22.5 简单的位似图形课时作业2026-2027学年沪科版数学九年级上册

沪科版九年级上册数学 · 22.5 简单的位似图形 课时作业 沪科版数学 九年级上册 · 第22章 相似形 22.5 简单的位似图形 课时作业 班级：____________ 姓名：____________ 学号：________ 用时：________ 第一部分 学习目标 1．了解位似图形、位似中心、位似比的概念，能判断两个图形是否位似并找出位似中心。 2．掌握位似图形的性质：对应点所在直线经过位似中心，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，对应线段平行（或在同一直线上）。 3．会利用位似将一个图形放大或缩小，能按要求在网格中画出位似图形。 4．了解在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换中对应点坐标的变化规律，能解决简单问题。 第二部分 知识点梳理 知识点一：位似图形的概念 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。 位似中心可以在两个图形的同侧，也可以在两个图形之间（异侧），还可以在图形内部或图形上。 图1 位似中心在两个图形同侧 图2 位似中心在两个图形之间 知识点二：位似图形的性质 （1）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，例如图1中 ＝＝＝； （3）位似图形的对应线段平行或在同一直线上； （4）位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 知识点三：利用位似放大或缩小图形 步骤 具体做法 ①确定位似中心 在图形外、图形上或图形内确定一点O ②连线 分别连接位似中心O和原图形的各顶点，并延长（或反向延长） ③取点 按位似比k在各连线上取点，使 ＝＝…＝k ④连接 顺次连接所取的各点，得到所求的图形 注意：若没有规定对应点在位似中心的哪一侧，一般有两种画法，所得图形在位似中心同侧或异侧。 知识点四：平面直角坐标系中的位似 在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为k（k＞0）的位似变换： （1）对应点在原点同侧时，点P(x，y)的对应点为P′(kx，ky)； （2）对应点在原点异侧时，点P(x，y)的对应点为P′(－kx，－ky)。 如图，△ABC的顶点A(2，2)，B(6，2)，C(4，6)，以原点为位似中心，相似比为 ，同侧得A′(1，1)，B′(3，1)，C′(2，3)；异侧得A″(－1，－1)，B″(－3，－1)，C″(－2，－3)。 图3 以原点为位似中心的位似变换 易错警示 ⚠ 易错点1：判断两个图形是否位似，必须同时满足“相似”和“对应点连线交于一点”两个条件，只相似而对应点连线不交于一点的图形不是位似图形。 ⚠ 易错点2：以原点为位似中心作位似变换时，若题目没有指明在原点的哪一侧，往往有两种情况，不要漏解。 ⚠ 易错点3：位似比是对应线段的比，面积比是位似比的平方；由对应点到位似中心的距离求位似比时，要用“对应点到位似中心距离的比”，而不是AA′与OA的比。 第三部分 典型例题精讲 例1　位似图形的性质 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，且OA∶AD＝1∶2。（1）求△ABC与△DEF的位似比；（2）若△ABC的周长为5，面积为2，求△DEF的周长和面积。 【分析】位似比等于对应点到位似中心的距离之比，即OA∶OD。 【解答】 （1）因为OA∶AD＝1∶2，所以OA∶OD＝1∶3，即△ABC与△DEF的位似比为1∶3。 （2）位似图形一定相似，周长比等于位似比，所以△DEF的周长为 5×3＝15； 面积比等于位似比的平方，所以△DEF的面积为 2×3²＝18。 【点评】位似比是OA∶OD，不是OA∶AD，这是最容易出错的地方。 例2　在网格中画位似图形 如图，在方格纸中（每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，在点O的同侧把△ABC放大为原来的2倍，画出放大后的△A′B′C′。 【分析】按“连线—延长—取点—连接”四步作图，利用格点确定对应点的位置。 【解答】 连接OA，OB，OC并延长，在延长线上分别取点A′，B′，C′，使 OA′＝2OA，OB′＝2OB，OC′＝2OC（利用格点：从O到A横向1格、纵向2格，则从O到A′横向2格、纵向4格，其余类推）。 顺次连接A′，B′，C′，△A′B′C′即为所求，如图： 【点评】网格中画位似图形，关键是利用“横向格数、纵向格数都乘以位似比”来确定对应点。 例3　坐标系中的位似变换 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)。以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，写出放大后对应顶点的坐标，并画出图形。 【分析】没有指明方向，所以分原点同侧、异侧两种情况，同侧坐标乘以2，异侧坐标乘以－2。 【解答】 ①在原点同侧：A′(2，4)，B′(6，2)，C′(4，6)； ②在原点异侧：A″(－2，－4)，B″(－6，－2)，C″(－4，－6)。 画出的图形如下： 【点评】以原点为位似中心，相似比为k，对应点坐标为(kx，ky)或(－kx，－ky)。 例4　确定位似中心 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，其中A(－2，3)，B(－2，2)，C(－1，2)，A′(－1，5)，B′(－1，3)，C′(1，3)。（1）在图中画出位似中心P，并写出点P的坐标；（2）求△ABC与△A′B′C′的位似比。 【分析】位似图形对应点所在的直线都经过位似中心，连接两组对应点并延长，交点就是位似中心。 【解答】 （1）连接A′A，C′C并延长，两直线相交于点P，如图，点P的坐标为(－3，1)。 检验：B′B的延长线也经过点P。 （2）AB＝3－2＝1，A′B′＝5－3＝2，所以位似比为 AB∶A′B′＝1∶2。 【点评】找位似中心只需连接两组对应点，第三组对应点的连线可用来检验。 例5　位似的实际应用 如图，一盏灯（看作点O）照射一块与墙面平行的三角形纸板ABC，纸板在墙面上的影子为△A′B′C′。已知灯到纸板的距离为1 m，灯到墙面的距离为4 m。（1）△ABC与△A′B′C′的位似比是多少？（2）若纸板的一边AB＝20 cm，求影子中对应边A′B′的长；（3）若纸板的面积为150 cm²，求影子的面积。 【分析】点光源下，与墙面平行的纸板和它的影子是位似图形，灯所在的点就是位似中心。 【解答】 （1）位似比等于灯到纸板的距离与灯到墙面的距离之比，即 1∶4。 （2）＝，所以 A′B′＝4×20＝80（cm）。 （3）面积比为 ()²＝，所以影子的面积为 150×16＝2400（cm²）。 【点评】点光源形成的影子与原物体常构成位似关系，这是位似在生活中的典型应用。 第四部分 分层课时作业 A组 基础达标 一、选择题 1．（　　）下列说法中，正确的是 A．位似图形一定是相似图形 B．相似图形一定是位似图形 C．位似图形一定在位似中心的同侧 D．位似图形的对应边一定相等 2．（　　）四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，且OA∶OA′＝1∶2，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为 A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．2∶1 3．（　　）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，把点A(2，－4)按相似比 进行位似变换，则点A的对应点的坐标为 A．(1，－2) B．(－1，2) C．(1，－2)或(－1，2) D．(4，－8) 4．（　　）△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，点D在OA的延长线上，且OA∶OD＝1∶3。若△ABC的周长为5，则△DEF的周长为 A．15 B．45 C．10 D． 5．（　　）下列关于位似图形的说法中，错误的是 A．位似图形一定是相似图形 B．位似图形的每组对应点所在直线都经过位似中心 C．位似图形的对应线段一定平行 D．两个位似图形的面积比等于位似比的平方 6．（　　）如图，在方格纸中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是 A．点M B．点N C．点P D．点Q 7．（　　）在平面直角坐标系中，点A(6，8)，以原点O为位似中心，相似比为 ，在点O同侧作点A的对应点A′，则OA′的长为 A．5 B．10 C．2.5 D．20 8．（　　）如图，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，OA∶OA′＝2∶3。若△ABC的面积为4，则△A′B′C′的面积为 A．6 B．9 C． D．18 二、填空题 9．两个位似图形的位似比为2∶3，其中一对对应线段AB＝4，则对应线段A′B′＝______。 10．四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O为位似中心，点A′在OA的延长线上，且OA＝AA′。若四边形ABCD的周长为10，则四边形A′B′C′D′的周长为______。 11．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把点P(－3，6)按相似比 缩小，则点P的对应点的坐标为______。 12．线段AB的两个端点为A(1，2)，B(4，6)，以原点为位似中心，在第一象限内将线段AB放大为原来的2倍得到线段A′B′，则点B′的坐标为______，A′B′＝______。 13．在灯光下，一块三角尺与它在墙上的投影构成位似图形。三角尺的一边长为8 cm，投影中对应边长为20 cm，若灯与三角尺的距离为20 cm，则灯与投影的距离为______cm。 14．△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为O，它们的面积比为4∶25，OA＝6，则OA′＝______。 15．以原点O为位似中心把△ABC缩小得到△A′B′C′，点A(4，6)的对应点为A′(－2，－3)，则位似比为______，点B(6，－2)的对应点B′的坐标为______。 三、解答题 16．如图，在方格纸中（每个小正方形的边长为1），以点O为位似中心，在点O的另一侧（异侧）画出△ABC的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为2∶1。 17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(2，4)，B(4，2)，C(6，4)。（1）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，画出所得的图形（画出两种情况）；（2）写出缩小后各顶点的坐标；（3）求缩小后的三角形与△ABC的面积比。 18．如图，在方格纸中，△ABC与△A′B′C′是位似图形。（1）在图中画出位似中心O；（2）求△ABC与△A′B′C′的位似比。 19．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，OA∶AA′＝2∶3。（1）求四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的位似比；（2）若A′B′＝10，求AB的长；（3）若四边形ABCD的面积为8，求四边形A′B′C′D′的面积。 20．在距离墙面4 m的点O处有一盏灯，在灯与墙之间放一块与墙面平行的三角形纸板ABC，纸板到灯的距离为1.5 m，纸板在墙上的影子为△A′B′C′。（1）求△ABC与△A′B′C′的位似比；（2）若影子中A′B′＝64 cm，求纸板中AB的长；（3）若纸板的面积为180 cm²，求影子的面积。 B组 能力提升 四、综合题 21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为1∶，点A的坐标为(1，0)。（1）求点E的坐标；（2）求正方形ODEF与正方形OABC的面积之差。 22．如图，O是△ABC内一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点。（1）求证：△DEF与△ABC是位似图形；（2）求△DEF与△ABC的周长比和面积比。 23．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝2，DB＝3。（1）△ADE与△ABC是位似图形吗？若是，指出位似中心和位似比；（2）若四边形DBCE的面积为42，求△ADE的面积。 24．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(1，2)，B(3，0)，C(4，3)。以原点O为位似中心，在y轴的左侧将△ABC放大为原来的2倍得到△A′B′C′。（1）写出点A′，B′，C′的坐标；（2）若M(a，b)是△ABC内部的一点，写出它的对应点M′的坐标；（3）求△A′B′C′的面积。 C组 拓展探究 五、探究题 25．【用位似法作三角形的内接正方形】如图，在△ABC中，先在AB边上靠近点B处取一点G′，作一个小正方形D′E′F′G′，使D′E′在BC上；连接BF′并延长，交AC于点F；过点F作FG∥BC交AB于点G，作FE⊥BC于点E，GD⊥BC于点D。（1）四边形DEFG与四边形D′E′F′G′是位似图形吗？说明四边形DEFG是正方形的理由；（2）若BC＝6，BC边上的高为4，求正方形DEFG的边长。 26．如图，在平面直角坐标系中，△OA₁B₁的顶点A₁(2，0)，B₁(1，1)。以原点O为位似中心，在原点同侧将△OA₁B₁放大为原来的2倍得到△OA₂B₂，再将△OA₂B₂放大为原来的2倍得到△OA₃B₃，……，按此规律继续下去。（1）写出点A₃，B₃的坐标；（2）第n个三角形中，点A的坐标和点B的坐标分别是多少？（3）第n个三角形的面积是多少？ 第五部分 参考答案与解析 A组 基础达标 1．【答案】A 【解析】位似图形一定相似，但相似图形不一定位似；位似图形也可以在位似中心的异侧；对应边成比例而不一定相等。 2．【答案】B 【解析】位似比为1∶2，面积比为 1²∶2²＝1∶4。 3．【答案】C 【解析】同侧时坐标乘以 ，得(1，－2)；异侧时坐标乘以 －，得(－1，2)。 4．【答案】A 【解析】位似比为1∶3，周长比等于位似比，△DEF的周长为 5×3＝15。 5．【答案】C 【解析】位似图形的对应线段平行或在同一条直线上，所以“一定平行”是错误的。 6．【答案】A 【解析】连接两组对应顶点并延长，它们交于点M，所以位似中心是点M。 7．【答案】A 【解析】A′(3，4)，OA′＝＝5。也可以先求OA＝10，再乘以 。 8．【答案】B 【解析】位似比为2∶3，面积比为4∶9，所以△A′B′C′的面积为 4×＝9。 9．【答案】6 【解析】＝，A′B′＝4×＝6。 10．【答案】20 【解析】OA′＝2OA，位似比为1∶2，所以周长为 10×2＝20。 11．【答案】(－1，2)或(1，－2) 【解析】同侧：(－3×，6×)＝(－1，2)；异侧：(1，－2)。 12．【答案】(8，12)；10 【解析】B′(4×2，6×2)＝(8，12)。AB＝＝5，所以 A′B′＝2×5＝10。 13．【答案】50 【解析】位似比为 8∶20＝2∶5，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，所以距离为 20×＝50（cm）。 14．【答案】15 【解析】位似比为 ∶＝2∶5，＝，OA′＝6×＝15。 15．【答案】2∶1（或 △A′B′C′与△ABC的相似比为 ）；(－3，1) 【解析】A′的坐标等于A的坐标乘以 －，所以△ABC与△A′B′C′的位似比为2∶1，且对应点在原点异侧。 B′(6×(－)，－2×(－))＝(－3，1)。 16．【答案】见图 【解析】连接AO，BO，CO并反向延长，在延长线上分别取点A′，B′，C′，使 OA′＝2OA，OB′＝2OB，OC′＝2OC。 利用格点：从A到O横向－2格、纵向－1格，则从O到A′再走横向－4格、纵向－2格，其余类推。顺次连接A′，B′，C′即可，如图： 17．【答案】（2）(1，2)，(2，1)，(3，2)或(－1，－2)，(－2，－1)，(－3，－2)；（3）1∶4 【解析】（1）如图： （2）同侧：A′(1，2)，B′(2，1)，C′(3，2)；异侧：A″(－1，－2)，B″(－2，－1)，C″(－3，－2)。 （3）相似比为 ，面积比为 ()²＝，即1∶4。 验证：S△ABC＝×4×2＝4，S△A′B′C′＝×2×1＝1，比为1∶4。 18．【答案】（1）见图；（2）1∶3 【解析】（1）连接A′A，B′B并延长，交于点O，点O即为位似中心（C′C的延长线也经过点O），如图： （2）BC＝1，B′C′＝3，所以位似比为1∶3。 19．【答案】（1）2∶5；（2）4；（3）50 【解析】（1）OA∶OA′＝2∶(2＋3)＝2∶5，所以位似比为2∶5。 （2）＝，AB＝10×＝4。 （3）面积比为 ()²＝，所以四边形A′B′C′D′的面积为 8×＝50。 20．【答案】（1）3∶8；（2）24 cm；（3）1280 cm² 【解析】（1）位似比为 1.5∶4＝3∶8。 （2）AB＝64×＝24（cm）。 （3）影子的面积为 180×()²＝180×＝1280（cm²）。 B组 能力提升 21．【答案】（1）(，)；（2）1 【解析】（1）OA＝1，由位似比为1∶得 OD＝。 正方形ODEF的边长为 ，所以点E的坐标为(，)。 （2）S正方形ODEF＝()²＝2，S正方形OABC＝1，面积之差为 2－1＝1。 22．【答案】（1）见解析；（2）周长比1∶2，面积比1∶4 【解析】（1）因为D，E分别是OA，OB的中点，所以DE是△OAB的中位线，DE∥AB，DE＝AB。 同理 EF∥BC，EF＝BC；DF∥AC，DF＝AC。 所以 ＝＝＝，△DEF∽△ABC。 又对应点所在直线AD，BE，CF都经过点O，对应边互相平行，所以△DEF与△ABC是位似图形，位似中心为点O。 （2）位似比为1∶2，所以周长比为1∶2，面积比为1∶4。 23．【答案】（1）是，位似中心为点A，位似比为2∶5；（2）8 【解析】（1）因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC；对应点D与B、E与C所在直线都经过点A，对应边DE∥BC，所以它们是位似图形，位似中心为点A，位似比为 AD∶AB＝2∶5。 （2）S△ADE∶S△ABC＝4∶25，所以 S△ADE∶S四边形DBCE＝4∶21。 所以 S△ADE＝42×＝8。 24．【答案】（1）A′(－2，－4)，B′(－6，0)，C′(－8，－6)；（2）M′(－2a，－2b)；（3）16 【解析】（1）在y轴左侧，说明对应点在原点异侧，坐标都乘以－2：A′(－2，－4)，B′(－6，0)，C′(－8，－6)。 （2）M′(－2a，－2b)。 （3）用割补法求△ABC的面积：以(1，0)，(4，0)，(4，3)，(1，3)为顶点的矩形面积为9， 减去三个直角三角形的面积 ×2×2＋×1×3＋×3×1＝2＋1.5＋1.5＝5，得 S△ABC＝9－5＝4。 所以 S△A′B′C′＝4×2²＝16。 C组 拓展探究 25．【答案】（1）是，以点B为位似中心；理由见解析；（2）2.4 【解析】（1）因为G′F′∥BC，GF∥BC，所以G′F′∥GF，由此可得△BG′F′∽△BGF，＝。 又F′E′∥FE（都垂直于BC），所以△BF′E′∽△BFE，＝。 所以 ＝，而G′F′＝F′E′，所以GF＝FE。 又四边形DEFG的四个角都是直角，所以它是矩形，再由GF＝FE知它是正方形。由作法知对应点连线都经过点B，所以它与正方形D′E′F′G′是以点B为位似中心的位似图形。 （2）设正方形的边长为x，由22.4节内接正方形的结论，＝， 解得 4x＝24－6x，x＝2.4。 26．【答案】（1）A₃(8，0)，B₃(4，4)；（2）(，0)，(，)；（3） 【解析】（1）A₂(4，0)，B₂(2，2)；A₃(8，0)，B₃(4，4)。 （2）每放大一次，坐标都乘以2。第1个三角形中A₁(2，0)＝(2¹，0)，B₁(1，1)＝(2⁰，2⁰)， 所以第n个三角形中，点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(，)。 （3）△OA₁B₁的面积为 ×2×1＝1，每放大一次面积变为原来的 2²＝4 倍， 所以第n个三角形的面积为 1×＝。也可以直接计算：××＝＝。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $