1.6 相似三角形的应用 课时作业 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教版 九年级上册 数学 · 课时作业（1.6 相似三角形的应用） 1.6　相似三角形的应用　课时作业 湘教版·九年级上册·第1章　图形的相似 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、学习目标 1）能从实际问题中抽象出相似三角形模型，体会“建模—计算—解释”的过程。 2）会利用影子（阳光）、镜子反射、标杆（视线）等方法测量物体的高度，会利用相似三角形测量不能直接到达的两点间的距离。 3）能利用相似三角形解决截取零件、灯光与影子等实际问题。 二、知识点梳理 知识点1　利用相似三角形测量高度 方法一：影子法（阳光）。太阳光线可以看成平行光线，同一时刻，物体的高度与其影长成正比： 方法二：镜子反射法。根据光的反射定律（入射角等于反射角），人、镜子、物体构成两个相似的直角三角形： 镜子反射法示意图 方法三：标杆法（视线）。人眼、标杆顶端、物体顶端在同一直线上，过人眼作水平线，构造“A字型”相似三角形求解。 标杆法示意图 知识点2　利用相似三角形测量距离 测量河宽、池塘宽等不能直接到达的两点间距离时，常构造“A字型”或“8字型”相似三角形，把不能测量的线段转化为可以测量的线段。 知识点3　解决实际问题的一般步骤 （1）审题：弄清题意，明确已知量与未知量； （2）建模：画出示意图，把实际问题转化为相似三角形问题； （3）求解：利用相似三角形的性质列出比例式并求解； （4）作答：检验结果是否符合实际，写出答案。 注意：测量高度时，要注意人眼离地面有一定高度，最后结果常需要加上这段高度。 典例精析 例1　在同一时刻，身高 1.6 m 的小亮在阳光下的影长为 1.2 m，一棵树的影长为 6.3 m，求这棵树的高度。 解：设树高为 m，因为同一时刻物高与影长成正比，所以 ， 解得 。答：这棵树高 8.4 m。 例2　如图（标杆法示意图），小明眼睛 离地面 m，标杆 m， m， m，、、 在同一直线上，，，且 、、 三点共线。求树 的高度。 解：过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，， 。因为 ，所以 ， ，即 ，，所以 （m）。 方法归纳：标杆法中，关键是过人眼作水平线，把问题转化为“A字型”；最后别忘了加上人眼的高度。 三、基础巩固 （一）选择题 1．同一时刻，身高 1.6 m 的小明在阳光下的影长为 1.2 m，旗杆的影长为 9 m，则旗杆的高度为（　　） A．6.75 m　　　　B．12 m　　　　C．13.5 m　　　　D．15 m 2．如图（镜子反射法示意图），小华把一面镜子放在点 处，然后后退到点 处，恰好从镜子中看到树顶 。已知小华眼睛到地面的高度 m， m， m，则树高 为（　　） A．5 m　　　　B．6 m　　　　C．7.5 m　　　　D．8 m 3．如图是小孔成像原理示意图，蜡烛 高 20 cm，蜡烛到小孔 的距离为 30 cm，像 到小孔 的距离为 15 cm，且 ，则像 的长为（　　） A．5 cm　　　　B．10 cm　　　　C．15 cm　　　　D．20 cm 第3题图 4．如图，为测量河宽 ，在岸边取点 、、 在同一直线上，，，点 、、 在同一直线上。测得 m， m， m，则河宽 为（　　） A．20 m　　　　B．25 m　　　　C．30 m　　　　D．45 m 第4题图 5．如图（标杆法示意图），人眼 离地面 1.6 m，标杆 高 2.4 m，人与标杆的距离 m，标杆与树的距离 m，则树高 为（　　） A．4 m　　　　B．5.6 m　　　　C．6.4 m　　　　D．8 m 6．如图，小明用直角三角形纸板 测树高。他调整位置，使斜边 与点 在同一直线上，直角边 保持水平，并且 的延长线交 于点 。已知 cm， cm，眼睛 离地面 1.5 m， m，则树高 为（　　） A．4 m　　　　B．5.5 m　　　　C．6 m　　　　D．9.5 m 第6题图 （二）填空题 7．同一时刻，1 m 长的竹竿影长为 0.8 m，某建筑物的影长为 12 m，则该建筑物高 __________ m。 8．如图，小明身高 1.5 m，站在路灯下的点 处，他的影长 m，他与路灯底部 的距离 m，则路灯 的高度为 __________ m。 第8题图 9．如图，为测量池塘两端 、 间的距离，在池塘外取一点 ，延长 到点 ，使 ，延长 到点 ，使 ，测得 m，则 __________ m。 第9题图 10．如图，一棵树 的影子一部分落在地面上（ m），另一部分落在墙上（ m）。同一时刻，1 m 长的竹竿影长为 0.9 m，则树高为 __________ m。 第10题图 11．工人用交叉卡钳测量零件内槽宽度：卡钳的两脚 、 相交于点 ，且 。若测得 cm，则内槽宽 __________ cm。 12．如图，小强打网球时，击球点 离地面的高度为 ，球恰好擦网而过，网高 m，击球点到网的水平距离 m，球落地点 到网的距离 m（球的运动路线看成线段 ），则击球高度 __________ m。 第12题图 （三）解答题 13．某一时刻，身高 1.6 m 的小明在阳光下的影长为 2 m，同一时刻测得教学楼的影长为 20 m。求教学楼的高度。 14．如图（镜子反射法示意图），小亮把镜子放在离树 12 m 的点 处，然后沿着直线 后退到点 ，这时恰好在镜子里看到树梢 。已知 m，小亮眼睛高 m，求树高 。 15．如图，为了测量河宽 ，在河岸取点 、、 在同一直线上，，过点 作 交 于点 。测得 m， m， m，求河宽 。 第15题图 16．如图，一块三角形余料 ， mm，高 mm。要把它加工成矩形零件 ，使矩形的一边 在 上，顶点 、 分别在 、 上，且 。求这个矩形零件的长和宽。 第16题图 四、能力提升 17．如图，路灯 下，身高 1.6 m 的小明站在点 处时，影长 m；他沿 方向继续向前走 3 m 到达点 处时，影长 m。求路灯 的高度及小明在点 时到路灯底部 的距离。 第17题图 18．如图（标杆法示意图），小颖想测量一棵大树的高度。她的眼睛 离地面 1.5 m，标杆 高 3 m，她与标杆的距离 m，标杆与大树的距离 m，且 、、 三点共线。求大树 的高度。 19．（数学文化）古希腊数学家泰勒斯曾利用影子测量金字塔的高度。如图是金字塔的截面示意图，金字塔底面是边长为 230 m 的正方形，某一时刻金字塔顶点 的影子落在点 ，测得 m（ 为底面中心， 为底面边长的一半）；同一时刻，2 m 长的标杆影长为 3 m。求金字塔的高 。 第19题图 五、拓展探究 20．如图，阳光通过窗户 照射到室内，在地面上留下宽 m 的亮区。已知窗户下沿到地面的距离 m，亮区一边到窗户所在墙角的距离 m，求窗户的高度 。 第20题图 21．（方案设计）学校数学兴趣小组要测量校园内旗杆的高度，可用的工具有：皮尺、标杆（长度已知）、一面小镜子。请你设计两种不同的测量方案，要求：（1）画出测量示意图；（2）写出需要测量的数据（用字母表示）；（3）写出旗杆高度的计算式。 参考答案与解析 一、选择题 1．B　【解析】设旗杆高 m，则 ，解得 。 2．C　【解析】由反射定律得 ，又 ，所以 ，，即 ， m。 3．B　【解析】因为 ，所以 ，对应高的比等于相似比，，所以 cm。 4．C　【解析】，，所以 ，， m。 5．B　【解析】同例2， m。 6．B　【解析】，，即 ， m， m。注意统一单位。 二、填空题 7．15　【解析】，。 8．4.5　【解析】，，，即 ，。 9．36　【解析】，，所以 ，， m。 10．4.2　【解析】过点 作 于点 ，则 ，。由同一时刻物高与影长成正比，，，所以树高 m。 11．6　【解析】，，所以 ，， cm。 12．1.2　【解析】，，，即 ， m。 三、解答题 13．解：设教学楼的高度为 m。因为同一时刻物高与影长成正比，所以 ， 解得 。答：教学楼高 16 m。 14．解：由光的反射定律可知 ，又 ， 所以 ，所以 ，即 ， 解得 。答：树高 8 m。 15．解：因为 ，，所以 ，所以 ， 所以 。又 m，所以 ， 解得 。答：河宽 60 m。 16．解：设 mm，则 mm。设 与 交于点 ，则 。 因为 ，所以 ，， 即 ，，。 所以 mm， mm。答：矩形零件的长为 60 mm，宽为 30 mm。 四、能力提升 17．解：设 m， m，则 ，。 因为 ，所以 ，；① 因为 ，所以 ，。② 由①②得 ，，。代入①得 。 答：路灯高 6.4 m，小明在点 时到路灯底部的距离为 3 m。 18．解：过点 作 于点 ，交 于点 ，则 m， m， m， （m）。因为 ，所以 ， ，即 ， m，所以 （m）。 答：大树高 16.5 m。 19．解：（m），所以金字塔高 对应的影长 （m）。 同一时刻物高与影长成正比，所以 ，（m）。 答：金字塔的高约为 98 m。 五、拓展探究 20．解：因为太阳光线是平行的，所以 ，所以 ， 。又 （m），所以 ， m， （m）。答：窗户高 1.6 m。 21．参考方案（答案不唯一）： 方案一（影子法）：在阳光下，同一时刻测出长为 的标杆的影长 和旗杆的影长 。由相似三角形得旗杆高 。 方案二（镜子反射法）：把镜子平放在地面上点 处，人后退到恰好能在镜子中看到旗杆顶端的位置，测出人眼离地面的高度 、人到镜子的距离 和镜子到旗杆底部的距离 。由 得旗杆高 。 方案三（标杆法）：竖立长为 的标杆，人后退到人眼、标杆顶端、旗杆顶端在同一直线上的位置，测出人眼高 、人到标杆的距离 、人到旗杆的距离 。由相似得 ，所以旗杆高 。 （示意图分别参照本课时“知识点1”中的影子法、镜子反射法示意图和标杆法示意图。） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $