的乘积为定值，只需证明为定值，设直线方程为，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式即可得证. （3）由题意先根据得到，进一步利用弦长公式、点到直线的距离公式得到面积的表达式，从而利用函数的观点即可得解. (1) 小问详解： 因为椭圆的左右焦点分别为、， 所以， 又因为， 所以， 从而椭圆的方程为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知， 其中， 又直线：上有点， 所以 ， 若，则有，即， 所以，此时， 如图所示： 原点到的距离为， 而 ， 所以面积的表达式为 ， 不妨设， 因为， 所以， 所以， 由对勾函数单调性以及复合函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以面积的取值范围. 82．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 【答案】（1）     （2）① ② 由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点.      【分析】 （1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）① 先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ② 设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. (1) 小问详解： 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程 ，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ② 略 83．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）设椭圆的上顶点为A，右顶点为B.已知（O为原点）. （1）求椭圆的离心率； （2）设点，直线与椭圆交于两个不同点M，N，直线AM与x轴交于点E，直线AN与x轴交于点F，若.求证：直线l经过定点. 【答案】（1）； （2）由点知，又 所以 所以椭圆的方程为， 设，， 则直线AM的方程为， 令，得点E的横坐标， 所以点， 同理，点， 由 得， 则，， 所以 . 所以. 解得，此时， 所以直线l经过定点. 【分析】 （1）由知，根据，即可求出离心率（2）由结合（1）可求出椭圆方程，设，，得出点坐标，联立与椭圆方程，根据韦达定理可得，，利用化简可求m，可求出直线所过定点. 【详解】 （1）设椭圆的半焦距为c，由已知有， 又由， 消去b得， 解得. 所以，椭圆的离心率为； （2）略 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量的坐标运算，属于难题. 84．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知直线与椭圆1（a＞b＞0）交于A，B两点，点A关于轴的对称点记为P，且的面积为3，则椭圆恒过定点 　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由面积得，结合椭圆方程可判断. 【详解】 由 ，得， 设，则，且， ， 所以，即，又，所以椭圆恒过点，满足， 解得， 所以椭圆恒过点， 故答案为： 85．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知椭圆． （1）若点在椭圆上，求椭圆的标准方程； （2）已知点是椭圆的右顶点． （i）若，且椭圆上存在一点，满足，求的值； （ii）若中垂线的斜率为2，且与椭圆交于两点，为钝角，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）将点代入椭圆方程计算即可得； （2）（i）设出点，则可利用坐标表示出两向量，从而用表示点坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得；（ii）借助中垂线性质可计算出与的关系，也可表示出中垂线，再将直线与椭圆方程联立，得到与横坐标有关的韦达定理，再表示出斜率、，由为钝角可得两向量数量积为负数，代入计算即可得解. (1) 小问详解： 由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； (2) 小问详解： （i）由，则椭圆的标准方程为， 则，设，则，， 由，则 ，解得 ， 则有，解得，又，故； （ii）由，则，又，中垂线的斜率为， 则，解得，故，则的中点坐标为， 故的方程为：， 联立 ，消去可得， ， 设、，则，， 故、， 则由为钝角，则， 即有 ， 故，又，故. 86．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点． ①若的面积为，求直线l的方程； ②过点作与直线相交于点E，连接，与线段相交于点M，求证：点M为线段的中点． 【答案】（1）；     （2）①或或； ② 证明：显然直线l不垂直于y轴，因直线过点，且，由① 得直线的方程为， 由 得点，直线的方程为：， 由 解得： ，因此点， 由① 知，，即线段中点坐标为， 所以点M为线段的中点.      【分析】 （1）利用给定的点B及离心率，求出a，b作答. （2）由（1）求出坐标，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，① 求出点P，Q纵坐标差的绝对值结合三角形面积求出l方程；② 求出直线方程并求得M的坐标即可作答. (1) 小问详解： 因椭圆的上顶点B，则，令椭圆半焦距为c， 由离心率为得，，即，解得， 所以椭圆的标准方程为. (2) 小问详解： ① 由（1）知，，，显然直线l不垂直于y轴，设直线， 由 消去x并整理得：，设， 则，， 因此，解得或， 直线l的方程为或或. ② 略 【点睛】 结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积； 过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积. 87．（25-26学年高二上·河北·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，为坐标原点，且线段的垂直平分线过焦点，若，则的离心率为　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先根据椭圆性质和已知条件确定线段长度，，然后利用向量关系和已知条件求出，进而在中利用余弦定理建立等式，最后化简等式并求解离心率. 【详解】 如图所示，设，由已知得，则有． 因为为线段的中点，所以，则由，可知，即，则． 在中，由余弦定理得，则，整理得． 故椭圆的离心率． 故答案为：. 88．（25-26学年高二上·河北·期中）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知动直线与椭圆C相交于A、B两点 ①线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值； ②若点，求证：为定值． 【答案】（1）     （2）①； ② 证明：由① 知，， 所以 ， 故为定值． 【分析】 （1）根据离心率定义和三角形面积公式列方程组求解可得； （2）① 直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理求解即可；② 利用韦达定理代入化简即可得证. (1) 小问详解： 因为满足，， 由已知得． 联立以上三式，解得，， 所以椭圆方程为． (2) 小问详解： ① 将代入中， 消元并整理得， ， 设点，，， 因为中点的横坐标为，所以，解得． ② 略 89．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. （1）若点M的坐标为，求的面积； （2）若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； （3）如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的最大值， 【答案】（1）；     （2） 设，由 ，得， ，又，， ， 于是 ， 即为定值.     （3）      【分析】 （1）将点代入求出，再求出左、右焦点即可求解. （2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解. （3）设出直线:，直线:，利用点到直线的距离公式可得、是关于的方程的两实根，根据题意为定值，可得，，设，，将直线:，直线:与椭圆联立，求出，即可求解.. (1) 小问详解： 由已知条件得，因为，则，又， 因此的面积为. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为直线:与相切，则，即， 同理，由直线:与相切，可得， 于是、是关于的方程的两实根， 注意到，且，故， 因为定值，故不妨设（定值）， 于是有，即. 依题意可知，变化，而、均为定值，即有 ，解得，， 设，，由 得 ，同理 ， 所以 ，当且仅当时取等号， 因此，解得， 所以的范围为， 故的最大值为. 【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $