1.3 一元二次方程的根与系数的关系 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册1.3一元二次方程的根与系数的关系同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究-综合训练”分层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|韦达定理直接应用、简单代数式变形|选择填空为主，聚焦两根和积计算、参数求解，强化运算能力| |能力提升|含参数方程、几何应用（菱形面积）|结合判别式的综合题，培养逻辑推理与问题转化能力| |拓展探究|非对称代数式、多解讨论|需用根的定义降次，提升创新意识与批判性思维| |综合训练|跨知识综合（直角三角形、矩形）|融合几何与代数，发展模型意识与应用能力|

苏科版九年级上册数学 · 课时作业 1.3　一元二次方程的根与系数的关系　课时作业 苏科版 九年级上册 第1章 一元二次方程　（建议用时：45分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 一、知识点梳理 知识点1　根与系数的关系（韦达定理） 如果一元二次方程 （）的两个根是 ，，那么 ，。 推导：当 时，由求根公式得 ，， 所以 ，。 特别地：对于方程 ，若两根为 ，，则 ，。 使用前提：①方程必须是一元二次方程，即 ；②方程必须有实数根，即 。求参数时，一定要用这两个条件进行检验。 知识点2　根与系数关系的常见应用 （1）已知方程的一个根，求另一个根及方程中字母的值； （2）不解方程，求与两根有关的代数式的值； （3）已知两个数的和与积，求这两个数（构造一元二次方程）； （4）以两个已知数为根构造一元二次方程：以 ， 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 ； （5）判断两根的符号：若 且 ，则两根都是正数；若 且 ，则两根都是负数；若 ，则两根异号。 知识点3　与两根有关的代数式的常见变形 代数式 用两根之和与两根之积表示 方法提示：求代数式的值时，先把代数式变形为只含 与 的式子，再整体代入；对于不对称的式子（如 ），可以先利用“根的定义”降次，再用根与系数的关系求值。 二、典例精讲 【例1】不解方程，求下列方程两根的和与积： （1）；（2）；（3）。 解：（1），； （2）化为一般形式 ，，； （3）因为 ，方程没有实数根，所以不能求两根的和与积。 点拨：第（3）题是易错题，使用根与系数的关系前必须先判断方程是否有实数根。 【例2】已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及 的值。 解：设方程的另一个根为 ，则 ，所以 。又 ，所以 。 【例3】设 ， 是方程 的两个根，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）。 解：由根与系数的关系得 ，。 （1）； （2）； （3）； （4）。 【例4】求一个一元二次方程，使它的两根分别为 和 。 解：两根之和为 ，两根之积为 ，所以所求方程为 （答案不唯一）。 【例5】已知关于 的方程 的两个实数根 ， 满足 ，求 的值。 解：因为方程有两个实数根，所以 ，即 。 由根与系数的关系得 ，，所以 ， 即 ，解得 ，。因为 ，所以 舍去，故 。 【例6】设 ， 是方程 的两个根，求 的值。 分析： 不是对称式，不能直接用两根之和、两根之积表示，可先用“根的定义”降次。 解：因为 是方程的根，所以 ，即 。 所以 。又 ，所以 。 三、基础巩固 （一）选择题 1．设 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A．5 B． C．3 D． 2．方程 的两根之积为（　　） A． B． C． D．2 3．已知关于 的方程 的一个根为1，则方程的另一个根和 的值分别为（　　） A．3， B．，4 C．3，4 D．， 4．下列方程中，两个实数根之和为2的是（　　） A． B． C． D． 5．以3和 为根的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 6．设 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A．5 B．13 C．9 D．11 7．设 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A． B． C．1 D．3 8．已知关于 的方程 的两个实数根 ， 满足 ，则 的值为（　　） A．3 B． C． D．7 （二）填空题 9．方程 的两根之和为________，两根之积为________。 10．已知方程 的一个根为 ，则另一个根为________，________。 11．设 ， 是方程 的两个根，则 ________。 12．设 ， 是方程 的两个根，则 ________。 13．若 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为________。 14．若关于 的方程 的两个实数根互为相反数，则 ________。 15．已知两个数的和为5，积为 ，则这两个数分别是________。 16．设 ， 是方程 的两个根，则 ________。 （三）解答题 17．不解方程，求下列方程两根的和与积： （1）；　　　（2）； （3）；　　　　　（4）。 18．已知关于 的方程 的一个根是 ，求它的另一个根及 的值。 19．设 ， 是方程 的两个根，不解方程，求下列各式的值： （1）；（2）；（3）；（4）。 20．已知方程 ，不解这个方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是： （1）已知方程两根的2倍；（2）已知方程两根的倒数。 21．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，。 （1）求 的取值范围；（2）若 ，求 的值。 22．已知方程 的两个根为 ，。 （1）不解方程，判断两根的符号；（2）求 的值。 四、能力提升 23．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为（　　） A．0 B．5 C． D．10 24．若关于 的一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ，则 的值为（　　） A．2 B． C．2或 D． 25．菱形 的两条对角线 ， 的长分别是方程 的两个根，求菱形的面积和边长。 26．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ，。 （1）求 的取值范围； （2）是否存在实数 ，使方程两根的倒数和等于0？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 五、拓展探究 27．已知实数 ， 满足 ，。 （1）若 ，求 的值；（2）若没有“”这个条件， 的值又是多少？ 28．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ，。 （1）求实数 的取值范围；（2）当 时，求 的值。 六、综合训练 29．设 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A． B． C．1 D．3 30．设 ， 是方程 的两个根，则 的值为________。 31．一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________，面积为________。 32．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根。 （1）求 的取值范围；（2）若 为正整数，且该方程的两个根都是整数，求 的值及方程的根。 33．已知 ， 是方程 的两个根，则 的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 34．已知方程 的两个根 ， 满足 ，则 ________。 35．已知关于 的方程 的两个根恰好是一个矩形两邻边的长。 （1）当 取何值时，方程有两个实数根？（2）当矩形的对角线长为 时，求 的值。 36．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根。 （1）是否存在实数 ，使 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由； （2）求使 的值为整数的实数 的整数值。 参考答案与解析 三、基础巩固 1．A　解析：。 2．C　解析：。 3．A　解析：由 得 ；由 得 。 4．D　解析：A中两根之和为 ；B中 ，方程没有实数根；C中两根之和为1；D中 ，两根之和为2。 5．B　解析：两根之和为1，两根之积为 ，所以方程为 。 6．B　解析：，，。 7．B　解析：，，原式 。 8．B　解析：，，由 得 。检验：，符合题意。 9．6；4 10．；2　解析：另一根为 ，。 11．　解析：。 12．　解析：原式 。 13．2025　解析：因为 是方程的根，所以 ；又 ，所以原式 。 14．　解析：由两根互为相反数得 ，所以 。当 时，方程为 ，没有实数根，舍去；当 时，方程为 ，有实数根。所以 。 15．7和 　解析：这两个数是方程 的两个根，解得 ，。 16．　解析：，所以 。 17．解：（1），； （2）一般形式为 ，，； （3）一般形式为 ，，； （4），。（以上各方程的 均大于0） 18．解：设另一个根为 ，则 ，所以 。又 ，所以 。 19．解：，。 （1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 。 20．解：设方程 的两根为 ，，则 ，。 （1）新方程的两根之和为 ，两根之积为 ，所求方程为 ； （2）新方程的两根之和为 ，两根之积为 ，所求方程为 。 21．解：（1），所以 ； （2），，所以 ，即 ，解得 ，。因为 ，所以 。 22．解：（1），方程有两个不相等的实数根。因为 ，所以两根同号；又 ，所以两根都是负数。 （2）。 四、能力提升 23．A　解析：由 是方程的根得 ；又 ，所以原式 。 24．A　解析：由 得 或 。又 ，所以 ，故 。 25．解：由根与系数的关系得 ，。 菱形的面积 。 因为菱形的对角线互相垂直平分，所以边长 。 （也可直接解方程得 ， 的长为6和8，再求边长。） 26．解：（1）由题意得 ，且 ，所以 且 。 （2）不存在。理由：假设存在，则 ，即 ，得 。但 ，此时方程没有实数根，所以不存在满足条件的 。 五、拓展探究 27．解：（1）因为 ，所以 ， 是方程 的两个不相等的实数根，所以 ，。 。 （2）若 ，则 ；若 ，由（1）知值为 。所以 的值为 或2。 28．解：（1），所以 。 （2）由 得 。 ①若 ，则 ，，但 ，舍去； ②若 ，即 ，则 ，。 综上，。 六、综合训练 29．A　解析：原式 。 30．2　解析：由 是方程的根得 ，所以原式 。 31．；　解析：设两直角边为 ，，则 ，（，且两根均为正数），斜边长为 ，面积为 。 32．解：（1），所以 。 （2）因为 为正整数且 ，所以 ，此时方程为 ，解得 ，，两根都是整数，符合题意。所以 ，方程的根为 ，。 33．A　解析：，，原式 。 34．　解析：，所以 ，，。检验：。 35．解：（1），所以 。 （2）设矩形两邻边长为 ，，则 ，。由勾股定理得 ， 即 ，整理得 ，解得 ，。因为 ，所以 。此时两根之和为3，两根之积为2，两根均为正数，符合题意。 36．解：（1）不存在。理由如下：因为方程是一元二次方程且有两个实数根，所以 ，且 ，所以 。 由根与系数的关系得 ，。 。 令 ，解得 ，但 ，所以不存在满足条件的实数 。 （2）。 要使其值为整数， 只能取 ，，，又 且 为整数，所以 的值为 ，，。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $