专题01 空间向量及其运算（期中真题汇编，天津专用）高二数学上学期

专题01 空间向量及其运算 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知向量，，若，则（       ） A.  B.  C.  D. 3 4．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（     ）. A.  B. 1 C.  D. 6 7．（25-26学年高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（     ） A. 0 B. 1 C.  D.  9．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，在平行六面体中，，，则（       ） A. 1 B.  C. 9 D. 3 11．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（       ） A.  B.  C. －2 D. 2 12．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知，，则在上的投影向量为　　　　　． 14．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是BC，AD的中点，则的值为　　　　　． 15．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在空间直角坐标系中，若，四点共面，则　　　　　． 16．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量　　　　　　　　；　　　　　　　　． 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·天津河西·期中）如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·天津西青·期中）如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知关于平面向量，有下列四个命题： ①若，则存在，使得； ②若，则或； ③若，则； ④存在不全为零的实数，使得其中正确的命题是（       ） A. ① ③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 6．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A.  B. 5 C.  D.  7．（25-26学年高二上·天津部分·期中）如图，在平行六面体中，已知，，则的长为（     ） A. 2 B.  C. 4 D. 6 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）在空间直角坐标系中，若点关于平面的对称点为，则的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|= A. 2 B.  C.  D. 5 4．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·天津西青·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知向量，若，则（     ） A.  B.  C. 4 D. 6 8．（25-26学年高二上·河北·期中）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（       ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 9．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）设x，，向量，向量，，且，，则（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  10．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知向量，，且与互相垂直，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知空间向量，，下列说法错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 13．（25-26学年高二上·天津部分·期中）设，向量，，且，，则（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 14．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知，若，则　　　　　　. 15．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设，向量，且，则　　　　　　　　　　　 16．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）设，向量，，，且，，则　　　　　　. 17．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知向量与，则在方向上的投影向量的坐标为　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高二上·天津部分·期中）若，则在上的投影向量坐标为　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）设，向量，，且，，则　　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知空间三点． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． 21．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为　　　　　　　.（用坐标表示） 22．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知空间向量，，若，则　　　　　. 23．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 24．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量及其运算 考点01空间向量及其运算 考点02空间向量基本定理 考点03空间向量及其运算的坐标表示 ①考点01空间向量及其运算 1.C 2.D 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8.A 9.D 10.D 11.B 12.A 13.【答案】2,2,1 【分析】 根据空间向量的坐标运算再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】 由投影向量公式得-在：上的投影向量为Q~b方 b a b 12 b 则Qb_2+6+1=1,故-在：上的投影向量为2,2,1 4+4+1 a b b 故答案为：2,2,1 14.【答案]号 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出AFBE=0进而得出 AEAF=AB·AF=4 1 【详解】如图，四面体ABCD是正四面体， .四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1， 又点E、F分别是BC,AD的中点， AF-ZAD.AFBE-0 AE-AF=AB+BEAF=AB-AF+BE-AF=ABAFCOS=1 34 1 故答案为：4 【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的 几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题. 15.【答案】6 【分析】 借助空间向量共面的线性表示关系，通过建立方程组求解参数，核心是将四点共面转化为向量的线性组合 问题. 【详解】 AB=0,1,-2'AC=-2,4,-3'AM=-2,m,-7 因四点共面，故AM可由ABAC线性表示，即存在实数xy使AM=XAB+yAC 219 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -2=-2y 代入坐标得 m=x+4y,解得y=1,x=2,m=6. -7=-2x-3y 故答案为：6. 16.【答案】① 1-11- 2a+3b+6c 【分析】 由空间向量的线性运算，结合图象，利用数量积的运算律，可得答案 【详解】 由E为AD的中点，则AE=)AD,2BD=DC,则BD=号BC, 3 oE=0AAE=-0a+AD=0a+过A8:Bol-0aoB-0n*时C oB-On+Hoc-08 3 3 6 AC=OC-OA=-a+c a-b-dl6los∠AoB=6ac-ldos∠Aoc=86:c=6cos∠Boc=-6 2 b·C- 3 6 =-8+4-2+2-4+8=-8 333 1-,1,1-8 故答案为：2a+行b+6c:3 考点02空间向量基本定理 1.D 2.A 3.A 4.B 3/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.A 6.A 7.B D考点03空间向量及其运算的坐标表示 1.B 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.A 8.C 9.D 10.C 11.D 12.C 13.B 14.【答案】2 【分析】 根据数量积的运算法则，代入求解，即可得答案 【详解】 因为OA⊥AB所以OAAB=0 由思意0A:0B=0A:0A+AB-0A'+0AAB=1+1+0+0=2 故答案为：2 15.【答案】3V▣ 【分析】 由题意，根据空间垂直向量的坐标表示可得x=1,结合空间向量的几何意义计算即可求解 【详解】 a⊥c1 a·c=2x-4+2=0'解得x=1, 由，，得」 419 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以a=1,1,1 则a+d3,-3,3=□ 故答案为：3V口 16.【答案】4V▣ 【分析】 先根据空间向量的垂直和平行，列方程求出X,y,然后再求模长即可. 【详解】 根锅a16可06=3+21=0拉x=-2,6-1.-2,小出0l2可号-产子故y=6,比 时c=6,4,2于是c-26=4,8,0故c-2b=4,8,0川=4吧□ 故答案为：4▣ 17.【答案】2，-2,0 【分析】 先求。·b62,结合投影向量的定义运算求解即可， 【详解】 因为向量a=2,-2,1r6=1,-1,0?则a-6=2+2=462=1+1=2 所以-在-方向上的投影向量为a·b a b b=2b=2,-2,0 63 故答案为：2，-2,0 18.【答案】 24 0,55 【分析】 根据投影向量的定义，利用空间向量的坐标运算即得. 【详解】 519 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 b6=26 因a=1,0,1,6=0,1,2则a在6上的投影向量为 1b2 故-在：上的投影向量坐标为0， 24 a b ’5 故答案为： 5 0, 24 19.【答案】3 【分析】 根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解 【详解】 a1C,所以- 因为 ac=0即3x-6+3=0,解得x=1 1=3λ =-61，解得1 1 又因为，∥。，所以存在实数使得，-)，即 b c b=λc 3 1=3λ (y=-2 所以a-b=1,1,1-1,-2,1=0,3,0 所以a-b1=加 故答案为：3. 20.【答案】(1)60° (2)3或-3. 【分析】(1)计算 AB,AC:根据向量夹角的公式求得AB,AC 夹角的余弦值，由此求得这两个向量 的夹角。 (2)先求得AB-kAC,AB+kAC的坐标，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得k的值 【详解】(1D由已知得：AB(0,3,3),AC=（-1,1,0), 619 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Cos<AB,AC>= AB·AC0×(-1)+3×1+3×0 =1 AB·AC ·0石 所以，向量AB与AC 的夹角为60°. (2)AB-kAC=k,3-k,3,AB+kAC=(-k,3+k,3/ :(AB-kAC)⊥(AB+kAC) (AB-kAC)(AB+kAC)=0 ∴.k×(-k)+(3-k)×(3+k)+3×3=0, 解得 k=3或k=一3. .实数k的值是3或一3. 【点睛】本小题主要考查利用平面向量的坐标运算求得向量夹角，考查两个向量垂直的坐标表示，考查运 算求解能力，属于基础题， 21.【答案】(-1,2,1 【分析】 先根据向量垂直得到方程，求出X=3,再利用投影向量公式求出答案， 【详解】 因为。16所以ab ab=2-x+1=0' 所以x=3,则6=1,3,1' b·cc 所以b在c上的投影向量为-- =-c=-1,2,1】 故答案为：-1,2,1！ 22.【答案】2/▣ 【分析】 由向量平行得到存在实数入使得=入 一，进而建立关于的方程组求解参数，再根据空间向量的模的坐标公 式计算得到答案。 【详解】 已知空间向量a=1,2,3b=2,m,n:若a16则b=λ0 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =1x1-2,解得 2=1 1=2 即2，m,n=1,-2,3 有 =-4, n=3λ n=6 所以6=2，-4,6则6=2 故答案为：2V▣ 23.【答案】(1)3只▣ 2)-▣ 【分析】 (1)根据向量模的坐标表示求解： (2)根据向量夹角的坐标表示求解。 (1)小问详解： .a=2,-1,2’b=1,4,1 .2a=4,-2,42a-b=3,-6,3 .2a-b=39口 (2)小问详解： 设 n与-：的夹角为g:则cos0= a+2b-(a-b] a+2b a-b a+2ba-b a+2b=4,7,4a+2b=□ a-b=1,-5,1旷a-b=39o a+2ba-b=4×1+7×1-5+4×1=-27 -27 ∴.cos0= 9x3安石 强a+265。-b夹角的余弦值为-四 .向量 819 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24. 【答案】(1)-四 ▣ ②2该 【分析】 （①)利用空间向量的坐标表示求出。，6再利用向量夹角的坐标表示计算即得， (2)利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合(1)中信息列出方程求解即可. (1)小问详解： 由点A(-2,0,2,B(-1,1,2,C(-3,0,4,得a=AB=1,1,01,b=AC=-1,0,2 所以co51日=a~b=二1，所以-和-夹角g的余弦值为_g a b allb (2)小问详解： 由(1)可得ka+b=k-1,k,2,ka-2b=k+2,k,-4 因为向量ka+bka-2b互相垂直， 则ka+b:ka-2b=k-1k+2+k2-8=0 整要可行2+长-10=0：解行k-2或k-号 所以k的值为2或2 919 专题01 空间向量及其运算 3大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间向量基本定理 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 考点01 空间向量及其运算 1．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】 向量在向量上的投影向量为， 故选：C. 2．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用空间向量的加、减运算即可求解. 【详解】 由题意可得 . 故选：D        ［公式］ 3．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知向量，，若，则（       ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】D 【分析】 利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】 若，则， 因此可得，解得. 故选：D 4．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若,,，则用基底表示向量为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】 连接BD，E为PD的中点，     ． 故选：C． 5．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值. 【详解】 因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 6．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（     ）. A.  B. 1 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 根据题意，利用向量的共面定理及推论，得到，即可求解. 【详解】 由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 可得， 因为，即， 所以，解得. 故选：C. 7．（25-26学年高二上·天津河东·期中）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：D 8．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知四面体的各棱长均为1，E、F、G分别是、、的中点，则的值为（     ） A. 0 B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 设，，，可得，，然后利用数量积的定义及运算法则即可求. 【详解】 因为四面体的各棱长均为1，则该四面体为正四面体， 如图，设，，，    则， 又， ， ∴. 故选：A. 9．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）如图，在空间四边形中，点为中点，点在上，且, 则等于 A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果. 详解：由题意可得 ，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 10．（25-26学年高二上·天津南开·期中）如图，在平行六面体中，，，则（       ） A. 1 B.  C. 9 D. 3 【答案】D 【分析】 根据图形，利用向量的加法法则得到， 再利用求的模长. 【详解】 在平行六面体中， 有，， 由题知，，，，， 所以，，与的夹角为， 与的夹角为，与的夹角为， 所以 . 所以. 故选：D. 11．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（       ） A.  B.  C. －2 D. 2 【答案】B 【详解】利用向量运算得到得到答案. 【详解】 故 故选： 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力. 12．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）如图，已知四棱锥平面，底面是矩形，且，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 结合题意，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 ,， 所以， 所以， 所以 . 故选：A. 13．（25-26学年高二上·天津河西·期中）已知，，则在上的投影向量为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据空间向量的坐标运算再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】 由投影向量公式得在上的投影向量为， 则，故在上的投影向量为. 故答案为： 14．（25-26学年高二上·天津西青·期中）已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是BC，AD的中点，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出，进而得出. 【详解】如图，四面体是正四面体， 四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为， 又点E、F分别是BC，AD的中点， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题． 15．（25-26学年高二上·天津河东·期中）在空间直角坐标系中，若，四点共面，则　　　　　． 【答案】 【分析】 借助空间向量共面的线性表示关系，通过建立方程组求解参数，核心是将四点共面转化为向量的线性组合问题. 【详解】 ，，. 因四点共面，故可由、线性表示，即存在实数、，使， 代入坐标得 ， 解得，，. 故答案为：. 16．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，则试用向量表示向量　　　　　　　　；　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由空间向量的线性运算，结合图象，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】 由为的中点，则，由，则， ， ， ，，, . 故答案为：；. 考点02 空间向量基本定理 1．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 应用空间向量基本定理即可. 【详解】 由题意知，，， ，，， 所以． 故选：D 2．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的基本定理求解即可. 【详解】 因为在平行六面体中，是的中点， 所以. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·天津河西·期中）如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】 由题意可得： . 故选：A. 4．（25-26学年高二上·天津西青·期中）如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】 因为，点为棱的中点， 所以 . 故选：B. 5．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知关于平面向量，有下列四个命题： ①若，则存在，使得； ②若，则或； ③若，则； ④存在不全为零的实数，使得其中正确的命题是（       ） A. ① ③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【分析】 对于① ，利用共线向量基本定理进行判断；对于② ④ ，举出反例；对于③ ，等式两边同时平方，利用向量数量积公式化简得到③ 正确. 【详解】 对于① ，根据共线向量基本定理知该命题正确； 对于② ，， 可能，而， 即，且时，满足要求，该命题错误； 对于③ ，若，则， 化简得，所以，故该命题正确； 对于④ ，当，且，且不共线时， 只有，才能满足， 便不存在不全为的实数，使得，该命题错误； 故正确的命题是① ③ ． 故选：A． 6．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A.  B. 5 C.  D.  【答案】A 【分析】 结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】 因为，所以. 所以， 所以，即的长为． 故选：A 7．（25-26学年高二上·天津部分·期中）如图，在平行六面体中，已知，，则的长为（     ） A. 2 B.  C. 4 D. 6 【答案】B 【分析】 由，应用向量数量积的运算律求模，即可得. 【详解】 依题意，， 所以 ， 所以. 故选：B 考点03 空间向量及其运算的坐标表示 1．（25-26学年高二上·天津河东·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间向量坐标运算计算即可得. 【详解】 由，则. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）在空间直角坐标系中，若点关于平面的对称点为，则的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据空间直角坐标系中点的坐标的定义易得. 【详解】 根据空间直角坐标系中点的坐标的定义，可知点关于平面的对称点为. 故选：A. 3．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|= A. 2 B.  C.  D. 5 【答案】B 【分析】先根据对称逐个求出点的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求. 【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A, 所以, 因为点A关于y轴的对称点为B, 所以,所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查空间点的对称关系及两点间的距离公式,明确对称点间坐标的关系是求解的关系,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 4．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据已知条件，结合点对称的性质，即可求解. 【详解】 因为点， 所以点A关于原点的对称点的坐标为， 故选：D 5．（25-26学年高二上·天津西青·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用空间直角坐标系的概念求解. 【详解】 点关于平面的对称点是． 故选：B. 6．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据关于什么对称什么不变来解答. 【详解】 点关于平面对称的点的坐标为 故选：C. 7．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知向量，若，则（     ） A.  B.  C. 4 D. 6 【答案】A 【分析】 利用向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】 因为向量， ， 所以，解得， 故选：A. 8．（25-26学年高二上·河北·期中）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（       ） A. 轴对称 B. 平面对称 C. 轴对称 D. 平面对称 【答案】C 【分析】 根据两点的坐标特征结合已知条件即可得答案. 【详解】 因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 9．（25-26学年高二上·天津第一百中学·期中）设x，，向量，向量，，且，，则（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  【答案】D 【分析】 根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】 由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 10．（25-26学年高二上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知向量，，且与互相垂直，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】 由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 11．（25-26学年高二上·天津小站第一中学·期中）已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量在向量上的投影向量. 【详解】 向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 12．（25-26学年高二上·天津第四十七中学·期中）已知空间向量，，下列说法错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】C 【分析】 对于选项A，根据空间向量垂直的性质即可求解；对于选项B，根据空间向量的四则运算以及空间向量的相等关系即可求解；对于选项C，根据空间向量投影向量公式即可求解；对于选项D，根据空间向量的夹角与数量积即可求解. 【详解】 对于选项A，已知，. 若，则，解得，故选项A正确； 对于选项B，已知，. 因此. 因为，所以，解得，故选项B正确. 对于选项C，根据空间向量投影向量公式,在上的投影向量为. 已知在上的投影向量为，所以. 因为，所以. 已知，，所以，. 因此，整理得. 由于上述一元二次方程无实数解，所以选项C错误. 对于选项D，若与夹角为锐角，则. 由，可得，即，所以选项D正确. 故选：C. 13．（25-26学年高二上·天津部分·期中）设，向量，，且，，则（       ） A.  B. 3 C.  D. 4 【答案】B 【分析】 由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】 向量，且， ∴ ，解得 ， ∴， ∴， 故选：B 14．（25-26学年高二上·天津南开·期中）已知，若，则　　　　　　. 【答案】2 【分析】 根据数量积的运算法则，代入求解，即可得答案. 【详解】 因为，所以， 由题意. 故答案为：2 15．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设，向量，且，则　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由题意，根据空间垂直向量的坐标表示可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】 由，得，解得， 所以， 则. 故答案为： 16．（25-26学年高二上·天津滨海新区塘沽紫云中学·期中）设，向量，，，且，，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 先根据空间向量的垂直和平行，列方程求出，然后再求模长即可. 【详解】 根据可得，故，此时，由可得，故，此时，于是故. 故答案为： 17．（25-26学年高二上·天津经济技术开发区第一中学·期中）已知向量与，则在方向上的投影向量的坐标为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先求，，结合投影向量的定义运算求解即可. 【详解】 因为向量，，则，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 18．（25-26学年高二上·天津部分·期中）若，则在上的投影向量坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据投影向量的定义，利用空间向量的坐标运算即得. 【详解】 因，则在上的投影向量为， 故在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）设，向量，，且，，则　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】 因为，所以，即，解得， 又因为∥，所以存在实数使得，即 ，解得 ， 所以， 所以， 故答案为： . 20．（25-26学年高二上·天津静海区四校·期中）已知空间三点． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）60°. （2）3或. 【分析】（1）计算出，根据向量夹角的公式求得夹角的余弦值，由此求得这两个向量的夹角. （2）先求得的坐标，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值. 【详解】（1）由已知得：＝（0，3，3），＝（－1，1，0）， ， 所以，向量与的夹角为60°． （2）， ∵ ， ∴， ∴ k×(－k)＋(3－k)×(3＋k)＋3×3＝0， 解得   k＝3或k＝－3 ． ∴ 实数k的值是3或－3． 【点睛】本小题主要考查利用平面向量的坐标运算求得向量夹角，考查两个向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题. 21．（25-26学年高二上·天津第二十中学·期中）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为　　　　　　　.（用坐标表示） 【答案】 【分析】 先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】 因为，所以，所以，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 22．（25-26学年高二上·天津五区县重点·期中）已知空间向量，，若，则　　　　　. 【答案】 【分析】 由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解参数，再根据空间向量的模的坐标公式计算得到答案. 【详解】 已知空间向量，，若，则， 即，有 ，解得 ， 所以，则， 故答案为： 23．（25-26学年高二上·天津西青区杨柳青第一中学·期中）已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. (1) 小问详解： ，， ，， . (2) 小问详解： 设与的夹角为，则，        ，，        ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 24．（25-26学年高二上·天津部分·期中）已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 【答案】（1）     （2）2或      【分析】 （1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. (1) 小问详解： 由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 (2) 小问详解： 由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $