专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，天津专用）高一数学上学期

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）设，，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知、、，则下列不等式一定成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）设，，为实数，且，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）若为实数，下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完.若所获利润大于750元，则该店进货方案有（     ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 7．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）对于实数下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）如果，则正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 10．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·天津河东·期中）设，则下列命题正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）下列说法中，错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知，下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 14．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知，则下列式子一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（     ）. A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 17．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）若，，为实数，下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 19．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知实数a､b､c，则下列结论不正确的是（       ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 21．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）设、均是不为零的实数且，下列不等式中，恒成立的是（     ）. A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·河北·期中）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 23．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知，，，则M　　　　　　　　　　　　N（用>、<、=填空）. 24．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知 则的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　.(用区间表示). 25．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知实数、满足，，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知正实数满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D.  2．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）下列不等式中，正确的是（       ） A. a＋≥4 B. a2＋b2≥4ab C. ≥ D. x2＋≥2 3．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知，且，则的最小值是（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4．（25-26学年高一上·天津河西·期中）设，则的最小值为（        ） A. 81 B. 27 C. 9 D. 3 5．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知，，若，则的最小值为（       ） A. 4 B. 8 C.  D.  6．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）若，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（     ）. A.  B.  C. 1 D.  8．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知，则的最大值是（       ）． A.  B.  C. 5 D. 8 9．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设正实数满足，则（       ） A. 有最小值2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 10．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）的最大值为（     ） A.  B.  C. 4 D. 8 11．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知，，且，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知， 且，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要　　　　　　米棚栏. 14．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知，则的最小值为　　　　　　　，此时x的值是　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知，则的最大值是　　　　　　 17．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知实数，，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知，则的最小值是　　　　　　　． 19．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是　　　　　　　　　　　 20．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知，，，则的最小值为　　　　　　. 21．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知，且，则的最小值为　　　　　　　　　． 22．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知正实数满足：. （1）求的最大值； （2）求的最小值； 23．（25-26学年高一上·天津河东·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知、是正实数，且，求的最小值. 24．（25-26学年高一上·河北·期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知，，，则的最小值为　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知正实数满足，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 2．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  4．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（     ）. A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为(       ) A.  B.  C.  D.  或 6．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）若，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 9．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. 或 10．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）若，则的取值集合为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 的解集为 12．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（       ） A. 或 B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·河北·期中）下列说法错误的是（       ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是 C. 的最小值是2 D. 的最大值是 15．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 16．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  17．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数在上的最大值为4，则实数k的值为（     ） A.  B. 或 C. 3或 D. 或 18．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求、的值； （2）若，解不等式. 19．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）不等式的解集是　　　　　. 20．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． （4）． 21．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知不等式的解集为或. （1）求实数，的值； （2）解不等式. 22．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为　　　　　　　　　 23．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）解下列不等式： （1）； （2）； （3） 24．（25-26学年高一上·河北·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 25．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）若集合，，则　　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是　　　　　　　　　　　　元. 27．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）不等式的解集为　　　　　　　　． 28．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）不等式的解集为，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　 29．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为　　　　　. 30．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知函数． （1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）试求在区间上的最大值与最小值． 31．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 32．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （3）设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 33．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在使不等式成立，求的取值范围. 34．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数的增区间； （3）若函数，求函数的最小值． 35．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知函数，. （1）已知关于的不等式的解集为. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求在上的值域； （2）求关于的不等式的解集. 36．（25-26学年高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为　　　　　　　　　　元. 37．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是　　　　　　. 38．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知关于x的函数 （1）当时，解关于x的不等式； （2）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 39．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为　　　　　　　　. 40．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　　　　． 41．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为{x|1＜x＜3}． （1）求的解析式； （2）若在区间上有最小值2，求实数t的值． 42．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知集合，. （1）若，求的范围； （2）若，求的范围. 43．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知二次函数（a，且），，若函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）当时，恒成立，求k的取值范围. 44．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知，，若的最大值为，且不等式 的解集为， 则 　　　　　. 45．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 46．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 47．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是　　　　　　　. 48．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知一元二次函数的对称轴为， 且满足，. （1）求的解析式; （2）若在区间上单调，求实数m的取值范围； （3）用来表示在区间上的最小值，，求的表达式. 49．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数 （1）当时， 求在上的最大值和最小值; （2）求关于x的不等式的解集. 50．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 51．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知二次函数满足，且，函数. （1）求的解析式； （2）设，若的最大值不大于，又当时，，求的值； （3）若方程的两根和满足，求的取值范围. 52．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 53．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 54．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．C 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．C 17．B 18．D 19．B 20．B 21．D 22．C 23．【答案】 【分析】 利用作差法比较大小即可. 【详解】 因为，， 所以 ， 故, 故答案为： 24．【答案】 【分析】 直接利用不等式的性质可得答案. 【详解】 由 ，两边乘以 2，得 ； 由 ，两边乘以，得 ； 两个不等式相加得： . 故答案为： 25．【答案】 【分析】 根据不等式的性质计算可得. 【详解】 因为，所以，又， 所以，则，即的取值范围为. 故答案为： 考点02 基本不等式 1．A 2．D 3．B 4．B 5．B 6．A 7．C 8．A 9．B 10．B 11．A 12．【答案】4 【分析】 直接运用基本不等式：求解即可. 【详解】 ∵， ， ∴，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 13．【答案】 【分析】 根据面积可得，周长为，然后根据基本不等式求最小值. 【详解】 由题意，，且周长是， 根据基本不等式，，当取等号， 即至少需要米棚栏. 故答案为： 14．【答案】 【分析】 由基本不等式可得，所以，从而得解. 【详解】 因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 又因为恒成立，所以，解得. 故答案为： 15．【答案】①     ② 【分析】 先将变形为，再由基本不等式求解即可. 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，此时. 故答案为：； 16．【答案】4 【分析】 借助基本不等式计算即可得结果. 【详解】 由可知，则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 17．【答案】 【分析】 利用可得，根据和基本不等式求出的最小值，从而可得解. 【详解】 根据题意得到，变形为， 则, 因为，故得到, 当且仅当时等号成立. 故 故答案为：. 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题 18．【答案】 【分析】 根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 19．【答案】 【分析】 先利用基本不等式求解出的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】 因为， 所以， 取等号时 ，即 ， 所以，解得， 故答案为：. 20．【答案】25 【分析】 根据基本不等式列不等关系，结合一元二次不等式求解即可得答案. 【详解】 已知，，又，所以，且 因为，所以， 整理得，解得或（舍） 当且仅当，即时，的最小值为. 故答案为：. 21．【答案】4 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】 本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 22．【答案】（1）     （2）25      【分析】 （1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； (2) 小问详解： 正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 23．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果； （2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解. 【详解】 （1）因为，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数（）的最大值为； （2）、是正实数，且，， 则， 当且仅当且时取等号，此时取得最小值. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查“1”的妙用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 24．【答案】 【分析】 先利用常数代换，使用基本不等式求得,再根据不等式恒成立的意义得到答案. 【详解】 由已知，, 当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以, 因为恒成立，所以,解得, 故答案为： 25．【答案】.5 【分析】 根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可. 【详解】 由可得，解得， 又，所以， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 26．【答案】 【分析】 ，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】 正实数满足，则， 所以， 当且仅当，即 时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．C 11．D 12．C 13．C 14．C 15．B 16．A 17．D 18．【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）分析可知、是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值； （2）将所求不等式变形为，对、的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. (1) 小问详解： 解：原不等式可化为， 由题知，、是方程的两根， 由根与系数的关系得 ，解得 . (2) 小问详解： 解：当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．【答案】 【分析】 直接解出一元二次不等式即可. 【详解】 ，解得， 则其解集为. 故答案为：. 20．【答案】（1）或     （2）或     （3）     （4）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （4）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分情况讨论，即可求解； (1) 小问详解： 解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为或； (2) 小问详解： 解：由不等式，可得， 解得或，所以不等式的解集为或. (3) 小问详解： 解：由不等式，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. (4) 小问详解： 解：由不等式， 当时，原不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式， ①当时，原不等式等价于，解得，所以解集为； ②当时，原不等式等价于， （i）当时，解得或，不等式的解集为； （ii）当时，原不等式等价于，不等式的解集为； （iii）当时，解得或，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21．【答案】（1），；     （2） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解作答. （2）利用（1）的结论，求解含参的一元二次不等式作答. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为或，则是方程的二根，且， 因此 ，解得，， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）知，不等式为，即， 当时，；当时，；当时，， 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为. 22．【答案】 【分析】 将题设等价转化为 对任意恒成立，再由对勾函数性质即可求解. 【详解】 对任意恒成立，即 对任意恒成立， 则， 令，则在上单调递增， 所以，故， 则实数 a 的取值范围为. 故答案为： 23．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）（2）结合二次函数，一元二次方程求解一元二次不等式求解； （3）分式不等式的求解，先移项，再通分，结合一元二次不等式的求解方法求解. (1) 小问详解： ， ， 或， 此不等式的解集为； (2) 小问详解： ， ， ， 此不等式的解集为. (3) 小问详解： ， ， ， ， ， 此不等式的解集为. 24．【答案】 【分析】 二次不等式的一般解法是先找到对应的二次方程的根，然后根据二次函数的图像（抛物线）来确定不等式的解集. 【详解】 首先，解对应方程 . 通过因式分解：，得根  和 . 二次函数  的图象是开口向上的抛物线（二次项系数为正），与轴交点为  和 。 当抛物线在轴下方时，函数值小于零，即不等式成立. 由于开口向上，函数值在两根之间小于零，因此解集为 ， 用区间表示为 . 故答案为：. 25．【答案】 【分析】 先计算绝对值不等式得出集合，再解分式不等式及一元二次不等式得出集合，最后应用并集定义计算求解. 【详解】 令，解得，则 令，化简得，解得， 则，可得. 故答案为：. 26．【答案】30 【分析】 设每件售价为元，结合题意列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】 设每件售价为元， 则， 即，即， 解得， 又， 所以. 所以销售价格最高是30元. 故答案为：30. 27．【答案】 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式即可求解. 【详解】 ，解得． 故答案为： 28．【答案】 【分析】 分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 29．【答案】 【分析】 根据基本不等式“1”的代换，可求得的最小值为15，根据题意，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为15， 因为恒成立， 所以，即， 解得，则实数的取值范围为. 故答案为： 30．【答案】（1）或     （2） ， 【分析】 （1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）结合对称轴分，，三种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 因为在区间上是单调函数， 所以或， 所以或， 故实数的取值范围为或. (2) 小问详解： 当，即时，函数在上单调递增， 则，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，， 则， 则时，，即； 时，，即； 时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，. 综上所述， ， . 31．【答案】（1），     （2） 时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：.     （3）      【分析】 （1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，分类讨论的符号以及两根的符号分析求解； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. (1) 小问详解： 由题意可得：的两根为和2，且， 所以 ，解得：，． (2) 小问详解： 由（1）知：可化为：， 即：， 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 ①，的解集为：， ②，（i），即时，的解集为：； （ⅱ），即时，的解集为；； （ⅲ），即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：. (3) 小问详解： 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令，可得， 因为，对称轴为：，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 32．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）设出，求出，用待定系数法求出函数； （2）由恒成立，得到恒成立，令，求出最小值，从而得到m的取值范围； （3）讨论、和，结合二次函数的单调性，即可求得结果． (1) 小问详解： 解：设，． 则． 从而，， 又， ， 又， ． (2) 小问详解： 因为当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立． 令，， ． 当时，单调递减， 当时，，                                                               所以． (3) 小问详解： 当，即时，在单调递减， ； 当，即时，则在单调递减，单调递增， ； 当时，则在单调递增， ． . 33．【答案】（1） 当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立．     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分和讨论，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案； （2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可； （3）分离参数得，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，当时，恒成立． 当且仅当 ，即 ，解得 或 ， 所以的取值范围是． (3) 小问详解： 因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上为增函数， 所以，所以， 所以的取值范围是． 34．【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）根据偶函数的定义直接可求得函数解析式； （2）结合偶函数性质及二次函数单调性可得单调递增区间； （3）结合二次函数性质讨论二次函数对称轴，可得最值. (1) 小问详解： 由已知当时，， 则当时，，， 又函数是定义在上的偶函数，则， 综上所述 ； (2) 小问详解： 由已知当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递增区间为； (3) 小问详解： 由已知，，对称轴方程为， 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值． 综上， . 35．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）     （2） 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为      【分析】 （1）（ⅰ）依题意可得、为关于的方程的解且，利用韦达定理计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）可得的解析式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值，即可得解； （2）依题意可得，再分类讨论，分别求出不等式的解集. (1) 小问详解： （ⅰ）因为关于的不等式的解集为， 所以、为关于的方程的解且， 所以 ，解得或（舍去）； （ⅱ）由（ⅰ）可得，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，即在上的值域为； (2) 小问详解： 关于的不等式， 即，即， 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 若，即时，解得，即不等式的解集为； 若 ，即时，解得或，即不等式的解集为； 若 ，即时，解得或，即不等式的解集为； 综上可得，当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 36．【答案】 【分析】 根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】 依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 37．【答案】 【分析】 结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】 因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 38．【答案】（1）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或．     （2）      【分析】 （1）原不等式可化为,得出的解集，，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （2）不等式转化为，分离参数得出.换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围. (1) 小问详解： 由已知可得， 即，即. （i）当，即时，不等式化为，解集为； （ⅱ）当时，有， 当，解可得，或. ① 又可得，即时，有， 则解可得，或； ② 当，即有， 解可得，或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． (2) 小问详解： 不等式，即， 即． 恒成立，. 设，，． ． ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以m的取值范围是． 39．【答案】 【分析】 根据给定条件按集合A是否是分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答. 【详解】 因不等式的解集为A，且， 则当时，，解得：，此时满足，即， 当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根， 于是有 ，解得或，解 得： ， 则有，综合得：， 所以a的取值范围为. 故答案为： 40．【答案】 【分析】 由不等式解集，结合韦达定理列方程求，再应用分式不等式的解法求的解集即可. 【详解】 不等式的解集为， ∴1和2是方程的两个实根， 由韦达定理得： ， ， 此时不等式为， 得， 得 ，解得. 故解集为. 41．【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据题意得c＝3，又由一元二次不等式的解知，1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式． （2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t≤1、1＜t＜2、t≥2情况下求符合条件的t值即可． (1) 小问详解： 由3，得c＝3，又1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根， ∴，．解得a＝1，b＝4， ∴． (2) 小问详解： ＝，x∈．开口向上且对称轴为x＝t， 1、当t≤1时，在[1,2]上为增函数，＝＝2t+4＝2，解得t＝1，符合题意； 2、当1＜t＜2时，在[1,t]上为减函数，在[t,2]上为增函数，，解得t＝±1，其中t＝1舍去； 3、当t≥2时，在[1,2]上为减函数，＝＝74t＝2，解得，不符合题意． 综上，t＝1或t＝1． 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解出一元二次不等式后可得集合，再利用交集定义计算即可得； （2）结合真子集定义，分与讨论即可得. (1) 小问详解： 由， 解得，即， 由，则， 则有 ，解得； (2) 小问详解： 当时，有，解得，此时符合要求； 当时，有，解得， 此时需满足 ，且不能同时取等，解得， 又，故无解，不符合要求； 综上所述：. 43．【答案】（1）；     （2） ．     （3）．      【分析】 （1）根据二次函数的对称轴，最值列方程组求解； （2）由对称轴与给定区间的关系分类讨论求得最小值； （3）不等式用分离参数法变形后转化为求新函数的最值． (1) 小问详解： 由题意且 ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 由（1）， 当，即时，， 当时，在上单调递增，， 当即时，在上单调递减，， 综上， ． (3) 小问详解： ，恒成立，即，， 易知出函数在上是增函数，当时，取得最小值， 所以． 44．【答案】 【分析】 根据不等式即可推得，然后根据一元二次不等式的解集以及“三个二次”之间的关系，即可得出的值. 【详解】 根据不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为，所以. 所以不等式的解集为. 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知， 和是关于的方程的两个解， 所以有 ，所以 ，所以. 故答案为： 45．【答案】（1）     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.      【分析】 （1）直接解不等式得到但. （2）变换，考虑，，三种情况，解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. (2) 小问详解： 当时，，即， 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 46．【答案】（1）     （2） 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据题意，转化为对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）把不等式转化为，分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立， 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意； 当时，则满足 ，解得， 综上可得，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由不等式，可得，即， ① 当时，不等式可化为，解得 当时，方程的解，或， ② 当时， 或； ③ 当时， （i）当时，即， ； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，， ， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 47．【答案】或 【分析】 分析可知、为关于的方程的两根，且，结合韦达定理可求出、的值，再利用二次不等式的解法可得出不等式的解集. 【详解】 因为不等式的解集是， 则、为关于的方程的两根，且， 由韦达定理可得，，故，， 故不等式即为，即，解得或， 因此不等式的解集为或. 故答案为：或. 48．【答案】（1）；     （2）或；     （3） .      【分析】 （1）根据二次函数对称轴设出解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）求出的单调区间，再利用包含关系列式求出范围. （3）按对称轴与给定区间的关系，借助二次函数单调性求出最小值即得的表达式. (1) 小问详解： 由一元二次函数的对称轴为，设， 由，得 ，解得，则， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 由在区间上单调，得或， 则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. (3) 小问详解： 函数， 当时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当时，， 所以的表达式为 . 49．【答案】（1），     （2） 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）根据二次函数的图象性质易得函数在上的最值； （2）将不等式左边因式分解，再根据参数的取值进行分类求解即得. (1) 小问详解： 当时，， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，当时， (2) 小问详解： ， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或. 综上，原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为. 50．【答案】（1）或     （2）（i） （ii）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为.      【分析】 （1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. (2) 小问详解： （ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上： ； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 51．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助待定系数法计算即可得； （2）利用二次函数性质计算即可得； （3）借助根的判别式与根与系数的关系计算即可得. (1) 小问详解： 设，则有， 即，故 ，解得 ， 又，故； (2) 小问详解： ， 由的最大值不大于，且对称轴为， 则，解得， 则，有， 则当时，， 解得，又，故； (3) 小问详解： 令，即， 则对该方程两根和，有，， 由，则有 ， ， 解得或； ，解得； ，则，解得； ， 整理得，解得； 综上可得：. 52．【答案】（1） ；     （2）；     （3） 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}.      【分析】 （1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. (1) 小问详解： 由题意可知的两个解为， 所以 ，所以 ； (2) 小问详解： 因为恒成立，则， 即，解之得； (3) 小问详解： 原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 53．【答案】（1）；     （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）按照和讨论求解，在的情况下，的解集为，则有 ，计算求解； （2）所求不等式转化为，按照，，这三种情况讨论求解. (1) 小问详解： 当，即时，，解集不为，不符合题意； 当，即时，的解集为， ，即 ， 解得， 综上，实数的取值范围为； (2) 小问详解： 转化为， 即， 当，即时，不等式为，解得， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为或， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 54．【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）利用二次不等式的解法求解； （2）根据二次函数的性质列不等式组求解； （3）分类讨论，并利用不等式恒成立的意义，结合二次函数的性质求解. (1) 小问详解： （1）当时，， 不等式，， 解得或， 所以不等式的解集为或． (2) 小问详解： 当时，在区间上单调递减，不符合题意； 当时，函数在区间上不单调， 其对称轴需满足， 即 ，解得. 综上所述，实数a的取值范围是． (3) 小问详解： 不等式恒成立，即不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，要使恒成立， 则需 ， 解得. 综上所述，实数a的取值范围是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）设，，，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用不等式的性质，逐个选项判断即可. 【详解】 若，则，A错； 若，则，B错； 若，则，C错； 若，则， 若，则， 若，则，综上，D正确. 故选：D 2．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）“”是“”的（       ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】 如果，比如，，，不存在，充分条件不成立； 如果，则有，所以，即，必要条件成立； 是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知、、，则下列不等式一定成立的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 利用特殊值法可判断AD选项；取，结合不等式的性质可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项. 【详解】 对于A选项，若，不妨取，，则，A错； 对于B选项，若且，则，B错； 对于C选项，若，则，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，不妨取，，则，D错. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）设，，为实数，且，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】根据不等式的性质可判断四个选项的正误即可得正确答案. 【详解】 对于选项A：若，则，故选项A不正确； 对于选项B：若，则，故选项B不正确； 对于选项C：若，则，故选项C正确； 对于选项D：若，则，若，则，故选项D不正确， 故选：C 5．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）若为实数，下列结论正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 代入特殊值，可判断A的正误；利用作差法，可判断B的正误；根据不等式的性质，可判断C、D的正误，即可得答案. 【详解】 选项A：当时，满足， 此时，，故A错误； 选项B：， 因为，所以， 所以，即，故B错误； 选项C：若，则，故C错误； 选项D：若，则，， 所以，故D正确. 故选：D 6．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完.若所获利润大于750元，则该店进货方案有（     ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】C 【分析】 利用列不等式，并求出变量范围，再考虑取实际情况取整数，即可得五种可能. 【详解】 设购进甲、乙两种商品分别为件，则依题意可得： 且， 代入化简得：， 而销售完两种商品后的总利润为，再代入可得： ， 综上，故的取值有： ， 共有以上五种进货方案， 故选：C. 7．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）对于实数下列说法正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 根据不等式性质确定C正确，举反例得到ABD错误，得到答案. 【详解】 对选项A：取，，满足，，错误； 对选项B：当时，，错误； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：取，，满足， 此时，，，错误； 故选：C. 8．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）若，则下列命题正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【分析】 利用不等式性质判断A；举例说明判断BD；作差比较大小判断C. 【详解】 对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，取，得，B错误； 对于C，，由，得， 则，，即，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：A 9．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）如果，则正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【分析】 利用赋值法可判断ABD，利用不等式性质可判断C. 【详解】 对于A，若，此时，故A错误； 对于B，若，，，此时，故B错误； 对于C，因为，则，又，所以，故C正确； 对于D，若，，可得，故D错误. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）若，则下列不等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 举反例说明ABD是错误的，利用不等式的性质说明C正确. 【详解】 对ABD，令，，则满足， 但此时，，，故ABD是错误的； 对C，因为，所以，故C正确. 故选：C 11．（25-26学年高一上·天津河东·期中）设，则下列命题正确的是（       ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【详解】利用特殊值排除判断ABC，由不等式的性质判断D即可. 【详解】 当时，不成立，故A错误； 当时，不成立，故B错误； 当时，不成立，故C错误； ，由不等式性质知，故D正确. 故选：D 12．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）下列说法中，错误的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【分析】 举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C. 【详解】 对于A，取，则，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于C，， 由，得，所以，故C正确； 对于D，由，得，又，所以，故D正确． 故选：A． 13．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知，下列命题正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 【答案】C 【分析】 根据不等式的性质及举反例对选项逐一分析即可. 【详解】 对于：取，，故错误； 对于：，则，故错误； 对于：则，所以，故正确； 对于：取，则，故错误. 故选：C 14．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分，必要条件关系判断. 【详解】 由，可得， 但时，如，， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 15．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知，则下列式子一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】 对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 16．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）若，则不等式：①；②；③；④，其中成立的不等式为（     ）. A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【分析】 作差法即可判断① ② ，不等式性质法即可判断③ ，不等式性质结合放缩法即可判断④. 【详解】 对① ，，因为，则， 所以，即，即，故① 正确； 对② ，，因为， 则，，则，则，故② 正确； 对③ ，，则，故③ 错误； 对④ ，因为，则，则，则， 则， 因为 ，即，故④ 正确； 故选：C. 17．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）对于实数，“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 考点：不等式的性质 点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件． 18．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）若，，为实数，下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 取特殊值判断ABC，利用不等式的性质判断D. 【详解】 取，满足，但不成立，故A错误； 取，满足，，即不成立，故B错误； 取，显然不成立，故C错误； 因为，所以，，故，故D正确. 故选：D 19．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用基本不等式求解选项A；利用作差法比较大小求解选项B,C,D. 【详解】 因为， 对于A，， 当且仅当，即时取得等号，即恒成立，故A不符合题意； 对于B，， 因为， 所以， 所以，即恒不成立，故B符合题意； 对于C，， 所以，即恒成立，故C不符合题意； 对于D，， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以， 所以当时，有最小值为0， 所以，即恒成立，故D不符合题意； 故选：B. 20．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知实数a､b､c，则下列结论不正确的是（       ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 根据不等式的基本性质，对选项逐一进行推理判断. 【详解】 对于A选项，若可得(否则，两边都是0）， 又因为,所以. 两边同时除以得，选项A正确， 对于B选项，取，，B选项错误， 对于C选项，，同时乘以小于的数得：，选项C正确， 对于D选项，作差可得. 因为，所以，，则. 所以，即成立，选项D正确. 故选：B 21．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）设、均是不为零的实数且，下列不等式中，恒成立的是（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用作差法即可判断AB，令即可判断C，利用单调性即可判断D. 【详解】 由，所以， 由，当时，， 当时，，故A错误，B错误； 令，满足，但，故C错误； 因为函数在上单调递增，当时，恒成立，故D正确. 故选：D. 22．（25-26学年高一上·河北·期中）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则， 【答案】C 【分析】 利用基本不等式的基本性质，逐一分析各选项的真假：ABD可通过举反例否定，C可以利用作差法证明. 【详解】 对于A：当  时，，则 ， 此时  成立，但  不成立（因为  不成立）. 因此，该命题不是真命题，故A错误； 对于B：取反例：设 ，，满足  计算：，， 则  不成立（实际 ). 因此，该命题不是真命题，故B错误； 对于C：由条件 ，得 ，，. 比较差：. 分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，). 故，即 .因此，该命题是真命题，故C正确； 对于D：取反例：设 ，，满足 （因为 ). 且 ，，满足 （因为 ). 但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，所以该命题不是真命题，故D错误. 故选：C 23．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知，，，则M　　　　　　　　　　　　N（用>、<、=填空）. 【答案】 【分析】 利用作差法比较大小即可. 【详解】 因为，， 所以 ， 故, 故答案为： 24．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知 则的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　.(用区间表示). 【答案】 【分析】 直接利用不等式的性质可得答案. 【详解】 由 ，两边乘以 2，得 ； 由 ，两边乘以，得 ； 两个不等式相加得： . 故答案为： 25．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知实数、满足，，则的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据不等式的性质计算可得. 【详解】 因为，所以，又， 所以，则，即的取值范围为. 故答案为： 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知正实数满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 由正实数，满足，代入，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】 解：正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号． 故选：A． 【点睛】 本题考查基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 2．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）下列不等式中，正确的是（       ） A. a＋≥4 B. a2＋b2≥4ab C. ≥ D. x2＋≥2 【答案】D 【分析】 举例说明ABC错误，利用基本不等式证明D成立. 【详解】 a＜0，则a＋≥4不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错， a＝4，b＝16，则＜，故C错； 由基本不等式得x2＋≥2可知D项正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查基本不等式应用及其使用条件，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知，且，则的最小值是（       ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 根据题意，得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】 因为，所以， 所以， 又，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值是4. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·天津河西·期中）设，则的最小值为（        ） A. 81 B. 27 C. 9 D. 3 【答案】B 【分析】 根据基本不等式的乘“1”法，即可求解. 【详解】 由于，故， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为， 故选：B 5．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知，，若，则的最小值为（       ） A. 4 B. 8 C.  D.  【答案】B 【分析】 利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】 因为，且， 所以， 当且仅当，结合，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 6．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）若，，则“”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】 由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（     ）. A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】 ，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知，则的最大值是（       ）． A.  B.  C. 5 D. 8 【答案】A 【分析】 化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】 易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 9．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）设正实数满足，则（       ） A. 有最小值2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】B 【分析】 将化为，展开后利用基本不等式即可求得的最小值，判断A；将平方后利用基本不等式即可判断B；利用基本不等式即可判断C；由基本不等式可推出，即可判断D. 【详解】 对于A，， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值为4，A错误； 对于B，，则， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，B正确； 对于C，，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，C错误； 对于D，因为， 即，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值，D错误， 故选：B 10．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）的最大值为（     ） A.  B.  C. 4 D. 8 【答案】B 【分析】 利用基本不等式来求最大值即可. 【详解】 由， 则由基本不等式可得：， 当且仅当时取等号，即的最大值为. 故选：B. 11．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知，，且，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】 因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 12．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知， 且，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 直接运用基本不等式：求解即可. 【详解】 ∵， ， ∴，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 13．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）某中学开展劳动实习，欲用栅栏围成一个面积为100平方米的矩形植物园种植花卉，如图假设矩形植物园的长为，宽为.则至少需要　　　　　　米棚栏. 【答案】 【分析】 根据面积可得，周长为，然后根据基本不等式求最小值. 【详解】 由题意，，且周长是， 根据基本不等式，，当取等号， 即至少需要米棚栏. 故答案为： 14．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知，若恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由基本不等式可得，所以，从而得解. 【详解】 因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 又因为恒成立，所以，解得. 故答案为： 15．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知，则的最小值为　　　　　　　，此时x的值是　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 先将变形为，再由基本不等式求解即可. 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，此时. 故答案为：； 16．（25-26学年高一上·天津滨海新区田家炳中学·期中）已知，则的最大值是　　　　　　 【答案】4 【分析】 借助基本不等式计算即可得结果. 【详解】 由可知，则， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 17．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知实数，，且，则的最小值为　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用可得，根据和基本不等式求出的最小值，从而可得解. 【详解】 根据题意得到，变形为， 则, 因为，故得到, 当且仅当时等号成立. 故 故答案为：. 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题 18．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知，则的最小值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 19．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）正数满足，若对任意正数恒成立，则实数x的取值范围是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 先利用基本不等式求解出的最小值，然后解一元二次不等式可求得结果. 【详解】 因为， 所以， 取等号时 ，即 ， 所以，解得， 故答案为：. 20．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知，，，则的最小值为　　　　　　. 【答案】25 【分析】 根据基本不等式列不等关系，结合一元二次不等式求解即可得答案. 【详解】 已知，，又，所以，且 因为，所以， 整理得，解得或（舍） 当且仅当，即时，的最小值为. 故答案为：. 21．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知，且，则的最小值为　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】 ，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】 本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 22．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知正实数满足：. （1）求的最大值； （2）求的最小值； 【答案】（1）     （2）25      【分析】 （1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. (1) 小问详解： 因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； (2) 小问详解： 正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 23．（25-26学年高一上·天津河东·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知、是正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果； （2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解. 【详解】 （1）因为，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，函数（）的最大值为； （2）、是正实数，且，， 则， 当且仅当且时取等号，此时取得最小值. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查“1”的妙用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 24．（25-26学年高一上·河北·期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先利用常数代换，使用基本不等式求得,再根据不等式恒成立的意义得到答案. 【详解】 由已知，, 当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以, 因为恒成立，所以,解得, 故答案为： 25．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知，，，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 根据条件消去，再利用“1”的变形技巧，结合均值不等式求解即可. 【详解】 由可得，解得， 又，所以， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 26．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知正实数满足，则的最小值为　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 ，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】 正实数满足，则， 所以， 当且仅当，即 时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）设，则“”是“”的（     ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 【答案】C 【分析】 解一元二次不等式求解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】 由， 则“”不能推出“”，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 2．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知集合，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】 方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 或 C. 或 D.  【答案】D 【分析】 分和两种情况讨论求解即可. 【详解】 不等式的解集为， 当，即时，不等式为恒成立，故符合题意； 当，即时，不等式的解集为， 则 ，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意可得，解出即可. 【详解】 由，则，解得. 故选：A. 5．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为(       ) A.  B.  C.  D.  或 【答案】B 【分析】 分a＝0和a≠0两种情况讨论，a≠0时，根据二次函数图像性质即可求出a的范围． 【详解】 当a＝0时，不等式变为－2＜0恒成立，故a＝0满足题意； 当a≠0时，若恒成立， 则 ，即 ，解得． 综上，． 故选：B． 6．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题可得小于的最小值，后由基本不等式可得答案. 【详解】 恒成立，可得. 因，则， 则， 当且仅当，即时取等号. 则. 故选：C 7．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）若，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系进行判断. 【详解】 由或. 因为⫋， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 8．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换，可得答案. 【详解】 因为不等式的解集为，所以，且和1是方程的两个实数根， 所以，即，所以不等式可化为， 因为，所以，解得或． 故选：D. 9．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 由题意得，根据的范围，分类讨论，求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】 不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 10．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）若，则的取值集合为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分情况讨论的取值，结合恒成立不等式和二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】 当时，不等式不恒成立，不符合题意； 当时，不等式恒成立，符合题意； 当时，由 得． 故m的取值集合为． 故选； 11．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 的解集为 【答案】D 【分析】 由一元二次不等式的解集得到， ，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D. 【详解】 由题设是的两个根，且，A错， 所以 ，故，B、C错， 由，D对. 故选：D 12．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】 因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：C. 13．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可求得，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】 ，； 不等式的解集为， 方程的两根为和，且， ，解得： ， （当且仅当时取等号），的最小值为. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·河北·期中）下列说法错误的是（       ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是 C. 的最小值是2 D. 的最大值是 【答案】C 【分析】 利用均值不等式求出最值判断A，D；利用二次函数求最值判断B；变形式子，分析取值情况判断C作答. 【详解】 当时，，当且仅当，即时取等号，A正确； 当时，，当且仅当，即时取等号，D正确； ，而，则，当且仅当时取等号，B正确； ，因，有，， 则有，C不正确. 故选：C 15．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）若一元二次不等式的解集为，则最大值为（     ） A.  B.  C. 2 D. 4 【答案】B 【分析】 分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】 因为一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以 ，则 ， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立. 因此的最大值为. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（       ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 根据三个二次的关系，得出以及用表示出，代入求解分式不等式即可. 【详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以 ，得 ， 故等价于，等价于 ， 所以解集为或. 故选：A. 17．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数在上的最大值为4，则实数k的值为（     ） A.  B. 或 C. 3或 D. 或 【答案】D 【分析】 利用分类讨论方法，结合二次函数性质求解. 【详解】 当时，不符合题意； 所以该函数为二次函数，顶点横坐标为， 顶点位于，且在区间  内（因为 ). 顶点函数值： . 端点函数值： , . 二次函数在闭区间上的最大值出现在端点或顶点处. 需根据 的符号分情况讨论. 情况 1：（抛物线开口向下）， 此时顶点为最大值点，最大值在  处：, 解得：， 情况 2：（抛物线开口向上）， 此时顶点为最小值点，最大值在端点处， 比较端点值：,， 由于 ，有 ，故  最大值在  处：, 解得：. 综上，满足条件的解为 ： 或 . 故选：D 18．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）已知关于的不等式. （1）若不等式的解集为，求、的值； （2）若，解不等式. 【答案】（1）     （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）分析可知、是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值； （2）将所求不等式变形为，对、的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. (1) 小问详解： 解：原不等式可化为， 由题知，、是方程的两根， 由根与系数的关系得 ，解得 . (2) 小问详解： 解：当时，所以原不等式化为， 当时，即时，解原不等式可得； 当时，即时，原不等式即为，解得； 当时，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）不等式的解集是　　　　　. 【答案】 【分析】 直接解出一元二次不等式即可. 【详解】 ，解得， 则其解集为. 故答案为：. 20．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． （4）． 【答案】（1）或     （2）或     （3）     （4）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，利用分式不等式的解法，即可求解； （4）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分情况讨论，即可求解； (1) 小问详解： 解：由不等式，可得，解得或， 所以不等式的解集为或； (2) 小问详解： 解：由不等式，可得， 解得或，所以不等式的解集为或. (3) 小问详解： 解：由不等式，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. (4) 小问详解： 解：由不等式， 当时，原不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式， ①当时，原不等式等价于，解得，所以解集为； ②当时，原不等式等价于， （i）当时，解得或，不等式的解集为； （ii）当时，原不等式等价于，不等式的解集为； （iii）当时，解得或，不等式的解集为. 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21．（25-26学年高一上·天津宁河区芦台第二中学·期中）已知不等式的解集为或. （1）求实数，的值； （2）解不等式. 【答案】（1），；     （2） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据给定的解集，结合一元二次方程根与系数的关系求解作答. （2）利用（1）的结论，求解含参的一元二次不等式作答. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为或，则是方程的二根，且， 因此 ，解得，， 所以，. (2) 小问详解： 由（1）知，不等式为，即， 当时，；当时，；当时，， 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当，不等式的解集为. 22．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 将题设等价转化为 对任意恒成立，再由对勾函数性质即可求解. 【详解】 对任意恒成立，即 对任意恒成立， 则， 令，则在上单调递增， 所以，故， 则实数 a 的取值范围为. 故答案为： 23．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）解下列不等式： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）（2）结合二次函数，一元二次方程求解一元二次不等式求解； （3）分式不等式的求解，先移项，再通分，结合一元二次不等式的求解方法求解. (1) 小问详解： ， ， 或， 此不等式的解集为； (2) 小问详解： ， ， ， 此不等式的解集为. (3) 小问详解： ， ， ， ， ， 此不等式的解集为. 24．（25-26学年高一上·河北·期中）不等式的解集为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 二次不等式的一般解法是先找到对应的二次方程的根，然后根据二次函数的图像（抛物线）来确定不等式的解集. 【详解】 首先，解对应方程 . 通过因式分解：，得根  和 . 二次函数  的图象是开口向上的抛物线（二次项系数为正），与轴交点为  和 。 当抛物线在轴下方时，函数值小于零，即不等式成立. 由于开口向上，函数值在两根之间小于零，因此解集为 ， 用区间表示为 . 故答案为：. 25．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）若集合，，则　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先计算绝对值不等式得出集合，再解分式不等式及一元二次不等式得出集合，最后应用并集定义计算求解. 【详解】 令，解得，则 令，化简得，解得， 则，可得. 故答案为：. 26．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）某文创店购进一批冰箱贴，若按每个25元的价格销售，每日能售出50个；若售价在25元基础上每提高1元，日销售量则对应减少2个.为确保这批冰箱贴每日销售总收入不低于1200元，其销售价格最高是　　　　　　　　　　　　元. 【答案】30 【分析】 设每件售价为元，结合题意列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】 设每件售价为元， 则， 即，即， 解得， 又， 所以. 所以销售价格最高是30元. 故答案为：30. 27．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）不等式的解集为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将分式不等式转化为整式不等式即可求解. 【详解】 ，解得． 故答案为： 28．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）不等式的解集为，则实数的取值范围为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 分，讨论，当时，根据二次函数性质可解. 【详解】 当时，恒成立，满足题意； 当时，由题知 ，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 29．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据基本不等式“1”的代换，可求得的最小值为15，根据题意，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为15， 因为恒成立， 所以，即， 解得，则实数的取值范围为. 故答案为： 30．（25-26学年高一上·天津小站第一中学·期中）已知函数． （1）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围； （2）试求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1）或     （2） ， 【分析】 （1）根据二次函数的单调性求解即可； （2）结合对称轴分，，三种情况讨论求解即可. (1) 小问详解： 因为在区间上是单调函数， 所以或， 所以或， 故实数的取值范围为或. (2) 小问详解： 当，即时，函数在上单调递增， 则，； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，， 则， 则时，，即； 时，，即； 时，，即； 当，即时，函数在上单调递减， 则，. 综上所述， ， . 31．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），     （2） 时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：.     （3）      【分析】 （1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，分类讨论的符号以及两根的符号分析求解； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. (1) 小问详解： 由题意可得：的两根为和2，且， 所以 ，解得：，． (2) 小问详解： 由（1）知：可化为：， 即：， 当，不等式为：，得， 当，的两根为：和 ①，的解集为：， ②，（i），即时，的解集为：； （ⅱ），即时，的解集为；； （ⅲ），即时，的解集为：； 综上：时，解集为； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：； 时，解集为：. (3) 小问详解： 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为：， 即，对任意恒成立， 令，可得， 因为，对称轴为：，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 32．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． （3）设函数在区间上的最小值为，求的表达式． 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）设出，求出，用待定系数法求出函数； （2）由恒成立，得到恒成立，令，求出最小值，从而得到m的取值范围； （3）讨论、和，结合二次函数的单调性，即可求得结果． (1) 小问详解： 解：设，． 则． 从而，， 又， ， 又， ． (2) 小问详解： 因为当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立． 令，， ． 当时，单调递减， 当时，，                                                               所以． (3) 小问详解： 当，即时，在单调递减， ； 当，即时，则在单调递减，单调递增， ； 当时，则在单调递增， ． . 33．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知关于的不等式. （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在使不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则需且，无解，所以不存在实数，使不等式恒成立．     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分和讨论，当时，结合二次函数开口和判别式即可得到答案； （2）变换主元，代入边界值得到不等式组，解出即可； （3）分离参数得，再利用换元法并结合函数单调性即可得到答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设，当时，恒成立． 当且仅当 ，即 ，解得 或 ， 所以的取值范围是． (3) 小问详解： 因为，所以． 设， 所以． 设，显然在上为增函数， 所以，所以， 所以的取值范围是． 34．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． （1）求函数的解析式； （2）直接写出函数的增区间； （3）若函数，求函数的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3） 【分析】 （1）根据偶函数的定义直接可求得函数解析式； （2）结合偶函数性质及二次函数单调性可得单调递增区间； （3）结合二次函数性质讨论二次函数对称轴，可得最值. (1) 小问详解： 由已知当时，， 则当时，，， 又函数是定义在上的偶函数，则， 综上所述 ； (2) 小问详解： 由已知当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递增区间为； (3) 小问详解： 由已知，，对称轴方程为， 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值． 综上， . 35．（25-26学年高一上·天津河西·期中）已知函数，. （1）已知关于的不等式的解集为. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求在上的值域； （2）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）     （2） 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为      【分析】 （1）（ⅰ）依题意可得、为关于的方程的解且，利用韦达定理计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）可得的解析式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值，即可得解； （2）依题意可得，再分类讨论，分别求出不等式的解集. (1) 小问详解： （ⅰ）因为关于的不等式的解集为， 所以、为关于的方程的解且， 所以 ，解得或（舍去）； （ⅱ）由（ⅰ）可得，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，即在上的值域为； (2) 小问详解： 关于的不等式， 即，即， 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 若，即时，解得，即不等式的解集为； 若 ，即时，解得或，即不等式的解集为； 若 ，即时，解得或，即不等式的解集为； 综上可得，当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 36．（25-26学年高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为　　　　　　　　　　元. 【答案】 【分析】 根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】 依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 37．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】 因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 38．（25-26学年高一上·天津耀华中学·期中）已知关于x的函数 （1）当时，解关于x的不等式； （2）若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或．     （2）      【分析】 （1）原不等式可化为,得出的解集，，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （2）不等式转化为，分离参数得出.换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围. (1) 小问详解： 由已知可得， 即，即. （i）当，即时，不等式化为，解集为； （ⅱ）当时，有， 当，解可得，或. ① 又可得，即时，有， 则解可得，或； ② 当，即有， 解可得，或． 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． (2) 小问详解： 不等式，即， 即． 恒成立，. 设，，． ． ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以m的取值范围是． 39．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据给定条件按集合A是否是分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答. 【详解】 因不等式的解集为A，且， 则当时，，解得：，此时满足，即， 当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根， 于是有 ，解得或，解 得： ， 则有，综合得：， 所以a的取值范围为. 故答案为： 40．（25-26学年高一上·天津第二十中学·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　　　　． 【答案】 【分析】 由不等式解集，结合韦达定理列方程求，再应用分式不等式的解法求的解集即可. 【详解】 不等式的解集为， ∴1和2是方程的两个实根， 由韦达定理得： ， ， 此时不等式为， 得， 得 ，解得. 故解集为. 41．（25-26学年高一上·天津红桥·期中）已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为{x|1＜x＜3}． （1）求的解析式； （2）若在区间上有最小值2，求实数t的值． 【答案】（1）；     （2）或.      【分析】 （1）根据题意得c＝3，又由一元二次不等式的解知，1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，利用根与系数的关系即可求参数，写出解析式． （2）由二次函数的开口及对称轴，结合其在闭区间上的最小值，讨论t≤1、1＜t＜2、t≥2情况下求符合条件的t值即可． (1) 小问详解： 由3，得c＝3，又1和3是方程ax2+bx+c＝0的两根， ∴，．解得a＝1，b＝4， ∴． (2) 小问详解： ＝，x∈．开口向上且对称轴为x＝t， 1、当t≤1时，在[1,2]上为增函数，＝＝2t+4＝2，解得t＝1，符合题意； 2、当1＜t＜2时，在[1,t]上为减函数，在[t,2]上为增函数，，解得t＝±1，其中t＝1舍去； 3、当t≥2时，在[1,2]上为减函数，＝＝74t＝2，解得，不符合题意． 综上，t＝1或t＝1． 42．（25-26学年高一上·天津河东·期中）已知集合，. （1）若，求的范围； （2）若，求的范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）解出一元二次不等式后可得集合，再利用交集定义计算即可得； （2）结合真子集定义，分与讨论即可得. (1) 小问详解： 由， 解得，即， 由，则， 则有 ，解得； (2) 小问详解： 当时，有，解得，此时符合要求； 当时，有，解得， 此时需满足 ，且不能同时取等，解得， 又，故无解，不符合要求； 综上所述：. 43．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知二次函数（a，且），，若函数的最小值为. （1）求的解析式； （2）已知，讨论在上的最小值； （3）当时，恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）；     （2） ．     （3）．      【分析】 （1）根据二次函数的对称轴，最值列方程组求解； （2）由对称轴与给定区间的关系分类讨论求得最小值； （3）不等式用分离参数法变形后转化为求新函数的最值． (1) 小问详解： 由题意且 ，解得 ， ∴； (2) 小问详解： 由（1）， 当，即时，， 当时，在上单调递增，， 当即时，在上单调递减，， 综上， ． (3) 小问详解： ，恒成立，即，， 易知出函数在上是增函数，当时，取得最小值， 所以． 44．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知，，若的最大值为，且不等式 的解集为， 则 　　　　　. 【答案】 【分析】 根据不等式即可推得，然后根据一元二次不等式的解集以及“三个二次”之间的关系，即可得出的值. 【详解】 根据不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为，所以. 所以不等式的解集为. 根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知， 和是关于的方程的两个解， 所以有 ，所以 ，所以. 故答案为： 45．（25-26学年高一上·天津西青区·期中）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）     （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为.      【分析】 （1）直接解不等式得到但. （2）变换，考虑，，三种情况，解不等式即可. (1) 小问详解： 当时，，由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. (2) 小问详解： 当时，，即， 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 46．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）     （2） 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.      【分析】 （1）根据题意，转化为对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）把不等式转化为，分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立， 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意； 当时，则满足 ，解得， 综上可得，实数的取值范围为. (2) 小问详解： 由不等式，可得，即， ① 当时，不等式可化为，解得 当时，方程的解，或， ② 当时， 或； ③ 当时， （i）当时，即， ； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，， ， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 47．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）若不等式的解集是，则不等式的解集是　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 分析可知、为关于的方程的两根，且，结合韦达定理可求出、的值，再利用二次不等式的解法可得出不等式的解集. 【详解】 因为不等式的解集是， 则、为关于的方程的两根，且， 由韦达定理可得，，故，， 故不等式即为，即，解得或， 因此不等式的解集为或. 故答案为：或. 48．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知一元二次函数的对称轴为， 且满足，. （1）求的解析式; （2）若在区间上单调，求实数m的取值范围； （3）用来表示在区间上的最小值，，求的表达式. 【答案】（1）；     （2）或；     （3） .      【分析】 （1）根据二次函数对称轴设出解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）求出的单调区间，再利用包含关系列式求出范围. （3）按对称轴与给定区间的关系，借助二次函数单调性求出最小值即得的表达式. (1) 小问详解： 由一元二次函数的对称轴为，设， 由，得 ，解得，则， 所以的解析式为. (2) 小问详解： 由（1）得函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 由在区间上单调，得或， 则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. (3) 小问详解： 函数， 当时，在上单调递增，； 当，即时，在上单调递减，； 当时，， 所以的表达式为 . 49．（25-26学年高一上·天津部分区·期中）已知函数 （1）当时， 求在上的最大值和最小值; （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1），     （2） 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）根据二次函数的图象性质易得函数在上的最值； （2）将不等式左边因式分解，再根据参数的取值进行分类求解即得. (1) 小问详解： 当时，， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，当时， (2) 小问详解： ， 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或. 综上，原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为. 50．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）已知关于x的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为； （i）求实数a，b的值； （ii）讨论关于x的不等式的解集. 【答案】（1）或     （2）（i） （ii）当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为.      【分析】 （1）直接解一元二次不等式即可求解； （2）（i）根据一元二次不等式、一元二次方程的关系以及韦达定理即可求解；（ii）原不等式等价于，对分类讨论即可得解. (1) 小问详解： 因为，所以不等式为即， 解得或， 所以不等式的解集为：或. (2) 小问详解： （ⅰ）因为不等式的解集为， 所以是方程的根，所以， 所以不等式为即，解集为 所以， 综上： ； （ⅱ）所以不等式即为， 即， 情形一：当时，解得，解集为， 情形二：当时，解得，解集为， 情形三：当时，解得，解集为. 51．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知二次函数满足，且，函数. （1）求的解析式； （2）设，若的最大值不大于，又当时，，求的值； （3）若方程的两根和满足，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）借助待定系数法计算即可得； （2）利用二次函数性质计算即可得； （3）借助根的判别式与根与系数的关系计算即可得. (1) 小问详解： 设，则有， 即，故 ，解得 ， 又，故； (2) 小问详解： ， 由的最大值不大于，且对称轴为， 则，解得， 则，有， 则当时，， 解得，又，故； (3) 小问详解： 令，即， 则对该方程两根和，有，， 由，则有 ， ， 解得或； ，解得； ，则，解得； ， 整理得，解得； 综上可得：. 52．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）已知二次函数. （1）若关于x的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1） ；     （2）；     （3） 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}.      【分析】 （1）利用三个二次关系结合韦达定理计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可; （3）含着参数分类讨论计算即可. (1) 小问详解： 由题意可知的两个解为， 所以 ，所以 ； (2) 小问详解： 因为恒成立，则， 即，解之得； (3) 小问详解： 原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为{或}； 时，不等式的解集为{或}. 53．（25-26学年高一上·天津第二南开学校·期中）已知函数． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）；     （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）按照和讨论求解，在的情况下，的解集为，则有 ，计算求解； （2）所求不等式转化为，按照，，这三种情况讨论求解. (1) 小问详解： 当，即时，，解集不为，不符合题意； 当，即时，的解集为， ，即 ， 解得， 综上，实数的取值范围为； (2) 小问详解： 转化为， 即， 当，即时，不等式为，解得， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为或， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 54．（25-26学年高一上·河北·期中）已知函数，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围； （3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）利用二次不等式的解法求解； （2）根据二次函数的性质列不等式组求解； （3）分类讨论，并利用不等式恒成立的意义，结合二次函数的性质求解. (1) 小问详解： （1）当时，， 不等式，， 解得或， 所以不等式的解集为或． (2) 小问详解： 当时，在区间上单调递减，不符合题意； 当时，函数在区间上不单调， 其对称轴需满足， 即 ，解得. 综上所述，实数a的取值范围是． (3) 小问详解： 不等式恒成立，即不等式恒成立. 当时，恒成立； 当时，要使恒成立， 则需 ， 解得. 综上所述，实数a的取值范围是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $