1.4 用一元二次方程解决问题2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版（2024） · 用一元二次方程解决问题 · 第1章 一元二次方程 1.4用一元二次方程解决问题 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版（2024） 第1章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题 班级：________________ 姓名：________________ 本专题围绕用一元二次方程解决问题，按易错原因重新聚合57道典型错题，废弃原有专题标签。每类错因设精讲例题并搭配即时巩固，文末另设综合检测题组，供全部内容学完后整体检验。覆盖变化率、计数、面积、利润、根的检验等常见失误。 目录 易错点1：两次同率变化写成一次 易错点2：跨期变化增长的期数数错 易错点3：两轮传染漏加最初人数 易错点4：单循环比赛忘除以2 易错点5：互赠车票错当重复除以2 易错点6：篱笆围地时另一边长列错 易错点7：边框道路平移后长宽减错 易错点8：折叠盒底边漏减两倍边长 易错点9：单件利润与销量反向联动 易错点10：求根后不检验实际意义 易错点11：古算与连续整数建模困难 易错点1：两次同率变化写成一次 学习目标 · 能识别题中变化了几次 · 会用 a(1±x)²=b 列变化率方程 · 能分清增长用加、下降用减 纠错指引 先看变化次数：一次是 1±x，两次同率是 (1±x)²，两个数相乘绝不可并成 1±2x；再定符号，涨价、增长用 1+x，降价、下降用 1−x。 精讲例题 例题1．（2025秋•玉溪期末）·【基础】玉溪低纬度高海拔的气候，光照充足且昼夜温差大，能让甜橙积累更多糖分，果肉紧实多汁．某批发商以每千克25元的价格批发某种优质甜橙，季末为清库存分两次进行降价，最终批发价定为每千克16元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（　　） A．25（1﹣2x）＝16 B．25（x﹣1）＝16 C．25（1﹣x）2＝16 D．25（1+x）2＝16 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 两次降价是连乘，不能写成1-2x · 降价率x对应因子是1-x不是x · 百分率要还原成小数再代入 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（2026•沈河区一模）·【基础】某款labubu玩偶的原价为168元，如果经过两次降价后售价为120元，且每次降价的百分率都是m，那么下列方程正确的是（　　） A．168（1﹣m）＝120 B．168（1﹣m%）2＝120 C．168（1﹣m）2＝120 D．168（1﹣2m）＝120 即时巩固2．（2025秋•信阳校级月考）·【基础】新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．13（1﹣x）2＝12.8 B．13（1﹣x2）＝12.8 C．13（1﹣2x）＝12.8 D．12.8（1+x）2＝13 即时巩固3．（2025秋•滨海新区校级期中）·【提升】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（　　） A．2（1+x）2＝2.88 B．2（1﹣x）2＝2.88 C．2+2（1+x）+2（1+x）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88 即时巩固4．（2025秋•龙南市月考）·【提升】为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则符合题意的方程是（　　） A．2200（1﹣x2）＝1980 B．2200（1﹣x）2＝1980 C．2200（1﹣2x）＝1980 D．2200（1﹣2x）2＝1980 即时巩固5．（2026•松山区一模）·【基础】赤峰市某景区2023年接待游客2.5万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到3.6万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为　 　 ． 即时巩固6．（2025秋•鼓楼区期末）·【基础】某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，可列方程　 　 ． 即时巩固7．（2025秋•思明区校级月考）·【基础】随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为68万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为x，可列方程　 　 ． 即时巩固8．（2025秋•赤壁市月考）·【基础】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上年平均增长率是x，则可列方程为　 　 ． 即时巩固9．（2024秋•高碑店市月考）·【提升】为加强美丽乡村建设，某地文化馆向某乡村图书馆捐赠图书3次，且每次捐赠图书数量的增长率相同．第1次捐赠图书10000册，第3次捐赠图书12100册．若设捐赠图书数量的增长率为x，则依题意，可列方程：　 　 ． 易错点2：跨期变化增长的期数数错 学习目标 · 能在时间轴上标出变化次数 · 会区分相邻两段与跨两段 · 能处理两期数量求和的题型 纠错指引 先画时间轴标起点与终点：跨越几期就乘几次；题目给的是“两期之和”时，先把各期分别写成 (1+x)、(1+x)² 再相加，不要直接套末项。 精讲例题 例题2．（2025秋•湖南期末）·【基础】据船山实验中学对某毕业班学生三年来获得市级荣誉情况的统计，七年级时有2人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时有10人次获奖，若设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，则下列所列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝10 B．2（1+x）2＝10 C．2（1+x）3＝10 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 七年级到九年级是两年非三年 · 问的是两年后量，不是三年总和 · 跨段计数先数间隔不数年份 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固10．（2025秋•普陀区期末）·【基础】小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x，根据题意，为求解x，以下列出的方程中正确的是（　　） A．10000（1+x）2＝5110+5250 B．10000（1+x）+10000（1+2x）＝5110+5250 C． D． 即时巩固11．（2024秋•安岳县校级期末）·【基础】某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A．25（1+x）＝62 B．25（1+x）×2＝62 C．25（1+x）2＝62 D．25（1+x）+25（1+x）2＝62 即时巩固12．（2026春•安徽校级期末）·【基础】近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　 　 ． 即时巩固13．（2026春•东营区期末）·【基础】黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店1月“东方白鹳”挂件销量为1万件，3月销量达1.21万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为　 　 ． 即时巩固14．（2026春•长宁区校级月考）·【基础】某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，如果从4月份到6月份销售量的月增长率相同，设此增长率为x，那么根据理意可列方程为　 　 ． 易错点3：两轮传染漏加最初人数 学习目标 · 能分清基数与新传染人数 · 会用 1+x+x(1+x) 表示两轮总数 · 能识别 (1+x)² 的整体意义 纠错指引 第一轮后是 (1+x) 人，第二轮每个已感染者再传 x 人，新增 x(1+x)，总数为 (1+x)+x(1+x)=(1+x)²；列式时把传染源单独算，别把第二轮新增错写成 x²。 精讲例题 例题3．（2026春•上城区校级期中）·【基础】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 第二轮新增是x(1+x)，不是x² · 总数要含最开始那个传染源 · (1+x)²就是两轮后的总人数 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固15．（2026春•庐阳区校级期中）·【基础】春天的校园，一株植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（　　） A．1+x+x2＝21 B．1+x+x（1+x）＝21 C．1+x+（1+x）2＝21 D．1+（1+x）+（1+x）2＝21 即时巩固16．（2025秋•路北区校级月考）·【提升】小明发起垃圾分类宣传实践活动，他先通过手机向x名同学发送宣传标语，收到宣传标语的人也按小明发送的人数再加1人向外转发（转发的人均不相同），这次转发后，除小明外共有35人手机上收到该宣传标语，则小明给　 　 人发送了宣传标语． 易错点4：单循环比赛忘除以2 学习目标 · 能说明单循环两两相遇的含义 · 会用 x(x-1)/2 表示比赛总场数 · 能把场数换算成队伍数量 纠错指引 每支队伍要和其余 (x−1) 支各赛一场，相乘时每两队被数了两次，必须除以 2；先把“是否重复计数”判断清楚，再决定要不要除以 2。 精讲例题 例题4．（2026春•东营区期末）·【基础】为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝36 C． D．x（x+1）＝36 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 每两队之间只赛一场要除以2 · x支队伍要和其余x-1支赛 · 先判断是否重复再定除不除 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固17．（2025秋•长沙县期中）·【基础】为推进五育并举，长沙某中学在校园文化节中组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请x支球队参加比赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45 即时巩固18．（2026•雷州市校级模拟）·【提升】第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 即时巩固19．（新教材同步题）·【提升】列方程解应用问题：北京2022年冬奥会冰壶混双比赛有若干支队伍参加，按照规则，所有的参赛队伍先进行单循环赛（指的是所有参赛队在竞赛中均能相遇一次，最后按各队在竞赛中的得分多少、胜负场次来排列名次），积分前四名的队伍将出线，争夺决赛权．冰壶混双单循环比赛共进行了45场，请问共有多少支队伍参加了此次比赛？ 易错点5：互赠车票错当重复除以2 学习目标 · 能区分互赠往返与单循环计数 · 会判断每个配对算一次还是两次 · 能列 x(x-1) 型方程 纠错指引 互送礼物、互评方案、往返车票都是双向各算一次，配对本身不重复，直接用 x(x−1)；只有“两队只赛一场”“两人只握一次手”这类合并计数时才除以 2。 精讲例题 例题5．（2025秋•市南区期末）·【基础】小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有　 　 人． 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 互赠是双向各一次，不除2 · 自己不送给自己，用x-1 · 与握手类比的差别在重复与否 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固20．（2025秋•沈河区期末）·【提升】D507是在北京与沈阳之间往返的一趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳站），针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站，设一共有x个火车停靠站，下列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝72 B．x（x﹣1）＝72 C． D． 易错点6：篱笆围地时另一边长列错 学习目标 · 能按周长关系表示未知边长 · 会用总长求出另一边的表示式 · 能处理留门洞的实际情形 纠错指引 先分清围法：四周都围时另一边是“总长÷2−已知边”；一边靠墙时另一边是“总长−2×垂直边”；遇到留门洞，先把门宽加回可用总长，再表示边长。 精讲例题 例题6．（2025秋•河西区期末）·【基础】要用40m长的篱笆围成一个面积为96m2的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（　　） A．x（40﹣x）＝96 B． C．x（96﹣x）＝40 D．2x+（40﹣2x）＝96 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 周长40要先折半才是两边之和 · 邻边是20-x，不是40-x · 面积乘式两边都要带单位 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固21．（2026•涵江区校级模拟）·【基础】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．x（15﹣x）＝50 B．x（15+x）＝50 C． D． 即时巩固22．（2025秋•长宁区校级期末）·【基础】学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　 　 米． 即时巩固23．（2025秋•合川区期中）·【提升】为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程　 　 ． 易错点7：边框道路平移后长宽减错 学习目标 · 会用平移法求剩余地块边长 · 能按道路条数判断减几个宽 · 能把镶边宽度加到外围长宽 纠错指引 内修道路用平移把剩余地块拼成长方形：某一方向有 k 条路，该方向就减 k 个宽；镶边框方向相反，外围长宽各加 2 个宽。先判断是减还是加，再数条数。 精讲例题 例题7．（2025秋•岳池县校级期末）·【提升】如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 横竖各数几条，别凭感觉减 · 拼成长方形后长为30-2x · 条数决定要减去几个x 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固24．（2025秋•滨海新区期末）·【基础】在一幅长70cm，宽40cm的“天津之眼”图片的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是4000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A．x2+55x﹣300＝0 B．x2+110x﹣1200＝0 C．x2﹣110x+1200＝0 D．x2﹣55x+300＝0 即时巩固25．（2025秋•安徽校级月考）·【提升】如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，如果AB＝10，阴影部分的面积是48，另外两个小矩形全等，设BC＝x，则下列方程正确的是（　　） A．x（2x﹣10）＝48 B．x（2x+10）＝48 C．10x﹣x（10﹣x）＝48 D．10x+2x（10﹣x）＝48 即时巩固26．（2026•云岩区模拟）·【基础】2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》．如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一块长12m，宽8m的矩形场地，若该场地的长和宽都增加xm，则扩建后的矩形场地面积为165m2．根据题意，可列方程为　 　 ． 易错点8：折叠盒底边漏减两倍边长 学习目标 · 能表示截去后底面的长与宽 · 会用底面积列一元二次方程 · 能结合图形判断边长范围 纠错指引 四角各截去边长 x 的正方形，折起后底面长和宽都要减 2x；列完式回头检验，看 x 是否为正、是否小于较短边的一半。 精讲例题 例题8．（2025春•平谷区期末）·【基础】有一块长25cm、宽15cm的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为231cm2的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为xcm，则可列方程为 　 　 ． 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 底面长宽各减去2x不是x · 小正方形边长要小于短边一半 · 折起的高就是截去的边长 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固27．（2025春•蜀山区校级期中）·【提升】将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，则该包装盒图中x的值为 　 　 cm． 即时巩固28．（2024秋•太原期中）·【提升】如图．把长为40cm、宽为30cm的长方形铁片的四角各前去一个大小相同的正方形．然后折叠成一个无盖的长方体盒子．若铁盒的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，则盒子的高为　 　 cm． 易错点9：单件利润与销量反向联动 学习目标 · 能写出降价后的单件利润 · 能写出对应的销售数量 · 会用总利润等于单利乘销量 纠错指引 设降价 x 元后，单件利润写成“原利−x”，销量写成“原销量+每降1元多卖的件数×x”，两者相乘等于目标利润；涨价则反号。列完把 x 代回验单价、销量是否为正。 精讲例题 例题9．（2025秋•天河区期末）·【提升】某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了x元，则x满足的方程为（　　） A．（20+x）（40﹣2x）＝1250 B．20×（40﹣x）＝1250 C．（20+2x）（40﹣x）＝1250 D．40×（20+2x）＝1250 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 降价使单件利润减，销量增 · 多卖件数等于降价数乘比例 · 总利润是两者相乘不是相加 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固29．（2026•乌鲁木齐模拟）·【提升】经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 即时巩固30．（2025秋•宝应县期末）·【提升】某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 易错点10：求根后不检验实际意义 学习目标 · 会解方程并写出两个根 · 能依据实际条件取舍根 · 会用判别式判断能否达到 纠错指引 解出的根要逐条过三关：边长为正且不超过材料尺寸、人数为正整数、变化率在合理范围；问“能不能达到”时改算判别式，Δ<0 即不可能。 精讲例题 例题10．（2026•拱墅区校级开学）·【基础】某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为8米，则BC＝　 　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 易错倾向标签：易漏解｜易算错 【本题核心易错点】 · 墙有可用长度，超出要舍 · 问能否达到时改用判别式 · 边长、人数必须为正整数 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固31．（2025秋•平陆县期末）·【提升】学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 易错点11：古算与连续整数建模困难 学习目标 · 能设未知数表示相邻整数 · 会用勾股定理列方程 · 能处理双解的实际情形 纠错指引 连续偶数、整数相差定值，就设最小的为 x，其余依次加公差；古算题先译成现代语言并画出示意，再找直角三角形用勾股定理；出现两解要分别代入检验。 精讲例题 例题11．（新教材同步题）·【提升】列方程解应用问题：《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中有这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何．大意为：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺，竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少． 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 连续偶数依次相差2要加8 · 古算先译现代语再画示意图 · 斜放与对角线相等是勾股关系 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固32．（2026春•民权县校级期中）·【基础】我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2 即时巩固33．（新教材同步题）·【提升】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步．问长阔共几步．大意是：长方形面积864平方步，宽比长少12步，问长、宽共几步．（注：步为当时的长度单位） 本专题错因自查清单 ☐ 两次变化用 (1±x)²，绝不可写成 1±2x ☐ 先数变化次数：跨几期就乘几次 ☐ 传染总数要含最初的传染源 ☐ 单循环、握手计数每对重复，要除以2 ☐ 互赠礼物、往返车票方向不同，不除2 ☐ 篱笆围地先判靠墙与否，再写另一边 ☐ 修路用平移减法，镶边则向外加宽 ☐ 折叠成盒底面长宽各减 2x ☐ 降价后单件利润减、销量增，二者相乘 ☐ 解出的根必须检验是否符合实际 ☐ 连续整数设最小的为 x，其余依次加公差 过关测试（综合检测） 1．（2026春•兴隆台区期末）·【基础】每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+1）＝240 B．2x（x+1）＝240 C．x（x﹣1）＝240 D．x（x﹣1）＝240×2 2．（2025秋•泌阳县校级月考）·【提升】有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．（2025春•荣成市期中）·【基础】2021年，某市准备加大对雾霾的治理力度，2021年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元．设这两个季度计划投入资金的平均增长率为x，则列方程是　 　 ． 4．（2025秋•浦东新区校级月考）·【基础】会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有x人参加会议，则可列方程　 　 ． 5．（2024秋•扎鲁特旗期末）·【基础】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 　 　 人患有流感． 6．（2025•韶关模拟）·【提升】已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 　 　 ． 7．（2025秋•大东区期中）·【提升】景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，则x的值为　 　 米． 8．（2024秋•祁阳市期末）·【提升】据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为x，则可列方程　 　 ． 9．（2024秋•中山市期中）·【提升】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏长30m，若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 　 　 ． 10．（2026•武威二模）·【基础】某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高69%，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高21%，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 11．（2026春•西湖区校级期末）·【基础】某县为发展教育事业，加强对教育经费投入，2012年投入3000万元，2014年投入3630万元． （1）求该县教育经费的年平均增长率； （2）若增长率保持不变，预计2015年该县教育经费是多少． 12．（2025秋•赣州期末）·【提升】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 13．（新教材同步题）·【提升】列方程解应用问题：在有理数中，能被2整除的负数也叫作偶数．有5个连续偶数，如果第1个与第5个偶数的乘积是308，求这5个偶数． 苏科版（2024） · 用一元二次方程解决问题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版（2024） · 用一元二次方程解决问题 · 第1章 一元二次方程 1.4用一元二次方程解决问题 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版（2024） 第1章 一元二次方程 1.4 用一元二次方程解决问题 本专题围绕用一元二次方程解决问题，按易错原因重新聚合57道典型错题，废弃原有专题标签。每类错因设精讲例题并搭配即时巩固，文末另设综合检测题组，供全部内容学完后整体检验。覆盖变化率、计数、面积、利润、根的检验等常见失误。 目录 易错点1：两次同率变化写成一次 易错点2：跨期变化增长的期数数错 易错点3：两轮传染漏加最初人数 易错点4：单循环比赛忘除以2 易错点5：互赠车票错当重复除以2 易错点6：篱笆围地时另一边长列错 易错点7：边框道路平移后长宽减错 易错点8：折叠盒底边漏减两倍边长 易错点9：单件利润与销量反向联动 易错点10：求根后不检验实际意义 易错点11：古算与连续整数建模困难 易错点1：两次同率变化写成一次 学习目标 · 能识别题中变化了几次 · 会用 a(1±x)²=b 列变化率方程 · 能分清增长用加、下降用减 纠错指引 先看变化次数：一次是 1±x，两次同率是 (1±x)²，两个数相乘绝不可并成 1±2x；再定符号，涨价、增长用 1+x，降价、下降用 1−x。 精讲例题 例题1．（2025秋•玉溪期末）·【基础】玉溪低纬度高海拔的气候，光照充足且昼夜温差大，能让甜橙积累更多糖分，果肉紧实多汁．某批发商以每千克25元的价格批发某种优质甜橙，季末为清库存分两次进行降价，最终批发价定为每千克16元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（　　） A．25（1﹣2x）＝16 B．25（x﹣1）＝16 C．25（1﹣x）2＝16 D．25（1+x）2＝16 【分析】根据两次降价，每次降价百分率为x，列出方程即可． 【解答】解：由题意，∵平均每次降价的百分率为x， ∴25（1﹣x）2＝16， 故选：C． 教学提示：批发商两次降价到16元。先让学生写出第一次后的价格 25(1−x)，再乘一次得第二次，与错项 25(1−2x) 对照，把“两次连乘”与“一次加倍”的差别讲透。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 两次降价是连乘，不能写成1-2x · 降价率x对应因子是1-x不是x · 百分率要还原成小数再代入 即时巩固 即时巩固1．（2026•沈河区一模）·【基础】某款labubu玩偶的原价为168元，如果经过两次降价后售价为120元，且每次降价的百分率都是m，那么下列方程正确的是（　　） A．168（1﹣m）＝120 B．168（1﹣m%）2＝120 C．168（1﹣m）2＝120 D．168（1﹣2m）＝120 【分析】根据两次降价的百分率相同，进而列出方程即可． 【解答】解：根据题意得：168（1﹣m）2＝120， 故选：C． 教学提示：labubu玩偶两次降价到120元。板书三步：原价168、第一次168(1−m)、第二次平方，明确 m 是百分率，平方来自两次而非两个 m 相加。 即时巩固2．（2025秋•信阳校级月考）·【基础】新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份的生产成本为12.8万元．假设该公司今年一季度每个月生产成本的下降率都相同，设每个月生产成本的下降率为x，则根据题意所列方程正确的是（　　） A．13（1﹣x）2＝12.8 B．13（1﹣x2）＝12.8 C．13（1﹣2x）＝12.8 D．12.8（1+x）2＝13 【分析】根据生产成本逐月以相同下降率下降，从1月到3月经历两次下降，列出方程． 【解答】解：由题意，设每个月生产成本的下降率为x， ∵1月份成本为13万元， ∴3月份成本为13（1﹣x）2万元， 又∵3月份成本为12.8万元， ∴13（1﹣x）2＝12.8， 故选：A． 教学提示：生产成本1月13万、3月12.8万。先提问“1月到3月降了几次”，学生答出两次后再定式 13(1−x)²=12.8，顺势纠正写成13(1−2x)的做法。 即时巩固3．（2025秋•滨海新区校级期中）·【提升】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资总额为2.88万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为（　　） A．2（1+x）2＝2.88 B．2（1﹣x）2＝2.88 C．2+2（1+x）+2（1+x）2＝2.88 D．2（1+x）+2（1+x）2＝2.88 【分析】根据题中等量关系列出方程即可． 【解答】解：由题意，∵该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x， ∴今年对实验器材的投资为2（1+x）万元，明年对实验器材的投资为2（1+x）2万元， ∴2（1+x）2＝2.88． 故选：A． 教学提示：实验器材去年2万、明年2.88万。画时间轴标出“去年—今年—明年”三个点两条线段，强调明年是两年后，故用 2(1+x)²。 即时巩固4．（2025秋•龙南市月考）·【提升】为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则符合题意的方程是（　　） A．2200（1﹣x2）＝1980 B．2200（1﹣x）2＝1980 C．2200（1﹣2x）＝1980 D．2200（1﹣2x）2＝1980 【分析】依据题意，第一次降价后的单价为2200（1﹣x）元，则第二次降价后的单价为2200（1﹣x）2元，再根据经过两次降价，单价由2200元降为1980元列出方程即可． 【解答】解：由题意，∵每次降价的百分率为x，且经过两次降价，单价由2200元降为1980元， ∴2200（1﹣x）2＝1980， 故选：B． 教学提示：学习机两次降价。先问“第一次降价后单价是多少”，把 2200(1−x) 留在黑板上，第二次再乘一次，平方的出现就顺理成章。 即时巩固5．（2026•松山区一模）·【基础】赤峰市某景区2023年接待游客2.5万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年接待游客达到3.6万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为　 　 ． 【分析】根据增长率公式a（1+x）2＝b计算即可； 【解答】解：由题意，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， ∴2.5（1+x）2＝3.6， ∴， ∴，或（不符合题意，舍去）， ∴平均增长率为20%． 教学提示：景区游客2.5万到3.6万。让学生先估：3.6÷2.5=1.44，正好是1.2的平方，反过来验证 2.5(1+x)²=3.6，培养估算验根习惯。 即时巩固6．（2025秋•鼓楼区期末）·【基础】某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册，设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，可列方程　 　 ． 【分析】利用平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均每年增长的百分率为x，根据“某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册”，即可得出方程． 【解答】解：由题意，∵平均每年增长的百分率为x； ∴5（1+x）2＝9.8． 故答案为：5（1+x）2＝9.8． 教学提示：图书馆藏书5万到9.8万。请学生口述“第一年增加到多少”“第二年是在谁的基础上增”，防止把两年增长直接相加成 5(1+2x)。 即时巩固7．（2025秋•思明区校级月考）·【基础】随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为68万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为x，可列方程　 　 ． 【分析】利用预计到2024年的出口量＝2022年的出口量×（1+平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得，68（1+x）2＝210． 故答案为：68（1+x）2＝210． 教学提示：出口量68万到210万。在黑板上逐年标 2022、2023、2024，指出横跨两年即两次增长，避免当成一次列式。 即时巩固8．（2025秋•赤壁市月考）·【基础】某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上年平均增长率是x，则可列方程为　 　 ． 【分析】依据题意，设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，可得今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2（1+x）2，结合预计明两年的投资总额为8万元，从而可以得解． 【解答】解：由题意，设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x， ∴2（1+x）2＝8． 故答案为：2（1+x）2＝8． 教学提示：投资由2万到8万。可与第18题对照，数据不同结构相同，让学生说明两题列式为何一致，体会“换汤不换药”的模型识别。 即时巩固9．（2024秋•高碑店市月考）·【提升】为加强美丽乡村建设，某地文化馆向某乡村图书馆捐赠图书3次，且每次捐赠图书数量的增长率相同．第1次捐赠图书10000册，第3次捐赠图书12100册．若设捐赠图书数量的增长率为x，则依题意，可列方程：　 　 ． 【分析】依据题意，若变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过2次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b，根据增长了2次，直接套用公式即可列方程求解． 【解答】解：由题意得，∵每次捐赠图书数量的增长率相同．第1次捐赠图书10000册，第3次捐赠图书12100册， ∴10000（1+x）2＝12100． 故答案为：10000（1+x）2＝12100． 教学提示：捐赠图书第1次10000册、第3次12100册。提醒“第1次到第3次”中间隔两次增长，先画出三次捐赠的数量关系再列方程。 易错点2：跨期变化增长的期数数错 学习目标 · 能在时间轴上标出变化次数 · 会区分相邻两段与跨两段 · 能处理两期数量求和的题型 纠错指引 先画时间轴标起点与终点：跨越几期就乘几次；题目给的是“两期之和”时，先把各期分别写成 (1+x)、(1+x)² 再相加，不要直接套末项。 精讲例题 例题2．（2025秋•湖南期末）·【基础】据船山实验中学对某毕业班学生三年来获得市级荣誉情况的统计，七年级时有2人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时有10人次获奖，若设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，则下列所列方程正确的是（　　） A．2（1+x）＝10 B．2（1+x）2＝10 C．2（1+x）3＝10 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝10 【分析】从七年级到九年级经历了两年增长，九年级的获奖人次应为2（1+x）2，即得答案． 【解答】解：由题意得，2（1+x）2， 又∵到九年级毕业时获奖人次为10， ∴2（1+x）2＝10． 故选：B． 教学提示：七年级到九年级最易数成三次。板书三个年级对应的量 2、2(1+x)、2(1+x)²，指出到九年级只经历两次增长。 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 七年级到九年级是两年非三年 · 问的是两年后量，不是三年总和 · 跨段计数先数间隔不数年份 即时巩固 即时巩固10．（2025秋•普陀区期末）·【基础】小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x，根据题意，为求解x，以下列出的方程中正确的是（　　） A．10000（1+x）2＝5110+5250 B．10000（1+x）+10000（1+2x）＝5110+5250 C． D． 【分析】依据题意，由此理财产品的收益率为x，从而将两次返还金额折现到当前，现值之和应等于本金 10000元，即可列出方程得解． 【解答】解：由题意，∵此理财产品的收益率为x， ∴将两次返还金额折现到当前，现值之和应等于本金 10000元， ∴10000． 故选：D． 教学提示：理财分两次取回，属现金流折现而非一次到期。引导把5110、5250分别按一年、两年折现，令其和等于本金10000。 即时巩固11．（2024秋•安岳县校级期末）·【基础】某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A．25（1+x）＝62 B．25（1+x）×2＝62 C．25（1+x）2＝62 D．25（1+x）+25（1+x）2＝62 【分析】依据题意，由平均增长率的等量关系a（1+x）2＝b，列出方程即可． 【解答】解：由题意得，25（1+x）+25（1+x）2＝62． 故选：D． 教学提示：1月25万，2、3两月合计62万。让学生分别写出二月、三月产值再相加，对比“求和型”与“求末项型”方程的区别。 即时巩固12．（2026春•安徽校级期末）·【基础】近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　 　 ． 【分析】依据题意，设月平均增长率为x，根据3月份和5月份的销售量列出一元二次方程，舍去不符合题意的负根后即可得到结果． 【解答】解：设该新能源汽车月平均增长率为x， ∴（1+x）2＝1.21， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（负值不合题意，舍去）， ∴该新能源汽车月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 教学提示：3月到5月销量1→1.21万台。月平均增长率只隔两个月，列 (1+x)²=1.21，并强调解出负根必须舍去。 即时巩固13．（2026春•东营区期末）·【基础】黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店1月“东方白鹳”挂件销量为1万件，3月销量达1.21万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为　 　 ． 【分析】依据题意，设月平均增长率为x，根据1月和3月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【解答】解：由题意，设这款挂件销量的月平均增长率为x， ∴1×（1+x）2＝1.21， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 教学提示：挂件销量与第27题数据相同。让学生对比两题解法是否一致，讨论“同一方程的不同情境”，强化模型识别能力。 即时巩固14．（2026春•长宁区校级月考）·【基础】某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，如果从4月份到6月份销售量的月增长率相同，设此增长率为x，那么根据理意可列方程为　 　 ． 【分析】依据题意，由该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量＝该品牌头盔4月份的销售量×（1+该品牌头盔销售量的月增长率）2，从而可以列方程得解． 【解答】解：由题意，∵该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：500（1+x）2＝720， 故答案为：500（1+x）2＝720． 教学提示：头盔4月500到6月720。先问“涨了几个月”，明确是两次后用 500(1+x)²=720，并说明为何不是 500(1+2x)。 易错点3：两轮传染漏加最初人数 学习目标 · 能分清基数与新传染人数 · 会用 1+x+x(1+x) 表示两轮总数 · 能识别 (1+x)² 的整体意义 纠错指引 第一轮后是 (1+x) 人，第二轮每个已感染者再传 x 人，新增 x(1+x)，总数为 (1+x)+x(1+x)=(1+x)²；列式时把传染源单独算，别把第二轮新增错写成 x²。 精讲例题 例题3．（2026春•上城区校级期中）·【基础】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 【分析】依据题意得，第一轮过后有（x+1）个人，第二轮又传染了x（x+1）个人，根据经过两轮传染后，共64人患流感，列出方程即可． 【解答】解：由题意，∵经过两轮传染后，共64人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人， ∴（x+1）+x（x+1）＝64， ∴（1+x）2＝64． 故选：C． 教学提示：流感传染先画树枝图：初始1人、第一轮新增x人、第二轮新增x(1+x)人。指出第二轮是“每个已感染者再传x人”，故不是x²。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 第二轮新增是x(1+x)，不是x² · 总数要含最开始那个传染源 · (1+x)²就是两轮后的总人数 即时巩固 即时巩固15．（2026春•庐阳区校级期中）·【基础】春天的校园，一株植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（　　） A．1+x+x2＝21 B．1+x+x（1+x）＝21 C．1+x+（1+x）2＝21 D．1+（1+x）+（1+x）2＝21 【分析】依据题意，由主干长出x支支干，则每根支干又会分出x支小分支，再根据主干、支干、小分支的数量总和为21列方程即可． 【解答】解：设主干长出x支支干， 由题意得：1+x+x2＝21， 故选：A． 教学提示：主干长支干题可类比传染：主干是那1个，支干x，小分支x²，总数21。让学生说清“1”代表什么，避免漏加。 即时巩固16．（2025秋•路北区校级月考）·【提升】小明发起垃圾分类宣传实践活动，他先通过手机向x名同学发送宣传标语，收到宣传标语的人也按小明发送的人数再加1人向外转发（转发的人均不相同），这次转发后，除小明外共有35人手机上收到该宣传标语，则小明给　 　 人发送了宣传标语． 【分析】依据题意，由每轮发送短信平均一个人向x个人发送宣传标语，第一轮后共有x人收到宣传标语，第二轮发送宣传标语的过程中，又平均一个人向（x+1）个人发送宣传标语，则第二轮后又有x（x+1）个人收到宣传标语，根据这样经过两轮的发送共有35人收到同一条宣传标语列出方程． 【解答】解：设每轮每人向x人 发送宣传标语， 依题意得：x+x（x+1）＝35， 解得：x1＝5，x2＝﹣7（不合题意，舍去）． 故答案为：5． 教学提示：短信转发“再加1人”。要求学生分清第一轮 x 与第二轮 x(x+1)，把“再加1”的来历讲透，防止写成 x²。 易错点4：单循环比赛忘除以2 学习目标 · 能说明单循环两两相遇的含义 · 会用 x(x-1)/2 表示比赛总场数 · 能把场数换算成队伍数量 纠错指引 每支队伍要和其余 (x−1) 支各赛一场，相乘时每两队被数了两次，必须除以 2；先把“是否重复计数”判断清楚，再决定要不要除以 2。 精讲例题 例题4．（2026春•东营区期末）·【基础】为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝36 C． D．x（x+1）＝36 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【解答】解：由题意，∵共有x个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的（x﹣1）支队伍比赛， ∴． 故选：A． 教学提示：篮球赛36场。让学生先写出 x(x−1)，再指认其中每对被算了两次，除以2才等于场数，方程自然出来。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 每两队之间只赛一场要除以2 · x支队伍要和其余x-1支赛 · 先判断是否重复再定除不除 即时巩固 即时巩固17．（2025秋•长沙县期中）·【基础】为推进五育并举，长沙某中学在校园文化节中组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请x支球队参加比赛，则可列方程为（　　） A． B． C．x（x﹣1）＝45 D．x（x+1）＝45 【分析】依据题意，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数x（x﹣1），由此可得出方程． 【解答】解：由题意，∵设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， ∴由题意得，x（x﹣1）＝45， 故选：A． 教学提示：9天每天5场共45场。教学时先算总场数再列方程，两步走；并让学生口述“握手次数为何也是这个公式”。 即时巩固18．（2026•雷州市校级模拟）·【提升】第十五届全运会将于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，深圳承办了青年组足球比赛．若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【分析】根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝28， 故选：D． 教学提示：足球首轮28场。把错式 x(x−1)=28 与正确方程对比，让学生说出“少除以2会多算几场”，印象更深。 即时巩固19．（新教材同步题）·【提升】列方程解应用问题：北京2022年冬奥会冰壶混双比赛有若干支队伍参加，按照规则，所有的参赛队伍先进行单循环赛（指的是所有参赛队在竞赛中均能相遇一次，最后按各队在竞赛中的得分多少、胜负场次来排列名次），积分前四名的队伍将出线，争夺决赛权．冰壶混双单循环比赛共进行了45场，请问共有多少支队伍参加了此次比赛？ 【分析】利用比赛进行的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，进而得解． 【解答】解：根据题意，设共有x支队伍参加比赛， ∴x（x﹣1）＝45， ∴x＝10（负值舍去）． 答：共有10支队伍参加了此次比赛． 教学提示：冰壶单循环45场。作为解答题要求写清“设、列、解、验”四步，评改时重点看方程是否带÷2。 易错点5：互赠车票错当重复除以2 学习目标 · 能区分互赠往返与单循环计数 · 会判断每个配对算一次还是两次 · 能列 x(x-1) 型方程 纠错指引 互送礼物、互评方案、往返车票都是双向各算一次，配对本身不重复，直接用 x(x−1)；只有“两队只赛一场”“两人只握一次手”这类合并计数时才除以 2。 精讲例题 例题5．（2025秋•市南区期末）·【基础】小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有　 　 人． 【分析】依据题意，设参加聚会的人有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物，根据一共赠送了72份礼物，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加聚会的人有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物，依题意得：x（x﹣1）＝72， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴参他们一共有9人．故答案为：9． 教学提示：互赠礼物72份。与握手题并列对比：甲送乙、乙送甲是两份不同礼物，配对不重复，故用 x(x−1) 不除2。 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 互赠是双向各一次，不除2 · 自己不送给自己，用x-1 · 与握手类比的差别在重复与否 即时巩固 即时巩固20．（2025秋•沈河区期末）·【提升】D507是在北京与沈阳之间往返的一趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳站），针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站，设一共有x个火车停靠站，下列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝72 B．x（x﹣1）＝72 C． D． 【分析】设共有x个火车停靠站，根据“针对此动车有72种不同行程的火车票”列出一元二次方程即可． 【解答】解：设共有x个火车停靠站， 由题意可得：x（x﹣1）＝72； 故选：B． 教学提示：火车票72种。强调始发站到终点站与返程是两种票，方向不同各算一次；可与第4题对照，说清“除不除2”的分界。 易错点6：篱笆围地时另一边长列错 学习目标 · 能按周长关系表示未知边长 · 会用总长求出另一边的表示式 · 能处理留门洞的实际情形 纠错指引 先分清围法：四周都围时另一边是“总长÷2−已知边”；一边靠墙时另一边是“总长−2×垂直边”；遇到留门洞，先把门宽加回可用总长，再表示边长。 精讲例题 例题6．（2025秋•河西区期末）·【基础】要用40m长的篱笆围成一个面积为96m2的长方形菜园的四周，求这个长方形的长和宽．如图，若设一边的长为x，则可以列出的方程为（　　） A．x（40﹣x）＝96 B． C．x（96﹣x）＝40 D．2x+（40﹣2x）＝96 【分析】依据题意，由一边的长为x，则另一边长为x，从而可得x（x）＝96，即可得解． 【解答】解：由题意，∵一边的长为x， ∴另一边长为x． ∴x（x）＝96． 故选：B． 教学提示：40米篱笆围四周。先由周长得邻边之和20米，再写成 x(20−x)=96，纠正常见的 x(40−x)=96。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 周长40要先折半才是两边之和 · 邻边是20-x，不是40-x · 面积乘式两边都要带单位 即时巩固 即时巩固21．（2026•涵江区校级模拟）·【基础】为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　） A．x（15﹣x）＝50 B．x（15+x）＝50 C． D． 【分析】根据篱笆的总长及矩形的一边长，可得出矩形的另一边长为（6﹣x）米，结合矩形菜地的面积为8平方米，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵篱笆的总长为15米，且矩形的一边长为x米， ∴矩形的另一边长为（15﹣x）米． 根据题意得：x（15﹣x）＝50． 故选：A． 教学提示：直角围墙一角。两面靠墙时篱笆只用在两条边，另一边直接是 15−x，提醒不要机械套“除以2”。 即时巩固22．（2025秋•长宁区校级期末）·【基础】学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　 　 米． 【分析】依据题意，设这个长方形游泳池的宽为x米，则长为（x+10）米，根据长方形游泳池的面积为375平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这个长方形游泳池的宽为x米，则长为（x+10）米， 依题意得：x（x+10）＝375， 整理得：x2+10x﹣375＝0， ∴x1＝15，x2＝﹣25（不合题意，舍去）， ∴x+10＝25． ∴这个长方形游泳池的长为25米，宽为15米． ∴该长方形游泳池的周长等于2（25+15）＝80（米）． 故答案为：80． 教学提示：游泳池长比宽多10米。先求宽、再求长，最后才求周长；反复提醒问的是周长，别解出宽就停笔。 即时巩固23．（2025秋•合川区期中）·【提升】为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为620m2的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的进出门（如图），设垂直于墙的长方形边长为x（m），则根据题意，可列方程　 　 ． 【分析】依据题意，结合靠墙的长方形边长为x（m），根据矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：设靠墙的长方形边长为x（m）， 根据题意得x（82﹣2x）＝620， 故答案为：x（82﹣2x）＝620． 教学提示：劳动基地靠墙且留两个1米门。先把门宽加回总长得82，再列 x(82−2x)=620，突出“门洞要补回”。 易错点7：边框道路平移后长宽减错 学习目标 · 会用平移法求剩余地块边长 · 能按道路条数判断减几个宽 · 能把镶边宽度加到外围长宽 纠错指引 内修道路用平移把剩余地块拼成长方形：某一方向有 k 条路，该方向就减 k 个宽；镶边框方向相反，外围长宽各加 2 个宽。先判断是减还是加，再数条数。 精讲例题 例题7．（2025秋•岳池县校级期末）·【提升】如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 【分析】设道路的宽度为xm，则六块菜地可合成长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为468m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：由题意，设道路的宽度为xm，则矩形田地的长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m， ∴（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：C． 教学提示：三条道路题用彩色笔把六块地平移拼成一个长方形，学生能直观看到长减2x、宽减x，不必死记。 易错倾向标签：易想错｜易看错 【本题核心易错点】 · 横竖各数几条，别凭感觉减 · 拼成长方形后长为30-2x · 条数决定要减去几个x 即时巩固 即时巩固24．（2025秋•滨海新区期末）·【基础】在一幅长70cm，宽40cm的“天津之眼”图片的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是4000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　） A．x2+55x﹣300＝0 B．x2+110x﹣1200＝0 C．x2﹣110x+1200＝0 D．x2﹣55x+300＝0 【分析】根据题意可知：矩形挂图的长为（70+2x）cm，宽为（40+2x）cm，然后运用面积公式列方程即可． 【解答】解：挂图长为（70+2x）cm，宽为（40+2x）cm， 所以根据矩形的面积公式可得：（70+2x）（40+2x）＝4000， ∴x2+55x﹣300＝0， 故选：A． 教学提示：镶金色纸边与修路相反：挂图长宽各加2x。让学生把“向内挖”与“向外扩”两类题摆在一起比较。 即时巩固25．（2025秋•安徽校级月考）·【提升】如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，如果AB＝10，阴影部分的面积是48，另外两个小矩形全等，设BC＝x，则下列方程正确的是（　　） A．x（2x﹣10）＝48 B．x（2x+10）＝48 C．10x﹣x（10﹣x）＝48 D．10x+2x（10﹣x）＝48 【分析】根据两个小矩形全等，得到对应线段的长，进而算出阴影部分的长和宽，即可得到答案． 【解答】解：延长HG交BC于点F，如图所示， ∴BE＝GE＝BF， 设AE＝HG＝BC＝x， 又∵AB＝10， ∴GE＝BF＝BE＝AB﹣AE＝10﹣x， ∴S阴影＝CF＝BC﹣BF＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10， ∴HG•CF＝x（2x﹣10）＝48． 故选：A． 教学提示：拼接矩形的阴影面积。先延长辅助线找出 CF=2x−10，把几何推导写完整再列方程，避免直接凑答案。 即时巩固26．（2026•云岩区模拟）·【基础】2026年4月，在成都举办的中国教育装备展示会上，正式发布了《中小学信息科技实验室建设与装备规范》．如图，某中学计划修建信息科技实验室，准备扩建一块长12m，宽8m的矩形场地，若该场地的长和宽都增加xm，则扩建后的矩形场地面积为165m2．根据题意，可列方程为　 　 ． 【分析】依据题意，由一块长12m，宽8m的矩形场地，若该场地的长和宽都增加xm，则扩建后的矩形场地面积为165m2，从而（x+12）（x+8）＝165，即可得解． 【解答】解：由题意得，（x+12）（x+8）＝165． 故答案为：（x+12）（x+8）＝165． 教学提示：场地长宽都增加x，属“向外扩”型：(x+12)(x+8)=165。可与第17题对比，强化加2x与加x的差别。 易错点8：折叠盒底边漏减两倍边长 学习目标 · 能表示截去后底面的长与宽 · 会用底面积列一元二次方程 · 能结合图形判断边长范围 纠错指引 四角各截去边长 x 的正方形，折起后底面长和宽都要减 2x；列完式回头检验，看 x 是否为正、是否小于较短边的一半。 精讲例题 例题8．（2025春•平谷区期末）·【基础】有一块长25cm、宽15cm的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为231cm2的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为xcm，则可列方程为 　 　 ． 【分析】依据题意，先设小正方形边长为xcm，则长方体盒子的底面的长是（25﹣2x）cm，宽是（15﹣2x）cm，根据长方体盒子的底面积是231cm2，进而可以列方程得解． 【解答】解：由题意，设截去的小正方形边长是xcm， ∴（25﹣2x）（15﹣2x）＝231． 故答案为：（25﹣2x）（15﹣2x）＝231． 教学提示：25×15铁皮截四角。用纸片实际折一折，亲眼看到底面长宽各减2x，再列 (25−2x)(15−2x)=231。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 底面长宽各减去2x不是x · 小正方形边长要小于短边一半 · 折起的高就是截去的边长 即时巩固 即时巩固27．（2025春•蜀山区校级期中）·【提升】将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示，则该包装盒图中x的值为 　 　 cm． 【分析】依据题意，先表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积，然后解方程计算可以得解． 【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：cm， ∴15x（10﹣x）＝360． ∴x2﹣10x+24＝0． ∴x＝4或x＝6． 故答案为：4或6． 教学提示：包装盒容积360。由体积得 15x(10−x)=360，解出4或6两解；提醒本题两解都合理，不能随意丢一个。 即时巩固28．（2024秋•太原期中）·【提升】如图．把长为40cm、宽为30cm的长方形铁片的四角各前去一个大小相同的正方形．然后折叠成一个无盖的长方体盒子．若铁盒的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，则盒子的高为　 　 cm． 【分析】设盒子的高为xcm，则铁盒的底长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，结合题意可列出关于x的等式，解出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【解答】解：由题意，设盒子的高为xcm， ∴铁盒的底长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， ∴铁盒的底面积为（40﹣2x）（30﹣2x）． ∴， ∴x1＝5，x2＝30（舍）， ∴盒子的高为5cm． 故答案为：5． 教学提示：铁盒底面积为原铁片的一半。要求先算目标底面积600，再列 (40−2x)(30−2x)=600，最后检验根的取舍。 易错点9：单件利润与销量反向联动 学习目标 · 能写出降价后的单件利润 · 能写出对应的销售数量 · 会用总利润等于单利乘销量 纠错指引 设降价 x 元后，单件利润写成“原利−x”，销量写成“原销量+每降1元多卖的件数×x”，两者相乘等于目标利润；涨价则反号。列完把 x 代回验单价、销量是否为正。 精讲例题 例题9．（2025秋•天河区期末）·【提升】某商场销售某种纪念品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，纪念品的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批纪念品每天盈利1250元，那么纪念品的单价降了多少元？设纪念品的单价降了x元，则x满足的方程为（　　） A．（20+x）（40﹣2x）＝1250 B．20×（40﹣x）＝1250 C．（20+2x）（40﹣x）＝1250 D．40×（20+2x）＝1250 【分析】依据题意，由总利润＝单件利润×销售量，列出一元二次方程． 【解答】解：由题意，∵总利润＝单件利润×销售量，且纪念品的单价降了x元， ∴（40﹣x）（20+2x）＝1250． 故选：C． 教学提示：纪念品降价促销。列表格呈现“降价x元→利润40−x、销量20+2x”，用“利润=单件利润×销量”一句贯穿。 易错倾向标签：易想错｜易算错 【本题核心易错点】 · 降价使单件利润减，销量增 · 多卖件数等于降价数乘比例 · 总利润是两者相乘不是相加 即时巩固 即时巩固29．（2026•乌鲁木齐模拟）·【提升】经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件．该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（　　） A．（30﹣x）（200+10x）＝6250 B．（30+x）（200+10x）＝6250 C．（30+x）（200﹣10x）＝6250 D．（30﹣x）（200﹣10x）＝6250 【分析】依据题意，由每件小商品降价x元，则每天销量为：（200+10x）件，从而平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250，进而得解． 【解答】解：由题意，∵每件小商品降价x元， ∴每天销量为：（200+10x）件， ∴平均每天销售利润＝（30﹣x）（200+10x）＝6250，即方程为（30﹣x）（200+10x）＝6250． 故选：A． 教学提示：每降1元多卖10件。让学生说明两个括号随x怎样变化，从方向上排除 (30+x)(200−10x) 这类错列法。 即时巩固30．（2025秋•宝应县期末）·【提升】某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个． （1）求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率； （2）若此种头盔的进价为300元/个，测算在市场中，当售价为400元/个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：150（1+x）2＝216， ∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个， ∴（y﹣300）（601）＝6032． ∴y1＝416，y2＝404， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝404． 答：该品牌头盔的实际售价应定为404元/个． 教学提示：头盔涨价减少销量。“尽可能让顾客实惠”决定在两解中取较低售价，讲清取舍依据是题意而非计算。 易错点10：求根后不检验实际意义 学习目标 · 会解方程并写出两个根 · 能依据实际条件取舍根 · 会用判别式判断能否达到 纠错指引 解出的根要逐条过三关：边长为正且不超过材料尺寸、人数为正整数、变化率在合理范围；问“能不能达到”时改算判别式，Δ<0 即不可能。 精讲例题 例题10．（2026•拱墅区校级开学）·【基础】某农场要建一个矩形饲养场ABCD，两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为25米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在EH、FG、BC上各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长45米． （1）若矩形饲养场ABCD的一边CD长为8米，则BC＝　 　 米； （2）若矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，求边CD的长； （3）矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由． 【分析】（1）利用BC的长＝建成后木栏总长+3﹣3×CD的长，可用含x的代数式表示出BC的长； （2）根据矩形饲养场ABCD的面积为189平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合AD位置的墙最大可用长度为25米，即可确定结论； （3）假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米，根据矩形饲养场ABCD的面积为240平方米，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣64＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 【解答】解：（1）根据题意得：BC＝45+3﹣3×8＝48﹣24＝24（米）， 故答案为：24； （2）由题意，设CD＝xm， ∴x（48﹣3x）＝189， ∴x2﹣16x+63＝0， ∴x1＝7，x2＝9， ∴当x＝7时，48﹣3x＝48﹣3×7＝27＞25，不符合题意，舍去； 当x＝9时，48﹣3x＝48﹣3×9＝21＜25，符合题意． 答：边CD的长为9米； （3）矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米，理由如下： 假设矩形饲养场ABCD的面积能达到240平方米， 根据题意得：x（48﹣3x）＝240， 整理得：x2﹣16x+80＝0， ∵Δ＝（﹣16）2﹣4×1×80＝﹣64＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即矩形饲养场ABCD的面积不能达到240平方米． 教学提示：饲养场两面靠墙。第(2)问两解要对照 AD 墙长25米舍去一个；第(3)问改算判别式，讲清“求不出”与“不合理”两种情形。 易错倾向标签：易漏解｜易算错 【本题核心易错点】 · 墙有可用长度，超出要舍 · 问能否达到时改用判别式 · 边长、人数必须为正整数 即时巩固 即时巩固31．（2025秋•平陆县期末）·【提升】学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【分析】（1）根据题意列出AD＝45﹣x﹣2（x﹣1），计算整式的加减即可得； （2）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝180，解方程求出x的值，再根据AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米即可得； （3）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝240，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 教学提示：实验田面积能否240。先列方程再算判别式，用 Δ<0 直接回答“不能”，体会判别式的实际意义。 易错点11：古算与连续整数建模困难 学习目标 · 能设未知数表示相邻整数 · 会用勾股定理列方程 · 能处理双解的实际情形 纠错指引 连续偶数、整数相差定值，就设最小的为 x，其余依次加公差；古算题先译成现代语言并画出示意，再找直角三角形用勾股定理；出现两解要分别代入检验。 精讲例题 例题11．（新教材同步题）·【提升】列方程解应用问题：《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中有这样一个问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何．大意为：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺，竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少． 【分析】依据题意，画出图形，然后设BC＝x尺，则AC＝（x+4）尺，AB＝（x+4﹣2）尺，在直角△ABC中，利用勾股定理列出方程并解答即可． 【解答】解：由题意，如图， 设BC＝x尺（x＞0），则AC＝（x+4）尺，AB＝（x+4﹣2）尺，则： x2+（x+4﹣2）2＝（x+4）2， ∴x＝6． ∴x+4﹣2＝8． ∴对角线AC＝10尺． 答：门高为8尺，门宽为6尺，对角线的长为10尺． 教学提示：九章算术门宽门高。先带学生译成现代语言并画图，标出“横放长4”“竖放长2”“斜放恰好”，再用勾股定理。 易错倾向标签：易想错｜易漏解 【本题核心易错点】 · 连续偶数依次相差2要加8 · 古算先译现代语再画示意图 · 斜放与对角线相等是勾股关系 即时巩固 即时巩固32．（2026春•民权县校级期中）·【基础】我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2 【分析】首先设芦苇长x尺，则水深为（x﹣1）尺，根据勾股定理可得方程（x﹣1）2+52＝x2． 【解答】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，设芦苇长x尺， ∴（x﹣1）2+52＝x2， 故选：B． 教学提示：引葭赴岸。强调池中央到池边是5尺，勾股式 (x−1)²+5²=x²；可与最后一题同模型对照，水到渠成。 即时巩固33．（新教材同步题）·【提升】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步．问长阔共几步．大意是：长方形面积864平方步，宽比长少12步，问长、宽共几步．（注：步为当时的长度单位） 【分析】依据题意，设长方形田地的宽为x步，那么长就应该是（x+12）步，根据面积为864，即可得出方程，求解即可． 【解答】解：由题意，设长方形的宽为x步．∴x（x+12）＝864， ∴x1＝﹣36（舍去），x2＝24， ∴x+12＝36， ∴长为36步，宽为24步． ∵36+24＝60， ∴长、宽共60步． 教学提示：杨辉直田积。古文中“阔不及长十二步”即宽比长少12，先翻译再设宽为x，最后记得回答长宽之和。 过关测试（综合检测） 1．（2026春•兴隆台区期末）·【基础】每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+1）＝240 B．2x（x+1）＝240 C．x（x﹣1）＝240 D．x（x﹣1）＝240×2 【分析】依据题意，根据有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他（x﹣1）名同学评审，从而可以列出方程得解． 【解答】解：由题意，根据有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他（x﹣1）名同学评审， ∴x（x﹣1）＝240． 故选：C． 教学提示：评审互相提交240次。提醒“每位同学把方案提交给别人”，方向已定，每个有序配对只出现一次。 2．（2025秋•泌阳县校级月考）·【提升】有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【分析】截去的小正方形的边长是xcm，根据题目条件列出一元二次方程，求出这个方程的解就求得了答案． 【解答】解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得 （28﹣2x）（20﹣2x）＝180， 解得：x1＝5，x2＝19， ∵20﹣2x＞0， ∴x＜10． ∴x2＝19，不符合题意，应舍去． ∴x＝5． ∴截去的小正方形的边长是5cm． 故选：C． 教学提示：选择题也要检验：解出5和19后，用“另一边要大于0”判19应舍。提醒学生别看见选项就选。 3．（2025春•荣成市期中）·【基础】2021年，某市准备加大对雾霾的治理力度，2021年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度计划共投入资金260万元．设这两个季度计划投入资金的平均增长率为x，则列方程是　 　 ． 【分析】根据题意可得等量关系为：第一季度的投入资金×（1+增长率）＝第二季度的投入资金，第一季度的投入资金×（1+增长率）2＝第三季度的投入资金，把相关数值代入即可列出方程． 【解答】解：由题意，设平均增长率为x， ∴100（1+x）+100（1+x）2＝260． 故答案为：100（1+x）+100（1+x）2＝260． 教学提示：一季度100万，二、三季度合计260万。用 100(1+x)+100(1+x)²=260，点明这是求和型，不能只用末项列式。 4．（2025秋•浦东新区校级月考）·【基础】会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有x人参加会议，则可列方程　 　 ． 【分析】依据题意，每个人与其他人都握手一次，但每对握手只算一次，进而可列方程66，故可得解． 【解答】解：由题意，设参加会议有x人，每个人都与其他（x﹣1）人握手， ∴． 故答案为：． 教学提示：握手66次。可请几名学生现场两两握手计数，用真实体验强化“每对只算一次要除以2”。 5．（2024秋•扎鲁特旗期末）·【基础】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有 　 　 人患有流感． 【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，进而求出第三轮过后，共有多少人感染． 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人， 1+x+x（x+1）＝64 x＝7或x＝﹣9（舍去）． 64+64×7＝512（人）． 经过第三轮后，共有512人患有流感． 故答案为：512． 教学提示：第三轮人数：先由两轮后64人求出每轮传染7人，再算 64+64×7。强调第三轮是在64人基础上继续，不是从1重新算。 6．（2025•韶关模拟）·【提升】已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 　 　 ． 【分析】设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y（a+b），xy，消去y，组成一元二次方程，根据根的判别式可得出结论． 【解答】解：设另外一个矩形的长为x，宽为y，根据题意可知，x+y（a+b），xy， ∴y（a+b）﹣x， ∴x[（a+b）﹣x]， 整理得，3x2﹣（a+b）x+ab＝0， ∵存在另一个矩形，则该一元二次方程有解， ∴Δ＝（a+b）2﹣12ab≥0，即（a+b）2≥12ab． 故答案为：（a+b）2≥12ab． 教学提示：矩形周长与面积三分之一。把 xy 与 x+y 的关系化为一元二次方程，再用 Δ≥0 推出 (a+b)²≥12ab。 7．（2025秋•大东区期中）·【提升】景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，则x的值为　 　 米． 【分析】根据面积公式可得园地修建花道后剩余的面积为（8﹣x）（5﹣x）平方米，根据花道面积等于整个园地面积减去剩余的面积即可列出方程，求解即可． 【解答】解：根据题意，得8×5﹣2（8﹣x）（5﹣x）＝12， ∴x1＝1，x2＝12， ∵园地的宽为5米，而x2＝12＞5， ∴x2＝12，不合题意，舍去． 答：x的值为1． 故答案为：1． 教学提示：花道面积12平方米。让学生先算园地总面积40，再用“总面积−剩余面积”列式，并说明另一根为何舍去。 8．（2024秋•祁阳市期末）·【提升】据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为x，则可列方程　 　 ． 【分析】依据题意，设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为x，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．据此列出一元二次方程即可． 【解答】解：设月平均降低率为x， ∴72（1﹣x）2＝64． 故答案为：72（1﹣x）2＝64． 教学提示：燃油车销量72万降到64万。先让学生判断是增还是减，确认用 1−x 后用 72(1−x)²=64，顺便说明下降率不超过1。 9．（2024秋•中山市期中）·【提升】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏长30m，若养鸡场面积为120m2，设AB＝xm，则列方程得 　 　 ． 【分析】依据题意，由AB的长为xm，平行于墙的边BC长为（30﹣2x）m，根据面积为120m2，进而可以列方程得解． 【解答】解：由题意，∵AB的长为xm， ∴平行于墙的边BC长为（30﹣2x）m． ∴x（30﹣2x）＝120． ∴2x2﹣30x+120＝0． 故答案为：2x2﹣30x+120＝0． 教学提示：养鸡场靠墙，木栏30米。让学生先标明哪边靠墙，再写平行墙的边为 30−2x，最后落到面积方程。 10．（2026•武威二模）·【基础】某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高69%，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高21%，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 【分析】依据题意，设原价为a，两次降价的百分比为x，则“双十一”之前价格为（1+69%）a，“双十一”期间售价为（1+21%）a，据此建立方程求解即可． 【解答】解：由题意，设原价为a，两次降价的百分比为x， ∴（1+69%）a•（1﹣x）2＝（1+21%）a，则（1+69%）（1﹣x）2＝（1+21%）， ∴或（不合题意，舍去）， 答：两次降价的百分比约为15.4%． 教学提示：先提价69%再两次降价仍高21%。先把原价设为 a，涨价后 1.69a、末尾 1.21a，基准理清后再求共同的降价率。 11．（2026春•西湖区校级期末）·【基础】某县为发展教育事业，加强对教育经费投入，2012年投入3000万元，2014年投入3630万元． （1）求该县教育经费的年平均增长率； （2）若增长率保持不变，预计2015年该县教育经费是多少． 【分析】（1）依据题意，设平均增长率为x，则3000（1+x）2＝36303000（1+x）2＝3630，进而计算可以得解； （2）依据题意得，3630（1+10%）＝3993（万元），从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设平均增长率为x， ∴3000（1+x）2＝36303000（1+x）2＝3630， ∴（1+x）2＝1.21， ∴x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%． 答：该县教育经费的年平均增长率为10%； （2）3630（1+10%）＝3993（万元）． 答：预计2015年教育经费投入为3993万元． 教学提示：教育经费2012到2014。第(2)问要在2014基础上再乘(1+10%)，讲清“增长率保持不变”如何向后推算。 12．（2025秋•赣州期末）·【提升】小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， （1）若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ （2）小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ （3）为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【分析】（1）依据题意，列出每天销售T恤衫的利润计算即可得解； （2）依据题意，设此时每件T恤衫降价x元，从而每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，进而计算后再由优惠最大，即可判断得解； （3）依据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200，求出x的值，再由每件T恤衫的利润率不低于55%，可得100﹣x﹣60≥60×55%，得出x的范围后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，每天销售T恤衫的利润为：（100﹣8﹣60）（20+2×8）＝1152（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）由题意，设此时每件T恤衫降价x元， ∴每天销售T恤衫的利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050． ∴x＝5或x＝25． 又∵优惠最大， ∴x＝25． ∴此时售价为100﹣25＝75（元）． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为75元． （3）小明每天不能获得1200元的利润，理由如下： 根据题意得，当降价x元时，利润＝（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1200， ∴x2﹣30x+200＝0． ∴x1＝10，x2＝20． ∵每件T恤衫的利润率不低于55%， ∴100﹣x﹣60≥60×55%． ∴x≤7． ∴x无解． ∴小明每天不能获得1200元的利润． 教学提示：T恤衫三问递进。第(3)问“利润率不低于55%”是取舍依据，最后判断能否达到1200元，可顺势引出判别式。 13．（新教材同步题）·【提升】列方程解应用问题：在有理数中，能被2整除的负数也叫作偶数．有5个连续偶数，如果第1个与第5个偶数的乘积是308，求这5个偶数． 【分析】依据题意，可设第1个偶数是x，则第5个偶数是x+8，根据第1个与第5个偶数的乘积是308，列出关于x的方程，解方程即可求解． 【解答】解：设第1个偶数是x，则第5个偶数是x+8，依题意有 x（x+8）＝308， 解得x1＝﹣22，x2＝14， 当第1个偶数是﹣22时，其余偶数是﹣20，﹣18，﹣16，﹣14； 当第1个偶数是14时，其余偶数是16，18，20，22． 故这5个偶数是﹣22，﹣20，﹣18，﹣16，﹣14或14，16，18，20，22． 教学提示：连续偶数乘积308。提醒“第5个比第1个大8”，并把负数列与正数列两组答案都写出来，体会双解都要检验。 苏科版（2024） · 用一元二次方程解决问题 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $