2026-2027学年华东师大版九年级数学上册第一次月质量检测练习试题（山西专用）

绝密★启用前 2026-2027学年第一次月考数学练习卷 （华东师大版） 考试范围：九年级上册第20-21章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 5．下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 7．由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 9．化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（    ） A． B． C． D． 10．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可） 12．计算：________． 13．小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 14．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 15．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是__ ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（6分）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 18．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 19．（9分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 20．（10分）如图，小华家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，小华准备在空地中划出一块长为，宽为的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜部分的面积． 21．（10分）阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 22．（12分）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为和的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案． 欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若畅畅的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”） 23．（12分）综合与探究 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026-2027学年第一次月考数学练习卷 （华东师大版） 考试范围：九年级上册第25-26章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列二次根式属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项B：是最简二次根式，符合题意． 选项C：，不是最简二次根式，不符合题意； 选项D：，不是最简二次根式，不符合题意． 2．用公式法解一元二次方程的根为，该方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答即可． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项，，计算错误， C选项，，计算正确， D选项，，计算错误． 4．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 5．下列方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项方程的判别式，选出判别式等于0的选项即可． 【详解】解：A、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； B、 ，，，， ， 方程有两个相等的实数根，符合题意； C、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； D、 ，，，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 综上，有两个相等的实数根的是B． 6．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示动摩擦因数．若在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车行驶的速度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，直接将给定的和代入经验公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故肇事汽车行驶的速度约为， 故选：D． 7．由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 8．古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程，即为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为，它又等于，据此可得．上述求解过程中所用的数学思想方法是（    ） A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．函数方程思想 D．转化思想 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，根据题干中给出的信息即可得出答案，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题干中给出的信息可知，所用的思想为数形结合思想， 故选：B． 9．化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得烧杯的单价为元，根据购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍，即可列出方程． 【详解】解：设导管的单价为元，则烧杯的单价为元， 根据题意，得，即． 故选：D． 10．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数在的图象如图所示，则在该范围内方程的解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义和函数图象讨论：当时，则；当时，则；当时，则，然后分别解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得； 当时，，方程没有实数解； 所以在该范围内方程的解有两个：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，根据新定义和函数图象讨论是解题的关键．也考查了实数的大小比较． 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．若式子有意义，则实数的值可以为__________．（填一个符合要求的的值即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的要求，被开方数需为非负数，据此列出不等式求解得到的取值范围，任选范围内一个值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数， ∴ ， 解得 ， 在取值范围内任取一个值即可，例如． 12．计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 13．小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：），根据实验，发现与的关系近似满足（不考虑风速的影响）．若分别从，高处下落到落地所需时间分别为，，则是的____________倍． 【答案】 【详解】解：当时，代入中， 可得 ， 当时，代入中， 可得 ， 所以 ， 则是的倍． 14．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则______． 【答案】 【分析】设两根满足倍数关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出两根，进而计算的值，再验证判别式符合有两个实数根的条件． 【详解】解：∵方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴设方程的两个根分别为和， 对于一元二次方程，由根与系数的关系可知，两根之和为，两根之积为， ，解得， 方程的两个根为和， ， 验证得此时判别式，方程有两个实数根，符合题意． 15．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的是__ ． 【答案】①③④ 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ， ，故①正确； 若是方程的一个根，则， 或，故②错误； 若，则， 即有一个根是，故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)3 (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 17．（6分）某同学解一元二次方程的解题步骤如下： 解：① ② ③ ④ 该方程没有实数根⑤ (1)问：这位同学解方程过程中从第___________步开始出现错误，错误原因是___________． (2)请写出用配方法解方程的正确过程． 【答案】(1)第③步，方程两边未同时加上 (2) 或 【分析】（1）根据解方程的步骤分析判断即可； （2）利用配方法得出，解方程即可． 【详解】（1）解：这位同学解方程的过程中，从第③步开始写错了，错误原因是方程两边未同时加上． （2） 略 18．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)； 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 （3）解：∵ ∴ 当时 原式 19．（9分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】(1)证明：∵， 无论当m取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)m的值为1或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵的两个实数根为a，b， ，． ∵， ，． ，即． 解得或． m的值为1或． 20．（10分）如图，小华家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，小华准备在空地中划出一块长为，宽为的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，涉及到二次根式的混合运算，根据题意正确列式是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，即可列式作答． 【详解】（1）解：长方形空地的周长 ； （2）解：种植青菜部分的面积 ． 21．（10分）阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 【答案】(1)， (2)无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【详解】（1）解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 22．（12分）综合与实践 问题情境：学校计划利用长和宽分别为和的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案． 欣欣的方案：如图1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱． 畅畅的方案：如图2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱． (1)若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积． (2)若畅畅的方案中正方形②的边长为，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积． (3)若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是，则___________的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大．（填“欣欣”或“畅畅”） 【答案】(1) (2) (3)欣欣 【分析】本题考查了二次根式的应用，几何体的展开图，数形结合是解题的关键； （1）根据图1，根据正方形的面积公式进行计算即可求解； （2）根据图2，得出盖长方体铁箱的宽为，长为，进而求得体积； （3）分别求得两个方案中长方体铁箱的体积，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， 裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积为 （2）解：四个直角处的小正方形边长为 无盖长方体铁箱的宽为，长为 裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积为 （3）这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的高为，则底面正方形①的边长是， 底面积是： 体积为： 畅畅的方案中正方形②的边长为，则制作的无盖长方体铁箱的宽为： 底面积为， 体积为 ∵ ∴欣欣的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大． 故答案为：欣欣． 23．（12分）综合与探究 【项目背景】： 学校项目式学习小组针对我市文旅产品“佛宝宝”的销售获利情况开展项目式学习活动，请你与他们共同完成该项目任务． 【驱动问题】： 数学来源于生活，也服务于生活，请你运用所学数学知识帮助销售店老板决策． 【分步探究】： 任务一：市场调查 某文创店以15元/个的成本购入“佛宝宝”钥匙扣．项目式小组同学帮老板调查了近5天该钥匙扣的售价与日销售量情况，记录如下： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 售价x/（元/个） 20 30 18 22 26 日销售量y（个） 50 30 54 46 38 (1)建立 建立平面直角坐标系，横轴表示售价x（单位：元/个），纵轴表示日销售量y（单位：个），将整理好的数据在平面直角坐标系中描出． (2)观察各点的分布规律，请你建立适当的函数模型刻画它们之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）． 任务三：问题解决 (3)若老板希望每天获得的利润为288元，且尽可能让利于顾客，求每个钥匙扣的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)21 【分析】（1）将售价x看作点的横坐标，日销售量y看作点的纵坐标，把所有的点的位置确定出来； （2）观察各点的分布规律，所有的点呈一条直线，确定售价x与日销售量y满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式； （3）根据利润公式确定一元二次方程，为尽可能让利于顾客，确定最终答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察函数图象发现，售价x与日销售量y满足一次函数关系， ∴设， 将、代入得， 解得， ∴； （3）解：设每个钥匙扣的售价应定为x元， 根据题意可得， 整理得， ∴， 解得：，， ∵尽可能让利于顾客， ∴， 答：每个钥匙扣的售价应定为21元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $