专题7 有理数的乘除混合运算综合应用（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题7 有理数的乘除混合运算综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 题型九 有理数乘除法与数轴结合 题型十 有理数乘除法与绝对值结合 题型十一 有理数乘除法综合应用 题型十二 裂项相消法解决规律计算问题 题型十三 有理数乘除法的新定义问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 有理数乘除运算中的符号规律 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【针对训练】 1．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 知识点02 有理数乘除中的凑整、凑1技巧 多个有理数连除时，先将除法全部转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数），再对分子分母进行约分，多个互为倒数的因数可以直接凑1抵消，简化运算。 【针对训练】计算 (1) (2) 知识点03 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； ②任何数同0相乘，都得0； ③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 注意：乘积是1的两个有理数互为倒数；正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数. 例如：1；1 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【针对训练】 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 2．计算 （     ） A． B． C． D． 3．________； 知识点04 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab＝ba. （2）乘法结合律：（ab）c＝ a（bc） （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac 【针对训练】 1．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 2．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 知识点05 有理数除法法则 1. 有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：。 2. 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3. 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【针对训练】 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 2．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 3．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 知识点06 有理数的乘除混合运算 1. 先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 2. 有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 3. 有理数的和、差、积、商仍然是有理数。 【注意】： 1. 核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数； 2. 运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算； 3. 特殊规则：0除以任何非0数得0，0不能作为除数。 【针对训练】 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 3．若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 典例精析 题型一 两个有理数的乘法运算 【例1】两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 【变式训练】定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 题型二 多个有理数的乘法运算】 【例2】如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【变式训练】一列数则 （    ） A． B． C． D． 题型三 倒数 【例3】的相反数的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的倒数是 题型四 有理数的乘法运算律 【例4】计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【变式训练】下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 题型五 有理数的除法运算 【例5】若，，则代数式的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】曾老师说，且，请你求的值（   ） A． B．0 C．1 D．以上都不对 题型六 有理数乘除混合计算问题 【例6】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【变式训练】甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 题型七 有理数的乘法的实际应用 【例7】某种商品原价为8元，现打五折促销，促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．16元 D．40元 【变式训练】水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负，如果水位每天上升，今天的水位为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 有理数的除法应用 【例8】已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【变式训练】在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是（不考虑，树和灯的宽度），如图，从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是（    ） A． B．   C．   D．   题型九 有理数乘除法与数轴结合 【例9】写出符合下列条件的数，再在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来． ①的相反数；②相反数等于本身的数；③绝对值等于2.5的负数；④的倒数；⑤；⑥． 【变式训练】月的某一个周末，某校组织七年级学生乘汽车沿公路参观6个“最美乡村”景点（设定这6个景点都在同一条直线上），约定汽车向东行驶的方向为正（图中箭头的方向为东），向西行驶的方向为负，这一天从A地出发到六个景点B、C、D、E、F、G参观，汽车行驶记录依次为：（单位：千米），，，，，．    (1)以A为原点，在数轴上标出这六个景点的位置； (2)最后一个景点在A地东边还是西边？距A地多少千米？ (3)若每千米汽车耗油升，油价元/升，则到达景点G时，共需油费多少元？ 题型十 有理数乘除法与绝对值结合 【例10】（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求：的值． （2）若，，若，求的值． 【变式训练】已知a与2互为相反数，b与互为倒数． (1)则 ， ． (2)已知，求的绝对值． 题型十一 有理数乘除法综合应用 【例11】若“”表示一种新运算，规定． (1)计算： (2)计算： 【变式训练】用一批纸装订相同的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 … 可以装订的本数 225 180 144 120 60 … (1)这批纸共有多少页？ (2)用表示每本的页数，表示可以装订的本数，请用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ (3)如果现在需要用这批纸装订80本相同的练习本，平均每本练习本有多少页？ 题型十二 裂项相消法解决规律计算问题 【例12】观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【变式训练】请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 题型十三 有理数乘除法的新定义问题 【例13】定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，，如． (1)求的值； (2)求的值． 【变式训练】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 1．有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 2．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 3．如图，某长方体形状的容器长，宽，高，容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 5．已知，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．手机上的语音转换文字功能大大减少了人们打字的烦恼．小华在使用这个功能进行转换文字时，发现有23个字转换正确，2个字转换不正确．算一算，这次转换的正确率是___________%． 7．已知和互为倒数，，那么____________ 8．对于任意两个数、，规定，则________． 9．定义新运算，则______________． 10． 11．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 12．（1）任何有理数都有相反数；（2）任何有理数都有倒数；（3）在任何一个数前面添上负号，就表示一个负数；（4）没有绝对值是的数，其中正确的是（     ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（4） 13．如图，数轴上表示3的倒数的点在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 14．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 16．已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 17．龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时．为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛．小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍．后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的．已知六个篮子里的粽子数量分别为，，，，，，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是____________，____________． 18．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 19．现在有三个仓库、，，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨） 1 2 6 0 4 2 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）若从运10吨到、运1吨到，从运7吨到，则从需要运________吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为________元． 20．定义的运算为，则________． 21．一辆货车从超市出发，向东行驶了到达小兵家，继续向东行驶了到达小颖家，然后向西行驶了到达小明家，最后回到超市． (1)以超市为原点，向东的方向为正方向，用个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上表示出小兵家、小颖家和小明家的位置． (2)小明家离小兵家多远？ (3)若货车每千米耗油 ，则这次行程货车共耗油多少升？ 22．某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）： ，，，，，，，， (1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 23．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 24．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 25．计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 26．已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 27．从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_______毫米． 28．已知，则的整数部分是______． 29．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 30．打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 31．计算： (1) (2) 32．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 有理数的乘除混合运算综合应用 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 倒数 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法运算 题型六 有理数乘除混合计算问题 题型七 有理数的乘法的实际应用 题型八 有理数的除法应用 题型九 有理数乘除法与数轴结合 题型十 有理数乘除法与绝对值结合 题型十一 有理数乘除法综合应用 题型十二 裂项相消法解决规律计算问题 题型十三 有理数乘除法的新定义问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点01 有理数乘除运算中的符号规律 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 【针对训练】 1．（1）判断的结果是正数还是负数． （2）偶数个负数相乘，其乘积是______，奇数个负数相乘，其乘积是_______（填“正数”或“负数”） （3）计算： 【答案】（）负数；（）正数，负数；（）． 【分析】（）先判断负因数个数，然后根据法则即可求解； （）根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； （）先算括号内的，再根据有理数的乘法运算符号法则，即可求解； 本题考查了有理数的乘法，几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正；根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 【详解】（）中有个负因数， ∴结果是负数； （）根据有理数的乘法运算符号法则：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负，当负因数的个数为偶数个时，积为正； 故答案为：正数，负数； （）原式 ． 知识点02 有理数乘除中的凑整、凑1技巧 1. 多个有理数连除时，先将除法全部转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数），再对分子分母进行约分，多个互为倒数的因数可以直接凑1抵消，简化运算。 【针对训练】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分数的加减法运算以及除法运算，同时涉及到对分数进行变形和化简的技巧，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的计算法则． （）本题可利用加法交换律和结合律进行简便计算，将同分母的分数或能凑整的数结合在一起； （）先把带分数化为假分数，再把被除数提取2，从而简便计算除法式子； 【详解】（1）解： （2） 知识点03 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； ②任何数同0相乘，都得0； ③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 注意：乘积是1的两个有理数互为倒数；正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数. 例如：1；1 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 【针对训练】 1．计算 的结果等于（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正，再将两个数的绝对值相乘. 与都是负数，符号相同， . 2．计算 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 3．________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 知识点04 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab＝ba. （2）乘法结合律：（ab）c＝ a（bc） （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac 【针对训练】 1．在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 2．计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 3．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 知识点05 有理数除法法则 1. 有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：。 2. 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3. 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【针对训练】 1．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除，即可计算出结果． 【详解】解：． 2．计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 3．计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 知识点06 有理数的乘除混合运算 1. 先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 2. 有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 3. 有理数的和、差、积、商仍然是有理数。 【注意】： 1. 核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数； 2. 运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算； 3. 特殊规则：0除以任何非0数得0，0不能作为除数。 【针对训练】 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 3．若要使的结果为负整数，则“”里应填（   ） A．+ B．- C． D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据有理数的混合运算分别计算表达式的值，即可求解． 【详解】解：A、，不是负整数； B、，不是负整数； C、，是负整数； D、，不是负整数． 故选：C． 典例精析 题型一 两个有理数的乘法运算 【例1】两个因数同时扩大到原来的3倍，所得的积（　　） A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，根据因数与积的变化规律，两个因数同时扩大相同倍数，积扩大倍数为各因数扩大倍数的乘积． 【详解】解：设原两个因数为和，则原积为，当每个因数扩大到原来的3倍后，变为和，新积为，即积扩大到原来的9倍． 故选：B． 【变式训练】定义一种新运算：，例如：．则的值为（   ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．先计算出，再计算即可得出答案． 【详解】解： ， ， 故选：C 题型二 多个有理数的乘法运算 【例2】如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】一列数则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， 故上面的数据以，，2为一个循环，依次出现， ∵，， ∴ 故选：B． 题型三 倒数 【例3】的相反数的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，倒数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是，的倒数是， ∴的相反数的倒数是， 故选：D 【变式训练】下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的倒数是 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值、相反数、倒数，根据绝对值、相反数、倒数的定义分别判断选项A、C、D，根据两个负数比较，绝对值大的反而小判断选项B． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、因为，所以，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、的倒数是，D选项正确，符合题意． 故选：D． 题型四 有理数的乘法运算律 【例4】计算：的结果为（    ） A． B．2 C． D．10 【答案】B 【分析】根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 【变式训练】下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 题型五 有理数的除法运算 【例5】若，，则代数式的取值共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的运用，有理数乘除运算，熟知绝对值都为非负数并且运用分类讨论思想是解题的关键．根据题意分以下四种情况，①当、同为正数时，②当、同为负数时，③当为正数、为负数时，④当为负数、为正数时，结合绝对值意义和有理数乘除法法则讨论求解，即可解题． 【详解】解：，， ①当、同为正数时， ， ②当、同为负数时， ， ③当为正数、为负数时， ， ④当为负数、为正数时， ， 综上所述，代数式的取值共有2个， 故选：B． 【变式训练】曾老师说，且，请你求的值（   ） A． B．0 C．1 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键．判断的正负性进行化简求值即可得到答案． 【详解】解： 中有个负数或者三个都是负数， ， 中有个负数， 设为负数，为正数， 此时， 故选：C． 题型六 有理数乘除混合计算问题 【例6】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘除混合运算法则计算即可解答． 【详解】解： ． 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘除混合运算，有理数乘除混合运算的运算法则是先化除为乘，然后再计算． 【变式训练】甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距（　　）米． A．900 B．720 C．540 D．1080 【答案】A 【分析】首先根据题意可得两人相遇时，乙比甲多走了360 米，然后根据路程÷速度=时间，用两人相遇时走的路程之差除以速度之差，求出两人相遇用的时间是多少，最后用它乘以两人的速度之和，求出两地之间的距离的2倍是多少，再用它除以2，求出A、B两地相距多少米即可． 【详解】解： ， ， （米）， 答：A、B两地相距900米， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系： 速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握，解答此题的关键是求出两人相遇用的时间是多少． 题型七 有理数的乘法的实际应用 【例7】某种商品原价为8元，现打五折促销，促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．16元 D．40元 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用． 将原价乘以折扣率计算促销价即可． 【详解】解：商品原价为8元，打五折即按原价的出售， ∴促销价为：（元）， 故选：B． 【变式训练】水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负，如果水位每天上升，今天的水位为，那么2天前的水位用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 2天前的水位用算式表示是：， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的乘法的运算法则，涉及正数和负数的理解，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来． 题型八 有理数的除法应用 【例8】已知有理数，则在数轴上表示的点在原点右侧的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数符号的判断，需分类讨论，当同号时，当异号且时，当异号且时，分别判断即可． 【详解】解：当同号时，是负数，是正数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 当异号且时，中有一个是正数，是负数， 所以在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个， 综上所述，在数轴上表示的点在原点右侧的个数为1个． 故选：B． 【变式训练】在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是（不考虑，树和灯的宽度），如图，从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了图形规律以及列代数式：每隔3棵树就有一个路灯，也就是路灯与路灯之间的距离是，即第一个路灯是，第二个路灯是，第三个路灯是，以此类推，，即520m处刚好是第十四个路灯，而505m距离520m是15m，所以路灯前面有一棵树，而545m距离520m是25m，即路灯后面有两颗树，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯之间的距离都是 ∴路灯与路灯之间的距离是， ∴第一个路灯是， 第二个路灯是， 第三个路灯是， 以此类推， …… ，即520m处刚好是第十四个路灯， ∵从第1个路灯起向右之间 ∴而505m距离520m是15m，所以路灯前面有一棵树，而545m距离520m是25m，即路灯后面有两颗树， 即从第1个路灯起向右之间树与灯的排列方式是树、路灯、树、树； 故选：A 题型九 有理数乘除法与数轴结合 【例9】写出符合下列条件的数，再在数轴上表示出来，并用“”号把它们连接起来． ①的相反数；②相反数等于本身的数；③绝对值等于2.5的负数；④的倒数；⑤；⑥． 【答案】①1.5；②0；③；④；⑤；⑥；图见解析； 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，相反数，绝对值，倒数，化简多重符号等知识点，先求出各数，再在数轴上表示，并从大于号从右到左连接起来即可． 【详解】解：的相反数是1.5； 相反数等于本身的数是0； 绝对值等于2.5的负数是； 的倒数是； ； ． 【变式训练】月的某一个周末，某校组织七年级学生乘汽车沿公路参观6个“最美乡村”景点（设定这6个景点都在同一条直线上），约定汽车向东行驶的方向为正（图中箭头的方向为东），向西行驶的方向为负，这一天从A地出发到六个景点B、C、D、E、F、G参观，汽车行驶记录依次为：（单位：千米），，，，，．    (1)以A为原点，在数轴上标出这六个景点的位置； (2)最后一个景点在A地东边还是西边？距A地多少千米？ (3)若每千米汽车耗油升，油价元/升，则到达景点G时，共需油费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)东边，6千米 (3)元 【分析】（1）由题意知，景点B为；景点C为；景点D为；景点E为；景点F为；景点G为；然后在数轴上标出这六个景点的位置即可； （2）由（1）作答即可； （3）根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，景点B为； 景点C为； 景点D为； 景点E为； 景点F为； 景点G为； 在数轴上标出这六个景点的位置如下；    （2）解：由（1）可知，最后一个景点在的东边，距A地6千米； （3）解：由题意知，（元）， ∴共需油费元． 【点睛】本题考查了有理数的加法、减法运算，在数轴上表示有理数，正负数的实际应用，有理数的乘法运算的应用，绝对值等知识．熟练掌握有理数的加法、减法运算，在数轴上表示有理数，正负数的实际应用，有理数的乘法运算的应用，绝对值是解题的关键． 题型十 有理数乘除法与绝对值结合 【例10】（1）已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数，求：的值． （2）若，，若，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，绝对值，相反数和倒数的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）互为相反数的两个数的和为0，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值最小的有理数是0，据此可得，再代值计算即可； （2）根据绝对值的意义得到，，再由，得到，据此代值计算即可． 【详解】解：（1）∵和互为相反数，和互为倒数，是绝对值最小的有理数， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴或 ∴的值为或． 【变式训练】已知a与2互为相反数，b与互为倒数． (1)则 ， ． (2)已知，求的绝对值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值非负数的性质，熟练掌握相反数、倒数的定义以及非负数的性质是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义求出a、b的值即可； （2）根据非负数的性质即可求出m、n的值，从而求出的绝对值． 【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，， ， ∵b与互为倒数 ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 的绝对值为1． 题型十一 有理数乘除法综合应用 【例11】若“”表示一种新运算，规定． (1)计算： (2)计算： 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵ ∴ ． 【变式训练】用一批纸装订相同的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 … 可以装订的本数 225 180 144 120 60 … (1)这批纸共有多少页？ (2)用表示每本的页数，表示可以装订的本数，请用式子表示与之间的关系．与成什么比例关系？ (3)如果现在需要用这批纸装订80本相同的练习本，平均每本练习本有多少页？ 【答案】(1)3600页 (2)与之间的关系是，与成反比例关系 (3)45页 【分析】本题考查了有理数运算的应用，理清表格中的数量关系是解答本题的关键． （1）根据“该批纸”的数量一定，列代数式求解； （2）根据（1）中的关系求解； （3）把n的值代入（2）中的关系式求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：3600； （2）由表格中数据可知， ∴与成反比例关系； （3）解：（页）， 答：平均每本练习本有45页． 题型十二 裂项相消法解决规律计算问题 【例12】观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 【变式训练】请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 题型十三 有理数乘除法的新定义问题 【例13】定义一种新的运算“*”：对于任何有理数a，b，，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算和有理数混合运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义运算法则计算即可； （2）根据题中的新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：根据新定义得： ； （2）根据新定义得： ， ， ∴． 【变式训练】若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．有理数、在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、不等式的性质 【详解】解：由数轴可知，，， 则，，，， 只有C选项正确 2．四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，若积为负数，则被污染的有理数可能是（    ） A． B．0 C．0.5 D．10 【答案】A 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法，根据有理数乘法的符号法则，根据“”的个数，奇负偶正，得到被污染的有理数是一个负数，进行判断即可． 【详解】解：∵四个有理数相乘，■，其中一个有理数被污染，积为负数， ∴被污染的有理数是一个负数；故满足题意的只有A选项； 故选：A． 3．如图，某长方体形状的容器长，宽，高，容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水，用V（单位：）表示新注入水的体积，则V的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用 【详解】解：由题意，新注入水的体积最多为， ∴. 4．算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 5．已知，是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】数轴上左边数字小于右边的数字，原点左侧为负、右侧为正，离原点越远绝对值越大． 【详解】解：由数轴可知：，，且． A.：在原点左边，是负数，错误； B.：是负数，，则，错误； C.：是正数，且到原点距离小于b，故 ，正确； D.：离原点更近，绝对值更小，错误． 6．手机上的语音转换文字功能大大减少了人们打字的烦恼．小华在使用这个功能进行转换文字时，发现有23个字转换正确，2个字转换不正确．算一算，这次转换的正确率是___________%． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数乘法的实际应用 【分析】先计算转换的总字数，再根据正确率的计算方法，用正确字数除以总字数再乘得到结果． 【详解】解：总转换字数为：， 转换的正确率为：． 7．已知和互为倒数，，那么____________ 【答案】/0.25 【知识点】倒数 【分析】根据倒数定义得到，将除法转化为乘法化简后代入计算即可． 【详解】解：∵和互为倒数，， ∴． ∴． 8．对于任意两个数、，规定，则________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】根据题中已知运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 9．定义新运算，则______________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 10． 【答案】41 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律 【详解】解： ． 11．计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 【答案】 解：不正确. 错误之处：乘除为同级运算，应从左到右依次计算，原解法错误地先计算后两个数的乘法，违背了同级运算的顺序． 正确解答： ． 【知识点】有理数乘除混合运算 【详解】略 12．（1）任何有理数都有相反数；（2）任何有理数都有倒数；（3）在任何一个数前面添上负号，就表示一个负数；（4）没有绝对值是的数，其中正确的是（     ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（4） 【答案】D 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、倒数 【详解】根据相反数、倒数、负数和绝对值的概念逐一进行判断． 【解答】解：（1）相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数还是， 任何有理数都有相反数， 故（1）正确； （2）倒数的定义为：乘积等于的两个数互为倒数，而乘以任何一个数积为， 没有倒数， 应为除以外，任何有理数都有倒数， 故（2）错误； （3）在一个数的前面添加负号表示求这个数的相反数， 在一个负数的前面添加负号得到一个正数， 应为在任何一个正数前面添上负号，就表示一个负数， 故（3）错误； （4）绝对值的定义为：数轴上表示一个数的点与原点之间的距离就是这个数的绝对值， 任何一个数的绝对值都不是负数， 没有绝对值是的数， 故（4）正确． 综上所述，正确的是（1）（4）两个． 13．如图，数轴上表示3的倒数的点在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、倒数 【详解】解：∵3的倒数为，且， ∴数轴上表示3的倒数的点在线段上． 14．已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 15．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知有一种键盘密码（如图），每个字母与所在按键的数字序号对应，如字母与数字序号0对应．当明文中的字母对应的序号为时，将除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文“”对应密文“”．按上述规定，将密文“”解密后对应的明文是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】根据规定分别求出每个密文字母对应的明文即可求解． 【详解】解：根据题意可知，对应的序号为4， 的余数是4， 为1， 对应的明文为， 同理可得，对应的明文为，对应的明文为，对应的明文为， “”解密后对应的明文是． 16．已知a、b是有理数，下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若且a、b均是非零数，则 C．若，则 D．若数轴上a，b在原点的两侧，则 【答案】A 【知识点】绝对值的几何意义、求一个数的绝对值、有理数的除法运算 【分析】根据绝对值的性质逐一判断各选项正误． 【详解】解：若，则或，例如，时，但，故A错误； ，当异号或至少有一个为零，即时，结论正确；又a、b均为非零有理数，因此，故B正确； 由，根据绝对值的性质可得，即，故C正确； 由a、b在原点两侧可得a、b异号且均不为0，故当时，此时，从而，和为0；当时，此时，从而，和为0，故D正确． 17．龙舟竞渡，粽叶飘香，又是一年端午时．为了营造节日氛围，某大型食品超市举办了“粽情粽义杯”包粽子大赛．小刘与小胡两人报名参加了包粽子大赛，小刘包的粽子放在某四个篮子里，小胡包的粽子放在另外两个篮子里，小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍．后来由于工作人员的疏忽，把两人装粽子的篮子混在一起，分不清哪四篮是小刘的，哪两篮是小胡的．已知六个篮子里的粽子数量分别为，，，，，，则小胡的两个篮子里的粽子数量分别是____________，____________． 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】先计算六个篮子的总粽子数，根据小刘总数是小胡的2倍，得到总数量是小胡的3倍，求出小胡两个篮子的粽子总数，再找出和为该数的两个数即可． 【详解】解：六个篮子的粽子总数量， ∵ 小刘包的粽子总数是小胡包的粽子总数的倍， ∴ 小胡包的粽子总数为 ， 六个数中两个数的和为只有和，因此小胡的两个篮子里的粽子数量分别是和． 18．、表示两个数，规定新运算“”及“”如下，，那么________． 【答案】 324 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】根据所给定义先计算，再计算即可． 【详解】解：由题意得， 则． 19．现在有三个仓库、，，分别存有7吨、12吨、11吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂、、，每个加工厂都需要10吨原材料．从每个仓库运送1吨材料到每个加工厂的成本如表所示（单位：元/吨） 1 2 6 0 4 2 3 1 5 现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料， （1）若从运10吨到、运1吨到，从运7吨到，则从需要运________吨到； （2）考虑各种方案，运费最低为________元． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】第一问根据的总需求量，减去已运输的量即可得到结果；第二问优先安排单位运价更低的运输，计算总运费得到最小值． 【详解】解：（1）∵总共需要吨原材料，已经从运入吨，从运入吨， ∴需要运往的量为吨； （2）要得到最低运费，优先安排单位运价更低的运输， ∴方案一：的吨全部运往；运吨到，运吨到；运吨到，运吨到； ∴总运费为元， 方案二：运10吨到，运2吨到；运吨到，运吨到；的吨全部运往； ∴总运费为元， 方案三：运10吨到，运2吨到；运3吨到，运8吨到；的吨全部运往； ∴总运费为元， ∵， ∴最低运费为元． 20．定义的运算为，则________． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】根据新定义的运算规则，先判断每组运算中两个数的大小关系，代入对应公式计算出每一项的结果，再求和即可． 【详解】解：∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∵ ，满足的运算规则， ∴ ； ∴ 原式. 21．一辆货车从超市出发，向东行驶了到达小兵家，继续向东行驶了到达小颖家，然后向西行驶了到达小明家，最后回到超市． (1)以超市为原点，向东的方向为正方向，用个单位长度表示，画出数轴，并在数轴上表示出小兵家、小颖家和小明家的位置． (2)小明家离小兵家多远？ (3)若货车每千米耗油 ，则这次行程货车共耗油多少升？ 【答案】(1)如图： (2)两家相距； (3)这次行程货车共耗油2.6升． 【知识点】正负数的实际应用、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）由数轴的概念，即可解决问题； （2）由计算出结果即可； （3）货车每千米耗油量乘以货车行驶的千米数． 【详解】（1）略 （2）解：由数轴，得个单位长度， 所以两家相距． （3）解：因为货车一共行驶路程为， 所以这次行程货车共耗油为． 22．某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）： ，，，，，，，， (1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)没到达，离教育基地还差米 (2)分钟 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数加减混合运算的应用、有理数除法的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）计算各运动量值的和，比较计算结果与米的大小，判断计算即可； （2）计算各运动量值的绝对值的和，除以运动的速度计算即可． 【详解】（1）解：∵（米）， 又∵， ∴没有到达教育基地； ∵（米）， ∴他离教育基地还差米． （2）解：∵（米）， 又∵时间=路程速度 ∴（分钟） ∴他此次行程共用了分钟． 23．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 24．有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法．先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项A不符合题意； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项B不符合题意； 如果，则，所以，所以一定会有，故选项C符合题意； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项D不符合题意； 故选：C． 25．计算时，小嘉不小心把一个运算符号写错，结果得到，则他写错的是数（     ）前面的符号． A．20 B． C．22 D．23 【答案】C 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的除法运算 【分析】根据题意，改变一个数的符号会使总和增加该数的2倍，结合正确与错误结果的差值即可求解． 【详解】解： ， 错误结果与正确结果的差值为， ∵写错一个符号后结果增大， ∴是将某偶数前的负号改为正号，且总和增加该偶数的2倍， ∴该偶数是． 26．已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 27．从一张长2109毫米，宽627毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，最后剪得的正方形的边长是_______毫米． 【答案】57 【知识点】有理数乘法的实际应用 【详解】解：依据题意可知，， ， ， ． 故最后剪得的正方形的边长是57毫米． 28．已知，则的整数部分是______． 【答案】100 【知识点】倒数 【分析】先确定中共有20个数，利用放缩法得到的取值范围，对不等式取倒数得到的取值范围，即可求出的整数部分． 【详解】解：对任意正整数满足，都有， .， 同理，对任意正整数满足，都有， ， 不等式各项均为正数， 对不等式取倒数得， 化简得：， 的整数部分为． 29．有一条正方形赛车赛道，周长为4000米．两辆无人驾驶赛车正在做练习测试．甲赛车从出发，乙赛车从出发，同时出发顺时针匀速行驶．甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米．至少经过___________秒钟后，两辆车在同一条边上行驶．（注：若出现两者恰好都在顶角上的情况，不符合要求．） 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】正方形赛道周长 4000米，则边长为 1000 米．甲从 B 出发，乙从 A出发，顺时针行驶，初始甲在乙前方 1000米．甲速度 100 米/秒，乙速度 88 米/秒，甲比乙快，当甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米时，相当于乙在甲前方 0到 1000米之间，此时若甲刚进入某条边且乙未离开该边，则两车在同一条边上．甲到达顶点的时间为 10 的倍数，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形的周长为4000米， ∴正方形的边长为米， ∵甲每秒钟行驶100米，乙每秒钟行驶88米，且， ∴要使时间最少，则甲刚到某个顶点时，此时乙在该顶点所在的边上，且此时甲比乙多走的路程要满足大于2000米，且小于3000米， ∵，， ∴需要的时间满足大于秒，且小于秒， ∵甲每秒钟行驶100米，且， ∴甲每过10秒就从一个顶点运动到另一个顶点， ∴运动的时间一定要是10的倍数， ∴至少经过170秒钟后，两辆车在同一条边上行驶． 30．打印一部600页的稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成．现在，甲、乙两人轮流工作．甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此交替下去，打印这部书稿共要________小时． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】先计算出甲、乙每小时的工作效率，再根据给定的交替工作规律，计算多轮交替后完成的工作量，再对剩余工作量按顺序计算所需时间，最后求和得到总工作时间； 【详解】解：甲每小时打印页数：（页）， 乙每小时打印页数：（页）， 交替工作以“甲工作1小时，乙工作2小时，甲工作2小时，乙工作1小时”为一个完整周期，一个周期总时长为（小时）， 一个周期完成的工作量：（页）， 两个周期总时长为（小时），完成工作量（页）， 剩余工作量：（页）， 按顺序接下来轮到甲工作1小时，甲完成（页），剩余工作量：（页），剩余工作由乙完成，所需时间：（小时）， 总时间为：（小时）， 答：打印这部书稿共要小时． 31．计算： (1) (2) 【答案】(1)1002 (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】（1）先对每一个括号内的算式通分化简，得到一串连续分数相乘的形式，观察可发现相邻分数的分子分母能够交叉约分，约分后仅保留第一个分数的分母与最后一个分数的分子，相除即可算出答案． （2）先用连续自然数求和公式化简原式每一项的分母，将所有分式统一变形为裂项形式，提取公因数2后展开算式，中间互为相反数的分数相互抵消，仅剩下首尾两项，简单计算便能得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $