精品解析： 山西省大同市第六中集团校2022-2023学年九年级上学期学科竞赛数学试卷

2022-2023学年山西省大同六中集团校九年级（上）学科竞赛数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. （中华优秀传统文化）中国剪纸是一种用于装点生活的民间艺术，其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的生活理想和审美情趣，具有认知、教化等多重社会价值，下列几种剪纸图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. （4，﹣3） B. （﹣4，3） C. （0，﹣3） D. （0，3） 3. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，且于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（ ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A. B. 或 C. D. ﹣ 8. 如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 9. 我们解方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 函数思想 B. 数形结合思想 C. 公理化思想 D. 转化思想 10. 如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若是关于x的二次函数，则m=_______． 12. 已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+n上，则y1，y2，y3的大小关系是 _____（用“＜”连接）． 13. 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是_________．（只需写一个） 14. 据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________． 15. 小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 三、解答题（本大题共6个小题，共60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 17. 如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上） 18. 你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．长方形面积为3，小正方形面积为4． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ， 两边开方可求得：． 则上述过程中，按顺序横线上应填入 ， ． 19. 大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 20. 在正方形中，点、分别在边、上，且． （1）将绕点顺时针旋转，得到（如图①），求证：； （2）直线与、的延长线分别交于点、（如图②），求证：； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图③），直接写出线段、、之间的数量关系． 21. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连结，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年山西省大同六中集团校九年级（上）学科竞赛数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. （中华优秀传统文化）中国剪纸是一种用于装点生活的民间艺术，其传承的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的生活理想和审美情趣，具有认知、教化等多重社会价值，下列几种剪纸图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故该选项符合题意， C．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 2. 在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. （4，﹣3） B. （﹣4，3） C. （0，﹣3） D. （0，3） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：本题考查了点的坐标、关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减，纵坐标不变；根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），可得关于原点的对称点，再根据点的坐标向左平移减，纵坐标不变，可得答案． 解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3）， 故选C． 考点：1．关于原点对称的点的坐标；2．坐标与图形变化-平移． 3. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到△=（-2）2-4m＜0，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：根据题意得△=（-2）2-4m＜0， 解得m＞1． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 5. 如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 6. 如图，在中，将绕点C顺时针旋转得到，且于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转的性质及互余关系求角度即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ， ， ． . 7. 下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（ ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A. B. 或 C. D. ﹣ 【答案】B 【解析】 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 8. 如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，找旋转中心，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转的性质，可知对应点到旋转中心的距离相等，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，得，只有， 故B，C，D都错误，A正确， 故选：A． 9. 我们解方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 函数思想 B. 数形结合思想 C. 公理化思想 D. 转化思想 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，题目中所给的解方程的方法是把一元二次方程转化为两个一元一次方程，由此解答即可. 【详解】题目中所给的解方程的方法叫因式分解法，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体现了转化的数学思想. 故选D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程运用的数学思想，利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程，运用了转化的数学思想. 10. 如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①;②;③;④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据图象与x轴的交点个数，即可判断①；根据抛物线的对称性可得与x轴的另一交点在点和之间，即可判断②；根据函数的对称轴，即可判断③；将点代入即可判断④． 【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴有两个交点， ∴有两个不同的根， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间， ∴与x轴的另一交点在点和之间， ∴时，，故②错误； ∵抛物线的顶点为， ∴，即，故③正确； 当时，， 故④正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 若是关于x的二次函数，则m=_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出方程，解方程后综合考虑取值即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，解得：， ∴． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了二次函数定义，解题的关键是熟练掌握二次函数定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量． 12. 已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）在抛物线y＝﹣（x+1）2+n上，则y1，y2，y3的大小关系是 _____（用“＜”连接）． 【答案】y2＜y1＜y3 【解析】 【分析】根据题意，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，根据对称性可得C（﹣2，y3）与点（0，y3）关于直线x＝﹣1对称，进而根据二次函数图象的性质可得当x＞﹣1时，y随x增大而减小，即可判断y2＜y1＜y3． 【详解】解：∵y＝﹣（x+1）2+n， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小， ∵C（﹣2，y3）与点（0，y3）关于直线x＝﹣1对称，且﹣1＜0＜1＜2， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：y2＜y1＜y3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 13. 已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是_________．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】由题意设该抛物线的解析式为， 又∵二次函数的图像开口向上， ∴a＞0， ∴这个二次函数的解析式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解． 【详解】解：根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值 列方程得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键． 15. 小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子设计稿，若，，则杯子的高的长为 _____． 【答案】 11 【解析】 【分析】首先由求出D点的坐标为，然后根据，可知B点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 三、解答题（本大题共6个小题，共60分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 关于x的一元二次方程，求证：方程总有两个实数根． 【答案】 证明：∵ ∴ ∴方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】根据根的判别式可得，即可得证方程总有两个实数根． 【详解】略 【点睛】本题考查了一元二次方程根的问题，掌握根的判别式是解题的关键． 17. 如图，方格纸中有三个点，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上） 【答案】 如图： 【解析】 【分析】可以从特殊四边形着手考虑，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 【详解】略 18. 你知道古代数学家怎样解一元二次方程吗？ 以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示． 第四步：计算大正方形面积用x表示为 ．长方形面积为3，小正方形面积为4． 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程 ， 两边开方可求得：． 则上述过程中，按顺序横线上应填入 ， ． 【答案】， 【解析】 【分析】利用代数式表示出大正方形的面积，然后根据面积的数量关系列出方程． 【详解】解：计算大正方形面积用x表示为； 由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程． 19. 大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 【答案】（1） （2）每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元 （3）每星期至少要销售该款童装170件 【解析】 【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． （3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设每星期利润为元， ， 当时，随的增大而增大， 时，最大值， 当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元； 【小问3详解】 ①由题意：， 解得：或47， 当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润． ②由题意：， 解得：， ． ， 每星期至少要销售该款童装170件． 【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 20. 在正方形中，点、分别在边、上，且． （1）将绕点顺时针旋转，得到（如图①），求证：； （2）直线与、的延长线分别交于点、（如图②），求证：； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图③），直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得，利用全等三角形的性质得，，得，，可证，则，根据线段的和差即可得出结论； （2）将绕着点顺时针旋转，得到，连接．由（1）知，则．再由、、均为等腰直角三角形，得出，，，然后证明，，利用勾股定理得出，等量代换即可证明； （3）延长交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．由（1）知，结合勾股定理以及相等线段可得，所以． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 由旋转得， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， 由旋转得， ， ， ； 【小问2详解】 证明：设正方形的边长为． 将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则，． 由（1）知， ． ， ， 、、均为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：． 如图所示，延长交延长线于点，交延长线于点， 将绕着点顺时针旋转，得到，连接，．过作，交的延长线于， ，，， 由（1）知， 由（2）知，、、、均为等腰直角三角形， 由勾股定理有， 即 又，，， ， 即， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 21. 已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连结，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）当时，，的面积有最大值； （3）存在点P使为等腰直角三角形， 点P的坐标为：或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）过点P作与点M，交于点N，作于点G，先求出直线解析式为，设，则，由，列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得； （3）由知，据此由得，结合知若为等腰直角三角形，则，从而得出点E与点A重合，求出时x的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点P作与点M，交于点N，作于点G， 设直线解析式为，将点代入，得： ， 解得：， 则直线AB解析式为， 设，其中， 则， ， ， 当时，，的面积有最大值； 【小问3详解】 解：如下图，存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 为等腰直角三角形，则，点， 函数的对称轴为：，则点E的横坐标为：， 则，即|， 解得：或或或（舍去和）， 点P的坐标为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $