周练02 错题巩固与压轴训练 1.3～1.4 一元二次方程的根与系数的关系 用一元二次方程解决问题 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心应用，以分层题型构建"概念理解-实际建模-综合拓展"的三阶训练体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4、填空7-9|韦达定理直接应用、判别式分析|从根与系数关系到方程解的性质推导| |实际建模|选择3-4、填空10-12、解答13-17|增长率公式、面积问题转化、利率折现模型|实际问题抽象为方程的建模过程| |综合拓展|选择5-6、解答18-20|参数分类讨论、几何动态问题代数化|代数方法解决几何综合问题的逻辑链|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第1章 一元二次方程（1.3～1.4） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•宁国市期末）·【A】已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝﹣1 B．mn＝1 C．mn＝﹣5 D．m+n＝5 2．（2026春•西湖区期末）·【A】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．13 B．﹣13 C．3 D．﹣3 3．（2025秋•普陀区期末）·【A】小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x，根据题意，为求解x，以下列出的方程中正确的是（　　） A．10000（1+x）2＝5110+5250 B．10000（1+x）+10000（1+2x）＝5110+5250 C． D． 4．（2026春•上城区校级期中）·【A】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 5．（2026春•瑶海区校级期中）·【B】下列说法：①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0也有两个不相等的实根；③若方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是m+1和﹣m﹣1；④已知两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025秋•岳池县校级期末）·【B】如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•同步）·【A】（1）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为　 　 ． （2）已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，求的值为　 　 ． 8．（2026•建邺区一模）·【A】设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1x2+x1+x2+1＝0，则m的值是　 　 ． 9．（2026春•上城区期末）·【A】已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n，且m2+n2＝6，则b＝　 　 ． 10．（2025秋•长宁区校级期末）·【A】学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　 　 米． 11．（2026春•安徽校级期末）·【A】近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　 　 ． 12．（2026春•东营区期末）·【A】黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店1月“东方白鹳”挂件销量为1万件，3月销量达1.21万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•武威二模）·【A】某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高69%，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高21%，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 14．（2025秋•武汉期末）·【B】关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 15．（2026春•亳州期末）·【B】已知a，b是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣2时． （i）求a2+b2的值； （ii）求﹣3a2﹣a+b的值． 16．（2026春•海淀区校级期末）·【B】若关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，求m的值． 17．（2026春•同步）·【B】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步．问长阔共几步．大意是：长方形面积864平方步，宽比长少12步，问长、宽共几步．（注：步为当时的长度单位） 18．（2025秋•平陆县期末）·【B】学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　 　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 19．（2026•江北区校级二模）·【C】如图是同一平面内四座海岛的示意图，海岛B在海岛A的西北方向8海里处，海岛D在海岛B的正东方向，且在海岛A的北偏东60°方向．海岛C在海岛B的东北方向，且在海岛D的北偏西30°方向．（参考数据：，， （1）求海岛B和海岛D之间的距离（结果保留根号）； （2）某一时刻，渔船甲从C岛出发，沿某方向匀速直线行驶，同时，渔船乙从D岛出发，向正西方向匀速直线行驶．渔船甲的速度与渔船乙的速度之比为3：2，一段时间后两船相遇．相遇时渔船乙行驶了多少海里（结果保留小数点后一位）？ 20．（2025秋•永顺县期末）·【C】如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D A D C D C 一．选择题（共6小题） 1．（2026春•宁国市期末）·【A】已知m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝﹣1 B．mn＝1 C．mn＝﹣5 D．m+n＝5 【答案】D 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根是m，n， ∴，． 故选：D． 2．（2026春•西湖区期末）·【A】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣8＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．13 B．﹣13 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：由根与系数的关系得，，x1x2＝﹣8， ∴原式＝5﹣（﹣8）＝13． 故选：A． 3．（2025秋•普陀区期末）·【A】小明的爸爸买了某银行的低风险理财产品（该理财产品分两次取回），本金为10000元，1年后返还5110元，2年后返还5250元，设此理财产品的收益率为x，根据题意，为求解x，以下列出的方程中正确的是（　　） A．10000（1+x）2＝5110+5250 B．10000（1+x）+10000（1+2x）＝5110+5250 C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，∵此理财产品的收益率为x， ∴将两次返还金额折现到当前，现值之和应等于本金 10000元， ∴10000． 故选：D． 4．（2026春•上城区校级期中）·【A】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患流感，若每轮传染中，平均一人传染x人，根据题意，可列方程是（　　） A．1+x+x2＝64 B．x（x+1）＝64 C．（1+x）2＝64 D．2x（x+1）＝64 【答案】C 【解答】解：由题意，∵经过两轮传染后，共64人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人， ∴（x+1）+x（x+1）＝64， ∴（1+x）2＝64． 故选：C． 5．（2026春•瑶海区校级期中）·【B】下列说法：①对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0也有两个不相等的实根；③若方程ax2+2ax+c＝0（a≠0）的一个根为m，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0的两根分别是m+1和﹣m﹣1；④已知两实数m，n满足m2+3m﹣9＝0，9n2﹣3n﹣1＝0，且，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D ②先求ax2+c＝0的根的判别式，再判断方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的正负； ③令t＝x﹣1，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0可化为at2+2at+c＝0，与原方程ax2+2ax+c＝0形式相同，再根据根与系数的关系进行判断即可； ④将9n2﹣3n﹣1＝0两边同除以﹣n2，得． 【解答】解：①由题意，当x＝1时，a+b+c＝0， ∴x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，方程有实数根， ∴b2﹣4ac≥0，故①正确； ②若ax2+c＝0有两个不相等的实根，则其判别式Δ＝02﹣4ac＝﹣4ac＞0， 对于方程ax2+bx+c＝0，其判别式Δ＝b2﹣4ac， ∵b2≥0，﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实根，故②正确； ③令t＝x﹣1，则方程a（x﹣1）2+2a（x﹣1）+c＝0可化为at2+2at+c＝0，与原方程ax2+2ax+c＝0形式相同， ∵原方程一个根为m，设另一根为n，原方程整理得， ∴m+n＝﹣2，即n＝﹣2﹣m， ∴t的根为m和﹣2﹣m， ∵x＝t+1， ∴两根为m+1和（﹣2﹣m）+1＝﹣m﹣1，故③正确； ④∵n≠0，9n2﹣3n﹣1＝0， ∴， ∵m2+3m﹣9＝0，且， ∴m和是方程x2+3x﹣9＝0的两根， ∴，即，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 6．（2025秋•岳池县校级期末）·【B】如图，在一块长30m，宽20m的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为468m2．设道路的宽为xm，可列方程是（　　） A．（30﹣x）（20﹣2x）＝468 B．20×30﹣30x﹣2×20x+2x2＝468 C．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 D．20×30﹣30x﹣20x＝468 【答案】C 【解答】解：由题意，设道路的宽度为xm，则矩形田地的长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m， ∴（30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．（2026秋•同步）·【A】（1）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0，m≠n，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值为　6　 ． （2）已知实数p，q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，求的值为　2　 ． 【答案】（1）6；（2）2． （2）分别求出一元二次方程p，q的解，即可得出p＝2q，代入式子即可得出答案． 【解答】解：（1）由已知可知，m，n是方程x2﹣2ax+2＝0的两个根， 由韦达定理得：m+n＝2a，mn＝2， ∵（m﹣1）2+（n﹣1）2＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2＝4a2﹣4﹣2×2a+2＝4， ∴在a≥2时，a＝2（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，最小值为43＝6， 故答案为：6； （2）由p2＝3p+2，整理得p2﹣3p﹣2＝0，解得：p， 由2q2＝3q+1，整理得2q2﹣3q﹣1＝0，解得：q， ∴p＝2q， ∴2， 故答案为：2． 8．（2026•建邺区一模）·【A】设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1x2+x1+x2+1＝0，则m的值是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝m， ∵x1x2+x1+x2+1＝0， ∴m﹣4+1＝0． ∴m＝3． 故答案为：3． 9．（2026春•上城区期末）·【A】已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n，且m2+n2＝6，则b＝　±2　 ． 【答案】±2． 【解答】解：由题意，∵关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个不相等的实数根m和n， ∴m+n＝﹣b，mn＝1，且Δ＝b2﹣4＞0， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝b2﹣2＝6． ∴b＝±2，满足Δ＝b2﹣4＞0， 故答案为：±2． 10．（2025秋•长宁区校级期末）·【A】学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于　80　 米． 【答案】80． 【解答】解：设这个长方形游泳池的宽为x米，则长为（x+10）米， 依题意得：x（x+10）＝375， 整理得：x2+10x﹣375＝0， ∴x1＝15，x2＝﹣25（不合题意，舍去）， ∴x+10＝25． ∴这个长方形游泳池的长为25米，宽为15米． ∴该长方形游泳池的周长等于2（25+15）＝80（米）． 故答案为：80． 11．（2026春•安徽校级期末）·【A】近年来国家有关部门出台一系列新政策鼓励消费者购买新能源汽车，新能源汽车销量连续增长．某新能源汽车今年3月份销售量为1万台，5月份销售量为1.21万台，则该新能源汽车月平均增长率为　10%　 ． 【答案】10%． 【解答】解：设该新能源汽车月平均增长率为x， ∴（1+x）2＝1.21， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（负值不合题意，舍去）， ∴该新能源汽车月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 12．（2026春•东营区期末）·【A】黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店1月“东方白鹳”挂件销量为1万件，3月销量达1.21万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为　10%　 ． 【答案】10%． 【解答】解：由题意，设这款挂件销量的月平均增长率为x， ∴1×（1+x）2＝1.21， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为10%． 故答案为：10%． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•武威二模）·【A】某商品在网上销售，在“双十一”之前将价格提高69%，“双十一”期间为促进销售，将其两次降价，还比原价高21%，若两次降价的百分比相同，求两次降价的百分比是多少．（保留一位小数） 【答案】15.4%． 【解答】解：由题意，设原价为a，两次降价的百分比为x， ∴（1+69%）a•（1﹣x）2＝（1+21%）a，则（1+69%）（1﹣x）2＝（1+21%）， ∴或（不合题意，舍去）， 答：两次降价的百分比约为15.4%． 14．（2025秋•武汉期末）·【B】关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0有一个根是x＝4，求m的值及方程的另一个根． 【答案】m＝﹣2，方程的另一个根为﹣2． 【解答】解：由题意，设方程的另一个根为a， ∴4a＝﹣8，4+a＝﹣m， ∴a＝﹣2，m＝﹣2． 答：m＝﹣2，方程的另一个根为﹣2． 15．（2026春•亳州期末）·【B】已知a，b是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣2时． （i）求a2+b2的值； （ii）求﹣3a2﹣a+b的值． 【答案】（1）m≤2且m≠1； （2）①；②． （2）由一元二次方程根与系数关系及根的定义得到相关等式，对所求代数式恒等变形后整体代入计算即可． 【解答】解：（1） ∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，且m﹣1≠0， ∴m≤2且m≠1； （2）当m＝﹣2时，﹣3x2﹣2x+1＝0，整理得3x2+2x﹣1＝0， ∵a，b是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两个实数根， ∴， ①； ②． 16．（2026春•海淀区校级期末）·【B】若关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为正整数，求m的值． 【答案】（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0），∴Δ＝（m2+2）2﹣4×m×2m＝m4﹣4m2+4＝（m2﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）m＝1或2． （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值． 【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）， ∴Δ＝（m2+2）2﹣4×m×2m＝m4﹣4m2+4＝（m2﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：由题意，∵mx2﹣（m2+2）x+2m＝0（m≠0）， ∴（mx﹣2）（x﹣m）＝0． ∴x或x＝m． ∵方程的两个根均为正整数，即为正整数，m为正整数， ∴m＝1或2． 17．（2026春•同步）·【B】我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步．问长阔共几步．大意是：长方形面积864平方步，宽比长少12步，问长、宽共几步．（注：步为当时的长度单位） 【答案】长、宽共60步． 【解答】解：由题意，设长方形的宽为x步．∴x（x+12）＝864， ∴x1＝﹣36（舍去），x2＝24， ∴x+12＝36， ∴长为36步，宽为24步． ∵36+24＝60， ∴长、宽共60步． 18．（2025秋•平陆县期末）·【B】学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形ABCD），该实验田两面靠墙（AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田CD的长为x米． （1）AD的长为　（47﹣3x）　 米（用含x的式子表示）； （2）若实验田（矩形ABCD）的面积为180平方米，求x的值； （3）通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米． 【答案】（1）（47﹣3x）； （2）x＝9或x； （3）不能．理由如下： 假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． （2）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝180，解方程求出x的值，再根据AD位置的墙最大可用27米，AB位置的墙最大可用15米即可得； （3）根据题意建立方程x（47﹣3x）＝240，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【解答】解：（1）由题意得：AD＝45﹣x﹣2（x﹣1）＝47﹣3x（米）， 故答案为：（47﹣3x）． （2）由题意得：x（47﹣3x）＝180， ∴x＝9或x， 又∵， ∴． ∴x＝9或x． （3）假设该实验田的面积能为240平方米， ∴x（47﹣3x）＝240， ∴3x2﹣47x+240＝0， ∴Δ＝（﹣47）2﹣4×3×240＜0，方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为240平方米． 19．（2026•江北区校级二模）·【C】如图是同一平面内四座海岛的示意图，海岛B在海岛A的西北方向8海里处，海岛D在海岛B的正东方向，且在海岛A的北偏东60°方向．海岛C在海岛B的东北方向，且在海岛D的北偏西30°方向．（参考数据：，， （1）求海岛B和海岛D之间的距离（结果保留根号）； （2）某一时刻，渔船甲从C岛出发，沿某方向匀速直线行驶，同时，渔船乙从D岛出发，向正西方向匀速直线行驶．渔船甲的速度与渔船乙的速度之比为3：2，一段时间后两船相遇．相遇时渔船乙行驶了多少海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）海里； （2）6.6海里． （2）如图所示，过点C作CF⊥BD于点F，由题意得：∠CDF＝90°﹣30°＝60°，∠CBF＝90°﹣45°＝45°，则∠BCF＝90°﹣45°＝45°，CF＝BF，设CF＝BF＝x海里，在Rt△CDF中，由正切定义可得：DF的长为，再根据BF+DF＝BD，由此可得方程为：，求出x的值，即可得出BF，DF的距离．设渔船乙行驶2t海里，则渔船甲行驶3t海里，相遇点为P，则DP＝2t海里，CP＝3t海里，海里．在Rt△CPF中，由勾股定理，得CP2＝PF2+CF2，由此列出关于t的方程，求出t的正值，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BD于点E， 则∠AEB＝90°， 在Rt△AEB中，∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°， ∴BE＝AE． 由题意可知，∠BAE＝45°，AB＝8海里， ∴在Rt△ABE中，， ∴BE＝AE（海里）， 在Rt△ADE中，∠DAE＝60°， ∴， ∴DE（海里）， ∴BD＝BE+DE海里， ∴海岛B和海岛D之间的距离为海里； （2）如图所示，过点C作CF⊥BD于点F， 由题意得：∠CDF＝90°﹣30°＝60°，∠CBF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠BCF＝90°﹣45°＝45°， ∴CF＝BF， 设CF＝BF＝x海里， ∴在Rt△CDF中，， ∴（海里）， ∵BF+DF＝BD， ∴， 解得：， ∴BF海里，（海里）． 设渔船乙行驶2t海里，则渔船甲行驶3t海里，相遇点为P， 则DP＝2t海里，CP＝3t海里，海里． 在Rt△CPF中，由勾股定理，得CP2＝PF2+CF2， ∴， ∴， 整理，得， ∴ ， ∵，， ∴取正值，得 ＝3.28， ∴2t≈2×3.28＝6.56≈6.6（海里）， ∴相遇时渔船乙行驶了6.6海里． 20．（2025秋•永顺县期末）·【C】如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2s； （3）当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． （2）先求出BQ＝4tcm，PB＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，再利用勾股定理建立方程（10﹣t）2+（4t）2＝102，解方程即可得到答案； （3）先求出CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵B在PQ的垂直平分线上， ∴PB＝BQ， ∴10﹣2t＝4t， 解得， ∴当时，点B在PQ的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动，设运动时间为t秒， ∴BQ＝4tcm，AP＝2tcm， ∵AB＝10cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， 由勾股定理得PQ2＝PB2+BQ2， ∴（10﹣2t）2+（4t）2＝102， 解得t1＝0（舍去），t2＝2， ∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； （3）由题意得，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣4t）cm， ∵△PQC的面积等于32cm2， ∴， ∴， ∴t＝1或t＝7（舍去）， ∴当t＝1s时，使得△PQC的面积等于32cm2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $