1.6 相似三角形的应用 同步练习 2026-2027学年湘教版九年级上册数学

**基本信息** 2026-2027学年湘教版九年级上册数学1.6相似三角形的应用同步练，以三级梯度设计实现从单一测量到复杂情境的知识巩固，突出几何直观与模型意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一相似测量应用（影长、标杆）|选择1-5直接应用比例关系，强化相似三角形性质直接应用| |中档|综合情境应用（镜面反射、井深）|选择6-9、填空10-12融入跨情境建模，如《九章算术》古题转化| |提升|复杂实际问题解决（多标杆测量）|填空13、解答14-16需多步推理，如双标杆测建筑物高度，培养数据处理与逻辑推理能力|

2026-2027学年湘教版九年级上册数学第一章图形的相似1.6相似三角形的应用 一、选择题 1.在同一时刻，身高的小强的影长是，旗杆的影长是，则旗杆高为（ ） A. B. C. D. 2.如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，.则建筑物的高是(        ) A. B. C. D. 3．如图，某学生用长为2.8 m的竹竿AB测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点O处，此时竹竿与这一点的距离OB＝8 m，与旗杆的距离BD＝22 m，则旗杆CD的高为(　　) A．105 m B．77 m C．10.5 m D．7.7 m 4．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图3－5－5获得，则井深为(　　) A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺 5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝30m，EC＝15m，CD＝30m，则河的宽度AB长为（　　） A．90m B．60m C．45m D．30m  6.如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，然后，后退至点，从点经平面镜刚好看到古城墙的顶端处，已知，，且测得＝米，＝米，＝米，那么该古城墙的高度是（ ） A.米 B.米 C.米 D.米 7．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（　　） A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m 8．如图，D、E分别是和上的点，若，，，，则的值为（    ）    A．10 B．12 C．15 D．18 9．如图所示，某一时刻，一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上．此时，小明竖起1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地面上的影子长为3米，墙壁上的影子CD高为2米．小明利用这些数据很快算出了电线杆AB的高为(　　) A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 二、填空题 10. 已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 . 11. 如图，在中，点、分别在边、上，，若，，，则 ．    12.如图，光源在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则与间的距离是________．  13.如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若＝，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为________． 三．解答题。 14．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB. 15. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，，，三点共线，求旗杆的高度． 16．某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔52 m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4 m到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年湘教版九年级上册数学第一章图形的相似1.6相似三角形的应用答案 一、选择题 1.在同一时刻，身高的小强的影长是，旗杆的影长是，则旗杆高为（ ） A. B. C. D. 【解答】解：设旗杆高为 ． 根据在同一时刻物体高度与影长成比例可得： ， 解得：． 故选． 2.如图，利用标杆测量建筑物的高度．已知标杆高，测得，.则建筑物的高是(        ) A. B. C. D. 【解答】 解：∵ ， ∴ ， ∴ ，即， ∴ ． 故选. 3.[解析] ∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴＝. 若设旗杆的高为x m，则＝，解得x＝10.5.故选C. 4．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图3－5－5获得，则井深为(　　) A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺 　[解析] 依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE， 即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5， ∴BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺)．故选B. 5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝30m，EC＝15m，CD＝30m，则河的宽度AB长为（　　） A．90m B．60m C．45m D．30m 【解析】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°，又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等）， ∴△ABE∽△DCE，∴，即，解得AB＝60m．故选：B．  6.如图是小明测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，然后，后退至点，从点经平面镜刚好看到古城墙的顶端处，已知，，且测得＝米，＝米，＝米，那么该古城墙的高度是（ ） A.米 B.米 C.米 D.米 【解答】由题意可得：＝， 又∵ ＝， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得：＝． 7．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐到地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为（　　） A．1.5mB．1.6mC．1.86m D．2.16m 【解析】∵BE∥AD，∴△BCE∽△ACD，∴即且BC＝1，DE＝1.8，EC＝1.2∴∴1.2AB＝1.8，∴AB＝1.5m．故选：A． 8．如图，D、E分别是和上的点，若，，，，则的值为（    ）    A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意； 9．如图所示，某一时刻，一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上．此时，小明竖起1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地面上的影子长为3米，墙壁上的影子CD高为2米．小明利用这些数据很快算出了电线杆AB的高为(　　) A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 　[解析] 延长AC交BD的延长线于点E，易知△CDE∽△PQR， ∴＝，即＝， ∴DE＝1(米)，∴BE＝3＋1＝4(米)． 又易知△ABE∽△PQR， ∴＝，即＝， ∴AB＝8(米)． 二、填空题 10. 已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 . 【答案】 【详解】解：∵点D是线段的中点， ∴ ∵ ∴， 即， 解得． 11. 如图，在中，点、分别在边、上，，若，，，则 ．    【答案】 【详解】解：， ， ， ，，， ， ． 12.如图，光源在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，，点到的距离是，则与间的距离是________． 【解答】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∵ 点到的距离是， 设离地面的距离为：， ∴ ， 解得：. 故答案为：.  13.如图，在一块斜边长的直角三角形木板上截取一个正方形，点在边上，点在斜边上，点在边上，若＝，则这块木板截取正方形后，剩余部分的面积为________． 解：设＝，则＝， ∵ 四边形为正方形， ∴ ＝＝，， ∴ ， ∴ ， ∴ ＝， 在中，＝，即＝， 解得，＝， ∴ ＝，＝， ∴ 剩余部分的面积， 14．如图3－5－7(示意图)，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，求树高AB. 解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB， ∴△DEF∽△DCB， ∴＝，即＝， 解得BC＝4(m)． ∵AC＝1.5 m， ∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)， 答：树高AB为5.5 m. 15. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，，，三点共线，求旗杆的高度． 解：如图，，，， 则， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即，解得， ∴ ， 16．某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔52 m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4 m到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高． 解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴＝，＝. ∵CD＝DG＝EF＝2 m，DF＝52 m，FH＝4 m， ∴＝， ＝， ∴＝， 解得BD＝52(m)， ∴＝， 解得AB＝54(m)． 答：建筑物的高为54 m. 学科网（北京）股份有限公司 $