2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考练习试题 （山西专用）

绝密★启用前 2026-2027学年第一次月考数学练习卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第25-26章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 3．将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 4．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 5．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向及直线增减性，根据b的符号确定直线与y轴交点位置，结合进行判断． 【详解】解：A、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、四象限知且，则，与已知矛盾； B、由抛物线开口向上知，由直线过第一、三、四象限知且，则，与已知矛盾； C、由抛物线开口向下知，由直线过第一、二、三象限知，a的符号矛盾； D、由抛物线开口向下知 ，由直线过第二、三、四象限知且 ，则，符合题意． 6．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 7．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求抛物线的对称轴与开口方向，利用对称性将点转化到对称轴同侧，结合增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 点关于直线的对称点为 ∵当时，随的增大而减小，且， ∴． 9．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】将抛物线一般式配方为顶点式，结合二次函数图象性质判断各选项. 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； ∴A、B选项错误； 令，则，解得， ∴抛物线与轴只有一个交点，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项正确. 10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，，求出，得出大正方形的面积为，即可得出边长为，根据，求出x的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程，则，， ∴，， ∴，（负值舍去）， 即， 则， ∴原方程为：， ∴大正方形的面积为， ∴边长为， ∴， ∴． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次项系数不能为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程 是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 故答案为． 12．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∵， ∴将代入得． 13．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 14．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】根据，顶点，设抛物线的解析式为，用待定系数法求解析式即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 顶点， ， 把代入得， , ， ． 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ， 或 解得； （2）解： ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ， 解得； （4）解： ， ， ， 解得. 17．（6分）习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，   第一步 所以，即，   第二步 所以方程没有实数根．   第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，   第一步 两边都除以，得．   第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法从第一步开始错误；琪琪的解法从第二步开始错误． (2)解：嘉嘉的解法： ， 原方程可化为， ， ， ， ，． 琪琪的解法：， ， ， ， ，． 【分析】（1）根据嘉嘉和琪琪的解题步骤就可以找出错误． （2）嘉嘉的解法是按照配方法解一元二次方程，琪琪的解法是按照提公因式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：嘉嘉在解方程移项时，未知数的符号没有变， 嘉嘉的解法从第一步就错了． 琪琪两边都除以了一个带未知数的整式， 琪琪的第二步解法是错误的． （2）略． 18．（8分）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】(1)， (2)当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； （2）解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 19．（9分）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出时y的值可得点C的坐标，求出时x的值可得点A和点B的坐标； （2）根据（1）所求求出的面积，则可得到的面积，根据三角形的面积公式求出点M的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，则， 当时，则，解得，则； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∴ ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴ ，即， ∴，即， 在中，当时，，此时方程无解，不符合题意； 在中，当时，，解得， ∴点的坐标为或． 20．（10分）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），； （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个； （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）略 21．（10分）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 【答案】(1)； (2) 解：是方程的一个根， ，， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或； (3) 证明：方程为“相似系”一元二次方程， ， 在中， 由勾股定理得， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、等边对等角、勾股定理，解决本题的关键是根据“相似系”一元二次方程的定义找到方程系数之间的关系． （1）根据“相似系”一元二次方程的定义求出即可； （2）根据关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，可得：，，从而可得：，解方程求出即可； （3）根据方程为“相似系”一元二次方程，可得，根据勾股定理可知，从而可得：，利用完全平方公式分解因式可得：，根据等边对等角可证结论成立． 【详解】（1）解：一元二次方程是“相似系”一元二次方程， 由题意可知， 解得：； （2）略 （3）略 22．（12分）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 23．（12分）2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 (1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． (2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 (3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． 【答案】(1)春秋两季函数解析式为，夏季发电量最大时倾斜角为； (2) (3)①；② 【分析】（1）观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为，利用待定系数法即可求出春秋两季函数解析式，再根据夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度，可得顶点坐标，即可得到夏季发电量最大时光伏板的倾斜角； （2）根据题意，利用二次函数的平移规律即可解答； （3）先求出，①令，求解即可得出结果；②令求解即可得出结果． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，y是关于x的二次函数，且顶点坐标为， 设函数解析式为 ， 代入点得 解得 ∴春秋两季函数解析式为， 夏季函数图象向左平移2个单位，顶点横坐标变为， 因此夏季发电量最大时倾斜角为； （2）解：冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度，再整体增加发电量36千瓦时（向上平移36个单位）， ∴； （3）解：同理（2）得升级后夏季函数解析式为， ①当差值，即时，则， 化简得， 解得， 则光伏板倾斜角x的度数为； ②由题意得，则， 即， 解得， 即光伏板倾斜角的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026-2027学年第一次月考数学练习卷 （人教版） 考试范围：九年级上册第25-26章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 5．以下四个选项中，能在同一平面直角坐标系中表示和的图象的是（     ） A． B． C． D． 6．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴是直线 C．与轴有两个不同的交点 D．当时，随的增大而增大 10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如：的方程的一个正数解，方法为：如图1，将四个长为x，宽为的长方形纸片（面积均为14）拼成一个大正方形，得到大正方形的面积为：，边长，可依据求得是方程的一个正数解．小明按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形，如图2，已知正方形的面积为24，小正方形的面积为8，则方程的正数解为（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 12．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 13．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 14．“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象．水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P， ，水嘴高 ，以A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则图中抛物线的解析式为________________（不用写出自变量的取值范围）． 15．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（6分）习题课上，老师给了一道方程：． 嘉嘉的解法是：原方程可化为，   第一步 所以，即，   第二步 所以方程没有实数根．   第三步 琪琪的解法是：原方程可化为，   第一步 两边都除以，得．   第二步 (1)他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； (2)写出方程正确的解题过程． 18．（8分）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 19．（9分）如图所示，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点M，使得的面积是面积的2倍．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 20．（10分）项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 21．（10分）阅读与思考 下面是小康同学的学习笔记的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务． “相似系”一元二次方程 【概念理解】在一元二次方程中，当时，我们把这样的一元二次方程称为“相似系”一元二次方程．例如，一元二次方程就是“相似系”一元二次方程． 【问题1】若关于的一元二次方程是“相似系”一元二次方程，则▲． 【问题2】若关于的方程为“相似系”一元二次方程，且它的一个根为，求出的值． 解：方程为“相似系”一元二次方程， ， …… 任务： (1)问题1中，“▲”应填写_____． (2)补全问题2中剩余部分的解答过程． (3)已知（）的三边分别是，，，且关于的方程为“相似系”一元二次方程．求证：． 22．（12分）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 23．（12分）综合与探究 2026年山西省人民政府办公厅印发的《山西省加快能源绿色低碳转型发展实施方案》，文件明确提出：“立足就近接人、就近消纳，推动新能源与煤炭、交通、建筑、农业等多领域融合发展．有序推动风电、光伏发电项目改造升级，提升风光资源和土地利用效率．” 【数据收集】高平某农业园区积极响应政策，建成农光互补示范基地．以下是有关光伏板设置参数分析． 信息1：经实测，该地区大棚的每150平方米光伏板，在春秋两季，光伏板倾斜角x（单位：度）与日发电量y（单位：千瓦时）可近似满足下列函数关系： x/度 18 22 24 28 30 32 36 42 y/千瓦时 70 80 83.5 87.5 88 87.5 83.5 70 信息2：受季节变化影响，在春秋两季日发电量y的基础上： ①夏季太阳高度角偏大，日发电量函数图象整体向左平移2个单位长度； ②冬季太阳高度角偏小，日发电量函数图象整体向右平移2个单位长度． 【模型建立】 (1)求春秋两季时，日发电量y关于光伏板倾斜角x的函数解析式，分析题意，直接写出该园区光伏板夏季发电量最大时光伏板的倾斜角． (2)若园区预计升级新一代高效光伏组件，升级后的光伏板每150平方米的日发电量增加36千瓦时，直接写出该园区冬季升级后的光伏板日发电量与光伏板倾斜角x之间的函数解析式． 【问题解决】 (3)园区升级光伏板后，记夏季与冬季发电量差值为k，为保证全年发电量均衡，避免季节性发电波动明显． ①当发电量差值为0时，光伏板倾斜角x的度数为______； ②若要求每150平方米光伏板日发电量差值不超过5千瓦时，求光伏板倾斜角x的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $