专题05 指数函数与对数函数（期中真题汇编，天津专用）高一数学上学期

专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）求值：＋ ＝　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果. 【详解】 ＋ ＝ 故答案为： 2．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）求值： （1）； （2）化简:    【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）（2）根据指数幂运算求解. (1) 小问详解： 由题意可得：. (2) 小问详解： 因为， 由题意可得：. 3．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）计算 （1）； （2）若，，求的值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数幂的运算法则计算即可得. (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式. 4．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）（1）计算：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质，结合根式的性质进行运算即可； （2）根据指数幂的乘法和除法的运算法则进行运算即可； （3）根据指数幂的运算性质，结合换元法进行运算求解即可. 【详解】 （1）原式； （2）原式； （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 5．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）计算：　　　　　　. 【答案】 【分析】 由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】 . 故答案为： 6．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）计算： （1）； （2）. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据根式的性质计算即可； （2）根据指数幂的性质、运算法则直接求解即可. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 7．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）若，则　　　　　 【答案】 【分析】 对条件反复平方即可得到答案. 【详解】 由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 8．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）计算 （1）； （2） 【答案】（1）；     （2）1.      【分析】 （1）（2）由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： . 9．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）计算： 　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 应用有理数指数幂及根式与指数幂关系化简求值. 【详解】 . 故答案为： 10．（25-26学年高一上·天津河东·期中）（1）计算； （2）若，比较与的大小. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助作差法计算即可得. 【详解】 （1）原式； （2）， ，则，， 故，即. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若，，，则下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数单调性计算参数范围即可判断求解. 【详解】 因为，，则. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据幂函数的概念和幂函数图象过的点，可求出的值，从而根据幂函数的单调性可比较大小. 【详解】 因为幂函数的图象过点， 所以 ，解得 ， 则，， 根据指数函数单调性知，即， 由上知幂函数的解析式为，函数为上的单调递增函数， 又，所以，即. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数（，且）恒过定点，则在直角坐标系中函数的图象为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据指数函数的性质求得定点,即的值，再结合指数函数的图像结合选项进行判断即可. 【详解】 根据指数函数的性质，可得函数，恒经过定点，即， 所以函数，当时，且在上函数为单调递减函数，所以函数的图象为D项， 故选：D. 4．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知，再解关于的不等式可求得结果. 【详解】 当时，单调递减，则， 当时，单调递减，则， 所以当时，，所以， 因为在上单调递增， 所以， 因为对任意的，总存在使得成立， 所以， 所以，解得， 故选：C 5．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）函数的定义域为　　　　　. 【答案】 【分析】 由函数有意义列出不等式组，求解即可. 【详解】 由题可得 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由函数有意义，则满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）函数的单调增区间是　　　　　. 【答案】 【分析】 由二次函数及指数函数的单调性，结合复合函数的单调性法则得解. 【详解】 令， 由二次函数单调性可知，在上单调递减， 又是减函数， 由复合函数的单调性知，的单调增区间为. 故答案为： 8．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）在上是增函数.证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数；     （3）      【分析】 （1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证； （2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明； （3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果. (1) 小问详解： 函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）设函数，则（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【分析】 根据分段函数解析式代入计算即可. 【详解】 解：函数 ， 即有， ， 则有． 故选：C. 2．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）      【分析】 （1）先将带分数化为假分数，再利用指数与对数的运算性质计算； （2）利用对数的运算性质，换底公式和指数恒等式计算； （3）结合指数与对数的运算性质求解； （4）利用指数与对数的运算性质和结合指数与对数的计算； （5）结合指数与对数的换底公式及运算性质求解. (1) 小问详解： ， . (2) 小问详解：       (3) 小问详解： (4) 小问详解： (5) 小问详解： 由，得； 因为，由换底公式得： . 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据指数函数、幂函数与对数函数的单调性，分别判断与1，2的大小关系即可. 【详解】 因为， 所以． 故选：A． 2．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】 因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 3．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】 由函数在R上单调递增，得 ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 4．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】 要使函数有意义， 只需 ，解得，且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 5．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数，，则此函数的值域为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过换元法将问题转化为求二次函数的值域. 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 6．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ，即 ，解得： 所以， (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解 得；解 得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 (3) 小问详解： 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以 ，即， 所以实数的取值范围为 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数的零点所在区间是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】 由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，， 所以函数的零点所在区间是， 故选：B 2．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过计算区间端点处的函数值，利用零点存在定理进行判断. 【详解】 因为，所以函数单调递增且图像连续， 因为， ， ， ， ， 所以，所以的零点在区间内，故A，B，D错误. 故选：C. 3．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）海知滨与何芝津是我校高一年级两位热爱天文的同学，在祖国航天事业飞速发展的今天，他们梦想有朝一日能够一起搭乘中国的飞船奔向火星，采回火星岩石样本进行科学研究．通过查阅资料，他们了解到，由于半衰期较短，因此书本中学习过的碳14测年法不适用于测定外星岩石样本的年代，而需采用钾-氩测年法，该方法通过测定外星土壤或岩石样本中的及由衰变后部分形成的含量来计算样本年代．已知的衰变函数为：，的累积函数为：．其中各变量及参数的意义如下表所示： t 样本形成年龄（单位：年） 经过时间t后，样本中剩余的的质量浓度 样本形成时，的初始质量浓度 经过时间t后，样本中积累的的质量浓度 的总衰变常数，（单位：年） 的分支衰变常数，（单位：年） 衰变为的分支比的倒数，约为 现假设对某火星岩石样本进行检测得到，，，那么该样本的形成年龄t约为（     ）（已知：，，计算中可认为和的原子质量相等.） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 【答案】A 【分析】 由条件中所给公式可得，再将题中所给的数据代入计算可得样本的形成年龄. 【详解】 因为，得， 所以. 因为，，，. 所以，，， ，，. 故选：A. 4．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据定义求出的解析式，在同一个坐标系作出与的图像，即可得到答案. 【详解】 因为，， 所以：当，即：，解得：，此时：； 当时，在区间上有最小值：， 当时，在区间上有最大值： 所以：当时， 当，即：，解得：或，此时， 当时，单调递增，所以：， 当时，单调递减，所以：， 所以：当或， 作出的图象，如图所示： 函数的图象与轴恰有1个公共点，转化为函数的图象与直线恰有1个交点， 由图象并结合各分段区间上的的值，可得：或， 则实数m的取值范围是.故D项正确. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 作出分段函数的图像，利用数形结合的方法，可求a的取值范围. 【详解】 当时，；当时，, 则当时， ， 令，则，方程有6个不同实根， 即直线与函数的图象有6个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得当且仅当时直线与函数的图象有6个交点， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 6．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数 若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】 根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故答案为： 7．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，且在上的最小值为. （1）求的解析式； （2）作函数的图象，若方程恰有3个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） ；.      【分析】 （1）配方得，解出值，再根据奇偶性即可得到其解析式； （2）根据函数解析式作出图象，再结合图象转化为直线与图象交点问题即可得到答案. (1) 小问详解： 当时，， 所以在上的最小值为，解得， 所以当时，． 因为是奇函数，所以，令，得． 当时，， ， 所以 . (2) 小问详解： 作函数的图象， 若方程恰有3个不同的解， 根据的图象得的取值范围是． 8．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为7元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） ；     （2）年产量为9万件时年利润最大，为15万元.      【分析】 （1）根据已知求出、对应的年利润，再用分段函数形式写出解析式； （2）应用二次函数的性质和基本不等式求函数的最值，进而得到最大年利润，即可得. (1) 小问详解： 当时，变动成本， 代入利润公式， 当时，变动成本， 代入利润公式， 综上，年利润的函数解析式为 ； (2) 小问详解： 当时， 是开口向下的二次函数， 其对称轴为，且在范围内，则最大利润万元， 当时，， 而，当且仅当时取等号，则最大利润万元， 因此，年产量为9万件时年利润最大，为15万元. 9．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知关于x的方程，当其实数解个数达到最多时，实数a的取值范围是______________． 【答案】 【分析】令，，将方程解的个数转化为函数交点的个数，通过对进行分类讨论，结合两个函数的图象即可求解. 【详解】方程可化为， 令，， 方程的实数解的个数即为函数与函数的交点个数， 当时，，，故两函数无交点，即方程无实数解； 当时，，，所以函数与函数图象有下列两种情况：      对于情形一，两函数图象有两个交点， 对于情形二，段直线方程为 ，联立得，，所以函数与图象有两个交点， 综上，函数与函数图象恒有两个交点，即方程有两个实数解； 当时， ，，令，解得 ，，，如图所示： 段直线方程为，联立得，令，解得， 段直线方程为，联立得，令，解得或（根据舍去）， 由于越大，越大，越小， 所以当时，函数与图象无交点，即方程无实数解， 当时，函数与图象有一个交点，即方程有一个实数解， 当时，函数与图象有两个交点，即方程有两个实数解， 当时，函数与图象有三个交点，即方程有三个实数解， 当时，，函数与图象有四个交点，即方程有四个实数解， 当时，函数，函数，此时，函数与图象有三个交点，即方程有三个实数解， 当时，，此时，函数与图象有两个交点，即方程有两个实数解， 综上，当方程实数解个数达到最多时，实数a的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 5大高频考点概览 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．（25-26学年高一上·天津滨海新区一中·期中）求值：＋ ＝　　　　　　　　　　　　　． 2．（25-26学年高一上·天津第二十一中学·期中）求值： （1）； （2）化简:    3．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）计算 （1）； （2）若，，求的值. 4．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）（1）计算：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 5．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）计算：　　　　　　. 6．（25-26学年高一上·天津滨海新区汉沽第一中学·期中）计算： （1）； （2）. 7．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）若，则　　　　　 8．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）计算 （1）； （2） 9．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）计算： 　　　　　　　　　 10．（25-26学年高一上·天津河东·期中）（1）计算； （2）若，比较与的大小. 考点02 指数函数 1．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）若，，，则下列各式正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知幂函数的图象过点，设，，，则（     ）. A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数（，且）恒过定点，则在直角坐标系中函数的图象为（ ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数k的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）函数的定义域为　　　　　. 6．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　　 7．（25-26学年高一上·天津第一百中学·期中）函数的单调增区间是　　　　　. 8．（25-26学年高一上·天津滨海新区塘沽第一中学·期中）已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性并证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 考点03 对数 1．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）设函数，则（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）已知，，请求出的用a，b表示的数学表达式． 考点04 对数函数 1．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）设，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数，，则此函数的值域为　　　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 考点05 函数的应用（二） 1．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）函数的零点所在区间是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·天津双菱中学·期中）函数的零点所在的区间是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）海知滨与何芝津是我校高一年级两位热爱天文的同学，在祖国航天事业飞速发展的今天，他们梦想有朝一日能够一起搭乘中国的飞船奔向火星，采回火星岩石样本进行科学研究．通过查阅资料，他们了解到，由于半衰期较短，因此书本中学习过的碳14测年法不适用于测定外星岩石样本的年代，而需采用钾-氩测年法，该方法通过测定外星土壤或岩石样本中的及由衰变后部分形成的含量来计算样本年代．已知的衰变函数为：，的累积函数为：．其中各变量及参数的意义如下表所示： t 样本形成年龄（单位：年） 经过时间t后，样本中剩余的的质量浓度 样本形成时，的初始质量浓度 经过时间t后，样本中积累的的质量浓度 的总衰变常数，（单位：年） 的分支衰变常数，（单位：年） 衰变为的分支比的倒数，约为 现假设对某火星岩石样本进行检测得到，，，那么该样本的形成年龄t约为（     ）（已知：，，计算中可认为和的原子质量相等.） A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 4．（25-26学年高一上·天津第一中学·期中）对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数为偶函数，且若方程有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为　　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年高一上·天津南开区·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，且在上的最小值为. （1）求的解析式； （2）作函数的图象，若方程恰有3个不同的解，求的取值范围. 8．（25-26学年高一上·天津五区县重点校·期中）经过市场调查，可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为4万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为7元．假设该产品每年的销量等于当年的产量． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本） （2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ 9．（25-26学年高一上·天津南开中学·期中）已知关于x的方程，当其实数解个数达到最多时，实数a的取值范围是______________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 指数函数与对数函数 考点01 指数 考点02 指数函数 考点03 对数 考点04 对数函数 考点05 函数的应用（二） 考点01 指数 1．【答案】 【分析】 根据根式、分数指数幂运算、零指数幂运算得出结果. 【详解】 ＋ ＝ 故答案为： 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）（2）根据指数幂运算求解. (1) 小问详解： 由题意可得：. (2) 小问详解： 因为， 由题意可得：. 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助指数幂的运算法则计算即可得. (1) 小问详解： 原式； (2) 小问详解： 原式. 4．【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】 （1）根据指数幂的运算性质，结合根式的性质进行运算即可； （2）根据指数幂的乘法和除法的运算法则进行运算即可； （3）根据指数幂的运算性质，结合换元法进行运算求解即可. 【详解】 （1）原式； （2）原式； （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 5．【答案】 【分析】 由指数幂、根式的运算性质化简求值. 【详解】 . 故答案为： 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据根式的性质计算即可； （2）根据指数幂的性质、运算法则直接求解即可. (1) 小问详解： . (2) 小问详解： . 7．【答案】 【分析】 对条件反复平方即可得到答案. 【详解】 由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 8．【答案】（1）；     （2）1.      【分析】 （1）（2）由指数幂的运算性质、根式与有理数指数幂的关系分别计算各式即可得答案. (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： . 9．【答案】 【分析】 应用有理数指数幂及根式与指数幂关系化简求值. 【详解】 . 故答案为： 10．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）借助指数幂的运算法则计算即可得； （2）借助作差法计算即可得. 【详解】 （1）原式； （2）， ，则，， 故，即. 考点02 指数函数 1．D 2．B 3．D 4．C 5．【答案】 【分析】 由函数有意义列出不等式组，求解即可. 【详解】 由题可得 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．【答案】 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由函数有意义，则满足 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 7．【答案】 【分析】 由二次函数及指数函数的单调性，结合复合函数的单调性法则得解. 【详解】 令， 由二次函数单调性可知，在上单调递减， 又是减函数， 由复合函数的单调性知，的单调增区间为. 故答案为： 8．【答案】（1）     （2）在上是增函数.证明如下： 设任意，， 由于，则，即有，则有， 故在上是增函数；     （3）      【分析】 （1）根据函数奇偶性得，解得的值；最后代入验证； （2）根据指数函数的单调性可直接下结论，然后利用单调性的定义证明； （3）根据函数奇偶性与单调性将不等式化简为对于恒成立，再根据恒成立转化为对应函数最值问题，最后根据函数最值得结果. (1) 小问详解： 函数是定义域在上的奇函数， 由，得，即有， 下面检验：， 且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故符合； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对于恒成立， 因为是定义域在上的奇函数，所以对于恒成立， 又在上是增函数，所以，即对于恒成立， 而函数在上的最大值为，所以， 所以实数的取值范围为. 考点03 对数 1．C 2．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）      【分析】 （1）先将带分数化为假分数，再利用指数与对数的运算性质计算； （2）利用对数的运算性质，换底公式和指数恒等式计算； （3）结合指数与对数的运算性质求解； （4）利用指数与对数的运算性质和结合指数与对数的计算； （5）结合指数与对数的换底公式及运算性质求解. (1) 小问详解： ， . (2) 小问详解：       (3) 小问详解： (4) 小问详解： (5) 小问详解： 由，得； 因为，由换底公式得： . 考点04 对数函数 1．A 2．A 3．B 4．【答案】 【分析】 根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】 要使函数有意义， 只需 ，解得，且. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 5．【答案】 【分析】 通过换元法将问题转化为求二次函数的值域. 【详解】 令，，则， ∴， 当时，取得最小值，， 当或时，取得最大值，， 所以的值域为，即的值域为. 故答案为：. 6．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ，即 ，解得： 所以， (2) 小问详解： 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解 得；解 得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 (3) 小问详解： 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以 ，即， 所以实数的取值范围为 考点05 函数的应用（二） 1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．【答案】 【分析】 根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【详解】 根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故答案为： 7．【答案】（1）     （2） ；.      【分析】 （1）配方得，解出值，再根据奇偶性即可得到其解析式； （2）根据函数解析式作出图象，再结合图象转化为直线与图象交点问题即可得到答案. (1) 小问详解： 当时，， 所以在上的最小值为，解得， 所以当时，． 因为是奇函数，所以，令，得． 当时，， ， 所以 . (2) 小问详解： 作函数的图象， 若方程恰有3个不同的解， 根据的图象得的取值范围是． 8．【答案】（1） ；     （2）年产量为9万件时年利润最大，为15万元.      【分析】 （1）根据已知求出、对应的年利润，再用分段函数形式写出解析式； （2）应用二次函数的性质和基本不等式求函数的最值，进而得到最大年利润，即可得. (1) 小问详解： 当时，变动成本， 代入利润公式， 当时，变动成本， 代入利润公式， 综上，年利润的函数解析式为 ； (2) 小问详解： 当时， 是开口向下的二次函数， 其对称轴为，且在范围内，则最大利润万元， 当时，， 而，当且仅当时取等号，则最大利润万元， 因此，年产量为9万件时年利润最大，为15万元. 9．【答案】 【分析】令，，将方程解的个数转化为函数交点的个数，通过对进行分类讨论，结合两个函数的图象即可求解. 【详解】方程可化为， 令，， 方程的实数解的个数即为函数与函数的交点个数， 当时，，，故两函数无交点，即方程无实数解； 当时，，，所以函数与函数图象有下列两种情况：      对于情形一，两函数图象有两个交点， 对于情形二，段直线方程为 ，联立得，，所以函数与图象有两个交点， 综上，函数与函数图象恒有两个交点，即方程有两个实数解； 当时， ，，令，解得 ，，，如图所示： 段直线方程为，联立得，令，解得， 段直线方程为，联立得，令，解得或（根据舍去）， 由于越大，越大，越小， 所以当时，函数与图象无交点，即方程无实数解， 当时，函数与图象有一个交点，即方程有一个实数解， 当时，函数与图象有两个交点，即方程有两个实数解， 当时，函数与图象有三个交点，即方程有三个实数解， 当时，，函数与图象有四个交点，即方程有四个实数解， 当时，函数，函数，此时，函数与图象有三个交点，即方程有三个实数解， 当时，，此时，函数与图象有两个交点，即方程有两个实数解， 综上，当方程实数解个数达到最多时，实数a的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $