第二十六章二次函数单元测试题2026-2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年人教版九年级数学上册 单元测试题（二次函数） 满分 120 分　　考试时间 90 分钟 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1. 已知抛物线 y=x²-2x-3，则下列说法错误的是（　） A．抛物线与 x 轴有两个交点　　B．方程 x²-2x-3=0 的两个根为 -1 和 3　　 C．当 -1<x<3 时，y<0　 　D．当 x>1 时，y 随 x 的增大而减小 2. 已知二次函数 y=-x²+4x+5，则当 y>0 时，x 的取值范围是（　） A．x<-1 或 x>5　　B．-1<x<5　　C．x<-5 或 x>1　　D．-5<x<1 3. 若抛物线 y=x²-4x+m 与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是（　） A．m≤4　　B．m≥4　　C．m<4　　D．m>4 4. 已知抛物线 y=-x²+8x-12 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），则不等式 -x²+8x-12>0 的解集为（　） A．2<x<6　　B．x<-6 或 x>-2　　C．x<2 或 x>6　　D．-6<x<-2 5. 若一元二次方程 x²-2x+m=0 的两根分别为 x₁、x₂，且 |x₁-x₂|=4，则 m 的值为（　） A．-4　　B．4　　C．-3　　D．3 6. 已知抛物线 y=-x²+2x+15 的图象如图 所示，则不等式 -x²+2x+15<0 的解集是（　） A．x<-3 或 x>5　　B．-5<x<3　　C．-3<x<5　　D．x<-5 或 x>3 7. 若抛物线 y=x²-2x+m 与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为（　） A．-1　　B．1　　C．2　　D．4 8. 若抛物线 y=-x²+4x+c 的图象全部在 x 轴下方（与 x 轴无交点），则 c 的取值范围是（　） A．c>-4　　B．c<-4　　C．c≤-4　　D．c≥-4 9. 抛物线 y=x²+2x-1 与直线 y=1 的交点个数是（　） A．1　　B．0　　C．无法确定　　D．2 10. 已知二次函数 y=-x²+90x-1400，当 30≤x≤70 时，y 的最大值为（　） A．700　　B．800　　C．625　　D．900 二、填空题（每题 3 分，共 15 分） 11. 若抛物线 y=x²-8x+c 的顶点在 x 轴的下方，则 c 的取值范围是______。 12. 已知二次函数 y=-x²+4x+21 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，则不等式 y≥0 的解集为______。 13. 若抛物线 y=x²-6x+m 经过点 (1,0)，则它与 x 轴的另一个交点的坐标是______。 14. 已知二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与 x 轴交于点 (-2,0) 和 (4,0)，且开口向下，则不等式 ax²+bx+c≤0 的解集为______。 15. 已知一元二次方程 x²+6x+n=0 的两个根为 -2 和 -4，则抛物线 y=x²+6x+n 与 y 轴交点的坐标为______。 三、计算或化简（第 16 题，每题 3 分，共 15 分） 16. 计算或化简： （1）用配方法把 y=x²+6x+2 化为 y=a(x-h)²+k 的形式； （2）求抛物线 y=x²+3x-4 与 x 轴的交点坐标； （3）已知抛物线经过 (-1,0)、(6,0)、(0,-6) 三点，求抛物线的解析式； （4）抛物线 y=x² 先向右平移 1 个单位、再向上平移 5 个单位，求所得抛物线的顶点坐标；若再向右平移 3 个单位、向上平移 3 个单位，求新的顶点坐标； （5）求抛物线 y=x²-2x-18 的顶点坐标及顶点到 x 轴的距离。 四、解答题（17–20 题，每题 6 分，共 24 分） 17. 已知抛物线 y=x²+2x-8。 （1）求抛物线与 x 轴、y 轴的交点坐标及顶点坐标； （2）结合图象写出不等式 x²+2x-8>0 的解集； （3）若直线 y=x+b 与该抛物线只有一个交点，求 b 的值。 18. 已知二次函数 y=-x²+6x+m 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）。 （1）若 A、B 两点间的距离为 4，求 m 的值； （2）求（1）中条件下不等式 -x²+6x+m>0 的解集； （3）若该函数的最大值不大于 4，求 m 的取值范围。 19. 用一根长 24 m 的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m²。 （1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，S 最大？最大值是多少？ 20. 某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元时，每天可售出 200 件；若每件涨价 1 元，则每天少卖 10 件。设每件涨价 x 元，每天的销售利润为 W 元。 （1）求 W 与 x 之间的函数关系式； （2）售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题（21–24 题，每题 9 分，共 36 分） 21. 如图 ，抛物线 y=x²+4x-21 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求 A、B、C、D 四点的坐标； （2）点 P 是直线 BC 下方抛物线上的一动点，求△PBC 面积的最大值及此时点 P 的坐标； （3）将抛物线向上平移 k（k>0）个单位，使平移后的抛物线与 x 轴只有一个交点，求 k 的值。 22. 已知抛物线 y=-x²-2x+8 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C。 （1）求 A、B、C 的坐标及抛物线的顶点坐标； （2）直接写出不等式 -x²-2x+8>0 的解集； （3）若直线 y=x+m 与该抛物线只有一个交点，求 m 的值。 23. 小明从离地面 15 m 的高处竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度 h（m）与时间 t（s）的关系为 h=-5t²+20t+15。 （1）小球运动多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （2）小球经过多少秒落地（结果保留根号）？ （3）求小球的高度不低于 25 m 的时间范围。 24. 如图 ，抛物线 y=-x²+4x+12 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求 A、B、C、D 四点的坐标； （2）点 M 是抛物线对称轴上的一个动点，求△MBC 周长的最小值； （3）点 N 是抛物线上的一点，若 S△NBC=48，求点 N 的坐标。 参考答案与评分标准 一、选择题 1. D　　2. B　　3. C　　4. A　　5. C 6. A　　7. B　　8. B　　9. D　　10. C 二、填空题 11. c<16　　12. -3≤x≤7　　13. (5,0)　　14. x≤-2 或 x≥4　　15. (0,8) 三、第 16 题（计算或化简） （1）y=(x+3)²-7（3 分）。 （2）令 y=0：x²+3x-4=0，(x+4)(x-1)=0（2 分），交点为 (-4,0)、(1,0)（1 分）。 （3）设 y=a(x+1)(x-6)，代入 (0,-6)：-6=-6a，a=1（2 分），故 y=x²-5x-6（1 分）。 （4）y=(x-1)²+5，顶点为 (1,5)（2 分）；再平移得 y=(x-4)²+8，顶点为 (4,8)（1 分）。 （5）y=(x-1)²-19（2 分），顶点为 (1,-19)，顶点到 x 轴的距离为 19（1 分）。 四、解答题（17–20 题，每题 6 分） 17. （1）令 y=0：x²+2x-8=0，(x+4)(x-2)=0，得 x 轴交点为 (-4,0)、(2,0)；令 x=0 得 y 轴交点为 (0,-8)；y=(x+1)²-9，顶点为 (-1,-9)（2 分）； （2）由图象可知，x²+2x-8>0 的解集为 x<-4 或 x>2（2 分）； （3）联立 y=x²+2x-8 与 y=x+b：x²+2x-8=x+b，即 x²+x-(8+b)=0（1 分）， Δ=1+4(8+b)=33+4b=0，b=- （1 分）。 18. （1）令 y=0：x²-6x-m=0，解得 x=3±（1 分），AB=2=4，得 m=-5（1 分）； （2）m=-5 时，-x²+6x-5>0，即 x²-6x+5<0，(x-1)(x-5)<0，解得 1<x<5（2 分）； （3）y=-(x-3)²+9+m，最大值为 9+m（1 分），由 9+m≤4 得 m≤-5（1 分）。 19. （1）S=x(12-x)=-x²+12x（0<x<12）（3 分）； （2）S=-(x-6)²+36，当 x=6 时，S 最大，最大值为 36（3 分）。 20. （1）W=(50+x-40)(200-10x)=(10+x)(200-10x)=-10x²+100x+2000（3 分）； （2）W=-10(x-5)²+2250，当 x=5 时 W 最大（2 分），即售价定为 55 元时，最大利润为 2250 元（1 分）。 五、解答题（21–24 题，每题 9 分） 21. （1）令 y=0：x²+4x-21=0，(x+7)(x-3)=0，得 A(-7,0)、B(3,0)（1 分）； 令 x=0 得 C(0,-21)（1 分）；y=(x+2)²-25，顶点 D(-2,-25)（1 分）； （2）直线 BC：y=7x-21。设 P(x,x²+4x-21)（0<x<3）， S△PBC= ×|BC|×d，d 为 P 到 BC 的距离（1 分）， S△PBC= ×(3x-x²)= ×[-(x- )²+ ]（2 分）， 当 x= 时，S 最大= ，此时 P( ,- )（1 分）； （3）平移后 y=x²+4x-21+k=(x+2)²-25+k，与 x 轴只有一个交点即顶点在 x 轴上（2 分）， ∴-25+k=0，k=25（1 分）。 22. （1）令 y=0：-x²-2x+8=0，x²+2x-8=0，(x+4)(x-2)=0，得 A(-4,0)、B(2,0)（1 分）； C(0,8)（1 分）；y=-(x+1)²+9，顶点为 (-1,9)（1 分）； （2）由图象可知，-x²-2x+8>0 的解集为 -4<x<2（3 分）； （3）联立 y=-x²-2x+8 与 y=x+m：-x²-2x+8=x+m， 即 x²+3x+m-8=0（2 分），Δ=9-4(m-8)=41-4m=0，m= （1 分）。 23. （1）h=-5(t-2)²+35，当 t=2 时，h 最大=35（3 分）； （2）令 h=0：-5t²+20t+15=0，t²-4t-3=0，t=2±（2 分）， ∵t≥0，∴t=2+，即经过 (2+ )秒落地（1 分）； （3）-5t²+20t+15≥25，即 t²-4t+2≤0（2 分）， ∴2-≤t≤2+（1 分）。 24. （1）令 y=0：-x²+4x+12=0，x²-4x-12=0，(x+2)(x-6)=0，得 A(-2,0)、B(6,0)（1 分）； C(0,12)（1 分）；y=-(x-2)²+16，顶点 D(2,16)（1 分）； （2）对称轴为 x=2，A 与 B 关于对称轴对称（1 分）， CM+BM=CM+AM≥AC（1 分），当 M 为 AC 与对称轴交点时取等号， 直线 AC：y=6x+12，当 x=2 时 y=24，即 M(2,24)（1 分）， △MBC 周长最小值=AC+BC=2+6（1 分）； （3）直线 BC：y=-2x+12，|BC|=6（1 分）， S△NBC= ×6×d=48，d= （1 分）， 设 N(x,-x²+4x+12)，d= = = ， 得 -x²+6x=±16（1 分），解得 x=8 或 x=-2， ∴N(8,-20) 或 N(-2,0)（1 分）。 学科网（北京）股份有限公司 $