第二十六章《二次函数》全题型总结与专项训练2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十二章《二次函数》全题型深度精讲与专项训练 第一类 二次函数的概念与定义 题型体系 本类包含4个细分题型： 题型1：判断函数是否为二次函数 题型2：根据二次函数定义求参数值 题型3：列二次函数关系式（实际问题情境） 题型4：二次函数一般式中各项系数的识别 解题思路 题型1（判断二次函数）：先将函数解析式化为一般形式，再观察自变量的最高次数是否为2，同时二次项系数是否不为0。常见干扰包括：化简后二次项被消去（如 化简为一次函数）、含分式（如 不是二次函数）等。 题型2（求参数值）：需同时满足两个条件——自变量的最高次数等于2，且二次项系数不等于0。解出参数后必须验根，舍去使二次项系数为0的值。 题型3（列关系式）：找到题目中的等量关系，用含自变量的代数式表示因变量，最后化为一般式。注意标注自变量的实际取值范围。 题型4（识别系数）：将解析式化为 （）的形式。注意：常数项为0时不要遗漏，一次项系数自带符号。 典型例题 例1-1下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：A中当 ， 时是一次函数，不一定是二次函数；B是分式函数，不是二次函数；C符合 （）的形式，是二次函数；D是一次函数。故选C。 例1-2二次函数 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，0，−3　　B. 2，−3，0　　C. 2，3，0　　D. 2，0，3 解析： 可化为 。二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 。故选B。 例1-3若函数 是关于 的二次函数，求 的值。 解析：由二次函数定义，需满足 且 。 由 得 。又 ，故 。 例1-4某工厂一种产品的年产量为20万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加 倍，两年后这种产品的产量 （万件）与 之间的函数关系式为______。 解析：第一年后产量为 万件，第二年后产量为 万件。 故 （）。 对应练习 练1-1已知函数 ，当 ______ 时，它是二次函数。 练1-2一个矩形的周长为20cm，设一边长为 cm，面积为 cm²，则 与 的函数关系式为______，自变量 的取值范围是______。 练1-3下列关于 的函数中，属于二次函数的是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 第二类 二次函数的图象与性质 题型体系 题型5：由解析式判断开口方向、对称轴、顶点坐标 题型6：由顶点式或交点式确定函数性质 题型7：比较函数值大小（利用对称性和单调性） 题型8：含参数的对称轴与最值问题 题型9：由图象判断系数符号及代数式正负 题型10：二次函数图象的平移变换 题型11：二次函数图象的对称变换（关于x轴、y轴、原点对称） 解题思路 题型5：一般式配方为顶点式，或用公式：对称轴 ，顶点坐标 。 题型7（比较大小）：先求对称轴，再判断各点到对称轴的距离。对开口向上的抛物线，离对称轴越远函数值越大；对开口向下的抛物线，离对称轴越远函数值越小。 题型8（含参最值）：对含参数的二次函数区间最值问题，核心是讨论对称轴与给定区间的相对位置，分三种情况：轴在区间左侧、轴在区间内、轴在区间右侧。 题型9（系数符号）： 的符号→开口方向；、 的符号→对称轴位置（左同右异）； 的符号→与 轴交点位置； 的符号→与 轴交点个数。 题型10（平移）：口诀"左加右减，上加下减"。将解析式化为顶点式后，对 和 进行调整。 题型11（对称变换）：关于 轴对称， 变 ；关于 轴对称， 变 ；关于原点对称， 变 且 变 。 典型例题 例2-1抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A. 开口向上，，　　B. 开口向下，， C. 开口向下，，　　D. 开口向上，， 解析：，开口向下；顶点式为 ，顶点坐标为 ，对称轴为 。故选B。 例2-2已知二次函数 ，点 、、 都在该函数图象上，则 、、 的大小关系是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：配方得 ，对称轴 ，开口向上。 计算各点到对称轴的距离：，，。 开口向上，离对称轴越远函数值越大。距离排序：，对应 。故选D。 例2-3将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：左加右减→ 变为 ；上加下减→整体减1。故 。故选B。 例2-4已知二次函数 （ 为常数），当 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：对称轴为 ，开口向上。要使 时 随 增大而减小，需对称轴 。故选B。 对应练习 练2-1抛物线 的对称轴是（ ） A. 直线 　　B. 直线 　　C. 直线 　　D. 直线 练2-2已知二次函数 ，用配方法化为顶点式，并指出其开口方向、对称轴和顶点坐标。 练2-3已知二次函数 ，求该函数的最大值及取得最大值时 的值。 练2-4将二次函数 的图象关于 轴对称，所得新函数的解析式为______。 练2-5设二次函数 （ 为常数），当 时，函数的最小值为−3，求 的值。 第三类 待定系数法求二次函数解析式 题型体系 题型12：已知三点坐标求解析式 题型13：已知顶点和另一点求解析式 题型14：已知与 轴两交点和另一点求解析式 题型15：由图象平移或对称反求原解析式 解题思路 设解析式的三种策略： 已知任意三点→设一般式 ，代入三点坐标解三元一次方程组。 已知顶点 和另一点→设顶点式 ，代入另一点求 。 已知与 轴两交点 、 和另一点→设交点式 ，代入另一点求 。 三种形式可以互化，但并非所有二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点时才能用交点式表示。 典型例题 例3-1已知二次函数图象经过点 、、，求该二次函数的解析式。 解析：设 ，代入三点坐标得： ...① ...② ...③ 将①代入②③得：，，即 。 两式相减得 ，代回得 。 故解析式为 。 例3-2已知抛物线 的顶点为 ，且经过点 ，求该抛物线的解析式。 解析：设顶点式 。 代入 ：，，。 故 。 例3-3已知抛物线与 轴交于 、 两点，且与 轴交于点 ，求该抛物线解析式。 解析：设交点式 。 代入 ：，，。 故 。 对应练习 练3-1已知抛物线经过 、、 三点，求其解析式。 练3-2已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且过点 ，求其解析式。 练3-3将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后的解析式为______；若某抛物线经过上述平移后得到 ，则原抛物线的解析式为______。 第四类 二次函数与一元二次方程及不等式的关系 题型体系 题型16：判断抛物线与 轴的交点个数 题型17：由交点情况求参数取值范围 题型18：利用图象解一元二次不等式 题型19：抛物线与直线的交点问题 题型20：函数值恒正/恒负的条件 解题思路 核心纽带：抛物线 与 轴交点的横坐标，就是方程 的实数根。 判别式与交点个数：→两个交点；→一个交点；→无交点。 题型18：将不等式 转化为函数图象在 轴上方时对应的 的范围。 题型19（交点）：令两个函数解析式相等，得到一元二次方程，判别式决定交点个数。联立方程求解交点坐标。 题型20（恒成立）： 且 时， 恒为正； 且 时，恒为负。 典型例题 例4-1二次函数 的图象与 轴的交点坐标为______，与 轴两交点之间的距离为______。 解析：令 ：，，解得 ，。 交点为 和 ，距离为 。 例4-2利用二次函数图象解不等式 。 解析：令 ，开口向上，与 轴交于 和 。 不等式 对应图象在 轴下方的部分，故解集为 。 例4-3已知对任意实数 ， 的值恒为正数，求实数 的取值范围。 解析：，要使函数值恒正，需 。 ，解得 。 对应练习 练4-1抛物线 与 轴的交点个数为（ ） A. 0个　　B. 1个　　C. 2个　　D. 无法确定 练4-2已知二次函数 的图象与 轴有两个不同交点，求 的取值范围。 练4-3利用二次函数图象解不等式 。 练4-4若二次函数 的值恒为负数，求实数 的取值范围。 第五类 二次函数的实际应用 题型体系 题型21：增长率问题 题型22：销售利润问题 题型23：面积最值问题（含篱笆问题） 题型24：拱桥、抛物线形建筑物问题 题型25：投球/喷水问题 题型26：图形运动问题 解题思路 题型21（增长率）：连续两次以相同增长率 增长，关系式为 原产量 新产量。 题型22（销售利润）：利润 = （售价 − 进价）× 销量。关键是建立销量与售价之间的一次函数关系，进而写出利润的二次函数表达式。求最值时需验证顶点横坐标是否在自变量的实际取值范围内。 题型23（面积）：找到一边长与面积之间的等量关系，结合周长等约束条件列二次函数。注意自变量取值范围受几何条件限制。 题型24（拱桥/喷水）：建立适当的坐标系（通常以对称轴为 轴，地面或水面为 轴），将已知条件转化为点的坐标，再用待定系数法求解析式。 典型例题 例5-1某工厂实行技术改造，产量年均增长率为 ，已知2020年产量为1万件，那么2022年的产量 （万件）与 之间的关系式为______。 解析：（）。 例5-2一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件。当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？ 解析：设每件降价 元。由"每件盈利不少于25元"得 ，即 。 每天销售量为 件，每件盈利 元。 利润 。 开口向下，对称轴 在 范围内。 当 时， 取最大值1250元。 答：每件降价15元时，每天销售利润最大，最大利润为1250元。 例5-3某商厦灯具部销售一种进价为每件20元的护眼台灯，每月销售量 （件）与销售单价 （元）之间的关系可近似看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的60%。求每月获得利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式。 解析：由题意知 ，即 。 （）。 例5-4某抛物线形拱桥，正常水位时水面宽20m，拱顶离水面4m。建立坐标系（以水面中点为原点，水面为 轴），求该抛物线的解析式。 解析：由对称性，设 （顶点在 ）。 水面宽20m，即过点 ，代入得 ，。 故 。 对应练习 练5-1某厂今年一月份新产品的研发资金为 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 ，则该厂今年三月份新产品的研发资金 （元）关于 的函数关系式为______。 练5-2某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 练5-3用长为60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形的一边靠墙（墙长18m），求矩形面积的最大值。 练5-4小明进行铅球训练，铅球运行的高度 （m）与水平距离 （m）满足 ，求铅球落地点到投掷点的水平距离。 第六类 二次函数与几何综合 题型体系 题型27：线段长度最值问题 题型28：三角形/四边形面积最值问题 题型29：等腰三角形存在性问题 题型30：直角三角形存在性问题 题型31：平行四边形存在性问题 题型32：相似三角形存在性问题 题型33：角度存在性问题 题型34：动点问题与分类讨论 解题思路 题型27（线段最值）：建立目标线段的函数表达式（通常用坐标差表示），转化为二次函数最值问题。若涉及"将军饮马"模型，先作对称点再连线。 题型28（面积最值·铅垂法）：过动点 作铅垂线交定直线于点 ，则 。三角形面积 水平宽 铅垂高。将 表示为关于 的二次函数，求最大值。 题型29-30（特殊三角形存在性）：设出动点坐标（含参数），分别按等腰（两边相等，分三种情况讨论）或直角（勾股定理或向量垂直，分三种情况讨论）列方程求解。注意验证解是否满足动点的取值范围。 题型31（平行四边形存在性）：利用"对角线互相平分"或"对边平行且相等"。设出动点坐标后，按对角线配对分情况讨论。 典型例题 例6-1抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 。在抛物线 段（）上是否存在一点 ，使 的面积最大？若存在，求出点 的坐标及面积最大值。 解析：直线 的解析式为 （过 和 ）。 设 ，其中 。 过 作 轴交 于点 ，则 。 。 。 当 时， 取最大值 。 此时 。 答：存在点 ， 面积最大值为 。 例6-2抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？其中 ，。 解析：对称轴为 ，设 。 。 。 。 分三种情况： ① ：，，。 或 。 ② ：，， 或 ， 或 。 或 。 ③ ：，，，。。 答：存在6个满足条件的点 ：、、、、。 例6-3抛物线 与 轴交于 、，与 轴交于 。在抛物线上是否存在点 ，使得以 、、、 为顶点的四边形为平行四边形？ 解析：设 。平行四边形的对角线互相平分，按对角线分三种情况讨论： 情况一： 为对角线。 中点 ， 中点 。 令 ，得 。令 ，得 ，。不满足。 情况二： 为对角线。 中点 ， 中点 。 令 ，得 。令 ，得 ，， 或 。 不满足。不满足。 情况三： 为对角线。 中点 ， 中点 。 令 ，得 。令 ，得 ， 或 。 不满足。不满足。 答：抛物线上不存在满足条件的点 。 对应练习 练6-1抛物线 与 轴交于 、，与 轴交于 。在第四象限的抛物线上是否存在点 ，使 面积最大？求出最大面积。 练6-2抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使 为直角三角形？其中 ，。 练6-3抛物线 上是否存在点 ，使得以 、、、 为顶点的四边形为平行四边形？ 答案与详细解析 第一类 概念与定义 练1-1解：由二次函数定义，需 且 。，。 时 ，舍去。故 。 练1-2解：一边长为 ，则另一边长为 。。由 且 ，得 。 练1-3解：A为一次函数；B为分式函数；D为三次函数；C符合定义。选C。 第二类 图象与性质 练2-1解：顶点式 ，对称轴为 。选A。 练2-2解：。开口向下，对称轴 ，顶点 。 练2-3解：。开口向下，当 时取最大值 −3。 练2-4解：关于 轴对称， 变为 ：，即 。 练2-5解：对称轴 ，最小值在顶点处：，故 。 第三类 解析式 练3-1解：设 ，代入 ：，。。 练3-2解：设 ，代入 ：，。。 练3-3解：平移后 。反推：原抛物线由 向左1、向下2得到：。 第四类 方程与不等式 练4-1解：，两个交点。选C。 练4-2解：，。解得 或 。 练4-3解：，开口向下，与 轴交于 −1 和 3。 时图象在 轴上方，解集为 。 练4-4解：，需 。，，，。 第五类 实际应用 练5-1解：（）。 练5-2解：设降价 元（），利润 。 令 ：，，， 或 。 "顾客得实惠"→降价多→，售价为 元。 练5-3解：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 。面积 。 约束条件：，得 。 对称轴 ，不在 内，函数在该区间单调递减，故在 时取最大值： m²。 练5-4解：令 ：，。 。 取正值： m。 第六类 几何综合 练6-1解：直线 ：，，解析式为 。 设 ，。。 。 当 时， 最大值 ，。 练6-2解：对称轴 ，设 。，。。，， 恒成立。 若 ：，，，。 或 。 练6-3解：设 。、、。 情况一： 为对角线，中点 。 中点 。令 ，；令 ，，。不满足。 情况二： 为对角线，中点 。 中点 。令 ，；令 ， 或 。不满足。 情况三： 为对角线，中点 。 中点 。令 ，；令 ， 或 。不满足。 答：不存在满足条件的点 。 附：题型体系总览表 类别 题型编号 题型名称 核心方法 一 1-4 概念与定义 定义约束·参数验根 二 5-11 图象与性质 配方·对称性·系数符号 三 12-15 解析式求法 待定系数法（三种形式） 四 16-20 方程与不等式 判别式·图象法·恒成立 五 21-26 实际应用 建模·最值验证 六 27-34 几何综合 坐标化·铅垂法·分类讨论 教学建议 给教师的教学提示： （1）概念教学要"较真"——二次函数定义中""和"最高次数为2"两个条件缺一不可。建议用概念辨析卡片让学生快速判断对错。 （2）图象性质用"动态演示"——利用几何画板或GeoGebra动态展示 、、 变化对抛物线的影响，"左同右异"这一规律动画演示效果极佳。 （3）几何综合题分"三步走"——第一步"设坐标"，第二步"列方程"，第三步"验范围"。这三步是所有存在性问题的通用套路。 给学生的学习建议： "比较函数值大小"不要死算，先找对称轴，再比距离，速度快且不易错。"面积最值"的铅垂法是利器：过动点作铅垂线交定直线，把三角形面积拆成两个小三角形面积之和。遇到含参数的区间最值问题，画图！画出对称轴和区间的大致位置关系，分三种情况讨论。 学科网（北京）股份有限公司 $