2.2.3直线的一般式方程 同步练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.3　直线的一般式方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【例2】已知方程． (1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 4．直线：，：（，）在同一坐标系中的图形大致是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 6．点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 二、多选题 7．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 8．已知直线：与直线：平行，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 三、填空题 10．直线过定点________. 11．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 12．已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值_______. 四、解答题 13．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率为，且经过点； (2)过点，且垂直于轴； (3)斜率为4，在轴上的截距为； (4)在轴上的截距为3，且平行于轴； (5)经过点与直线垂直． 14．设直线的方程为. (1)已知直线在x轴上的截距为，求的值； (2)已知直线的斜率为1，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3　直线的一般式方程 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【详解】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 【例2】已知方程． (1)若方程表示一条直线，求实数的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程； (3)若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值； (4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值． 【答案】(1) (2)，方程为 (3) (4) 【分析】（1）注意此时x、y的系数不同时为零才表示一条直线，从而解出m的范围； （2）x的系数不为零但y的系数为零时可以表示斜率不存在的直线，以此解出m的值； （3）在x轴上有截距代表x的系数不能为零，同时结合截距大小即可解出m的值； （4）根据斜率大小列出m的方程求解即可解出m的值． 【详解】（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令，因式分解得，解得或， 令，因式分解得，解得或， 所以若方程表示一条直线，则，即实数的取值范围为． （2）结合第一小问的因式分解，当的系数且的系数时，直线斜率不存在， 由，解得或，由解得且， 所以，此时的系数， 方程为，整理得，即此时直线方程为． （3）结合第一小问的因式分解，当方程表示的直线在轴上有截距， 可以知道的系数，也即且， 依题意，直线在轴截距为，即时， 将其代入方程得， 解得或（舍弃），故m的值为． （4）倾斜角为，则x、y前面的系数都不为零，由题中方程可知此时直线斜率， 也即，解得，所以实数的值为。 【基础夯实】 一、单选题 1．已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出两直线斜率，再分别从充分性和必要性两个方向进行推导，最后结合充要条件的定义得出结论即可. 【详解】根据已知条件，直线的斜率为，直线的斜率为. 充分性：若，则，解得或，由不能唯一推出， 所以“”不是“”的充分条件； 必要性：若，则，所以，则有， 所以“”是“”的必要条件. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选: B. 2．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 3．若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 4．直线：，：（，）在同一坐标系中的图形大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的大致图象判断参数大小或符号，判断符合要求的答案. 【详解】将与的方程化为斜截式得，， A：对应，又，则，显然不符合； B：对应，而在y轴上截距为正，不符； C：对应，结合易知，符合； D：对应，而的斜率为正，不符； 故选：C 5．已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 6．点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】求出直线恒过的定点的坐标，再求出的斜率，的斜率不存在，可得直线的斜率的范围，进而求出的范围． 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 二、多选题 7．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【答案】AC 【分析】对于A，根据倾斜角与斜率的关系求解即可；对于B，根据赋值法判断即可；对于C，根据直线的图象判断即可；对于D，根据直线与直线的关系判断即可. 【详解】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 8．已知直线：与直线：平行，则的值可能是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BD 【分析】根据两直线平行时，直线方程一般式系数关系联立方程求. 【详解】因为直线平行于直线，所以由题意可得，解得或， 故选：BD. 9．已知直线，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线恒过点 B．存在m使得直线的倾斜角为 C．若，则 D．不存在实数m使得 【答案】AC 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 三、填空题 10．直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 11．已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【答案】 【分析】由平行关系确定直线斜率，由已知及在y轴上截距易知直线过点，应用点斜式写出直线方程. 【详解】由，且直线的方程为，则直线斜率为， 由直线l与在y轴上的截距互为相反数，而在y轴上的截距为， 所以直线在y轴上的截距为，即过点， 综上，直线方程为，即. 故答案为： 12．已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值_______. 【答案】或 【分析】求出直线与两坐标轴的交点，根据截距的关系，列方程求即可. 【详解】依题意可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或. 故答案为：或. 四、解答题 13．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率为，且经过点； (2)过点，且垂直于轴； (3)斜率为4，在轴上的截距为； (4)在轴上的截距为3，且平行于轴； (5)经过点与直线垂直． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用点斜式可得直线方程； （2）根据直线所过点及与坐标轴的关系可得答案； （3）利用斜截式可得答案； （4）平行于轴可得斜率为0，利用斜截式可得答案； （5）利用方程求出所求直线的法向量，根据点法式求出方程. 【详解】（1）由点斜式方程得，整理得. （2）因为直线过点，且垂直于轴， 所以其方程为，即. （3）因为斜率为4，在轴上的截距为， 所以，即. （4）因为在轴上的截距为3，且平行于轴，所以，即. （5）由得，即该直线的斜率为， 即一个方向向量为所求直线的一个法向量， 故所求直线方程为，即. 14．设直线的方程为. (1)已知直线在x轴上的截距为，求的值； (2)已知直线的斜率为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一般式方程求出截距，结合条件可得答案； （2）先把一般式化为斜截式，根据斜率的值可求答案. 【详解】（1）令得，，由题意得，解得. （2）因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为 由题意得，解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $