1.4用一元二次方程解决问题 阶段测试卷 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 以2025年电影票房、校园花圃等现实情境为载体，通过几何动点、利润计算等问题设计，考查一元二次方程应用，体现模型意识与几何直观，适配周测阶段性能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|增长率（电影票房）、几何面积（矩形铁皮）|结合社会热点，基础巩固| |填空题|6/24|药液倒出问题、折叠几何计算|梯度设计，能力提升| |解答题|4/52|校园花圃通道（方程与面积综合）、矩形动点（分类讨论）|综合应用，创新探究|

第1章一元二次方程 阶段测试卷(1.4) 考试时间：60分钟 满分：100分 成绩：________ 一、选择题(每小题4分，共24分) 1.有一块长800mm、宽60mm的矩形铁皮，在它的4个角上分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500的无盖铁盒.若设小正方形的边长是mm，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2.2025年春节上映的《哪吒之魔童闹海》是一部剧情、喜剧、奇幻、动画电影，讲述了天劫之后，哪吒、敖丙的灵魂保住了，但很快会魂飞魄散，太乙真人打算用七色宝莲给二人重塑肉身，但在过程中却遇到重重困难的故事.截至2025年7月1日，该电影票房超过154亿元.若该电影在某地第一天的票房为240万元，第三天的票房为345.6万元，且平均每天的票房增长率相同，则该地这部电影平均每天的票房增长率为（ ） A.10% B.15% C.20% D.25% 3.某超市销售一批玩具，平均每天可售出120件，每件盈利4元.市场调查发现售价每涨1元/件，销售量减少10件；售价每降1元/件，销售量增加10件.爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，涨元与降元所获得的利润相同，则与之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 4.某校“研学”小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.若主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 5.已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度(m/s)与滑行时间(s)之间满足一次函数关系，滑行距离，其中是初始速度，是时的速度.若该飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时该飞机的滑行速度是（ ） A. B. C. D.或 6.如图，，垂足为是射线上的动点(点不与点重合)，是线段上的动点，是线段的中点，连接并延长交于点，连接.设，当是以为腰的等腰三角形时，的值为（ ） A. B. C.或 D.或 二、填空题(每小题4分，共24分) 7.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植多少株?若设每盆多植株，则列出的方程是________. 8.已知一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液.若此时容器内剩余纯药液是28L，则每次倒出的药液是________L. 9.已知一个两位数等于它十位和个位上两个数字积的3倍，且它十位上的数字比个位上的数字小2，则这个两位数是________. 10.如图，某工厂师傅要在一块面积为的矩形钢板上裁剪下两块相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为________. 11.某公司以64000元的成本收购了某种农产品80吨，目前可以1200元/吨的价格直接售出.如果储藏起来，那么每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元.要想获利122000元且尽早卖出，则需要将这批农产品储藏________个星期. 12.如图，在直角三角形纸片中，，，，点在边上，沿将折叠，得到，与边交于点.如果为直角三角形，那么的长是________. 三、解答题(共52分) 13.(12分)小林进行如下操作：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并将每一段各围成一个正方形. (1) 要使这两个正方形的面积之和等于，小林该怎么剪？ (2) 小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于.”他的说法对吗？请说明理由. 14.(12分)某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知产品的销售价比产品的销售价高100元/件，1件产品与1件产品的售价和为500元. (1) A，B两种产品的销售价分别为多少元/件？ (2) 随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间.预计A产品在销售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；B产品产量将在去年的基础上减少，但B产品的销售价将提高，则今年A，B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加.求的值. 15.(14分)如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为100m、宽为60m的矩形空地上修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为. (1) 用含的代数式表示花圃的面积； (2) 如果通道所占面积是整个矩形空地面积的，求出此时通道的宽； (3) 已知某园林公司修建通道的价格是50元，修建花圃的造价(元)与花圃的修建面积之间的函数关系如图②所示，并且通道宽的值能使关于的方程有两个相等的实数根，并要求修建的通道的宽度不少于5m且不超过12m.如果学校决定由该公司承建此项目，那么修建的通道和花圃的造价和为多少元? 16.(14分)如图，在矩形中，，点从点出发沿向点移动(不与，两点重合)，同时，点从点出发沿向点移动(不与，两点重合)，当一点到达终点时，另一点也随之停止移动. (1) 若两点均以的速度移动，则经过多少秒时，四边形BPDQ为菱形? (2) 若点以的速度移动，点以的速度移动，则经过多少秒时，为直角三角形? 答案 1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 解析：由题意，得.因为，所以，解得.当时，30；当时，，此情况不存在，舍去.则此时该飞机的滑行速度是. 6.C 解析：因为，所以，即.因为为的中点，所以.又，所以(ASA).所以.因为，所以，即.由题意，得.过点作于点，易得四边形是矩形，所以.所以.因为是以为腰的等腰三角形，所以有或两种情况.分类讨论如下：①当时，，即，解得(负值已舍去)；②当时，，即，解得或(舍去).综上，的值为或. 7. 8. 21 9. 24 10. 2 解析：设裁剪下的小正方形的边长为，则裁剪下的大正方形的边长为.由题意，得，解得(不符合题意，舍去).则裁剪后剩下的阴影部分的面积为. 11. 15 解析：设需要将这批农产品储藏个星期.由题意，得，解得.则需要将这批农产品储藏15个星期. 12. 17或 解析：在中，，，由勾股定理，得.由题意，得.因为为直角三角形，所以有和两种情况.分类讨论如下：①当时，过点作，交的延长线于点，易得四边形为矩形，所以.设，则，即.在中，由勾股定理，得，所以，解得(舍去).则；②当时，点与点重合，则.设，则.在中，由勾股定理，得，所以，解得.则.综上，的长为17或. 13.设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为. (1) 由题意，得，解得7.所以.则小林应把这根铁丝剪成长分别为和的两段. (2) 小峰的说法是对的.理由如下：假设这两个正方形的面积之和为.同(1) ，得48.整理，得.因为，所以此方程没有实数根，假设不成立.所以小峰的说法是对的. 14.(1) 设B产品的销售价为元/件，则A产品的销售价为元/件.由题意，得500，解得.则.所以产品的销售价为300元/件，B产品的销售价为200元/件.(2) 设去年每个车间生产产品的数量为件.由题意，得.设，则原方程可化为，解得(舍去).所以，即. 15.(1) 由题意，得花圆的长为，宽为(60－，则花圃的面积为. (2) 由题意，得，解得(不符合题意，舍去).则此时通道的宽为. (3) 由题意，得，解得(不符合题意，舍去).则通道的宽度为.所以花圃的修建面积为，即通道的修建面积为.又该园林公司修建通道的价格是50元，所以修建通道的费用为(元)、由题图，得与之间成正比例关系，设关于的函数表达式为.把代入，得55625，解得，所以关于的函数表达式为.所以修建花圃的费用为(元).所以修建通道和花圆的造价和为(元). 16.(1) 因为四边形是矩形，，所以.因为两点均以的速度移动，所以.所以，即.所以当时，四边形是菱形.设运动的时间为，则.所以.又，所以.在Rt中，由勾股定理，得，所以，解得.则经过时，四边形为菱形. (2) 设经过时，为直角三角形.因为点不与点重合，所以.所以为直角三角形分或两种情况.分类讨论如下：①当时，过点作于点，易得四边形为矩形.由题意，得，则.由勾股定理，得，所以，解得；②当时，易得，所以，解得.综上，经过或或时，为直角三角形. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $