天津市小站第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

2025-2026高二上学期期中考试数学试卷 一、选择题 1.在空间直角坐标系中，点P(2,3,4关于平面x0z对称的点的坐标为() A.2,3,4) B.(-2,3,4) C.(2,-3,4 D.(-2,-3,4) 2.直线l1:ax+y-1=0,l2:(a-1)x-2y+1=0,则“a=-1”是“l112”的()条件. A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要 3.若直线l1:ax-y+1=0与l2:x-ay-1=0平行，则l1与l2之间的距离为（) A号 B.V3 C.v2 D.2 4. 己知在四面体ABCD中，点M是棱BC上一点，且BM=3MC,点N是棱AD的中点，若MN=xAB+yAC+ZAD 其中x,y,z为实数，则x+y+z的值是() A号 B.-1 C.-2 D.2 5. 己知向量a=(23,0,2),向量b=(1,0,3),则向量a在向量b上的投影向量为() A,0,) B.(25,0,2) C.(1,0,3) D.(5,0,3) 6. 若过椭圆荒+苦=1内一点P3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为〈). A.3x+4y-13=0 B.3x-4y-5=0 C.4x+3y-15=0 D.4x-3y-9=0 7. 已知双曲线C:兰-景-1(a>0,b>0)的焦距为4W3,焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的渐近线方程为() A.y=士x By±号x C.y=±V2x D.y=±V3x 8. 设R1,F2分别是椭圆后+发=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，若2F1PQ=60,1PF= PQ,则椭圆的离心率为(). A号 B C D时 9. 已知抛物线2=4红的焦点为r,准线为L若与双曲线x2-兰=1b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且lAB到= 40F1(0为原点)，则双曲线的方程为() A.x2-y2=1 B2-苦=1 C2-号-1 D.x2-￥=1 二、填空题 10.求直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点的坐标 11.已知抛物线y2=2px0p>0)上横坐标为3的点到其焦点的距离为4，则p=一 12.圆(x-1)2+y+3)2=8上的点到直线x-y+2=0的距离最小为一 13.直线过点(-3,1)，且其横截距为纵截距的两倍，则的方程为 14.圆x2+y2-8=0与圆x2+y2-3x+4y-18=0的公共弦的长为一 15.若兰+品=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 试卷第1页（共2页） 三、解答题 16.己知圆过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心E在直线x+y-2=0上. (1)求圆E的方程： (2)若直线经过点Q(3,5),且与圆E相交截得的弦长为2√2，求直线的方程， 17.己知圆C经过点(1,0)，圆心C在射线y=3x,(x>0)上，且直线x-y=0被圆C截得的弦长为2W7. (1)求圆C的方程： (2)过点N(-2,一1)作圆C的切线，求切线的方程. 18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC11平面ABC,AC1BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在 棱AA1和棱CC1上，且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点. (1)求证：C1M1B1D: (2)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值； (3)求点A1到面DB1E的距离 19.在四棱锥P-ABCD中，AB IICD,PD=AB=2AD=CD=2,且PD,AD,BD两两垂直，PM=PC. (1)求证：PAI平面MBD: (2)求点C到平面MBD的距离： (3)求平面PBC与平面MBD夹角的余弦值 20.设椭圆号+器=1(Q>b>0)的上顶点为A,右顶点为B.已知V210A川=|0B1(0为原点)。 (1)求椭圆的离心率； (2)设点B(V2,0),直线l:y=kx+m(m≠士1)与椭圆交于两个不同点M,N,直线AM与x轴交于点E,直线AN与x 轴交于点F,若0E0F=-6.求证：直线经过定点 试卷第2页（共2页） 2025-2026高二上学期期中考试数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1、【答案】C 【知识点】空间中的点的坐标 2、【答案】B 【知识点】充分条件、必要条件、充要条件 3、【答案】C 【知识点】两条平行直线间的距离 4、【答案】B 【知识点】共线向量与共面向量 5、【答案】D 【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的性质及其运算，空间向量的数量积运算 6、【答案】A 【解答】A +且=1 【分折1技弦的两缩点分别为4)，B6,y,小：由P为AB的中点得实十：=及：由A,B在椭图上得 4 +=1 16 4 两式相减得。+学=0→以+2》=0+学=0→等器=景则k8=一是又 4 16 Q 该弦所在的直线过点P3,1),则有y-1=-c-3),整理得3x+4y-13=0.故选A. 【知识点】椭圆的性质，直线与椭圆的综合 7、【答案】A 8、【答案】A 【解答】A 【分析】由题意有PF1=|PQ,∠F,PQ=60,所以可知△F1PQ为正三角形，所以IPQ1为椭圆的一条通径IPQ1= 又因为PF+PF=2a,1QB1+川QF2=2a,即△FPQ的周长为4a,所以4a=3PQ1=g,即b2-2,所 2-=5.故选A 以e=后 2 3 【知识点】椭圆的性质 9、【答案】D 【知识点】双曲线的性质 二、填空题 10、【答案】(2,3) 【知识点】恒过定点的直线 11、【答案】2 【知识点】抛物线的性质 12、【答案】V2 【知识点】直线与圆的位置关系 13、【答案】x+3y=0或x+2y+1=0 【知识点】直线的截距式方程 答案第1页（共4页） 14、【答案】4 【知识点】圆与圆的位置关系及其判定，两圆的公切线条数及方程的确定 15、【答案】(-1，④ 【知识点】双曲线的性质 三、解答题 16、【解答】解：(1)设圆E的方程为(x-a)2+y-b)2=r2, (1-a)2+(-1-b)2=r2 (a=1 由题意得 (-1-a)2+(1-b)2=r2,解得b=1, a+b-2=0 2=4 所以圆E的圆的标准方程是(x-1)2+y-1)2=4: (2)由(1)得圆E的圆心为E(1,1),半径r=2, 根据直线1被圆E截得的弦长为2V2,可知E到直线的距离d=、22-(W2)2=V2, ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=3, 圆心E到直线的距离为2，不符合题意. ②当直线的斜率存在时，设：y-5=k(x-3),即kx-y+5-3k=0. 由k-1+5-34=V2,解得k=1或k=7,可得1的方程为x-y+2=0或7x-y-16=0. Vk2+1 【知识点】直线与圆的位置关系 17、【解答】解：(1)因为圆心C在射线y=3x(x>0)上，所以设C(xo,3xo),其中xo>≥0 设圆C的标准方程为(x-xo)2+)-3xo)2=r2,其中r>0, 因为圆C经过点(1,0)，所以(1-x0)2+(-3x0)2=r2,化简得10x行-2x0+1=r2, 因为圆心C到直线x-y=0的距离d=oa=V2xo且直线被圆c截得的弦长为2W万， v2 所以由垂径定理及勾股定理得(7)2+(2xo)2=r2,所以7+2x6=2, 所以十2解利子 07+2x6=r2 (r=3 所以圆C的方程为x-1)2+y-3)2=9. (2)因为点N距离圆心C的距离为d1=(1+2)2+(3+1)2=5>r, 所以点N在圆C外，则过点N的切线有两条， 设过点N的圆C的切线方程为y=k(x+2)-1,即kx-y+2k-1=0, 因为圆心C到该直线的距离为3，所以k3+2-1=3,解得歌= √k2+1 24 所以该切线方程为经x-y-碧=0，即7x-24y-10=0, 则过点N的另一条切线斜率不存在，方程为x+2=0,此时圆心C到该直线的距离为3，满足题意 综上，过点N作圆C的切线方程为7x-24y-10=0或x+2=0. 【知识点】直线与圆的位置关系 18、【解答】解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC11平面ABC,AC⊥BC, 建立如图所示空间直角坐标系： 因为AC=BC=2,CC1=3,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点， 所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),D(2,0,1),E(0,0,2),A1(2,0,3),B1(0,2,3),C1(0,0,3),M(1,1,3), 所以C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2): 则C1MB1D=1×2+1×(-2)+0×(-2)=0, 所以C1M⊥B1D,即C1M⊥B1D: 答案第2页（共4页） (2)由(1)知：B1D=(2,-2,-2),DE=(-2,0,1), 设平面B1ED的一个法向量为n=(x,y,z) 则i1BD,则BD=0,即2x-2y-2z=0, (元IDE (元DE=0 (-2x+z=0 令x=1,得y=-1,z=2,则n=(1,-1,2) 又AB=(-2,2,0), 设直线AB与平面DB1E所成角Qx, 则sina=|cos<AB,元>|=M8司 4 14BI-Inl 2W2xV6=3: (3)易知A1D=(0,0,-2), 所以点A1到平面DB1E的距离为：d=40=上4=26 √6 3 【知识点】直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算 19、【解答】解：(I)证明：如图，连接AC与BD交于点E,连接ME, 因为AB II CD,CD=2AB, 则△ABE∽△CDE, 所以品=铝=京所以AB=4AC, 又PM=PC,故PM=PC, 所以PAI‖ME,又PAt平面MBD,MEc平面MBD, 所以PAI平面MBD: (2)由题，以D为原点，以直线DA,DB,DP所在方向分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 因为PD=AB=2AD=1CD=2, 则A(1,0,0),P(0,0,2),B(0,3,0), 所以DB=(0,3,0),DC=2AB=(-2,23,0), 故C(-2,2V3,0),PC=（-2,23,-2), 所以DM=DM+PM=DM+Pc=(-号，9，)， 设平面BDM的一个法向量为m=(x1,y1,Z1), -8叫兴+。 3y1=0 取x1=2,则y1=0,z1=1,故m=(2,0,1), 设点C到平面MBD的距离为h,则h=Dcm=45, 5 (3)由(2)得PC=(-2,2W3,-2),PC=(0,V3,-2), 设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2), 则pG-0故2x223y2-2z2=0 V3y2-2z2=0 (n-PB=0 取z2=3,则y2=2,x2=V3所以n=(3,2,V3), 设平面PBC与平面MBD的夹角为9， 则cw0=1os<成i>1-晶=器-曾 所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为 答案第3页（共4页） B 【知识点】直线与平面平行，二面角的平面角及求法，点、线、面间的距离计算 20、【解答】解：(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=√2b, 又由a2=b2+c2, 消去b得a2=(竖a2+c2, 解得-号 所以，椭圆的离心率为号 (2)油点8(V2,0)知a=V2,又=号 所以c=b=1 所以椭圆的方程为+y2=1, 设M(x1,y1),N(x2,y2) 则直线AM的方程为y=二X -x+1. X1 令y=0,得点E的横坐标E=一品 所以点(-品，0) 同理，点F(-是，0)， 由栏+2得Q+2k9)x2+4mx+2m2-2=0. 则x+2=一贸xx2= 所以0E-0F=(-马)(-品)=a,m°am X1 X2 X1X2 k2x1x2+k(m-1)x1+x2)+(m-1) 2m2-2 1+2k2 2+k0m-1(-)+m-12 1+2k2 =2.14m m-1 又0E0F=-6, 所以21+m=-6. m-1 解得m=3,此时4=2k2-m2+1=2k2+3>0, 所以直线经过定点(0，) 【知识点】直线与椭圆的综合 答案第4页（共4页）