考点5.1三角函数计算练习题-2027届高三数学一轮复习

考点5.1三角函数计算练习题 一、特殊角的三角函数值（给角求值） 公式（特殊角三角函数值）： sin0°= sin30°= ,sin45°= sin60= ,sin90°=1 sin180°= sin150°= sin135°= sin120°= c0s0°=1， c0s30°= ,c0s45°= ,c0s60°= ,C0s90°= c0s180°= c0s150°= c0s135°= ,c0s120°= 3 tan0°=0， tan30°= 3, tan45°= tan60°= ,tan90°不存在 tan180°=0，tan150°= tan135°= tan120°= 练1：计算sin30°+cos60°-tan45°。 练2：计算sin245°+cos230°-tan60°.tan30°。 二、同角三角函数关系 公式：sin2a+cos2a=1 tanc&=sinaa≠g+ka,k∈Z cosa 2 3 练3：已知sina-后，且a是第二象限角，求cos&和tana。 三、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 公式说明：对于（±）(k∈Z): 奇变偶不变：若k为奇数，西数名改变《S如-0s口。国餐转化为来化简》：若大 为偶数，函数名不变。 、符号看象限：把&看作锐角，判断（受±）所在象限，确定原函数值的符号。 练4：计算sin150°. 5π 练5：计算cos4· 练6：计算tan225°。 1 sin(π-a)cos(2π-a 练7：化简 cos T+a 2 四、两角和差公式 公式： sin(ax±B)=sin a cosβ±cos a sinβ cos(a±β)=cosa cosβ干sin a sinβ tan(a+B)= tanc±tanβ 1千tang tanβ 练8（正弦）：计算sin75°。 练9（余弦）：计算c0s15°。 练10（正切）：计算tan15°。 五、二倍角公式 公式： sin2a=2sina cosa cos2a=cos'a-sin'a=2cos2a-1=1-2sin'a(由此可推出降幂公式) 2tana tan2a= 1-tana 练1（正孩）：已知sna-是a∈0，引求sn2a 练12（余弦)：已知c0Sa 3,求cos2a。 练13（正切）：已知tana=2,求tan2a。 六、降幂公式 公式： sin2a=1-cos2a 2 cos2a=1+cos2a 2 练14：化简sin215°。 练15：化简co骨 七、辅助角公式 公式： asinx+bcosx=√a+bsin(x+p)(可把a+b看成以ab为直角边的直角三角形斜z b ）其中tanp=二，p所在象限由a、b的符号确定。 a 例如：sinx+cosx=/2sinx+ 3sin x+cosx=2sinx+ 6 练16：将sinx+3cosx化为Asin(x+p)的形式。 练17：将3sinx-4cosx化为Asin(x+p)的形式，并求其最大值。 八、换元法求值 方法说明： 情况一：当题目中出现sina+cosa、sinc-cosa、sina cos a等对称式时，可令t=sina+cos a (或t=sina-cosc),利用t=1±2 sina cosa进行换元。 练18：已知sinc+cosc=),求sina cos的值。 练19：已知sina-o5=2. 2,求sincos&及sin3a-cos2a的值。 3 情况二：换元法求值（提高版） 方法说明：当题目给出的是某个复合角（如sinc+)的值，要求另一个复合角（如sina+ 6 3 或os&-)的值时，关键在于： 6 1. 整体换元：令【=a+名Q=1一名则所求角心+子心君+骨表示，再利用两角和差公式展 开。 2.确定符号：根据a的范围推出t的范围，从而确定sint或cost的符号。 练1级南：已知sma+君引-，。eo引求sna+ 的值。 3 令t=a+哈则a+号t+君 6 因为a∈o,引所以e倍 63 由sint= 0,且t可能在第一或第二家限，需分情况讨 ·若1eg,7则cst=1-m=专 6’2 ·若te贤则cost=-1-n=-专 是、int+e5 sintcos+costsin=3x3+COS 6 652 当cost=4时，smc+=33+49 3 10 当cost=-4时，sina+g=33-4。 5 310 4 练19提高】：已知cosa元a白 6F1 匹，2卫，求cosa的值。 6,3 练20（提商)：已知sma+-号：u∈0，引宋sne的值. 2辍南)：E加nl口-引学ae号}求coa引 的值。 4 九、齐次式求值 方法说明： 对于关于sina、cosa的齐次式，可分子分母同除以cos”a,化为关于tana的式子。 练20：已知tanc=3,求2sin-co5d sina+2cosa 的值。 练21：已知tan=2,求sina二cosc的值。 sina cosa 练2：已知ana=号求sin'a+2 2sinco-3cosa的值. 参考答案 练1：sin30°+cos600-tan45°=+号-1=0 + 22 练2：sin245+cos230°-tan60,tan30= 2+题-×要-子14 22 324 练3：a是第二象限角，cosa<0。由 sin2a+cos2a=1得 3 cosa 4 5 练4：sin150°=sin180°-30)=sin30=1练5： Cos共=cosz大2/、 =-cos乃=- 2 2 4 42 练6：tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1 练7： sin(n-a)cos(2n-a)=sina.cosa=-cosa -sina cos 练8：sin75°=sin(45+30j=sin45cos30+cos45°6in30=2×3+2x1_6+2 22224 铁9：cos15=os(450-30j=c0s45c0s30+sin45°sin30=2×3+2x1-36+2 2222 4 1- 练10：tan15=an(45。-30)=tan450-tan30°_ 33-3=2-3 1+tan45°tan30° ,33+3 3 练ae,引se0aa-91-ma-1-号n2a-2nasa-2号×号若 5525 6 练12：os2a-2os2a-1-2×g1=写 2tana_2×2__4 练13：tan2a= -t妇n2-1-a=-2练14：n215。=1-c0530°=226 2 2 4 练15： 2.1+c0s1+2 4 12_2+V2 c0s8=2 2 4 练1gax+9a=25知t是义-2ax+到 练17：3sinx-4cosx-G+-4了sin(x+p=5sinx+p其中an9=手最大值为$5。 练18：令=5ina+osa克则f=1+2 2sinacos@, 1=1+2sinacosasinacosa=- .则f=1-2sina5, V2 1 练19：令t=sina-cosa= =1-2sina cosa,sin a cosa= 4 sin'a-cos'a=(sina-cosa(sin'a+sin acosa+cos'a)=1+-x52 练20：分子分母同除以cosa: sina+2cosa=tana+2=3+2=1 2sina-cosa 2tana-1 6-1 练21：分子分母同除以cos'a:sina-cos'c=ana-1=4-1-3 sina cos a tana 22 练 22 分 子分母同 除以 cos a: +1-3-7 sin'a+2sin a cosa-3cos'a=tan'a+2 tana-34 1+tana 5 5 44 参考答案（提高版） 练19（提高）： 令=a吾则a=t+ > 因为ae 2所以eo 由cost=话得sint=1-cosi=3. 于是osa=cost+ 6 =cost cos6 -sintsin4x33x143-3 6525210 练20（提高）： 令=a+紧则=t-平 因为ae0,引所以te子 4’4 由sint=3 >0，需分情况讨论： 若t∈牙，5升，则cost=1-sin=22, 4’2 3 若te π3π， 2’4 则cost=-1-sin=-22. 3 于是na=sn-子-sint cow是-ossn子-×要-cos要 4 “432 当c0st=22 时，sina= 2_2_2-4(去，因为sina>0): 636 当c0st=-22 22_2+4 3 时，sin=6+36 V2+4 故sina= 6。 练22（提高）： 令t=a-年，则a+平=t+受， 因为a∈牙，3，所以te0,引 44 由要得l-1--1君平. 于是osa+经ost+贤}-sni=-要