专题06 双曲线与抛物线（期中真题汇编，天津专用）高二数学上学期

专题06 双曲线与抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）双曲线的离心率为，则其渐近线方程（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 7．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）“”是方程“”表示双曲线的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 11．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为.A是上位于第一象限上一点，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则错误的是（       ） A.  B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 原点在以为圆心，为半径的圆上 14．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则　　　　　　　　　　　. 16．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率　　　　　　. 19．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知点F1、F2为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值； （3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|． 20．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为　　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点O，A，则　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为　　　　　　　　. 23．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为　　　　　. 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知抛物线上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则　　　　　　　　. 4．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06双曲线与抛物线 考点01双曲线 考点02抛物线 D考点01双曲线 1.C 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.B 11.C 12.A 13.D 14.C 15.【答案】20 【分析】 先由双曲线方程求出Q,然后根据双曲线的定义求解即可. 【详解】 由-61，得a=64,b=16,得a=8,b=4, 因为PF-PF=2a=16PF1=4 所以4-PF2=16或4-PF2=-16 解得PF,-12（舍去)，或PF,=20 故答案为：20 1/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.【答案】-1,4 【分析】 k-4<0 由焦点在y轴上， 得到k+1>0 求解即可」 【详解】 k-4<0 由题意得k+1>0· 解得-1<k<4 故答案为：-1,4 17.【答案】 -=1 23 【分析】 可利用△PF,E,三边斜率问恩与正弦定理，转化出三边比例，设PF,=m:由面积公式求出m'由勾股 定理得出c,结合双曲线的定义再求出a即可得解 【详解】 如下图：由题可知，点p必落在第四象限，∠F,PF2=90, 设|PF,=m'∠PF,E,=0,∠PE,E2=0,则kp,=tan0,=3: 由 器9.￥如8=品 tan=- 3 sin201+cos201=1 因为zPF=90,所以k,1,求得kp,=子即an8, 31 2/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 tan0, sin02 1 由 cos6,3,解得sin0,=后 1 sin 02+cos 02=1 由正弦定理可得：PFPF:F,F=sin0,:sin0,:sin90=3:1:□ 则由PF2=m得PF=3m,F,F=2c=D: SPF5,PF,HPF,F23mm=3,得m=口， 则PE,=PF30 所以PF-PF=2a=20'a==g□， 所以双曲线的方程为之3 故答案为： X-=1 23 18. 【答案】▣ 【分析】 根据题意作出图形，延长QO交PF1于点M,由题可得△PMQ为等腰直角三角形，结合双曲线的定义可 得a=2b,根据离心率公式求解即可. 【详解】 不妨设p在右支上，则PF,>PF 因为oPl=c故oF,=oF=OP,故PF11PF, 取PF1的中点为M,则OM/PF2,而OQ/IPF2,Q在直线MO上， 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 而PFPF'故Q在Mo的延长线上， 由PF1⊥PF2,OMI/PF2可得OM⊥MP,而PQ为角平分线， 所以∠MPQ=45,故MPl=MQ=PF+2b, 故PF=PF+4b'故|PF-PF2=4b 所以2a=4b,即a=2b, 所以e=没a 故答案为：四 19.【答案】)-号=1， 2 品 (3)证明： 证明：由题意，即证：OA⊥OB. 设A(x1,y1),B(2,y2),切线1的方程为：xox+yoy=2 ①当y0时，切线1的方程代入双曲线C中，化简得：2-x)x2+4xx-2y+4=0 所以：X1+X2=一 4x0 2y6+4 (2y-x 又y1y2 yo 2-42这 x.l 8-2x后 2yo-xo 所以0A·0B=X1X2+y1y2= 2y+48-284-2x+0-0 2y-x2y6-x后2y6-x ②当y0O时，易知上述结论也成立. 所以0A0B=X1x2+y1y2=0 综上，OA⊥OB,所以AB1=2OM 4/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 (1)解：设，M的坐标分别为，0，（□再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C的方程为 之-1：(2)设双曲线C上的点P(:%),设两渐近线的夹角为0，再求出PP、PP,和cos0 的值，即得PP,~PP,的值：《3)由题意，即证：OA1OB,分o0和yo0两种情况证明 0AOB=x为+yy,=0原题即得证 【详解】 (1)解：设F,M的坐标分别为，o,口 因为点M在双曲线C上，所以1+6-=即y,=士b2,所以MF=b b2 在RA中，∠MFE,=30,MF,=b2,所以MF,=2b2 由双曲线的定义可知：MF1-MF2=b=2 故双曲线C的方程为：X-Y=1, 2 (2)解：由条件可知：两条渐近线分别为1，：y=0:6:阿口 设双曲线C上的点P(x,y),设两渐近线的夹角为6，则 则点P到两条渐近线的距离分别为， PP 因为P6)在双曲线CX-兰-1山，所以2-疗-2，又os0-号 ppma6a》=bg号 339 (3)略 【点睛】 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面 向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 20.【答案】V▣ 【分析】 设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF.利用对称性可得AFBF是矩形，∠FAF= 利用焦点三 角形面积公式求出S 由矩形性质得SAAFF-S△ABF AFE 据此可得a、b关系，由e=口即可求得答案. 【详解】 如图，设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF, ,以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(C,0), 根据对称性可知该圆也过左焦点为F, ·∠AFB=∠AFB= 2 “AB和FF互相平分， .四边形AFBF是平行四边形，且为矩形， FAF-7 5oArr-5mw-20, b2 又根据双曲线焦点三角形面积公式，得S△AFr =b2, tan≤FAF 2a2=b2,即b =2' a e=四口 6/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：▣」 21.【答案】2/▣ 【分析】 根据双曲线方程求出右焦点坐标及渐近线方程，再求出焦点到渐近线距离，最后根据垂径定理及勾股定理 求解 【详解】 珠 根据双曲线方程得右焦点F2,0,渐近线为x±'=口 因此焦点到两渐近线的距离均为d=行 由于圆F过原点，故其半径为2 因此10A=220石 故答案为：2▣ 22.【答案】V回 【分析】由双曲线渐近线方程得b=3a,从而可求C,最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率， 即可求解。 【详解】由题意，双曲线x2y 0b≥=1a口≥b>0)的一条渐近线方程为3x+y=0”一 所以b=3a所以c=阳石： 所以e=S=口】 d 故答案为V▣. 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本 概念和简单几何性质等知识，属于基础题， 7/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.【答案12+四 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义可得PF1=m+a,PF2=a-m,进而根据余弦定理，结合离心率公式可得 马+3=4：根据内心的性质，结合椭圆的定义和双曲线定义可得A小=e,?川=e,:进而根据基本不等式 乘“1法即可求解 【详解】 设椭圆的半焦距为c,离心率为e1,双曲线的离心率为e2, 依题意，椭圆与双曲线的焦距均为F1F2=2c, 椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m, 不妨设点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得：|PF1-PF,=2m, 由椭圆的定义得：PF1|+|PF2=2a, 联立解得PE,=m+a,PF,=a-m又∠E,PF,=60, 由余弦定理得：IPF,P+1PF,-PF,PF,E,F,=4c2 m+aP+la-mP2-(m+a)-a-ml=4c 整理得：a+3m2=4c2, 即Q+3m=4于是+3=4： ei ez P/E G D 为△F,PF,的内心，则IF为∠PE,E,的角平分线， 8/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 SAPFL= n吃∠PE, I S△AEI AF2∠PEE,IA 得PFPI,同理：IPFL=PIL, AFIAI |AF2IIAI川 则lPF_IPF_PL,即lPI=PF+PF=2a=⊥， AF AF2AI AI AF+AF2 2c e 因出A=ePI而AI=Ip即AI=aIP则-e 1为△F,PF,的内心，F1,I,G三点共线，即F,G为∠PF,B的角平分线， 延长射线FP,连接F2G,由G点向FP,FB,F2P作垂线，垂足分别为E,D,H, 由∠F,PF,=60,GP-IP=0得∠F,PB=∠BPE=60, 即BP为∠EPF2的角平分线， 则GH=GE=GD:即F,G为∠PF,B的角平分线，则有GB_BF_BF, PG PF2 PF r小于足d_arar-e:副RG-e,CPr PG PF-PF2 2m 而BG=μGp即BG1=luGp则=e, 当且仅当e=0:即a2=口时取等号， 所以52+2的最小值为2+四 故答案为：2+9 9/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的 范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 24.【答案】叵 【分析】 根据角平分找定现·PI-21双曲线的定义可得 侣0小再由切线长定、双由线的定义得。点为 双黄线的右项点，过点P作PH上x能于点H,根搭相假比可得X。=20,月利用面积得出y小空。将 点P坐标代入双曲线方程中即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为c,I是△PF1F2的内心，连接F2I,则F2I平分∠F1F2P, P 2 因PI=2IM,则Mi 由角平分线定理得]PI-PF=2,同理可得PF-2 M I M F2 MF .'PF=2 FM'PF2=2 F2M ∴|PF-PF2F,M-2E,M=2a得E,M-E,M=a 又rM+FM=2c所以r,M=c+号lF:M=c-号M号0 设△PF1F的内切圆I分别切边PF,PF2,F1F2于点D,E,G, 则由切线长定理得PDl=|PE'F,D=F,G,|F,G=F2E到 所以PFl-PF2=EG-F,G=2a 又因为E,Gl+E,G=2c所以E,G=a+cF,Gc-a 即G点为双曲线的右顶点，则IG⊥x轴， 10112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MGMI_1 过点P作PH上x轴于点H,连IG,得GHP12 lGH=a所以x,=2a 又因为SAPF, a2=2c×pHl 所以PH-9,即y小9 所以4a6d得2-oc2-2a=0'解得离心率e= 故答案为：回 D考点02抛物线 1.C 2.D 3.【答案】2 【分析】 利用焦半径公式即得。 【详解】 抛物线y=2px(p>0)的准线方程为：x=-2 2 :抛物线y=2px(p>0)上横坐标为3的点到焦点的距离等于4， :根据抛物线的定义可知3 4 …p=2 故答案为：2 11/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.【答案】▣ 【分析】 设出点M的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点M的纵坐标即可. 【详解】 燕物线y-4v焦点F1,0y设a子X子>I则M的-字+1 y▣ ∠oFM=120%MFsn60网子1 ▣ 整理得哈4口解得y=品或2口. 2 当%品.1，不符台题：当w-=2门时.1，裕台影 所以△0FM的面积为S=OFH%F×1x2口 故答案为：口 M 12112 专题06 双曲线与抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（     ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】 由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 2．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）双曲线的离心率为，则其渐近线方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由双曲线的离心率求出的值，由此可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】 双曲线的离心率为，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）与椭圆焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据椭圆方程求得c，离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解. 【详解】 由椭圆，得，，焦点在轴上． 由题意得双曲线，焦点在轴上，， 所以，， 所以． 所以双曲线方程为． 故选：B 4．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）过点，焦点坐标为的双曲线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据双曲线的标准方程和关系求解即可. 【详解】 设双曲线的方程为， 由题可得， ，所以， 解得或（舍）， 所以，所以该双曲线的方程为. 故选：. 5．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】 设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 6．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（       ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【分析】 根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案. 【详解】 双曲线C：的渐近线方程为， 因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线， 即， 解得， 所以双曲线方程为：， 所以虚轴长为， 故选：D． 7．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）“”是方程“”表示双曲线的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】 根据方程表示双曲线，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】 若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则C的实轴长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据渐近线方程可设双曲线，代入运算，即可得双曲线方程，进而可得实轴长. 【详解】 因为双曲线的一条渐近线方程为， 可设双曲线， 代入可得：， 则双曲线，即， 可知，所以C的实轴长为. 故选：B. 9．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 由题意结合双曲线的渐近线方程可得： ，解得：， 双曲线方程为：. 故选：D.. 【考点】 双曲线的标准方程 【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程，解方程组求出，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为，（2）与共渐近线的双曲线可设为，（3）等轴双曲线可设为等，均为待定系数法求标准方程. 10．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）双曲线的右顶点到其渐近线的距离为（     ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 利用双曲线的标准方程可以求出右顶点和渐近线，再用点到直线的距离即可求出. 【详解】 由曲线的标准方程为可得， 所以双曲线的右顶点为，渐近线方程为， 因此右顶点到渐近线的距离为. 故选：. 11．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为.A是上位于第一象限上一点，直线与轴交于点，若，且，则的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的定义结合勾股定理、余弦定理可得，据此可求渐近线方程. 【详解】 设，故， 由双曲线的定义可得，， 所以，所以， 所以，，故， 所以， 所以，即，故渐近线方程为：， 故选：C. 12．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】 如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】 关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 13．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则错误的是（       ） A.  B. 双曲线的离心率 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 原点在以为圆心，为半径的圆上 【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长的关系，然后计算离心率，求渐近线方程，同时在假设D正确的情况下，出现矛盾的结论，最终得出正确选项． 【详解】 如图，设，则，所以， ，，所以， ∴，A正确； ，， 在中，， 在中，， 即，，所以，B正确； 由得，，渐近线方程为，C正确； 若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，， 与B矛盾，不成立，D错． 故选：D． 【点睛】 关键点睛：本题关键是利用双曲线的定义把焦点弦焦半径用表示．从而寻找到的选题关系可求得离心率和渐近线方程． 14．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】设，解得，根据计算得到答案. 【详解】设，则 解得：，同理 ，根据得到 解得 故选： 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力. 15．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则　　　　　　　　　　　. 【答案】20 【分析】 先由双曲线方程求出，然后根据双曲线的定义求解即可. 【详解】 由，得，得， 因为，， 所以或， 解得（舍去），或， 故答案为：20 16．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由焦点在轴上，得到 ，求解即可. 【详解】 由题意得 ， 解得. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）双曲线（，）的左、右焦点分别为、.点P在双曲线右支上，直线的斜率为3.若是直角三角形，且面积为3，则双曲线的方程为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合双曲线的定义再求出即可得解. 【详解】 如下图：由题可知，点必落在第四象限，， 设，，则， 由 ，解得， 因为，所以，求得，即， 由 ，解得， 由正弦定理可得：， 则由，得， 由，得， 则， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·天津耀华中学·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，，直线PQ是的内角平分线，，.则双曲线C的离心率　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意作出图形，延长交于点，由题可得为等腰直角三角形，结合双曲线的定义可得，根据离心率公式求解即可. 【详解】    不妨设在右支上，则， 因为，故，故， 取的中点为，则，而，在直线上， 而，故在的延长线上， 由，可得，而为角平分线， 所以，故， 故，故， 所以，即， 所以. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知点F1、F2为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程是x2+y2=b2． （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值； （3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|． 【答案】（1）； （2）-； （3）证明： 证明：由题意，即证：OA⊥OB． 设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：x0x+y0y=2 ① 当y0≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得： 所以：， 又 所以 ② 当y0=0时，易知上述结论也成立．  所以 综上，OA⊥OB，所以． 【分析】 （1）解：设F2，M的坐标分别为,再通过双曲线的定义和解三角形得到双曲线C的方程为；（2）设双曲线C上的点P（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，再求出和的值，即得的值；（3）由题意，即证：OA⊥OB，分y0≠0和y0=0两种情况证明，原题即得证. 【详解】 （1）解：设F2，M的坐标分别为 因为点M在双曲线C上，所以，即，所以 在Rt△MF2F1中，，，所以 由双曲线的定义可知： 故双曲线C的方程为： （2）解：由条件可知：两条渐近线分别为 设双曲线C上的点P（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则 则点P到两条渐近线的距离分别为 因为P（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又， 所以=••cos（π-θ）=-•=- （3）略 【点睛】 本题主要考查双曲线的简单几何性质和双曲线方程的求法，考查直线和双曲线与圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设双曲线的左焦点为，连接．利用对称性可得是矩形，，利用焦点三角形面积公式求出，由矩形性质得，据此可得a、b关系，由即可求得答案． 【详解】 如图，设双曲线的左焦点为，连接， ∵以为直径的圆恰好过双曲线的右焦点， ∴根据对称性可知该圆也过左焦点为， ∴， ∵和互相平分， ∴四边形是平行四边形，且为矩形， ∴，， 又根据双曲线焦点三角形面积公式，得， ∴，即， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线交于两点O，A，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据双曲线方程求出右焦点坐标及渐近线方程，再求出焦点到渐近线距离，最后根据垂径定理及勾股定理求解 【详解】 根据双曲线方程得右焦点，渐近线为 因此焦点到两渐近线的距离均为. 由于圆过原点，故其半径为. 因此 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·河北天津河北工业大学附属红桥中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】由双曲线渐近线方程得，从而可求，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率，即可求解． 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为， 所以，所以， 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题． 23．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）如图，椭圆与双曲线有公共焦点，点为两曲线的一个公共点，且为的内心，三点共线，且轴上点满足，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得，根据内心的性质，结合椭圆的定义和双曲线定义可得，，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】 设椭圆的半焦距为，离心率为，双曲线的离心率为， 依题意，椭圆与双曲线的焦距均为，        椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 不妨设点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得：， 由椭圆的定义得：， 联立解得，又， 由余弦定理得：， 即， 整理得：， 即，于是，    为的内心，则为的角平分线， 由， 得，同理：， 则，即， 因此，而，即，则， 为的内心，三点共线，即为的角平分线， 延长射线，连接，由点向作垂线，垂足分别为， 由，得， 即为的角平分线， 则，即为的角平分线，则有， 又，于是，即， 而，即，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用. 24．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）双曲线，，分别为左、右焦点，是双曲线右支上一点，，I是的内心，交轴于，且，则双曲线的离心率为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据角平分线定理、、双曲线的定义可得，再由切线长定理、双曲线的定义得点为双曲线的右顶点，过点作轴于点，根据相似比可得，再利用面积得出，将点坐标代入双曲线方程中即可. 【详解】 设双曲线的半焦距为c，I是的内心，连接，则平分， 因，则， 由角平分线定理得，同理可得， ，， ，得， 又，所以，，， 设的内切圆分别切边，，于点D，E，G， 则由切线长定理得，，， 所以， 又因为，所以，， 即点为双曲线的右顶点，则轴， 过点作轴于点，连，得， ，所以， 又因为，所以，即， 所以，得，解得离心率. 故答案为：. 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则点的坐标为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据抛物线的定义，以及抛物线准线的概念，求出点的坐标即可. 【详解】 由题意可得，点到准线的距离为3， 可知抛物线的准线方程为， 所以点的纵坐标为2， 代入得，解得， 所以点的坐标为或 故选：C. 2．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由抛物线方程可得焦点，准线方程为， 由求出，由此能求出双曲线的方程． 【详解】因为抛物线， 所以焦点，准线方程为 因为双曲线的渐近线为，准线为 所以， 又，， 所以即， 所以双曲线的方程为， 故选：D 3．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知抛物线上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则　　　　　　　　. 【答案】2 【分析】 利用焦半径公式即得. 【详解】 抛物线的准线方程为： ， ∵抛物线上横坐标为3的点到焦点的距离等于4， ∴根据抛物线的定义可知， ∴. 故答案为：2. 4．（25-26学年高二上·天津第一中学·期中）已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】 抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $