22.3 相似三角形的判定课时作业2026-2027学年沪科版数学九年级上册

沪科版九年级上册数学 · 22.3 相似三角形的判定 课时作业 沪科版数学 九年级上册 · 第22章 相似形 22.3 相似三角形的判定 课时作业 班级：____________ 姓名：____________ 学号：________ 用时：________ 第一部分 学习目标 1．理解相似三角形的定义，会用符号“∽”表示两个三角形相似，能正确找出对应顶点、对应边和对应角。 2．掌握相似三角形的预备定理和三个判定定理，了解直角三角形相似的判定方法。 3．能根据已知条件选择恰当的方法判定两个三角形相似，熟悉“A字型”“8字型”“母子型”“一线三等角”等基本图形。 4．会利用相似三角形解决线段长度计算、测量物体高度等简单实际问题。 第二部分 知识点梳理 知识点一：相似三角形的概念 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，书写时对应顶点的字母要写在对应的位置上。 相似三角形对应边的比叫做相似比。全等三角形是相似比为1的相似三角形。 知识点二：相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且 ＝＝。 图1 A字型 知识点三：相似三角形的判定定理 判定方法 条件 简称 判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似 两角对应相等 判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等 判定定理3 三边成比例的两个三角形相似 三边成比例 直角三角形 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 斜边、直角边成比例 推论：有一个锐角相等的两个直角三角形相似；顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 知识点四：常见的相似基本图形 （1）A字型与8字型：由平行线得到相似；也有“斜A字型”，如∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB。 （2）母子型（射影型）：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ACD∽△ABC∽△CBD，从而 AC²＝AD·AB，BC²＝BD·BA，CD²＝AD·DB。 图2 母子型 （3）一线三等角型：在一条直线上有三个相等的角，如∠B＝∠AEF＝∠C＝90°，则△ABE∽△ECF。 易错警示 ⚠ 易错点1：用“两边成比例且夹角相等”判定时，相等的角必须是两组成比例的边的夹角，“两边成比例及其中一边的对角相等”不能判定相似。 ⚠ 易错点2：写相似三角形时，对应顶点要写在对应位置上，否则由相似得出的比例式容易写错。 ⚠ 易错点3：当题中只说“两个三角形相似”而没有说明对应关系时，要分情况讨论，防止漏解。 第三部分 典型例题精讲 例1　两角对应相等（母子型） 如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD＝∠B。（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，AB＝8，求AC的长。 【分析】两个三角形有公共角∠A，再加上∠ACD＝∠B即可。 【解答】 （1）因为∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，所以△ACD∽△ABC。 （2）由（1）得 ＝，所以 AC²＝AD·AB＝2×8＝16，AC＝4。 【点评】“母子型”相似是常见结论：AC²＝AD·AB。 例2　两边成比例且夹角相等 在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝50°，AB＝6，AC＝9，DE＝4，DF＝6。这两个三角形相似吗？为什么？ 【分析】检查夹∠A和∠D的两组边是否成比例。 【解答】 ＝＝，＝＝，所以 ＝。 又∠A＝∠D，所以△ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等）。 例3　三边成比例 已知△ABC的三边长分别为AB＝4，BC＝6，CA＝8，△DEF的三边长分别为DE＝6，EF＝9，FD＝12。判断这两个三角形是否相似，并求它们的相似比。 【分析】把两个三角形的边按从小到大的顺序对应比较。 【解答】 ＝＝，＝＝，＝＝。 三边成比例，所以△ABC∽△DEF，相似比为2∶3。 例4　一线三等角 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，BE＝1，点F在CD上，且∠AEF＝90°。（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）求CF的长。 【分析】利用同角的余角相等找到第二组等角。 【解答】 （1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠B＝∠C＝90°，所以∠BAE＋∠AEB＝90°。 又∠AEF＝90°，所以∠AEB＋∠FEC＝90°，所以∠BAE＝∠FEC。 所以△ABE∽△ECF。 （2）EC＝4－1＝3。由相似得 ＝，即 ＝，CF＝。 例5　对应关系不确定时的分类讨论 如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AB上，AD＝2，点E在AC上。若△ADE与△ABC相似，求AE的长。 【分析】∠A是公共角，分AD与AB对应、AD与AC对应两种情况。 【解答】 ①若△ADE∽△ABC，则 ＝，即 ＝，AE＝； ②若△ADE∽△ACB，则 ＝，即 ＝，AE＝。 所以AE的长为 或 。 第四部分 分层课时作业 A组 基础达标 一、选择题 1．（　　）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是 A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ B．＝，∠B＝∠B′ C．＝，∠B＝∠B′ D．＝＝ 2．（　　）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，DE＝3，则BC的长为 A．6 B．9 C．4.5 D．12 3．（　　）在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠D＝40°，∠F＝60°，则 A．△ABC∽△DEF B．△ABC∽△DFE C．△ABC∽△EDF D．两个三角形不相似 4．（　　）下列各组数分别是两个三角形的三边长，其中两个三角形与三边长为3，4，5的三角形相似的是 A．6，8，10 B．3，4，6 C．4，5，6 D．5，12，13 5．（　　）下列各组中，两个三角形不一定相似的是 A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是100°的两个等腰三角形 D．各有一个角是50°的两个等腰三角形 6．（　　）如图，点D在△ABC的边AB上，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是 A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC²＝AD·AB D．AB·CD＝AC·BC 7．（　　）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD上一点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则图中相似三角形共有 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 8．（　　）过△ABC的边AB上一点P（不与A，B重合）作一条直线，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线最多有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 二、填空题 9．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，请添加一个条件：____________，使△ADE∽△ABC。 10．两个三角形相似，一个三角形的三边长分别为4，6，8，另一个三角形的最短边长为6，则它的最长边长为______。 11．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，AB＝2，CD＝5，OA＝1.6，则OD＝______。 12．在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝4，AC＝6，A′B′＝6，当A′C′＝______时，△ABC∽△A′B′C′。 13．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，AD＝2，点E在AB上。若△ADE∽△ABC，则AE＝______。 14．同一时刻，身高1.6 m的小明在阳光下的影长为2 m，旗杆的影长为15 m，则旗杆的高度为______m。 15．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点F在CD上，∠AEF＝90°，则CF＝______。 三、解答题 16．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AD＝4，AE＝3，AB＝6，AC＝8。（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若DE＝2.5，求BC的长。 17．如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上。判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。 18．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC上，点E在AC上，∠ADE＝60°。（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝6，BD＝2，求CE的长。 19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD＝2，DB＝6，求AC和CD的长。 20．如图，小华在地面上放一面镜子E，然后退到点D处，恰好在镜子中看到树顶A。已知镜子E到树底B的距离BE＝8 m，DE＝2 m，小华的眼睛到地面的高度CD＝1.6 m，求树高AB（镜子大小忽略不计）。 B组 能力提升 四、综合题 21．（　　）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则图中①②③三个三角形中与△ABC相似的是 A．① B．② C．③ D．都不相似 22．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，AE∶ED＝1∶2，BE与AC相交于点F，则AF∶FC＝______。 23．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度移动。若P，Q同时出发，经过几秒钟△PBQ与△ABC相似？ 24．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD²＝AD·BD。求证：△ABC是直角三角形。 C组 拓展探究 五、探究题 25．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上的一个动点（不与B，C重合），∠AEF＝90°，EF交CD于点F。设BE＝x，CF＝y。（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x为何值时，CF最长？最长是多少？ 26．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－2x＋4 与x轴交于点A，与y轴交于点B。点P在x轴上（不与点O重合），且以P，A，B为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标。 第五部分 参考答案与解析 A组 基础达标 1．【答案】C 【解析】C中∠B不是边AB与AC的夹角，不能判定相似。 2．【答案】B 【解析】由DE∥BC得△ADE∽△ABC，＝＝，BC＝9。 3．【答案】A 【解析】∠C＝60°＝∠F，∠E＝80°＝∠B，所以A与D、B与E、C与F对应，△ABC∽△DEF。 4．【答案】A 【解析】＝＝＝。 5．【答案】D 【解析】50°的角可能是顶角，也可能是底角，所以不一定相似；而100°的角只能是顶角。 6．【答案】D 【解析】D可化为 ＝，但夹这两边的角不是公共角∠A，不能判定相似。C可化为 ＝，夹角都是∠A，可以判定。 7．【答案】C 【解析】△FAE∽△FBC，△FAE∽△CDE，△FBC∽△CDE，共3对。 8．【答案】D 【解析】作平行于BC、平行于AC的直线各1条；再作∠APQ＝∠C（Q在AC上）和∠BPQ＝∠C（Q在BC上）的直线各1条，最多共4条。 9．【答案】∠ADE＝∠B（答案不唯一） 【解析】也可以填∠AED＝∠C或DE∥BC或 ＝。 10．【答案】12 【解析】相似比为4∶6＝2∶3，最长边为 8×＝12。 11．【答案】4 【解析】由AB∥CD得△OAB∽△ODC，＝＝，OD＝4。 12．【答案】9 【解析】＝，＝，A′C′＝9。 13．【答案】 【解析】由相似得 ＝，即 ＝，AE＝。 14．【答案】12 【解析】同一时刻太阳光线平行，人与影子、旗杆与影子构成的直角三角形相似：＝，旗杆高为12 m。 15．【答案】1 【解析】同例4可得△ABE∽△ECF，＝，即 ＝，CF＝1。 16．【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】（1）＝＝，＝＝，所以 ＝。 又∠A＝∠A，所以△ADE∽△ACB。 （2）＝，所以 BC＝2DE＝5。 17．【答案】相似 【解析】AB＝2，BC＝1，AC＝＝；DE＝4，EF＝2，DF＝＝2。 ＝，＝＝，＝＝。 三边成比例，所以△ABC∽△DEF（A与D、B与E、C与F对应）。 18．【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）因为△ABC是等边三角形，所以∠B＝∠C＝60°。 因为∠ADC是△ABD的外角，所以∠ADC＝∠B＋∠BAD，即∠ADE＋∠EDC＝60°＋∠BAD。 又∠ADE＝60°，所以∠BAD＝∠EDC，所以△ABD∽△DCE。 （2）DC＝6－2＝4，由 ＝ 得 ＝，CE＝。 19．【答案】（1）见解析；（2）AC＝4，CD＝2 【解析】（1）因为CD⊥AB，所以∠ADC＝90°＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△ACD∽△ABC。 （2）AB＝8，由 ＝ 得 AC²＝AD·AB＝16，AC＝4。 在Rt△ACD中，CD＝＝＝2。 20．【答案】6.4 m 【解析】由光的反射定律，入射角等于反射角，可得∠AEB＝∠CED。 又∠ABE＝∠CDE＝90°，所以△ABE∽△CDE，＝，即 ＝，AB＝6.4 m。 B组 能力提升 21．【答案】B 【解析】△ABC的三边长为2，，。 ②的三边长为2，2，2，分别是△ABC三边的倍（2＝×2，2＝×，2＝×），所以②与△ABC相似。 ①的三边长为2，，；③的三边长为3，，，都不与△ABC相似。 22．【答案】1∶3 【解析】因为AD∥BC，所以△AEF∽△CBF，＝。 又BC＝AD＝3AE，所以AF∶FC＝1∶3。 23．【答案】0.8 s或2 s 【解析】设经过t s（0＜t＜4），则BP＝8－2t，BQ＝4t，∠B是公共角。 ①若△PBQ∽△ABC，则 ＝，即 ＝，解得 t＝2； ②若△PBQ∽△CBA，则 ＝，即 ＝，解得 t＝0.8。 所以经过0.8 s或2 s，△PBQ与△ABC相似。 24．【答案】见解析 【解析】由CD²＝AD·BD得 ＝。 又CD⊥AB，∠ADC＝∠CDB＝90°，所以△ADC∽△CDB，所以∠ACD＝∠B。 因为∠A＋∠ACD＝90°，所以∠A＋∠B＝90°，所以∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形。 C组 拓展探究 25．【答案】（1）y＝－x²＋x（0＜x＜4）；（2）x＝2时，CF最长为1 【解析】（1）同例4可证△ABE∽△ECF，所以 ＝，即 ＝。 所以 y＝＝－x²＋x（0＜x＜4）。 （2）y＝－(x－2)²＋1，因为 －＜0，所以当x＝2时，y有最大值1，即CF最长为1。 26．【答案】P(－8，0) 【解析】A(2，0)，B(0，4)，OA＝2，OB＝4，AB＝＝2。 △AOB是直角三角形，∠AOB＝90°。点P在x轴上且不与O重合，要使△PAB是直角三角形，而∠PAB≠90°（∠BAO是锐角，其邻补角是钝角），∠APB≠90°（否则P与O重合），所以只能∠ABP＝90°，此时P在点A的左侧。 此时∠BAP与∠BAO是同一个角，由∠ABP＝∠AOB＝90°得△ABP∽△AOB，＝，AP＝＝＝10。 所以点P的横坐标为 2－10＝－8，即 P(－8，0)。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $