22.4 简单的位似图形&专题九 相似的判定与性质的综合-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（沪科版·新教材）

又.DE∥BC,∴.∠DCF= =90°-∠B,∴.∠FDN=∠C, ∠ADE,∴.△DFCn△AED; ∴.△AMC△FND. ②cD=专AC,器-专由 13.(1)证明：，在△ABC中，∠BAC =90°，AB=AC,∴∠B=∠C= (1)知△DFC和△AED的相似 45°.∠B+∠BPE+∠BEP= CD 180°，∴.∠BPE+∠BEP=135°， ,∠EPF=45°，又∠BPE+ (册)-（分》= ∠EPF+∠CPF=180°， 14.(1)证△BPQp△BCA; ∴.∠BPE+∠CPF=135°， （2:50S=15器 ∴.∠BEP=∠CPF,又，'∠B= ∠C,∴.△BPEp△CFP. 后QB=9AB-5mP (2)△BPEp△CFP;理由：.在 △ABC中，∠BAC=90°，AB= =√QB2-PB=lcm..SABPQ AC,∴.∠B=∠C=45°..∠B+ =1cm2,∴.SA8c=5cm2. ∠BPE+∠BEP=180°，∴.∠BPE 15.C +∠BEP=135°，.∠EPF=45°， 阶段提升自测（三） 又.∠BPE+∠EPF+∠CPF= 1.C2.C3.B4.D5.B 180°，.∴.∠BPE+∠CPF=135°， 6.例：△EFC△AFD,△EAB ∴.∠BEP=∠CPF,又，∠B= △AFD ∠C,∴.△BPE∽△CFP. 7.∠ABP=∠C8.(2,4-2√2) 22.4简单的位似图形 9.-1610.80 第1课时位似图形的概念与性质 11.(1)AC=6. 1.D2.A3.D4.B5.36.D (2)证明：：AD=3,AB=9,AE7.图略.8.A9.A10.C =2,AC=6,.AD:AB=AE:11.A12.18cm13.略. AC,.∠DAE=∠BAC, 14.(1)AC∥A'C,理由：容易知 .△ABCp△ADE. △ABC∽△A'B'C',则∠A= 12.(1)不相似..在Rt△BAC中， ∠CA'B',所以AC∥A'C'. ∠A=90°，AB=3,AC=4 (2)由AB=2A'B',得A'B':AB 在Rt△EDF中，∠D=90°，DE =1:2...OC':OC=A'B':AB, =,DF=2,0=号，能 即5：OC=1:2,OC=10,则C℃ =5. 号崇≠能R△BAC与 15.24040 第2课时平面直角坐标系中图 Rt△DFE不相似. 形的位似变换 (2)能作辅助线进行分割， 1.A2.D3.(-5,-1) 证明：作∠BAM=∠E,交BC 于M;作∠NDE=∠B,交EF 4.（-2,号) 5.(-2,2) 于N,由作法和已知条件可知6.因为使得新图形AB,CDE与 △BAM∽△DEN,.∠BAM= 原图形对应线段的比为2：1，所 ∠E,∠NDE=∠B,∠AMC= 以新图形A1B,CDE各顶点坐 ∠BAM+∠B,∠FND=∠E+ 标都在原图形的基础上扩大2 ∠NDE,∴.∠AMC=∠FND, 倍，作图略， .∠FDN=90°-∠NDE,∠C7.(2,1)或(-2，-1)8.D9.C 10.-61.0,0)或（，4） ∴EG=BG=2BC,GF=2CD, 12.略 EF=2AB,:EF=EG+GP,即 13.(1)(-1,-5)(2)图略 (3)(-1,1)2√5+3√2图略. AB-BC+CD.:AB- 14.3-2a BC+CD. 专题九相似的判定与性质的综合 1.(1)易证AB=AE,∠BAF= (3)猜想：AB-BC+Cm ∠AED,AF=DE. 证明：连接BD,作EF∥AB交 (2)先证△ErC△DAE,得需 BC于G,交BD于F,,EF∥ -形-E,易证AD=CR,AF AB器-器-器-"分 即EF=N-AB,BF=1BD, n n =DC,可得EF=4.进面急 .EF∥AB,AB∥CD,∴.EF∥CD, g号解得cF-6,CE-9, 易求BG=1BC,GF=1CD, 再利用△ABEp△DEC,可求 BE=6. 可知：ABBC+CD (3)延长BM、ED交于点G, 综合与实践（一）旋转相似变换 易证△ABED△DCE,瓷 (1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=90°，∴.∠BAP+十 能-=&议DC=DE=a, ∠BPA=90°， .∠MPN=90°，∴.∠CPD+ CE=b,则AB=AE=ka,AF= ∠BPA=90°，∴∠BAP=∠CPD, CD=a,BE=b,∴.EF=AE- ∴.△ABPp△PCD; AF=ka-a=a(k-1),易证 △AMB≌△DMG(AAS),∴.DG= (②器的值为定值，理由如下。 AB=ka,∴.EG=DG+DE=ka十：过点F作FG⊥BC于G,'.∠FGP a=a(k+1),,AB∥DG, =90°，∴.∠FGP=∠B,∠PFG+ △MBn△DG,88部， ∠FPG=90°，易知四边形ABGF是 矩形，∴.FG=AB=2,.∠MPN= 即2a02D发-k 90°，∴.∠EPB+∠FPG=90°， .∠EPB=∠FPG,.△EBP∽ 一1=0，解得：k=1+√2或k=1 (合法器==1hB △PG,器-昭- 2.0)号 票的值是定值，该定值为： (3).AE=m,∴.BE=2-m, (2)猜想：AB=BC+CD, 证明：连接BD,取BD的中点F, ①当器-股时，：∠B=∠EPF 连接EF交BC于G,由中位线定 =90∴△BPE∽△PFE,8器= 理，得EF∥AB∥CD,∴.G为BC 的中点，∠GEB=∠EBA, 2m-m=是 1 又，'∠EBA=∠GBE,∴.∠GEB =∠GBE, ②当E距时，∠B=∠Enn 38 90°，.△BPE△PEF, 中，CH=√P-PC= 2y, .BC=2CH=√5y,∴.AD=BC= 综上所述，当m=0或号时，△BPE5,在Rt△APD中，AP= 与△PEF相似. √JAD+PD=√6y,,BG∥AP, 综合与实践（二）折叠相似变换 (1)证明：，四边形ABCD是矩形， △Bc△AWMP,÷器=微 ∠A=∠D=∠C=90°，.∠1+ 2y= ∠3=90°，由折叠的性质，可知 6 ∠EPH=∠A=90°，∴.∠1+∠2= √6，.AB=√6BG. 90°，.∠3=∠2，.△EDP∽ 章未核心考点与素养提升 △PCH; (2)四边形ABCD是矩形，.CD 1.D2.B3.A4.B5.C6.2:1 =AB=2,AD=BC=3,∠A=∠D 7.①②③④8.2.7 =∠C=90°，，P为CD中点， :9.过E作EG⊥CF于G,延长GE .DP=CP=1,设EP=AE=x, 交AD于H,则GH⊥AD,四边 ∴.ED=AD-AE=3-x, 形CBEG、四边形AHEB是矩 在Rt△EDP中，EP2=ED+DP2, 形，∴.AH=BE=CG=1.6m,BC =EG=9.5-0.3=9.2m,AB= 即2=8)+1，解得x=号， HE=0.3m,.'∠FGE=∠EHD ∴EP=AP=号， =∠FED=90°，.∠EFG+ ∠FEG=∠FEG+∠DEH= :ED=AD-AE=-号，：△EDPn 90°，.∠GFE=∠DEH, 4 5 △EPGADEH,E器 △PCH,腮-0，即 -PH' 器即86=品解得： ∴PH=号，PG=AB=2,GH DH=13.8m,∴.AD=DH+AH =PG-PH=是 =13.8+1.6=15.4m. 答：树的高度AD为15.4m (3)延长AB,PG交于一点M,连接 10.略. AP,由折叠的性质，可知AP⊥EF, 11.C12.C13.C14.B15.12 BG⊥直线EF,.BG∥AP, 16.√3 ,AE=EP,∴.∠EAP=∠EPA, 17.(1)△BMC∽△NMA, ∴.∠BAP=∠GPA,.△MAP是 ,四边形ABCD是平行四边形， 等腰三角形，∴.MA=MP, ∴.AD∥BC,∴.△BMCp△NMA; ,P为CD中点，.设DP=CP= (2).△BMCc∽△NMA,2CM= y,∴.AB=PG=CD=2y, ,H为BC中点，∴BH=CH, 3AM-器-册名， ,'∠BHM=∠CHP,∠CBM= ,四边形ABCD是平行四边形， ∠PCH,.△MBH≌△PCH (ASA),.'BM=CP=y,HM= C=AD,设2-日，由AD HP,..MP=MA=MB+AB=3y, ∥BC,可知△DNE∽△CBE, ∴HP-PM-号，在Rt△PCH 器-识=日设EN= 3969 22.4简单的位似图形 第1课时 位似图形的概念与性质 01基础达标 知识点二位似图形的画法 6.如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画 知识点一位似图形的概念及性质 法，其中正确的个数是 1.已知：△ABC∽△A'B'C',下列图形中△ABC 与△A'B'C'不存在位似关系的是 A1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，以O为位似中心，将四边形ABCD缩小 为原来的一半。 A B 2.如图，点O是四边形ABCD 和四边形EFGH的位似中 G 心，已知AE=2,E0=1,则 B4 C 易错点 位似概念理解错误而致错 8.下列关于位似图形的表述： 它们的相似比是 ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是 A.3:1 B.1:3 C.2:1 D.1:2 相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如 3.△ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC与 果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线 △A'B'C的相似比是1：2，已知△ABC的面积 所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图 是3，则△A'B'C的面积是 ( 形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似 A.3 B.6 C.9 D.12 中心的距离之比等于相似比.其中正确命题的 序号是 ) 4.在下列四个三角形中，以O为位似中心且与 A.②③ B.①② △ABC位似的图形序号是 ( C.③④ D.②③④ A.① B.② C.③ D.④ 02能力提升 9.如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心 经过位似变换得到的，若△A'B'C的面积与 △ABC的面积比是4：9，则OB':OB为() 第4题图 第5题图 5.如图，已知AB∥CD,则图中的位似三角形有 对 A.2:3 B.3:2 C.4:5 D.4:9 70 10.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为14.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点A、 原图形的2倍得到△A'B'C',以下说法中错 B、A'、B'、O共线，点O为位似中心 误的是 (1)AC与A'C平行吗？请说明理由； A.△ABCD△A'B'C (2)若AB=2A'B',OC=5,求CC的长， B.点C、点O、点C三点在同一直线上 C.AO:AA'=1:2 D.AB∥A'B 第10题图 第11题图 11.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四 边形ABCD的位似图形是 ( A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四边形NHMQ D.四边形NHMR 12.如图，放映幻灯片时， 通过光源，把幻灯片 上的图形放大到屏幕 03思维拓展 上.若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕 15.如图，在平面直角坐标系中，正方形 的距离为60cm,且幻灯片中图形的高度为 A1B1C1A2与正方形A2B2C2A3是以O为位 6cm,则屏幕上图形的高度为 13.如图，在5×5的方格纸中，每个小正方形的 似中心的位似图形，且相似比为，点A, 边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方 A2,A3在x轴上，延长A3C2交射线OB1于 格顶点处). 点B3,以A3B3为边作正方形A3B3C3A4;延 (1)在图1中画格点△A1B1C1,使△A1B1C 长A4C3交射线OB1于点B4,以A4B4为边 与△ABC相似，且相似比为2：1. 作正方形AB4C4A；·,按照这样的规律继 (2)在图2中画格点△A2B2C2,使△A2B2C2 续作下去，若OA1-1,则正方形A2021B2021 与△ABC相似，面积之比为2：1. C2021A2022的面积为 图2 ON A2 A,A, 第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换 01 基础达标 5.如图，在直角坐标系中，正方 形EFOH是正方形ABCD经 知识点一用坐标表示位似 1.如图，在直角坐标系中，有两点A(6,3),B(6,0). 过位似变换得到的，对角线 以原点O为位似中心，相似比为号，在第一象 OE=4√2，则位似中心的坐 标是 限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C 知识点二坐标系内图形的位似作图 的坐标为 A.(2,1)B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1) 6.如图，在直角坐标系中，作出五边形ABCDE 的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图 形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点O 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，点A的坐标为(3,6)，以原 点O为位似中心，将△ABC位似缩小后得到 0 △A'B'C.若点A'的坐标为(1,2)，△A'B'C 易错点 位似中的漏解 的面积为1，则△ABC的面积为 ( ) 7.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是 A.2 B.3 C.4 D.9 A(4,2),B(5,0),以点O为位似中心，相似比 3.(2025·遂宁)如图，在直角坐标系中，每个小 正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的 为)，把△AB0缩小，得到△ABO,则点A 顶点坐标分别为A(-2,-1),B(-2,-3), 的对应点A的坐标为 O(0,0),△ABO的顶点坐标分别为A1(1, -1),B1(1,-5),O(5,1),△AB0与 02能力提升 △A1B1O是以点P为位似中心的位似图形， 8.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O 则点P的坐标为 在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上， 如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位 似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面 积的，那么点B的坐标是 第3题图 第4题图 4.如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均 A.（-2,3) 为1，△AOB与△A'OB是以原点O为位似中 B.(2,-3) 心的位似图形，且相似比为3：2，点A,B都在 C.(3,-2)或(-2,3) 格点上，则点B的坐标是 D.(-2,3)或(2，-3) 72 ↑y (1)在图中画出格点D(不与格点A,E重 6 合)，使△BCD的面积与△ABC的面积相等. (2)在图中以格点E为位似中心，作△ABC 的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来 第8题图 第9题图 9.在小孔成像问题中，根据如图所示，若点O到 AB的距离是18cm,点O到CD的距离是 13.如图，△ABC与△A1BC1是位似图形 6cm,则像CD的长是物体AB长的 (1)在网格中建立平面直角坐标系，使得点A ( 的坐标为（一5，一1），点C的坐标为（一2， A.3倍 B司 c D.2倍 2),则点B的坐标为 10.如图，点A是反比例函数y=(x<0)图象 (2)以点A为位似中心，在网格图中作 △AB2C2,使△AB2C2和△ABC位似，且位 上的一点，直线AD分别与x轴，y轴交于点 似比是1：2. D和C,AB⊥y轴于点B,若△ABC与 (3)在图上标出△ABC与△A1B1C1的位似 △DOC的位似比为1：3，△ABC的面积为 中心P,并写出点P的坐标为 ,计 子，则值为 算四边形A1BCP的周长为 第10题图 第11题图 11.线段AB,CD在平面直角坐标系中的网格位 置如图所示，O为坐标原点，点A,B,C,D均 在格点上，线段AB,CD是位似图形，位似中 03思维拓展 心的坐标是 14.如图，△ABC中，A、B两 12.如图，在8×8的正方形网格中，点A,B,C,E 个顶点在x轴的上方，点 均在格点上，请用无刻度的直尺，按要求画 C的坐标是(1,0)，以点C 图，保留画图痕迹， 为位似中心，在x轴的下 方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把 △ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的 横坐标是a,则点B的对应点B'的横坐标是 73 专题九 相似的判定与性质的综合 1.如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD,2.如图，已知线段AB∥CD,AD与BC相交于点 点E在边BC上，且AE∥CD,DE∥AB,作 K,E是线段AD上一动点， CF∥AD交线段AE于点F,连接BF. (1)求证：△ABF≌△EAD. （1若BK=号KC则器 (2)若AB=9,CD=5,∠ECF=∠AED,求 (2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE= BE的长， 号AD时，猜想线段AB,BC,CD三者之间有怎 (3)如图2，若BF的延长线经过AD的中点 样的数量关系？请写出你的结论并予以证明； M,求装的值 (3)试探究：当BE平分∠ABC,且AE=1AD (n>2)时，线段AB,BC,CD三者之间有怎样的 数量关系？请直接写出你的结论，不必证明。 图2