专题04 函数的基本性质（期中真题汇编，天津专用）高一数学上学期

专题04 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．D 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．A 12．A 13．B 14．B 15．A 16．C 17．B 18．D 19．B 20．B 21．A 22．D 23．B 24．A 25．D 26．B 27．B 28．C 29．D 30．C 31．B 32．A 33．C 34．B 35．B 36．C 37．B 38．A 39．C 40．B 41．D 42．B 43．B 44．C 45．C 46．D 47．C 48．C 49．D 50．B 51．B 52．C 53．A 54．C 55．C 56．B 57．A 58．D 59．B 60．D 61．D 62．C 63．A 64．B 65．B 66．【答案】8 【分析】 根据函数的奇偶性直接求函数值可得. 【详解】 因函数是定义在R上的奇函数，所以，且时，. 得, 所以. 故答案为：8. 67．【答案】（1） 在区间上单调递增，证明如下： ，，且， 有. 因为，，且，所以，. 于是，即. 故在区间上单调递增.     （2）函数为奇函数，在区间上的值域为      【分析】 （1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域. (1) 小问详解： 在区间上单调递增，证明略； (2) 小问详解： 的定义域为. 因为，所以为奇函数. 由（1）得在区间上单调递增， 结合奇偶性可得在区间上单调递增. 又因为，，所以在区间上的值域为. 68．【答案】 【分析】 由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性列不等式组可得； 【详解】 根据题意，函数 在上为严格增函数， 则有 ，解可得，即的取值范围为. 故答案为：. 69．【答案】（1） 为奇函数， 证明：因为的定义域为， 且， 所以为奇函数.     （2） 因为与在上的单调递减， 所以在上的单调递减， 证明：设任意的，且， 所以 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上的单调递减.      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据反比例函数及一次函数的性质判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 70．【答案】 【分析】 根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】 令，解得或， 作出函数的图象如图所示：   由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 71．【答案】 【分析】 由偶函数的定义求时的解析式，两式结合即可得函数的解析式. 【详解】 若，则， 则当时，， 又为偶函数，则， 即当时，， 因此可得 . 故答案为： . 72．【答案】 【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于函数为偶函数，且在上递增，所以函数在上递减.由得，所以 ，解得. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题. 73．【答案】（1）a=0； （2）函数f(x)在区间上是增函数；证明如下： 由（1）可知；设，则 ， ∵，则， ∴，即， ∴函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数． 【分析】 （1）根据奇函数性质即可求解； （2）根据函数单调性定义即可证明． 【详解】 解（1）∵f(x)是在区间上的奇函数， ∴，∴a=0. （经检验符合题意） （2）略 74．【答案】1 【分析】 利用求出值，再根据函数奇偶性即得. 【详解】 因为为定义在上的奇函数，则，解得， 则当时，，则. 故答案为：1. 75．【答案】 【分析】 由偶函数性质可得答案. 【详解】 由题. 故答案为： 76．【答案】 【分析】 根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】 函数图象的对称轴为， 函数在区间上单调递增， ，解得.所以的取值范围是. 故答案为： 77．【答案】 【分析】 由函数单调性脱去函数外衣求解可得答案，注意定义域的限制. 【详解】 因是定义在区间上的单调递增函数，且， 则 . 故答案为：. 78．【答案】 【分析】 先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】 因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. 79．【答案】 【详解】根据条件求出，然后可算出答案. 【详解】 因为定义在上的奇函数，当时，， 所以，所以 故答案为： 80．【答案】 【分析】 由，得，两式相加，可得，从而证明函数是奇函数，再说明的单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式． 【详解】 由函数① ，则②，又因为，由① +② 可得，即， 所以为奇函数，又因为函数在区间上单调递增， 所以函数在R上为单调递增函数， 由，即， 则，解得. 故答案为：． 81．【答案】 【详解】由，解得，再利用单调性，即可求出其最大值． 【详解】 解：由，解得． ① 当时，函数，其最大值； ② 当或时，函数，其最大值为． 综上可知：函数的最大值是． 故答案为：． 【点睛】 充分理解定表示，中的较小者和掌握函数的单调性是解题的关键，属于基础题 82．【答案】 【分析】 根据函数的奇偶性可知，代入即可得解. 【详解】 由已知为奇函数， 且当时，， 则， 所以， 故答案为：. 83．【答案】（1），     （2）     （3） 单调增区间，，值域      【分析】 （1）根据偶函数的性质和已知的函数解析式直接求解即可； （2）由偶函数的性质结合已知条件求解； （3）根据偶函数的对称性作出函数的另一部分图象，结合图象可求出函数的单调增区间和值域. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以；； (2) 小问详解： 设，则， 因为当时，， 所以， 因为是偶函数， 所以； (3) 小问详解： 因为是偶函数，所以的图象关于轴对称， 所以将在轴左侧的图象关于轴对称，可得函数在轴右侧的图象， 由图象可知的单调增区间，， 当时，， 当时，， 所以值域为. 84．【答案】（1）奇函数，证明: 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数；     （2）证明：任取，且， 则＝＝＝， 因为0＜x1＜x2，所以＜0，且， 所以，即， 所以函数在上单调递增；     （3）函数的最大值为3，最小值为      【分析】 （1）求出函数的定义域，利用奇偶性的定义即可判断； （2）利用函数单调性的定义即可证明； （3）由（1）（2）可判断函数在上也单调递增，从而即可求出函数的最大值和最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知函数在上单调递增，且函数是奇函数， 所以在上也单调递增， 所以当时，， 所以函数的最大值为3，最小值为． 85．【答案】 【分析】 根据一次函数的单调性，列不等式求实数的取值范围. 【详解】 函数在上是增函数， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 86．【答案】1 【分析】 先根据求的值，再验证函数的奇偶性确定的值. 【详解】 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以， 此时，， 所以函数为奇函数，故即为所求. 故答案为：1 87．【答案】（1）0     （2） 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数.      【分析】 （1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. (1) 小问详解： 令，则. (2) 小问详解： 略 88．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据分段函数的解析式由里往外求函数值. （2）分段求函数的值域，再综合可得函数的值域． (1) 小问详解： 由题意，， 所以. (2) 小问详解： 当时，函数在上单调递减，所以； 当时，； 当时，函数在上单调递减，所以. 综上，当时，函数的值域为. 89．【答案】 【分析】 根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 依题意，在上单调递增， 所以 ， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 90．【答案】 【分析】 求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】 函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 91．【答案】 【分析】 求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可得出原函数的增区间. 【详解】 由得或， 故函数的定义域为， 令，， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 故答案为：. 92．【答案】（1） ，减区间为、，增区间为     （2） 【分析】 （1）化简函数的解析式，可作出函数的图象，结合图象可得出函数的增区间和减区间； （2）由（1）可得出函数的解析式. (1) 小问详解： 令，即，即，解得， 令，即，即，解得或， 故 ，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的减区间为、，增区间为. (2) 小问详解： 由（1）可得 . 93．【答案】（1） 是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数.     （2） 在上单调递增.证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增.     （3） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 94．【答案】 【分析】 依据条件得出对称轴，结合单调性列出绝对值不等式，求解即可. 【详解】 因为函数满足，则函数关于对称； 又因为当时，单调递增， 所以，即，两边平方得：，解得：. 所以解集为：. 故答案为：. 95．【答案】（1）0     （2）     （3） 增区间为和，减区间为      【分析】 （1）利用奇函数，直接代入求得； （2）利用代入法求出x<0时的解析式，即可得到的解析式； （3）先作出的图象，利用图象法求出单调区间. (1) 小问详解： 因为为上的奇函数，当时，， 所以. (2) 小问详解： 因为为上的奇函数，所以. 令x=0得：，所以. 任取，则. 所以. 由，所以. 综上所述： (3) 小问详解： 作出的图象如图所示： 从图象可以看出：的增区间为和，减区间为. 96．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）函数式变形后，利用函数的单调性求得值域． （2）利用换元法根据二次函数性质即可求出函数值域. 【详解】 （1）对于. 因为，结合复合函数的单调性知，在其定义域上单调递增， 当时，函数y取得最小值，当时，函数y取得最大值，故函数的值域为. （2）由题意可知，所以可得，即函数定义域为， 令，可得；则， 当时，，故函数的最大值. 97．【答案】（1）    单调递减区间为，单调递增区间为,     （2）     （3） 【分析】 （1）利用偶函数的图象关于轴对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据偶函数的定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． (1) 小问详解： 函数是定义在上的偶函数，即函数的图象关于轴对称， 则函数图象如图所示，    故函数的单调递减区间为，单调递增区间为,． (2) 小问详解： 令，则，则， 又因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 所以 ． (3) 小问详解： 当时，， 则，其对称轴为， 因为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 故 ． 98．【答案】② ③ ④ 【分析】 根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】 由题意得： ， 由解析式可得函数图形如下图所示，   对于① ，函数，① 错误； 对于② ：函数的最小值为，② 正确； 对于③ ，函数的图象与直线有无数个交点，③ 正确； 对于④ ，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 99．【答案】(1) . (2) ①a≤0. ②t> . 【详解】（1）当时，，又因为为奇函数， 所以 所以 （2）①当时，对称轴，所以在上单调递减， 由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减， 又在上，在上， 所以当a0时，为R上的单调递减函数 当a>0时，在上递增，在上递减，不合题意 所以函数为单调函数时，a的范围为a… ②因为，∴ 所以是奇函数，∴ 又因为为上的单调递减函数，所以恒成立， 所以恒成立， 所以 100．【答案】2 【分析】 把表示为分段函数，结合函数的单调性求出的最大值. 【详解】 ，则 或 ， 即 或 ，解得或， 所以 ， 所以当时，单调递增，所以的最大值为; 当时，在上单调递减， 在上单调递增，又，， 所以此时，无最大值； 当时，单调递减，所以的最大值为. 综上可知：的最大值为2，当时取“”. 故答案为：2 101．【答案】（1）；     （2） 由（1）可知，， 任取，则， ，，有，即， 所以在区间上单调递增.     （3），.      【分析】 （1）由，代入函数解析式，求实数m的值； （2）定义法证明的单调性； （3）由函数单调性求区间内函数的最值. (1) 小问详解： 由，得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以时，， . 102．【答案】（1）     （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得 ，求解即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以 ，解得. 所以原不等式的解集为. 103．【答案】 【分析】 当，符合题意，当，列不等式组 ，解不等式即可得出答案. 【详解】 当时，在区间上单调递减，故成立， 当时，要使函数在区间上单调递减， 所以 ，解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 104．【答案】（1）为定义域上的奇函数 证明：易知为定义域为，关于原点对称 又由，故为奇函数     （2）为上的增函数 证明：当时， 任取，且， 可得 因为且，可得，， 所以，即，故为上的增函数     （3）      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到一元二次不等式在恒成立，结合二次函数的图象即可列出不等式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由为奇函数，可得在上为增函数 又由，可得为定义域上的增函数 由，可得 从而有对于任意实数恒成立 即对于任意实数恒成立 令，易知开口向上，故只需 解得，故的取值范围为 105．【答案】 【分析】 当时，分和讨论的最大值小于等于，解方程即可得出答案. 【详解】 当时，在单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 若，，在处取得最大值， 要使是函数 的最大值，所以，解得：， 则， 若，，在处取得最大值， 要使是函数 的最大值，所以， 即，解得：或，所以. 所以实数a的取值范围为：. 故答案为： 106．【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）利用的增减性求值域； （2）由得到 或 ，计算得解. (1) 小问详解： ， 当时，是增函数， 在的范围的取值范围为 ， 当时，是减函数， 在的范围的取值范围为， 综上可知，的范围的取值范围为； (2) 小问详解： ， ， 或 ， 或，不等式的解集为. 107．【答案】（1）     （2）单调递增，理由如下， 任取，则， 由，有，，，， 得，即， 所以在上的单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用函数为奇函数且，求出的值得函数的解析式； （2）定义法判断并证明在上的单调性； （3）依题意有，分类讨论函数在定义区间内的最小值即可. (1) 小问详解： 定义在R上的奇函数，有， ，解得，得， 函数定义域为R，，是奇函数， 所以. (2) 小问详解： 在上的单调递增，理由略 (3) 小问详解： ， 若，对，有， 则需要， 在上的单调递增，， ，函数图象抛物线开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， ，解得，则有； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 得恒成立，则有； 当，即时，在上单调递增， ，解得，则有； 综上可知，实数的取值范围为 108．【答案】（1）     （2） ，值域为      【分析】 （1）设，根据条件，利用奇函数的性质，即可求解； （2）利用二次函数的性质，分，，三种情况，即可求出，进而可求出的值域. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，设时，则，所以， 得到，所以当时，， 则的解析式为 . (2) 小问详解： 因为，又由（1）知时，， 又的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 此时 当，即时，， 当时，在区间上单调递减，此时， 综上， ， 又因为时，，对称轴为，此时， 当时，， 当时，，对称轴为，此时， 综上所述，函数的值域. 109．【答案】 【分析】 根据奇函数和偶函数的性质，分别得到不等式 和 的解集，即可求解. 【详解】 由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当 ，得， 当 ，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 110．【答案】（1） ；     （2）偶函数，不等式的解集为.      【分析】 （1）代入，，求解即可； （2）利用函数奇偶性的定义判断即可，根据函数的单调性，判断出其单调性，再将原不等式转化为，平方整理后求解即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以 ， 解得 ； (2) 小问详解： 因为， 所以， 所以函数为R上的偶函数； 任取，， 则 ， ， 因为， 所以，， 所以， 即， 所以函数在上单调递减， 又因为函数为R上的偶函数， 所以函数在上单调递增， 所以不等式， 等价于， 平方得， 整理得：， 即， 解得或， 所以不等式的解集为. 111．【答案】 【分析】 利用偶函数的定义求出，再结合二次函数单调性求解即得. 【详解】 函数是偶函数，则，即， 整理得，而不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为： 112．【答案】（1） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增.     （2）      【分析】 （1）利用函数单调性的定义，即可求解； （2）利用函数的性质，将问题转化成求解不等式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知在上的单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由，得， 所以 ，解得， 即所求的取值范围为. 113．【答案】 【分析】 先判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】 因为当，且时，， 所以函数在上单调递减. 又函数为偶函数， 所以， 所以. 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 114．【答案】（1），     （2） 由（1）得，在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为， 所以，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性可求的值，再根据可求的值. （2）先判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. (1) 小问详解： 因为函数为奇函数，所以， 即. 又，所以. 所以，. (2) 小问详解： 略 115．【答案】（1）     （2）     （3） 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为.      【分析】 （1）利用幂函数定义和性质求解； （2）利用二次函数性质计算即可得； （3）利用二次函数图象与一元二次不等式的关系，根据函数类型、开口方向、根的大小关系进行讨论求解. (1) 小问详解： 由幂函数定义可得，即， 解得或， 当时，，此时为奇函数，不符； 当时，，此时为偶函数，符合要求； 综上可得：，则的解析式为； (2) 小问详解： ，对称轴为， 由在区间上不单调，则，解得； (3) 小问详解： ， 当时，有，解得； 当时，令，解得或， 若，则，此时该不等式的解集为， 若： 当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述： 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 116．【答案】（1）     （2）由（1）知. 任取、且， 所以， 因为，则，， 所以，则， 所以，函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性和特殊点求得； （2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增； （3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 由于奇函数在处有定义，所以， ，所以， 经检验，此时满足为奇函数，所以. 因为， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在的最大值为 所以对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 所以 ， 解得， 所以的取值范围为. 117．【答案】 【分析】 根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】 由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 118．【答案】 【分析】 根据题意，讨论，求得时，取得最小值，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围. 【详解】 当时，， 当时，取得最小值； 当时，， 当时，可得， 当时，， ， 当时，，当时，取得最小值0，此时； 当时，，由题意可得恒成立. 则的取值范围为. 故答案为： 119．【答案】（1）     （2）证明： 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （2）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足 ，解得，所以不等式的解集为. 120．【答案】（1）增函数，证明如下： 由函数是定义在上的奇函数， 得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得，故，. 函数在上为增函数.证明如下： 且， 则， 因为， 所以，，，， 所以，即， 所以在上为增函数.     （2）      【分析】 （1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可； （2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为奇函数，所以， 不等式可化为，即， 又在上是增函数，所以 ，解得， 所以关于t的不等式解集为. 121．【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数.     （2） ，且， ， 因为， 所以， 所以， 即， 所以在区间上单调递增.     （3）最大值为9，最小值为6      【分析】 （1）根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）利用单调性求最值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得在区间上单调递增， 所以， . 122．【答案】 【分析】 根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】 解：因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象： 所以当或时，；当或时，， 由得 或 ，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：. 123．【答案】（1）函数是定义在上的奇函数， 理由如下， 定义域，关于原点对称， 又， 所以是定义在上的奇函数.     （2）证明：设为区间上的任意两个值，且， 则， 因为， 所以，， 即； 所以函数在上是增函数.     （3）      【分析】 （1）利用函数的奇偶性定义即可求解； （2）利用函数单调性定义即可判断； （3）根据题意求出，从而可得，设，只需 即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）可知时，． 所以，即，对恒成立， 令，，则只需 ，即 ， 解得，故的取值范围为． 124．【答案】（1）是，理由见解析； （2） （3）（i）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t， 都有f（s）>0，f（t）>0，且f（s）+f（t）（s+t）， 令s＝t，可知f（2s）>2f（s），即， （ii）对于正整数k与正数s，都有， 对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得， 又f（1）＝1， 所以， 同理， 故． 【分析】 （1）根据定义逐判断即可； （2）根据定义可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）>0，即（3t﹣1）（3t﹣a）>0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）<g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）>0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围； （3）根据定义，令s＝t，可知f（2s）>2f（s），即，利用累乘得对于正整数k与正数s，都有，进而得出结论． 【详解】 （1）对于函数，当t>0，s>0时，， 又，所以f1（s）+f1（t）<f1（s+t）， 故是“L函数”． （2）当t>0，s>0时，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”， 可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）>0，即（3t﹣1）（3t﹣a）>0对一切正数t恒成立， 又3t﹣1>0，可得a<3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．             由g（t）+g（s）<g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）>0， 即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1） ＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a•3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）>0， 故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）>0，又（3t﹣1）（3s﹣1）>0，故3s+t+a>0， 由3s+t+a>0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．    综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]． （3）略 【点睛】 本题考查了新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，注意的应用，难度较大． 125．【答案】 【分析】 通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】 构造函数（）. 对任意且，不妨设，由，得. 将，代入上式，化简得. 因，故，即在上单调递减. 由，得. 由于不等式有意义，所以， 不等式变形为（其中），即. 因单调递减，故. 解得或；解得. 取交集得或. 故答案为：. 126．【答案】 【分析】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为 ，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 127．【答案】（1） 当时， ，所以满足性质.     （2） 当时，不等式解集为； ② 当时，不等式解集为； ③ 当时，不等式解集为；     （3） 已知，，若， ， ， ∵在上是单调函数， ，， ∵，当且仅当，即时，取等号， 又∵，∴.      【分析】 （1）通过验证函数在定义域上是否满足，即可判断； （2）由函数满足性质，求得的值，由函数在的不等式得到函数单调性，从而将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集； （3）由（2）得到函数满足且，从而得到，再由基本不等式求得，得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若满足性质， 时，得到， 在上单调，在时恒有， 所以在上是单调减函数， 得到，即， 所以，即，即， ① 当时，即时，不等式为，不等式解集为； ② 当时，，不等式解集为； ③ 当时，，不等式解集为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛，本题对函数的性质做了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用. 128．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数为奇函数求出，再求出时函数解析式即可； （2）令，换元后解一元二次不等式得解； （3）分离参数后，利用指数函数的单调性判断单调性，再由单调性求最大值即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，，所以，解得 所以时，且是定义在上的奇函数， 设时，，且是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，， 综上所述， (2) 小问详解： 由（1）得，当时，， 所以，得，， 令，则， 所以，所以，所以， 故在上的解不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，，由， 得，，， 即，再由指数函数和都是上的单调递减函数， 所以函数在上单调递减，也在递减， 所以，所以. 故实数的取值范围为 129．【答案】（1）在上单调递增． 证明如下：，且， 有． 因为，所以． 故，即．所以在上单调递增．     （2）依题意，函数的定义域为． 令．的定义域为， 且， 所以为奇函数． 所以的图象关于点对称．     （3）存在，．      【分析】 （1）应用单调性的定义证明即可； （2）根据题意要证明函数的图象关于点对称，只需证明是奇函数即可； （3）依题意问题可转化为判断是否存在，使在上有解，令，进而转化为在上有解求参数，结合二次函数性质求的取值范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 存在，使得关于在上的倍集不为空集. 假设存在，使得关于在上的倍集不为空集， 则不等式在上有解， 所以在上有解． 令，则，即， 整理得． 设函数，则在上有解． 若，则，不合题意，所以， 所以的图象所在抛物线开口向上． 又因为有解，所以， 化简得，解得或． ① 当时，的图象所在抛物线的对称轴． 所以在内恒有解． ② 当时，的图象所在抛物线的对称轴． 要使在内有解，则， 解得或．又，所以． 综上，存在常数，使关于在上的倍集不为空集， 的取值范围是． 130．【答案】 【分析】 由题问题转化为存在，使得或，求出最值，得到的取值范围. 【详解】 由，，即， ，即或， 即存在，使得或， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， ， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 131．【答案】 【分析】 由题意求出，再求出函数值域，根据的值域为建立不等式即可得解. 【详解】 由的解为，可知，即， ， 当时，， 所以的值域为，又的值域为， 所以且，解得， 故答案为： 132．【答案】 【分析】 当时可求得；当时，，由已知关系式可得到，由二次函数性质可得单调递增区间. 【详解】 当时，，， 所以在上单调递增； 当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增， 综上所述：的单调递增区间为， 故答案为：. 133．【答案】（1） ，的最小值为1；     （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； 所以；     （3）.      【分析】 （1）比较与的大小，即可求，进而求解； （2）分和两种情况，证明等式即可； （3）令，，由（2）知：，，然后把题意转化为都大于等于2，对任意恒成立，即可求解. (1) 小问详解： 设，. 当或时，，故； 当时，，故. 因此， ， 作出的函数图像：    所以， 所以的最小值为1； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有. ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 134．【答案】 【分析】 令，代入，可得，进而验证可以取到即可. 【详解】 令，，则不等式为对于任意恒成立， 取，则，即，解得， 当时，则，即， 由于的最小值为， 当时，则满足恒成立，此时符合题意， 故可以取到， 故答案为： 135．【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 （1）根据三个二次之间的关系列式求解； （2）令，根据恒成立问题结合参变分离运算求解； （3）由二次函数的对称性分和两种情况，根据题意分析运算. (1) 小问详解： ∵不等式的解集为， 则方程的根为，且， ∴ ，解得 ， 故； (2) 小问详解： 若，即， 令，则， 则， ∵的开口向上，对称轴为， 则在单调递减，在单调递增，且当时，， ∴，即， 故实数a的取值范围为； (3) 小问详解： 的开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： 当时，在上单调递增， 则可得 ， 即，解得； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则可得， ∵ ，则， ∴，即； 综上所述：， 故正数a的最小值为4. 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 136．【答案】（1） 当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为． 证明：，，且， 则 ， 因为，，且， 所以，， 当，时，，得，即； 当，时，，得，即； 所以在上单调递增，在上单调递减．     （2）     （3） 【分析】 （1）利用函数单调性的定义判定并证明； （2）由题意先求出，进而求得，根据能成立的意义得到不等式求解； （3）分段写出函数的表达式 ，利用单调性，分类讨论求最大值． 【详解】 （1）略 （2）当，时，， 易知的单调区间与的单调区间一致， 故由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 因为函数在上单调， 所以，在上单调递增， 又存在，使成立， 所以， 即， 解得，或， 所以实数a的取值范围为． （3）由题意，得 ， 易知在区间上单调递增， ① 当时，在上单调递增，在上单调递增，则； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述， ． 137．【答案】 【分析】 把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x-1）f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案． 【详解】 若=∅， 则等价为f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立， 当x≥0时 ． 若a≤0， 则当x≥0时， ， ∵f（x）是奇函数， ∴若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x=-f（x）， 则f（x）=x，x＜0， 综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x-1）f（x）恒成立； 若a＞0， 若0≤x≤a时， ； 当a＜x≤2a时， ； 当x＞2a时， ．即当x≥0时，函数的最小值为-a， 由于函数f（x）是定义在R上的奇函数， 当x＜0时，f（x）的最大值为 a， 作出函数的图象如图： 由于∀x∈R，f（x-1）f（x）， 故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方， 结合图可得 ，即6a1，求得0＜a ， 综上a ， 故答案为 【点睛】 本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 138．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出分段函数解析式，再利用二次函数的性质可得； （2）结合二次函数的性质和图象分析可得. (1) 小问详解： 当时， ， 由二次函数的性质可得，当时对称轴为时，最小值为； 当时，对称轴为，最小值为， 所以函数的最小值为. (2) 小问详解： ，对称轴为， 此时时，， 又，对称轴为， 此时当时，， 不妨设，因为，所以 由对称性可得， 令，此时取得最小值，，解得， 所以， 所以 因为，所以， 即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知是偶函数，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 7．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）函数的单调递增区间是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）若函数的最小值为，则a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      15．（25-26学年高一上·天津河西·期中）若函数是偶函数，则的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知函数是奇函数，当时，，则（     ） A.  B. 3 C.  D. 1 17．（25-26学年高一上·天津河西·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      18．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数，则的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·天津河东·期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      33．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调减，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.      B.      C.      D.      35．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数 的值域为，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）函数的单调递增区间是（       ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知定义在上的偶函数满足对，且都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f（1）＝，f(x＋2)＝f(x)＋f（2），则f（5）等于（       ） A. 0 B. 1 C.  D. 5 40．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知偶函数在上单调递增，若，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设函数若存在最小值，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知四个函数①②③④中，既是偶函数又是在区间上单调递减的是（     ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ②③ 46．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）定义 ，若，则的最大值为（       ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 48．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  50．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  51．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是 （     ） A.  B.  C.  D.  52．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）下列说法正确的是（     ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的值域为 D. 对于，函数满足.若时，，则 53．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知函数，且在上为增函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  54．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知函数，表示中的较小者，记为，则 （       ） A. 的最大值为2，最小值为1 B. 的最大值为，无最小值 C. 的最大值为，无最小值 D. 的最大值为2，最小值为 55．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  56．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（     ）. A.  B.  C.  D.  57．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知函数，下列说法错误的是（     ）. A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的值域为 C. 当时，的单调递增区间为， D. 当时，的值域为 58．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使函数为奇函数； ②对任意实数，函数既无最大值也无最小值； ③对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 其中所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 59．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  60．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  61．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  62．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  63．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  64．（25-26学年高一上·河北·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  65．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数 是定义在上的偶函数，且满足 ，.若， 则的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  66．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域. 68．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 69．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 70．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为　　　　　　　　　　. 71．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是　　　　　　　　. 72．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）设是定义在上的偶函数在上递增，若，则的取值范围为　　　　　　　　． 73．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知定义在区间上的函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）判断并证明函数f(x)在区间上的单调性； 74．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则　　　　　　　　　　. 75．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， ，则 　　　　　　　　　　　　　. 76．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 77．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 的 的取值范围是　　　　　　. 78．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 79．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　. 80．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为　　　　　　　. 81．（25-26学年高一上·天津河西·期中）若则函数的最大值为　　　　　　　　. 82．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）设函数为奇函数，当时，，则　　　　　. 83．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. （1）求，的值； （2）求出当时，的解析式； （3）请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 84．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求函数，的最大值和最小值 85．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　　　　　． 86．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数为奇函数，则实数　　　　　　． 87．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明． 88．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数． （1）求的值； （2）当时，求函数的值域． 89．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为　　　　　　　　　． 90．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 91．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）函数的单调递增区间为　　　　　　　. 92．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. （1）在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； （2）结合图象写出的解析式. 93．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 94．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）定义在上的函数满足，且当时，单调递增，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　 95．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知为上的奇函数，当时，． （1）求； （2）求的解析式； （3）画的草图，并通过图象写出的单调区间． 96．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）（1）求，的值域； （2）求函数的最大值 97．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；    （1）画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； （2）写出函数的解析式； （3）若函数，求函数的最小值. 98．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是　　　　　　. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 99．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=-x2+ax. （1）若a=-2，求函数f (x)的解析式； （2）若函数f (x)为R上的单调减函数， ①求a的取值范围; ②若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围. 100．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）设则函数的最大值为　　　　　　. 101．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知函数，且. （1）求实数的值； （2）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （3）若，求的最大值和最小值. 102．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 103．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　　　　　　. 104．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 105．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）设函数，若是函数 的最大值，则实数a的取值范围为　　　　. 106．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数，． （1）求的值域； （2）解不等式． 107．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）设，若，对，有成立，求实数的取值范围. 108．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值，并求函数的值域. 109．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是　　　　　　　　． 110．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数满足，. （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并求不等式的解集. 111．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为　　　　　　　　　　　　　　　. 112．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）函数为定义在上的奇函数，已知当时，. （1）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （2）若，求的取值范围. 113．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意两个不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为　　　　　　． 114．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数、的值； （2）当时，判断函数的单调性，并证明． 115．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围. （3）求不等式的解集 116．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 117．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）函数的单调递减区间为　　　　　　． 118．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若函数的最小值为0，则的取值范围为　　　　　　. 119．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 120．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）函数是定义在上的奇函数，且. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于t的不等式. 121．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递增； （3）求在区间上的最大值和最小值. 122．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是　　　　　． 123．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知． （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若不等式对任意和都恒成立，求的取值范围． 124．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否是“函数”并说明理由； （2）若函数为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且. 求证：（i）； （ii）对任意，都有. 125．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为　　　　． 126．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是　　　　　　　　　 127．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）若函数是否满足性质？请说明理由. （2）若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）； （3）在（2）的条件下，已知，，若，证明：. 128．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值及的表达式； （2）当时，解不等式； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 129．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知函数，其中． （1）判断并证明在上的单调性； （2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此，证明：的图象关于点对称； （3）把集合称为函数关于函数在区间上的倍集，是否存在，使得关于在上的倍集不为空集？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 130．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为　　　　　. 131．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为　　　　　. 132．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）若定义在上的函数满足则的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 133．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）定义，. . （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 134．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为　　　　　　. 135．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，，求正数的最小值． 136．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数，， （1）若，写出函数的单调区间，并证明其单调性； （2）若函数在上单调，且存在，使成立，求实数a的取值范围： （3）当时，函数的最大值为，求的解析式. 137．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时， ，若集合，则实数的取值范围是　　　　　　. 138．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知函数， （1）当时，求函数的最小值； （2）若且存在三个不同的实数，，使得，记的最小值为，求的最小值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的基本性质 1大高频考点概览 考点01 函数的基本性质 考点01 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据增函数的定义求解即可． 【详解】 因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 2．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接由解析式判断函数的单调性和奇偶性即可得解. 【详解】 解：对于A选项，的定义域为，为非奇非偶函数，故A错误； 对于B选项，为偶函数，在为减函数，不满足条件．故B错误； 对于C选项，为非奇非偶函数，故C错误； 对于D选项，满足 ，为偶函数，且当时，单调递增．故D正确. 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断，属于基础题. 3．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数特征逐一判断即可. 【详解】 对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误； 对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确； 对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误； 对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 4．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由奇函数定义可求解 【详解】 故选：D 5．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用奇偶性以及单调性可得答案. 【详解】 因为为偶函数， 所以， 又因为在上是增函数， 所以， 故. 故选：B 6．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知是偶函数，则（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 根据偶函数的定义关于原点对称求得，然后利用偶函数性质列式求得，即可得解. 【详解】 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 故选：B 7．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】 函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 8．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意及偶函数的性质，可得在上单调递增，根据条件，可得，求解即可得答案. 【详解】 因为定义在上的偶函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 因为， 所以，即，解得，则解集为. 故选：C 9．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）函数的单调递增区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】令，求得函数的定义域，再根据和的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 令， 解得或， 而函数的对称轴为，开口向上， 所以在上递减，在上递增， 由复合函数的单调性得：函数的单调递增区间是， 故选：B 10．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【详解】 因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）若函数的最小值为，则a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据是函数的最小值可得，再由求解即可. 【详解】 当时，，因为的最小值为， 所以在单调递减，故，且，在上恒成立. 又，当且仅当时等号成立，所以，解得. 综上，的取值范围是. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可． 【详解】 解：① 当时，， ， 解得：， ， ② 当时，， ， 解得：， ， 综上所述，实数的取值范围是：，． 故选：． 13．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据一次函数、反比例函数的性质以及分段函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】 若函数 在上是减函数， 则 ，解得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一次函数以及反比例函数的性质，考查分段函数的单调性问题，是一道基础题． 14．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】 ，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 15．（25-26学年高一上·天津河西·期中）若函数是偶函数，则的单调递增区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据函数是偶函数求出，结合二次函数的单调性可得答案. 【详解】 若函数是偶函数， 则， 即， 解得，此时， 因为是开口向下对称轴为轴的抛物线， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 16．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知函数是奇函数，当时，，则（     ） A.  B. 3 C.  D. 1 【答案】C 【分析】 根据奇函数的性质计算可得. 【详解】 因为函数是奇函数，当时，， 所以. 故选：C 17．（25-26学年高一上·天津河西·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性及特值法可判定选项. 【详解】 令，则， 则为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C、D； 当时, ，可排除A，从而B正确. 故选：B. 18．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可． 【详解】 解：在区间上是减函数，不符合题意； 定义域为，在区间上不单调，不符合题意； 定义域为，在区间上不单调，不符合题意； ：根据幂函数的性质可知，区间上是增函数，符合题意． 故选：． 19．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图象知函数的定义域排除选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项. 【详解】 因为函数的定义域为，函数的定义域为， 函数与的定义域均为. 由图知的定义域为，排除选项A、D， 对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C. 故选：B. 20．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数，则的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用分类讨论，对进行化简变形，即可求解. 【详解】 当时，,则可化为 解得，又，所以； 当时，，则可化为， 解得，又，所以. 综上的解集为. 故选：B 21．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论． 【详解】 记，函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BC，又时，，排除D． 故选：A． 【点睛】 思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 22．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】 由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 23．（25-26学年高一上·天津河东·期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用基本初等函数的性质对选项逐项判断即可. 【详解】 对A：在上是减函数，故A错误； 对B：在上是增函数，故B正确； 对C：的定义域为，故C错误； 对D：的定义域为，故D错误. 故选：B. 24．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据取整函数的定义求函数的值域. 【详解】 设，其中，为的小数部分，则， 则， 所以函数的值域为：. 故选：A 25．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由函数的单调性可求解． 【详解】 因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则 ，解得． 故选：D． 26．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用奇偶性求解析式即可. 【详解】 ，则， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以. 故选：. 27．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据奇偶性排除A，利用函数在区间上的函数值为正，排除C，利用函数在区间上的函数值为负，排除D， 【详解】 的定义域为， ，所以为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除A， ，在区间上，，此时，排除C， 在区间上，，此时，排除D， 故选：B. 28．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解. 【详解】 若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，； 令，则，则在上单增，，则. 故选：C. 29．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且，若对任意的，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由在单调递增，结合为奇函数可得，在上递增，再由等价于 或 ，即可求解集. 【详解】 因为对任意的，，且，都有成立， 所以在单调递增， 又因为函数是定义域为的奇函数， 所以在单调递增， 由，则， 当时，，解得； 当时，，解得； 由可得. 故选：D 30．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数奇偶性，结合题设，判断函数的单调性，继而分类讨论求解不等式，可得答案. 【详解】 不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ① 当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ② 当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 31．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的单调性求出，再求出函数的最值解不等式即得解. 【详解】 解：函数的对称轴为直线， 因为函数在区间上递减， 所以. 所以，， 所以. 因为，所以. 故选：B 32．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性和函数的极限即可判断. 【详解】 的定义域为，因为，所以为奇函数，排除BD； 当时，，排除C，故A正确. 故选：A 33．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调减，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的对称性及单调性，利用偶函数性质比较大小. 【详解】 因为，所以， 又是定义在上的偶函数，且在上单调减， 所以在上单调增， 所以， 故选：C 34．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）函数的图象大致为（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 由函数的定义域，奇偶性可排除C，D；再求的值，可排除A，即可得出答案. 【详解】 的定义域为，排除选项D. 因为， 所以为奇函数，排除选项C. 因为，所以排除选项A. 故选：B. 35．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】 当时， 若，则， 若，则， 函数的值域不可能为； 当时，， 在上单调递增， 在上单调递增，， 若函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 36．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）函数的单调递增区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出函数的定义域，令，可知该函数在上单调递减，由单调性的性质即可得出答案. 【详解】 解：由，解得, 所以函数的定义域为， 令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为， 该函数在上单调递减， 则函数的单调递增区间是. 故选：C. 37．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，将函数化成分段函数并分类讨论单调性，再结合在时单调性及分段函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】 函数 ， 由函数是上的单调函数，得函数在上单调， 当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此； 当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数在上不单调，因此不成立； 当时，，函数在上递增，在上递减， 因此函数在上单调递增，且，即，解得， 此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增， 则，而，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 38．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知定义在上的偶函数满足对，且都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的性质将不等式进行转化进行求解即可． 【详解】 由满足对，且都有， 可知在上单调递减； 又函数为偶函数，故在上单调递增. 若，则等价于， 因是偶函数，故， 又在上单调递减，则由可得； 若，则等价于， 由题意，在上单调递增，则由可得； 综上，的解集为. 故选： . 39．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f（1）＝，f(x＋2)＝f(x)＋f（2），则f（5）等于（       ） A. 0 B. 1 C.  D. 5 【答案】C 【详解】观察f(x＋2)＝f(x)＋f（2）可知要求需求，要求需求，已知而未知，要求可结合奇函数性质，令求出 【详解】 令x＝－1，得f（1）＝f(－1)＋f（2）．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f（1）， ∴f（1）＝－f（1）＋f（2），∴，∴f（2）＝1， 令x＝1，得f（3）＝f（1）＋f（2）＝， 令x＝3，得f（5）＝f（2）＋f（3）＝. 故选：C 【点睛】 关键点睛：本题考查由奇函数性质求解具体函数值，抽象函数中赋值法的应用，解题关键在于利用奇函数性质求出；对于抽象函数要能通过关系式进行合理赋值. 40．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知偶函数在上单调递增，若，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解得的取值范围，即可得答案． 【详解】 根据题意，偶函数在单调递增，且，可得， 若，即，可得， 解得：或，即x的取值范围是； 故选：B． 【点睛】 方法点睛：本题考查了利用奇偶性和单调性解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为的模型； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别. 41．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 当时，对函数分段讨论：得函数在时的解析式，再根据函数的奇偶性做出函数在上的图像，根据图像列出不等式，求解不等式可得选项. 【详解】 当时，对函数分段讨论：得到 , 做出函数图象，再根据函数为奇函数,其图像关于原点对称,得出时的图象如图所示, 当时，，令，得， 而函数表示为将函数的图像向右平移2个单位后所得的函数，图像如下图所示， 要满足在上恒成立，由图像可知：需满足，即，则解得. 故选D. 【点睛】 本题考查分段函数、函数图像的平移和函数的奇偶性，以及根据函数的图像求解不等式，属于中档题. 42．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数，且对于任意的，有，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】 由题意，函数 是上的增函数， 则 ，解得. 故选：B. 43．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设函数若存在最小值，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一次函数和二次函数的单调性，分类讨论进行求解即可. 【详解】 若时， ，； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值； 若时，时，单调递减，，当时， ，若函数有最小值，需 或 ，解得. 故选：B 【点睛】 关键点睛：利用分类讨论法，结合最值的性质是解题的关键. 44．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意在上，在上，且，即可求解集. 【详解】 由题设，易知在上，在上，且， 由，则 或 ， 所以原不等式的解集为. 故选：C 45．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知四个函数①②③④中，既是偶函数又是在区间上单调递减的是（     ） A. ①② B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【分析】 由函数解析式即可直接判断单调性，再由奇偶性的定义即可求解. 【详解】 当时，，单调递减， 函数定义域为，显然由，偶函数，符合， 当时，单调递增，不符合， 的定义域为， ，奇函数，不符合 当时，，单调递减， 函数定义域为R， ，偶函数，符合， 故选：C 46．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先可得在上单调递增，即可得到在上单调递增，再分类讨论求解不等式，即可得答案. 【详解】 不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， 当时，不等式等价于，等价于，解得； 当时，不等式等价于，等价于，解得； 当时，，显然不满足，故不符合题意； 综上可得，不等式的解集为. 故选：D 47．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）定义，若，则的最大值为（       ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【分析】 求的解析式，根据解析式求的最大值. 【详解】 由. 所以 . 所以：当时，； 当时，； 当时，. 综上可知：的最大值为9，当时取“”. 故选：C 48．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】 因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以 ，解得，即实数的取值范围是. 故选：. 49．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用周期性与奇偶性转换求值即可. 【详解】 由条件得. 故选：D. 50．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 对变形得到，构造新函数，得到在上单调递减，再对变形为，结合，得到，根据的单调性，得到解集. 【详解】 ，不妨设，故，即， 令，则，故在上单调递减，， 不等式两边同除以得：，因为，所以，即， 根据在上单调递减，故，综上： 故选：B 51．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数，若，则实数a的取值范围是 （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的单调性，结合分段函数的单调性，可得为严格减函数，利用单调性解不等式即可. 【详解】 函数在上严格单调递减，且当时，， 函数在上严格单调递减，且当时，， 所以为严格减函数， 又因为， 所以，即，即， 解得或. 故选：B 52．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）下列说法正确的是（     ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的值域为 D. 对于，函数满足.若时，，则 【答案】C 【分析】 根据相同函数的条件可判断；根据绝对值函数的单调性可判断；根据函数的值域可判断；由周期函数的性质可判断. 【详解】 对于：，所以与不是同一个函数，故错误； 对于：在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于：，所以，函数的值域为，故正确； 对于：，故错误. 故选：. 53．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知函数，且在上为增函数，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数的单调性列不等式组，进而求参数的取值范围. 【详解】 因为函数在上为增函数， 所以 . 故选：A 54．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知函数，表示中的较小者，记为，则 （       ） A. 的最大值为2，最小值为1 B. 的最大值为，无最小值 C. 的最大值为，无最小值 D. 的最大值为2，最小值为 【答案】C 【分析】 作出函数的图象，结合图象即可求解. 【详解】 由 ， 令，则 或 ，解得， 令，则或， 所以 ， 如图，图中实线部分即为函数的图象， 由图可知，当时，取得最大值为，无最小值. 故选：C 55．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出的值域，再根据题意可得的值域是的值域的子集，对的符号分类讨论，根据集合间的包含关系可解得答案. 【详解】 因为， 所以，可得的值域为； 因为对于任意，总存在，使得成立， 所以的值域是的值域的子集； 显然，当时，，不合题意； 当时，在上为增函数，所以，即； 因此 ，解得； 当时，在上为减函数，所以，即； 因此 ，解得； 综上可得，实数的取值范围是 故选：C 【点睛】 关键点点睛：本题关键在于根据题意得出两函数值域的包含关系，再对的符号分类讨论，利用集合间的包含关系可得结论. 56．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数奇偶性与单调性定义可得函数性质，再利用函数性质计算即可得解. 【详解】 当时，， 当时，， 又，定义域为，故为奇函数， 则， 当时，，则在上单调递减， 又为奇函数，故在上单调递减， 则，即对任意恒成立， 即有，解得或， 又，则，故. 故选：B 57．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知函数，下列说法错误的是（     ）. A. 当时，在定义域上单调递增 B. 当时，的值域为 C. 当时，的单调递增区间为， D. 当时，的值域为 【答案】A 【分析】 根据函数单调性法在和上单调递增，判断A；先求出在的值域为，然后根据奇函数性质求得函数值域判断B；根据对勾函数的单调性判断C，利用基本不等式和奇函数性质求解值域判断D. 【详解】 对于A，当时，，函数的定义域为， 由于函数均在上单调递增，故在上单调递增， 由于函数均在上单调递增，故在上单调递增， 但是不能说在定义域上单调递增，比如取， 但，不满足单调递增，错误； 对于B，当时，，函数的定义域为， 又，所以为奇函数； 由于函数均在上单调递增，故在上单调递增， ，，故在的值域为， 由为奇函数，因此在的值域为，综上，的值域为，正确； 对于C，当时，函数，根据对勾函数的性质可知， 在上单调递增，在上单调递增，正确； 对于D，由C可知，当时，， 当且仅当即时的等号成立，又为奇函数， 因此当时，， 所以的值域为，正确. 故选：A 58．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使函数为奇函数； ②对任意实数，函数既无最大值也无最小值； ③对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减. 其中所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【分析】 本题需逐一分析三个关于分段函数性质的结论，涉及奇函数、最值及单调性，需结合分段函数的定义、奇函数性质、函数单调性及值域等知识进行判断. 【详解】 首先分别作出，，的函数的图像，如下：           结合图像进行分析： 当时， ，此时如图1所示， 函数的图像关于原点对称，其为奇函数， 所以存在，使得函数为奇函数，故① 正确； 由图可知，无论取何值，当时，，当时，， 所以函数既无最大值也无最小值，故② 正确； 如图2，当时，对于任意给定的正实数，取，总存在实数，使函数在区间上单调递减，故③ 正确. 故选：D 59．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，可得出，分、两种情况将不等式变形，结合函数的单调性即可得解. 【详解】 构造函数，其中， 则，所以，函数为偶函数， 对任意的对任意、，且，都有， 不妨设，则，可得，即， 所以，函数在上为减函数，则该函数在上为增函数， 且，， 当时，由可得，可得； 当时，由可得，可得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】 思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 60．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题中条件，将问题转化为为递减函数，即可根据分段函数的单调性求解. 【详解】 由，即，对于任意的，当时成立， 所以函数是R上的减函数， 又 ， 所以 ，解得. 故选：D. 61．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】 令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ① 当时，，即， 所以，所以，解得； ② 当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 故选：D. 62．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 令，题中条件转化为判断在上是增函数，进而再由题意列出不等式组求解即可. 【详解】 由对任意，当时，都有，成立， 得. 令， 则 在上是增函数. 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 63．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知定义域为的增函数满足，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用函数的单调性求解不等式. 【详解】 因为，且， 令，得； 又因为， 所以即 因为在为增函数. 所以 解得或. 即不等式的解集为， 故选：A. 64．（25-26学年高一上·河北·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性排除CD；利用函数的单调性或者极限值判断AB. 【详解】 对于CD：由函数为偶函数，偶函数的图象关于轴对称，故CD错误； 由时，，排除A； 当时，是单调增函数， 当时，可得，时，可得，B正确， 故选：B 65．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数 是定义在上的偶函数，且满足 ，.若， 则的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题设条件，构造函数，判断其单调性和奇偶性，再利用单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】 因 ，，不妨设，则可得， 设，则，故函数在上单调递增， 又函数 是定义在上的偶函数，由，可知函数为上的偶函数. 因，则，故不等式等价于， 即，也即，由函数单调性，可得，即或. 故选：B. 66．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则　　　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 根据函数的奇偶性直接求函数值可得. 【详解】 因函数是定义在R上的奇函数，所以，且时，. 得, 所以. 故答案为：8. 67．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知函数. （1）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域. 【答案】（1） 在区间上单调递增，证明如下： ，，且， 有. 因为，，且，所以，. 于是，即. 故在区间上单调递增.     （2）函数为奇函数，在区间上的值域为      【分析】 （1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域. (1) 小问详解： 在区间上单调递增，证明略； (2) 小问详解： 的定义域为. 因为，所以为奇函数. 由（1）得在区间上单调递增， 结合奇偶性可得在区间上单调递增. 又因为，，所以在区间上的值域为. 68．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性列不等式组可得； 【详解】 根据题意，函数 在上为严格增函数， 则有 ，解可得，即的取值范围为. 故答案为：. 69．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 【答案】（1） 为奇函数， 证明：因为的定义域为， 且， 所以为奇函数.     （2） 因为与在上的单调递减， 所以在上的单调递减， 证明：设任意的，且， 所以 ， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上的单调递减.      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据反比例函数及一次函数的性质判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 70．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意作出函数的图象，根据函数图象即可求解． 【详解】 令，解得或， 作出函数的图象如图所示：   由图象可知，当时，取得最小值为． 故答案为：． 71．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知为偶函数，若当时， ，则的解析式是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由偶函数的定义求时的解析式，两式结合即可得函数的解析式. 【详解】 若，则， 则当时，， 又为偶函数，则， 即当时，， 因此可得 . 故答案为： . 72．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）设是定义在上的偶函数在上递增，若，则的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于函数为偶函数，且在上递增，所以函数在上递减.由得，所以 ，解得. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和函数的单调性，考查不等式的解法，属于中档题. 73．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知定义在区间上的函数为奇函数． （1）求实数a的值； （2）判断并证明函数f(x)在区间上的单调性； 【答案】（1）a=0； （2）函数f(x)在区间上是增函数；证明如下： 由（1）可知；设，则 ， ∵，则， ∴，即， ∴函数f(x)在区间（-1，1）上是增函数． 【分析】 （1）根据奇函数性质即可求解； （2）根据函数单调性定义即可证明． 【详解】 解（1）∵f(x)是在区间上的奇函数， ∴，∴a=0. （经检验符合题意） （2）略 74．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 利用求出值，再根据函数奇偶性即得. 【详解】 因为为定义在上的奇函数，则，解得， 则当时，，则. 故答案为：1. 75．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， ，则 　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由偶函数性质可得答案. 【详解】 由题. 故答案为： 76．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二次函数的对称性和单调性可得答案. 【详解】 函数图象的对称轴为， 函数在区间上单调递增， ，解得.所以的取值范围是. 故答案为： 77．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 的 的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由函数单调性脱去函数外衣求解可得答案，注意定义域的限制. 【详解】 因是定义在区间上的单调递增函数，且， 则 . 故答案为：. 78．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】 因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. 79．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知定义在上的奇函数，当时，，则　　　　　　. 【答案】 【详解】根据条件求出，然后可算出答案. 【详解】 因为定义在上的奇函数，当时，， 所以，所以 故答案为： 80．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知函数对任意的，有.设函数，且在区间上单调递增．若，则实数的取值范围为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由，得，两式相加，可得，从而证明函数是奇函数，再说明的单调性，然后由奇偶性与单调性解不等式． 【详解】 由函数① ，则②，又因为，由① +② 可得，即， 所以为奇函数，又因为函数在区间上单调递增， 所以函数在R上为单调递增函数， 由，即， 则，解得. 故答案为：． 81．（25-26学年高一上·天津河西·期中）若则函数的最大值为　　　　　　　　. 【答案】 【详解】由，解得，再利用单调性，即可求出其最大值． 【详解】 解：由，解得． ① 当时，函数，其最大值； ② 当或时，函数，其最大值为． 综上可知：函数的最大值是． 故答案为：． 【点睛】 充分理解定表示，中的较小者和掌握函数的单调性是解题的关键，属于基础题 82．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）设函数为奇函数，当时，，则　　　　　. 【答案】 【分析】 根据函数的奇偶性可知，代入即可得解. 【详解】 由已知为奇函数， 且当时，， 则， 所以， 故答案为：. 83．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，如图当时，. （1）求，的值； （2）求出当时，的解析式； （3）请在图中的坐标系中将函数的图象补充完整；并根据图象直接写出函数的单调增区间及值域. 【答案】（1），     （2）     （3） 单调增区间，，值域      【分析】 （1）根据偶函数的性质和已知的函数解析式直接求解即可； （2）由偶函数的性质结合已知条件求解； （3）根据偶函数的对称性作出函数的另一部分图象，结合图象可求出函数的单调增区间和值域. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 所以；； (2) 小问详解： 设，则， 因为当时，， 所以， 因为是偶函数， 所以； (3) 小问详解： 因为是偶函数，所以的图象关于轴对称， 所以将在轴左侧的图象关于轴对称，可得函数在轴右侧的图象， 由图象可知的单调增区间，， 当时，， 当时，， 所以值域为. 84．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）证明：函数在上是增函数； （3）求函数，的最大值和最小值 【答案】（1）奇函数，证明: 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数；     （2）证明：任取，且， 则＝＝＝， 因为0＜x1＜x2，所以＜0，且， 所以，即， 所以函数在上单调递增；     （3）函数的最大值为3，最小值为      【分析】 （1）求出函数的定义域，利用奇偶性的定义即可判断； （2）利用函数单调性的定义即可证明； （3）由（1）（2）可判断函数在上也单调递增，从而即可求出函数的最大值和最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知函数在上单调递增，且函数是奇函数， 所以在上也单调递增， 所以当时，， 所以函数的最大值为3，最小值为． 85．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）函数在上是增函数，则实数的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一次函数的单调性，列不等式求实数的取值范围. 【详解】 函数在上是增函数， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 86．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数为奇函数，则实数　　　　　　． 【答案】1 【分析】 先根据求的值，再验证函数的奇偶性确定的值. 【详解】 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以， 此时，， 所以函数为奇函数，故即为所求. 故答案为：1 87．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）定义在上的函数对任意、都有． （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明． 【答案】（1）0     （2） 函数的定义域为, 令，则， 因为，所以即. 所以函数为奇函数.      【分析】 （1）令可求的值. （2）令可判断函数的奇偶性. (1) 小问详解： 令，则. (2) 小问详解： 略 88．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数． （1）求的值； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据分段函数的解析式由里往外求函数值. （2）分段求函数的值域，再综合可得函数的值域． (1) 小问详解： 由题意，， 所以. (2) 小问详解： 当时，函数在上单调递减，所以； 当时，； 当时，函数在上单调递减，所以. 综上，当时，函数的值域为. 89．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】 依题意，在上单调递增， 所以 ， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 90．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】 函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 91．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）函数的单调递增区间为　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出函数的定义域，利用复合函数的单调性可得出原函数的增区间. 【详解】 由得或， 故函数的定义域为， 令，， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知函数的增区间为. 故答案为：. 92．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数， ，，用表示、中的较小者，记为. （1）在所给坐标系中画出函数的图象，并由图象直接写出的单调区间； （2）结合图象写出的解析式. 【答案】（1） ，减区间为、，增区间为     （2） 【分析】 （1）化简函数的解析式，可作出函数的图象，结合图象可得出函数的增区间和减区间； （2）由（1）可得出函数的解析式. (1) 小问详解： 令，即，即，解得， 令，即，即，解得或， 故 ，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的减区间为、，增区间为. (2) 小问详解： 由（1）可得 . 93．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） 是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数.     （2） 在上单调递增.证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增.     （3） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 94．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）定义在上的函数满足，且当时，单调递增，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 依据条件得出对称轴，结合单调性列出绝对值不等式，求解即可. 【详解】 因为函数满足，则函数关于对称； 又因为当时，单调递增， 所以，即，两边平方得：，解得：. 所以解集为：. 故答案为：. 95．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知为上的奇函数，当时，． （1）求； （2）求的解析式； （3）画的草图，并通过图象写出的单调区间． 【答案】（1）0     （2）     （3） 增区间为和，减区间为      【分析】 （1）利用奇函数，直接代入求得； （2）利用代入法求出x<0时的解析式，即可得到的解析式； （3）先作出的图象，利用图象法求出单调区间. (1) 小问详解： 因为为上的奇函数，当时，， 所以. (2) 小问详解： 因为为上的奇函数，所以. 令x=0得：，所以. 任取，则. 所以. 由，所以. 综上所述： (3) 小问详解： 作出的图象如图所示： 从图象可以看出：的增区间为和，减区间为. 96．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）（1）求，的值域； （2）求函数的最大值 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）函数式变形后，利用函数的单调性求得值域． （2）利用换元法根据二次函数性质即可求出函数值域. 【详解】 （1）对于. 因为，结合复合函数的单调性知，在其定义域上单调递增， 当时，函数y取得最小值，当时，函数y取得最大值，故函数的值域为. （2）由题意可知，所以可得，即函数定义域为， 令，可得；则， 当时，，故函数的最大值. 97．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；    （1）画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； （2）写出函数的解析式； （3）若函数，求函数的最小值. 【答案】（1）    单调递减区间为，单调递增区间为,     （2）     （3） 【分析】 （1）利用偶函数的图象关于轴对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据偶函数的定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． (1) 小问详解： 函数是定义在上的偶函数，即函数的图象关于轴对称， 则函数图象如图所示，    故函数的单调递减区间为，单调递增区间为,． (2) 小问详解： 令，则，则， 又因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 所以 ． (3) 小问详解： 当时，， 则，其对称轴为， 因为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 故 ． 98．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的序号是　　　　　　. ①函数的最大值为；②函数的最小值为； ③函数的图象与直线有无数个交点；④. 【答案】② ③ ④ 【分析】 根据高斯函数的定义可得解析式，画出图形，根据函数图象逐个命题判断即可. 【详解】 由题意得： ， 由解析式可得函数图形如下图所示，   对于① ，函数，① 错误； 对于② ：函数的最小值为，② 正确； 对于③ ，函数的图象与直线有无数个交点，③ 正确； 对于④ ，由图象函数满足， 也可利用定义推导，，④ 正确； 故答案为：② ③ ④ 99．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f (x)=-x2+ax. （1）若a=-2，求函数f (x)的解析式； （2）若函数f (x)为R上的单调减函数， ①求a的取值范围; ②若对任意实数m,f (m-1)+f (m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) . (2) ①a≤0. ②t> . 【详解】（1）当时，，又因为为奇函数， 所以 所以 （2）①当时，对称轴，所以在上单调递减， 由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减， 又在上，在上， 所以当a0时，为R上的单调递减函数 当a>0时，在上递增，在上递减，不合题意 所以函数为单调函数时，a的范围为a… ②因为，∴ 所以是奇函数，∴ 又因为为上的单调递减函数，所以恒成立， 所以恒成立， 所以 100．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）设则函数的最大值为　　　　　　. 【答案】2 【分析】 把表示为分段函数，结合函数的单调性求出的最大值. 【详解】 ，则 或 ， 即 或 ，解得或， 所以 ， 所以当时，单调递增，所以的最大值为; 当时，在上单调递减， 在上单调递增，又，， 所以此时，无最大值； 当时，单调递减，所以的最大值为. 综上可知：的最大值为2，当时取“”. 故答案为：2 101．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知函数，且. （1）求实数的值； （2）根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （3）若，求的最大值和最小值. 【答案】（1）；     （2） 由（1）可知，， 任取，则， ，，有，即， 所以在区间上单调递增.     （3），.      【分析】 （1）由，代入函数解析式，求实数m的值； （2）定义法证明的单调性； （3）由函数单调性求区间内函数的最值. (1) 小问详解： 由，得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由二次函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以时，， . 102．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）函数是定义在上的奇函数，且 （1）求的解析式； （2）证明在上为增函数； （3）解不等式. 【答案】（1）     （2）证明：任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数；     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得 ，求解即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以 ，解得. 所以原不等式的解集为. 103．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 当，符合题意，当，列不等式组 ，解不等式即可得出答案. 【详解】 当时，在区间上单调递减，故成立， 当时，要使函数在区间上单调递减， 所以 ，解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 104．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并用定义证明； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若关于的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）为定义域上的奇函数 证明：易知为定义域为，关于原点对称 又由，故为奇函数     （2）为上的增函数 证明：当时， 任取，且， 可得 因为且，可得，， 所以，即，故为上的增函数     （3）      【分析】 （1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到一元二次不等式在恒成立，结合二次函数的图象即可列出不等式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由为奇函数，可得在上为增函数 又由，可得为定义域上的增函数 由，可得 从而有对于任意实数恒成立 即对于任意实数恒成立 令，易知开口向上，故只需 解得，故的取值范围为 105．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）设函数，若是函数 的最大值，则实数a的取值范围为　　　　. 【答案】 【分析】 当时，分和讨论的最大值小于等于，解方程即可得出答案. 【详解】 当时，在单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 若，，在处取得最大值， 要使是函数 的最大值，所以，解得：， 则， 若，，在处取得最大值， 要使是函数 的最大值，所以， 即，解得：或，所以. 所以实数a的取值范围为：. 故答案为： 106．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数，． （1）求的值域； （2）解不等式． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）利用的增减性求值域； （2）由得到 或 ，计算得解. (1) 小问详解： ， 当时，是增函数， 在的范围的取值范围为 ， 当时，是减函数， 在的范围的取值范围为， 综上可知，的范围的取值范围为； (2) 小问详解： ， ， 或 ， 或，不等式的解集为. 107．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并证明你的结论； （3）设，若，对，有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）单调递增，理由如下， 任取，则， 由，有，，，， 得，即， 所以在上的单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用函数为奇函数且，求出的值得函数的解析式； （2）定义法判断并证明在上的单调性； （3）依题意有，分类讨论函数在定义区间内的最小值即可. (1) 小问详解： 定义在R上的奇函数，有， ，解得，得， 函数定义域为R，，是奇函数， 所以. (2) 小问详解： 在上的单调递增，理由略 (3) 小问详解： ， 若，对，有， 则需要， 在上的单调递增，， ，函数图象抛物线开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， ，解得，则有； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ， 得恒成立，则有； 当，即时，在上单调递增， ，解得，则有； 综上可知，实数的取值范围为 108．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）当时，求的最大值，并求函数的值域. 【答案】（1）     （2） ，值域为      【分析】 （1）设，根据条件，利用奇函数的性质，即可求解； （2）利用二次函数的性质，分，，三种情况，即可求出，进而可求出的值域. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，设时，则，所以， 得到，所以当时，， 则的解析式为 . (2) 小问详解： 因为，又由（1）知时，， 又的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 此时 当，即时，， 当时，在区间上单调递减，此时， 综上， ， 又因为时，，对称轴为，此时， 当时，， 当时，，对称轴为，此时， 综上所述，函数的值域. 109．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据奇函数和偶函数的性质，分别得到不等式 和 的解集，即可求解. 【详解】 由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当 ，得， 当 ，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 110．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知函数满足，. （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并求不等式的解集. 【答案】（1） ；     （2）偶函数，不等式的解集为.      【分析】 （1）代入，，求解即可； （2）利用函数奇偶性的定义判断即可，根据函数的单调性，判断出其单调性，再将原不等式转化为，平方整理后求解即可. (1) 小问详解： 因为，， 所以 ， 解得 ； (2) 小问详解： 因为， 所以， 所以函数为R上的偶函数； 任取，， 则 ， ， 因为， 所以，， 所以， 即， 所以函数在上单调递减， 又因为函数为R上的偶函数， 所以函数在上单调递增， 所以不等式， 等价于， 平方得， 整理得：， 即， 解得或， 所以不等式的解集为. 111．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知函数（）是偶函数，则函数的单调递增区间为　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用偶函数的定义求出，再结合二次函数单调性求解即得. 【详解】 函数是偶函数，则，即， 整理得，而不恒为0，因此，， 函数的定义域为，根据复合函数的单调性，易知单调递增区间为. 故答案为： 112．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）函数为定义在上的奇函数，已知当时，. （1）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增.     （2）      【分析】 （1）利用函数单调性的定义，即可求解； （2）利用函数的性质，将问题转化成求解不等式，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知在上的单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由，得， 所以 ，解得， 即所求的取值范围为. 113．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意两个不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先判断函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】 因为当，且时，， 所以函数在上单调递减. 又函数为偶函数， 所以， 所以. 所以所求不等式的解集为. 故答案为： 114．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求实数、的值； （2）当时，判断函数的单调性，并证明． 【答案】（1），     （2） 由（1）得，在上单调递增，证明如下： 设， 则， 因为， 所以，，， 所以，即. 所以函数在上单调递增.      【分析】 （1）根据函数的奇偶性可求的值，再根据可求的值. （2）先判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性. (1) 小问详解： 因为函数为奇函数，所以， 即. 又，所以. 所以，. (2) 小问详解： 略 115．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知幂函数为偶函数. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围. （3）求不等式的解集 【答案】（1）     （2）     （3） 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为.      【分析】 （1）利用幂函数定义和性质求解； （2）利用二次函数性质计算即可得； （3）利用二次函数图象与一元二次不等式的关系，根据函数类型、开口方向、根的大小关系进行讨论求解. (1) 小问详解： 由幂函数定义可得，即， 解得或， 当时，，此时为奇函数，不符； 当时，，此时为偶函数，符合要求； 综上可得：，则的解析式为； (2) 小问详解： ，对称轴为， 由在区间上不单调，则，解得； (3) 小问详解： ， 当时，有，解得； 当时，令，解得或， 若，则，此时该不等式的解集为， 若： 当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述： 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为. 116．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上的单调性； （3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）由（1）知. 任取、且， 所以， 因为，则，， 所以，则， 所以，函数在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据函数的奇偶性和特殊点求得； （2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增； （3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围. (1) 小问详解： 由于奇函数在处有定义，所以， ，所以， 经检验，此时满足为奇函数，所以. 因为， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）知在的最大值为 所以对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 所以 ， 解得， 所以的取值范围为. 117．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）函数的单调递减区间为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据复合函数的定义域和单调性求解即可. 【详解】 由，解得， 所以的定义域为， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为， 故答案为： 118．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若函数的最小值为0，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据题意，讨论，求得时，取得最小值，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围. 【详解】 当时，， 当时，取得最小值； 当时，， 当时，可得， 当时，， ， 当时，，当时，取得最小值0，此时； 当时，，由题意可得恒成立. 则的取值范围为. 故答案为： 119．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 【答案】（1）     （2）证明： 由（1）得，其中， 任取，且， 则， 因为，且，可得， 所以，即， 所以函数是上的单调递增函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，结合和，列出方程，即可求得的值； （2）由（1）得，根据函数单调性的概念与判定方法，即可证得是上的单调递增； （2）根据题意，把不等式转化为，结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数是定义域在上的奇函数，可得， 又由，可得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是定义域在上的奇函数，且在上的单调递增函数， 则不等式，即为， 则满足 ，解得，所以不等式的解集为. 120．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）函数是定义在上的奇函数，且. （1）判断在上的单调性，并用定义证明； （2）解关于t的不等式. 【答案】（1）增函数，证明如下： 由函数是定义在上的奇函数， 得，解得， 经检验，时，， 所以是上的奇函数，满足题意， 又，解得，故，. 函数在上为增函数.证明如下： 且， 则， 因为， 所以，，，， 所以，即， 所以在上为增函数.     （2）      【分析】 （1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可； （2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为奇函数，所以， 不等式可化为，即， 又在上是增函数，所以 ，解得， 所以关于t的不等式解集为. 121．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递增； （3）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数.     （2） ，且， ， 因为， 所以， 所以， 即， 所以在区间上单调递增.     （3）最大值为9，最小值为6      【分析】 （1）根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）利用单调性求最值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得在区间上单调递增， 所以， . 122．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 【详解】 解：因为定义在的奇函数在单调递减，且， 所以在上单调递减，且，如下图为的大致图象： 所以当或时，；当或时，， 由得 或 ，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：. 123．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知． （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数在上是增函数； （3）若不等式对任意和都恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）函数是定义在上的奇函数， 理由如下， 定义域，关于原点对称， 又， 所以是定义在上的奇函数.     （2）证明：设为区间上的任意两个值，且， 则， 因为， 所以，， 即； 所以函数在上是增函数.     （3）      【分析】 （1）利用函数的奇偶性定义即可求解； （2）利用函数单调性定义即可判断； （3）根据题意求出，从而可得，设，只需 即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）可知时，． 所以，即，对恒成立， 令，，则只需 ，即 ， 解得，故的取值范围为． 124．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否是“函数”并说明理由； （2）若函数为“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，且. 求证：（i）； （ii）对任意，都有. 【答案】（1）是，理由见解析； （2） （3）（i）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t， 都有f（s）>0，f（t）>0，且f（s）+f（t）（s+t）， 令s＝t，可知f（2s）>2f（s），即， （ii）对于正整数k与正数s，都有， 对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得， 又f（1）＝1， 所以， 同理， 故． 【分析】 （1）根据定义逐判断即可； （2）根据定义可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）>0，即（3t﹣1）（3t﹣a）>0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）<g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）>0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围； （3）根据定义，令s＝t，可知f（2s）>2f（s），即，利用累乘得对于正整数k与正数s，都有，进而得出结论． 【详解】 （1）对于函数，当t>0，s>0时，， 又，所以f1（s）+f1（t）<f1（s+t）， 故是“L函数”． （2）当t>0，s>0时，由g（x）＝3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”， 可知g（t）＝3t﹣1+a（3﹣t﹣1）>0，即（3t﹣1）（3t﹣a）>0对一切正数t恒成立， 又3t﹣1>0，可得a<3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．             由g（t）+g（s）<g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）>0， 即3t（3s﹣1）﹣（3s﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1）＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a（3﹣s﹣1）（3﹣t﹣1） ＝（3s﹣1）（3t﹣1）+a•3﹣s﹣t（3s﹣1）（3t﹣1）>0， 故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）>0，又（3t﹣1）（3s﹣1）>0，故3s+t+a>0， 由3s+t+a>0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．    综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]． （3）略 【点睛】 本题考查了新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，注意的应用，难度较大． 125．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为　　　　． 【答案】 【分析】 通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】 构造函数（）. 对任意且，不妨设，由，得. 将，代入上式，化简得. 因，故，即在上单调递减. 由，得. 由于不等式有意义，所以， 不等式变形为（其中），即. 因单调递减，故. 解得或；解得. 取交集得或. 故答案为：. 126．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）对于函数，若存在，使 ，则称点与点是函数 的一对 “隐对称点”.若函数的图象存在 “隐对称点”，则实数  的取值范围是　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数的取值范围. 【详解】 由隐对称点的定义可知函数图象上存在关于原点对称的点， 设的图象与函数的图象关于原点对称， 令，则，， 所以， 因为 ，又， 由题意得与在上有交点，即方程在上有根， 则， 又因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以，即． 故答案为：. 127．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质. （1）若函数是否满足性质？请说明理由. （2）若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）； （3）在（2）的条件下，已知，，若，证明：. 【答案】（1） 当时， ，所以满足性质.     （2） 当时，不等式解集为； ② 当时，不等式解集为； ③ 当时，不等式解集为；     （3） 已知，，若， ， ， ∵在上是单调函数， ，， ∵，当且仅当，即时，取等号， 又∵，∴.      【分析】 （1）通过验证函数在定义域上是否满足，即可判断； （2）由函数满足性质，求得的值，由函数在的不等式得到函数单调性，从而将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集； （3）由（2）得到函数满足且，从而得到，再由基本不等式求得，得证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若满足性质， 时，得到， 在上单调，在时恒有， 所以在上是单调减函数， 得到，即， 所以，即，即， ① 当时，即时，不等式为，不等式解集为； ② 当时，，不等式解集为； ③ 当时，，不等式解集为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 方法点睛，本题对函数的性质做了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用. 128．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的值及的表达式； （2）当时，解不等式； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 （1）根据函数为奇函数求出，再求出时函数解析式即可； （2）令，换元后解一元二次不等式得解； （3）分离参数后，利用指数函数的单调性判断单调性，再由单调性求最大值即可. (1) 小问详解： 因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，，所以，解得 所以时，且是定义在上的奇函数， 设时，，且是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，， 综上所述， (2) 小问详解： 由（1）得，当时，， 所以，得，， 令，则， 所以，所以，所以， 故在上的解不等式的解集为. (3) 小问详解： 当时，，由， 得，，， 即，再由指数函数和都是上的单调递减函数， 所以函数在上单调递减，也在递减， 所以，所以. 故实数的取值范围为 129．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知函数，其中． （1）判断并证明在上的单调性； （2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，据此，证明：的图象关于点对称； （3）把集合称为函数关于函数在区间上的倍集，是否存在，使得关于在上的倍集不为空集？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）在上单调递增． 证明如下：，且， 有． 因为，所以． 故，即．所以在上单调递增．     （2）依题意，函数的定义域为． 令．的定义域为， 且， 所以为奇函数． 所以的图象关于点对称．     （3）存在，．      【分析】 （1）应用单调性的定义证明即可； （2）根据题意要证明函数的图象关于点对称，只需证明是奇函数即可； （3）依题意问题可转化为判断是否存在，使在上有解，令，进而转化为在上有解求参数，结合二次函数性质求的取值范围即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 存在，使得关于在上的倍集不为空集. 假设存在，使得关于在上的倍集不为空集， 则不等式在上有解， 所以在上有解． 令，则，即， 整理得． 设函数，则在上有解． 若，则，不合题意，所以， 所以的图象所在抛物线开口向上． 又因为有解，所以， 化简得，解得或． ① 当时，的图象所在抛物线的对称轴． 所以在内恒有解． ② 当时，的图象所在抛物线的对称轴． 要使在内有解，则， 解得或．又，所以． 综上，存在常数，使关于在上的倍集不为空集， 的取值范围是． 130．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知函数，若，使得，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 由题问题转化为存在，使得或，求出最值，得到的取值范围. 【详解】 由，，即， ，即或， 即存在，使得或， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， ， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 131．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如，如，.已知，解集为，若函数，且的值域为，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意求出，再求出函数值域，根据的值域为建立不等式即可得解. 【详解】 由的解为，可知，即， ， 当时，， 所以的值域为，又的值域为， 所以且，解得， 故答案为： 132．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）若定义在上的函数满足则的单调递增区间为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 当时可求得；当时，，由已知关系式可得到，由二次函数性质可得单调递增区间. 【详解】 当时，，， 所以在上单调递增； 当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增， 综上所述：的单调递增区间为， 故答案为：. 133．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）定义，. . （1）用解析式表示，并求的最小值； （2）证明：； （3）设，.若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） ，的最小值为1；     （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； 所以；     （3）.      【分析】 （1）比较与的大小，即可求，进而求解； （2）分和两种情况，证明等式即可； （3）令，，由（2）知：，，然后把题意转化为都大于等于2，对任意恒成立，即可求解. (1) 小问详解： 设，. 当或时，，故； 当时，，故. 因此， ， 作出的函数图像：    所以， 所以的最小值为1； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有. ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 134．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知，若不等式对于任意恒成立，则的最小值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，代入，可得，进而验证可以取到即可. 【详解】 令，，则不等式为对于任意恒成立， 取，则，即，解得， 当时，则，即， 由于的最小值为， 当时，则满足恒成立，此时符合题意， 故可以取到， 故答案为： 135．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，，求正数的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 （1）根据三个二次之间的关系列式求解； （2）令，根据恒成立问题结合参变分离运算求解； （3）由二次函数的对称性分和两种情况，根据题意分析运算. (1) 小问详解： ∵不等式的解集为， 则方程的根为，且， ∴ ，解得 ， 故； (2) 小问详解： 若，即， 令，则， 则， ∵的开口向上，对称轴为， 则在单调递减，在单调递增，且当时，， ∴，即， 故实数a的取值范围为； (3) 小问详解： 的开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： 当时，在上单调递增， 则可得 ， 即，解得； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则可得， ∵ ，则， ∴，即； 综上所述：， 故正数a的最小值为4. 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 136．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数，， （1）若，写出函数的单调区间，并证明其单调性； （2）若函数在上单调，且存在，使成立，求实数a的取值范围： （3）当时，函数的最大值为，求的解析式. 【答案】（1） 当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为． 证明：，，且， 则 ， 因为，，且， 所以，， 当，时，，得，即； 当，时，，得，即； 所以在上单调递增，在上单调递减．     （2）     （3） 【分析】 （1）利用函数单调性的定义判定并证明； （2）由题意先求出，进而求得，根据能成立的意义得到不等式求解； （3）分段写出函数的表达式 ，利用单调性，分类讨论求最大值． 【详解】 （1）略 （2）当，时，， 易知的单调区间与的单调区间一致， 故由（1）知在上单调递增，在上单调递减， 因为函数在上单调， 所以，在上单调递增， 又存在，使成立， 所以， 即， 解得，或， 所以实数a的取值范围为． （3）由题意，得 ， 易知在区间上单调递增， ① 当时，在上单调递增，在上单调递增，则； ② 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述， ． 137．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时， ，若集合，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x-1）f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案． 【详解】 若=∅， 则等价为f（x-1）-f（x） 0恒成立，即f（x-1）f（x）恒成立， 当x≥0时 ． 若a≤0， 则当x≥0时， ， ∵f（x）是奇函数， ∴若x＜0，则-x＞0，则f（-x）=-x=-f（x）， 则f（x）=x，x＜0， 综上f（x）=x，此时函数为增函数，则f（x-1）f（x）恒成立； 若a＞0， 若0≤x≤a时， ； 当a＜x≤2a时， ； 当x＞2a时， ．即当x≥0时，函数的最小值为-a， 由于函数f（x）是定义在R上的奇函数， 当x＜0时，f（x）的最大值为 a， 作出函数的图象如图： 由于∀x∈R，f（x-1）f（x）， 故函数f（x-1）的图象不能在函数f（x）的图象的上方， 结合图可得 ，即6a1，求得0＜a ， 综上a ， 故答案为 【点睛】 本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 138．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）若且存在三个不同的实数，，使得，记的最小值为，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）求出分段函数解析式，再利用二次函数的性质可得； （2）结合二次函数的性质和图象分析可得. (1) 小问详解： 当时， ， 由二次函数的性质可得，当时对称轴为时，最小值为； 当时，对称轴为，最小值为， 所以函数的最小值为. (2) 小问详解： ，对称轴为， 此时时，， 又，对称轴为， 此时当时，， 不妨设，因为，所以 由对称性可得， 令，此时取得最小值，，解得， 所以， 所以 因为，所以， 即. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $