第二单元等腰三角形之轴对称复习2026-2027学年浙教版八年级数学上册

2026-2027年浙教版八年级第一学期第二单元复习：等腰三角形之轴对称 【知识导图】 【知识梳理】 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.两个图形成轴对称 把两个图形沿着某一条直线折叠，如果它们能够重合，就说这两个图形关于这条直线对称（成轴对称）。 区别：轴对称图形是1 个图形自身对称；成轴对称是2 个图形的位置关系。 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 对应点、对应线段、对应角 折叠后重合的点叫对应点（对称点）；重合的线段、角叫对应线段、对应角。 二、轴对称的性质（必考） 1.关于某条直线对称的两个图形全等。 2.对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 即：对称轴⊥对应点连线，并且平分这条连线。 3.对应线段相等，对应角相等；如果对应线段或延长线相交，交点一定在对称轴上。 三．最短路径问题（将军饮马模型，重难点） 1.模型：直线同侧两点，在直线上找一点 P，使 PA+PB 最小 2.做法：作其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为 P；此时线段长度就是 PA+PB 最小值。 3.原理：轴对称转化线段，两点之间线段最短。 【一阶练习】 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2.2025年3月，国家卫健委提出实施“体重管理年”3年行动．下面运动标识是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4.窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（　　） A．B． C．D． 5.中国汉字文化源远流长，篆书是汉字古代书体之一．下列篆体字“大”“美”“中”“原”中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6.2024年11月29日、中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”．如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　） A．B． C．D． 8.如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）． A. B. C. D. 9.如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 10.如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【二阶练习】 1.如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，OP＝3，M、N分别是OA、OB上的动点，则△PMN的周长的最小值是 　 　 ． 2.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______． 3.如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是______． 4.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是_____． 【三阶练习】 1.在如图所示的10×10的方格图中，点A，B，C，D均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为1，按要求作答． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）画出线段AB的垂直平分线l，分别交AB，CD于点M，N．并求出MN的长． 2.如图所示，在正方形网格上有一个△ABC． （1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）； （2）在MN上找一点P，使得PA+PB最小； （3）若网格上每个小正方形边长为1，求△ABC的面积． 3.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，按要求解下列问题：（1）写出点C关于x轴的对称点C′的坐标； （2）判断△ABC′的形状并说明理由． 4.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P有 个； （3）请在直线l上找一点Q，使的值最小． 5.如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． （1）格点（顶点均在格点上）的面积＝ ； （2）画出格点关于直线对称的； （3）在上画出点P，使最小． 6.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均落在格点上． （1）画出中边上的高线． （2）用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （3）画出关于直线轴对称图形． （4）在直线上找到一点，使与的长度之和最小． 7.如图，在正方形网格上一个，且每个小正方形的边长为1（其中点均在网格上） （1）作关于直线的轴对称图形； （2）在上画出点P，使得最小． 8.如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． （3）在直线上求作一点P，使最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版八年级第一学期第二单元复习：等腰三角形之轴对称 【知识导图】 【知识梳理】 一、基本概念 1.轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2.两个图形成轴对称 把两个图形沿着某一条直线折叠，如果它们能够重合，就说这两个图形关于这条直线对称（成轴对称）。 区别：轴对称图形是1 个图形自身对称；成轴对称是2 个图形的位置关系。 联系：把成轴对称的两个图形看成整体，就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分开，得到两个成轴对称的图形。 对应点、对应线段、对应角 折叠后重合的点叫对应点（对称点）；重合的线段、角叫对应线段、对应角。 二、轴对称的性质（必考） 1.关于某条直线对称的两个图形全等。 2.对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 即：对称轴⊥对应点连线，并且平分这条连线。 3.对应线段相等，对应角相等；如果对应线段或延长线相交，交点一定在对称轴上。 三．最短路径问题（将军饮马模型，重难点） 1.模型：直线同侧两点，在直线上找一点 P，使 PA+PB 最小 2.做法：作其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点，和直线交点即为 P；此时线段长度就是 PA+PB 最小值。 3.原理：轴对称转化线段，两点之间线段最短。 【一阶练习】 1.下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 故选：B． 2.2025年3月，国家卫健委提出实施“体重管理年”3年行动．下面运动标识是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项B、C、D的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项A的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 3.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 4.窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（　　） A．B． C．D． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【解答】解：C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：C． 5.中国汉字文化源远流长，篆书是汉字古代书体之一．下列篆体字“大”“美”“中”“原”中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 6.2024年11月29日、中央电视台公布了2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”．如意纹是中国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案． 【解答】解：A、B，C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 7.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　） A．B． C．D． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 8.如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连接、、关于对称． ∴． ∴，当、、三点共线得最小． ∴，选． 9.如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点，当A、P、G三点共线时，AP+PQ的值最小，求出AG的长即为所求． 【详解】解：过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴PG=PQ， ∴PA+PQ=AP+PG≥AG， ∴当A、P、G三点共线时，AP+PQ的值最小， ∵BC=10，△ABC的面积为24， ∴AG=， ∴AP+PQ的最小值为， 故选：C． 10.如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（　　） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论． 【详解】解：作关于的对称点， 是的角平分线， 点一定在上， 过作于，交于， 则此时，的值最小，的最小值， 过作于， 的面积为12，长为6， ， 垂直平分， ， ， ， 的最小值是4， 故选：B． 【二阶练习】 1.如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，OP＝3，M、N分别是OA、OB上的动点，则△PMN的周长的最小值是 　3　 ． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【分析】分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解． 【解答】解：作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，连接OP1，OP2，则此时△PMN的周长的最小值＝P1P2， ∵OP1＝OP＝OP2＝3，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，MP＝P1M1，PN＝P2N， ∵∠AOB＝30°， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°， ∴△OP1P2是等边三角形． △PMN的周长＝P1P2， ∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝3． ∴△PMN的周长的最小值是3， 故答案为：3． 2.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在轴上运动，以为边作等腰，（点，，呈顺时针排列），当点在轴上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E，易证∆CDA≅∆ AEB，从而得AD=BE=OA=5，作点A关于CD的对称点A′，由三角形三边长关系得：当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点A作直线l⊥x轴，过C，B作CD⊥l于点D，BE⊥l于点E， ∵∠DCA+∠CAD=90°，∠EAB+∠CAD=180°-90°=90°， ∴∠DCA=∠EAB， 又∵∠CDA=∠AEB=90°，AB=AC， ∴∆CDA≅∆ AEB（AAS）， ∴BE=AD， ∵， ∴AD=BE=OA=5， 作点A关于CD的对称点A′，连接CA′，则点A′在直线l上，DA′=DA=5，AC=A′C， ∴=OC+A′C， ∵在∆COA′中，OC+A′C≥OA′， ∴当O，C，A′三点共线时，有最小值=OA′，此时，OA′=， ∴最小值=． 故答案是：． 3.如图，在中，，，，点为上一点，点分别是点关于的对称点，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由轴对称的性质得到，，得到，，则是等腰直角三角形，得到，当取得最小值时，则，此时取得最小值，求出，即可得到的最小值． 【详解】解：连接， ∵点分别是点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为上一点， ∴当取得最小值时，则，此时取得最小值， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 4.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论． 【详解】解：∵EF垂直平分BC， ∴B、C关于EF对称， 设AC交EF于点D， ∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长， ∴△ABP周长的最小值是5+7=12． 故答案为：12． 【三阶练习】 1.在如图所示的10×10的方格图中，点A，B，C，D均在小方格的顶点上，设每个小方格的边长为1，按要求作答． （1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1； （2）画出线段AB的垂直平分线l，分别交AB，CD于点M，N．并求出MN的长． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据线段垂直平分线的性质画图即可；利用勾股定理计算MN的长即可． 【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求． （2）如图，直线l即为所求． 由勾股定理得，MN． 2.如图所示，在正方形网格上有一个△ABC． （1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）； （2）在MN上找一点P，使得PA+PB最小； （3）若网格上每个小正方形边长为1，求△ABC的面积． 【专题】作图题；几何直观． 【分析】（1）作出A、B、C关于直线MN的对称点A′、B′、C′即可； （2）连接BA′交MN于P，点P即为所求； （3）利用割补法求面积即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求； （2）连接CA′交MN于P，点P即为所求； （3）． 3.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，按要求解下列问题：（1）写出点C关于x轴的对称点C′的坐标； （2）判断△ABC′的形状并说明理由． 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据关于x轴对称两个点坐标的特征进行解答即可； （2）利用网格、勾股定理以及逆定理进行解答即可． 【解答】解：（1）由题意可知，点C的坐标为（3，﹣2），点C（3，﹣2）关于x轴对称的点C′（3，2）； （2）由网格，勾股定理可得，AC′2＝12+32＝10，AB2＝12+72＝50，BC′2＝22+62＝40， ∴AC′2+BC′2＝AB2， ∴△ABC′是直角三角形． 4.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） （2）若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P有 个； （3）请在直线l上找一点Q，使的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作线段垂直平分线，两点间线段最短等知识． （1）分别作出三顶点A、B、C关于l的对称点、、，再依次连接即可； （2）根据网格特点作出线段的垂直平分线后，即可确定点P的个数； （3）连接交直线l于点Q，则点Q满足条件要求． 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：作出线段的垂直平分线，如图， 则满足条件的格点有4个； 【小问3详解】 解：如图，连接交直线l于点Q，则点Q满足的值最小． 5.如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． （1）格点（顶点均在格点上）的面积＝ ； （2）画出格点关于直线对称的； （3）在上画出点P，使最小． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格，用矩形减去部分三角形面积，算出的面积即可； （2）先画出点A、B、C关于直线的对称点、、，连接即可得到； （3）根据抽对称、两点之间线段最短，连接和的交点P，使最小，即最小． 【小问1详解】 ， 故答案为：5 【小问2详解】 分别作点A、B、C关于直线对称点、、，连接即可得到， 所作图形如图所示： 【小问3详解】 如图所示： 连接和的交点即为点P，使最小 和关于直线对称，点P在上， ， 根据两点之间线段最短，连接和的交点P，使最小，即最小． 6.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均落在格点上． （1）画出中边上的高线． （2）用直尺和圆规，作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法）． （3）画出关于直线轴对称图形． （4）在直线上找到一点，使与的长度之和最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的尺规作图，画轴对称图形和最短路径问题： （1）根据三角形高的画法画图即可； （2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （3）根据轴对称图形的画法画图即可； （4）根据两点之间线段最短画图即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求 【小问2详解】 解：如图，即为所求 【小问3详解】 解：如图，即为所求； 【小问4详解】 解；如图，点即为所求． 7.如图，在正方形网格上一个，且每个小正方形的边长为1（其中点均在网格上） （1）作关于直线的轴对称图形； （2）在上画出点P，使得最小． 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可． （2）连接交于点P，连接，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 如图，连接交于点P，连接，点P即为所求． 8.如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． （3）在直线上求作一点P，使最小． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图—轴对称变化、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键． （1）先找出点、点、点关于直线的对称点，再依次连接对称点即可． （2）先求出所在的长方形的面积，再求出长方形里其他三个直角三角形的面积，用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可． （3）先找出点关于直线的对称点，连接与直线相交于点，即的最小值就是线段的长度． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：的面积． 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． ，故最小为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $