1.2 一元二次方程的解法2026-2027学年苏科版九年级数学上册

苏科版（2024） · 一元二次方程的解法 · 第1章 一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版（2024） 第1章 一元二次方程 一元二次方程的解法 班级：________________ 姓名：________________ 本专题围绕一元二次方程的解法，按易错原因重新聚合94道典型错题，废弃原有专题标签。每类错因设精讲例题并搭配即时巩固，文末另设综合检测题组检验整体掌握。覆盖因式分解、配方、判别式及几何应用等常见失误，帮助学生精准纠错。 目录 易错点1：两边同除含未知数因式致漏根 易错点2：因式分解后根符号写错或只写一根 易错点3：未移项使右边为0就分解 易错点4：配方时常数项与符号算错 易错点5：判别式计算与符号代入错误 易错点6：含参判别式忽略隐含条件 易错点7：解方程后未检验几何约束 易错点8：新定义情境不会列方程 易错点9：解法选择不当走弯路 易错点1：两边同除含未知数因式致漏根 学习目标 · 能识别方程两边的公因式 · 掌握移项提取公因式防漏根 纠错指引 方程两边有含未知数的公因式时，先移项使右边为0，再提取公因式，绝不能两边同除以该因式，否则会丢失使因式为0的根。 精讲例题 例题1．（2025秋•岳池县月考）·【基础】对于嘉嘉与淇淇两人解方程6（x﹣1）＝（x﹣1）2的过程，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉：两边同时除以（x﹣1），得6＝x﹣1，解得x＝7． 淇淇：移项，得6（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0． 因式分解，得（x﹣1）（6﹣x﹣1）＝0． 于是得x﹣1＝0，或6﹣x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝5． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 两边同除(x-1)忽略x-1=0 · 漏掉x=1这个根 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固1．（新教材同步题）·【基础】一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 即时巩固2．（2025秋•资阳期末）·【基础】一元二次方程2x2＝4x的解为（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣2，x2＝0 C．x＝0 D．x＝2 即时巩固3．（2025秋•汕头期末）·【基础】一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（　　） A．x＝0 B． C．x1＝0，x2＝3 D． 即时巩固4．（2025•泸县校级一模）·【基础】方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝± 即时巩固5．（2023春•江州区期末）·【基础】方程x2＝4x的根是（　　） A．x＝0 B．x＝4 C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝﹣4，x2＝0 即时巩固6．（2023春•尤溪县期末）·【基础】方程x（x﹣3）＝0的解为　 　 ． 即时巩固7．（2026春•龙口市期中）·【基础】方程x2＝x的解是 　 　 ． 即时巩固8．（2025秋•兴宁区校级期中）·【基础】方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的根是　 　 ． 即时巩固9．（2025秋•铜梁区校级期中）·【基础】方程2x（x﹣1）＝3（x﹣1）的解是　 　 ． 即时巩固10．（2024秋•静安区校级期末）·【基础】方程﹣4x＝x2的解为 　 　 ． 即时巩固11．（2024秋•抚顺月考）·【基础】x2＝x的根是　 　 ． 即时巩固12．（2023秋•云溪区期中）·【基础】方程x2＝2024x的解是 　 　 ． 易错点2：因式分解后根符号写错或只写一根 学习目标 · 能由因式正确写出对应根 · 养成两因式各令为0的习惯 纠错指引 因式分解得(x-a)(x-b)=0后，分别令x-a=0、x-b=0，根的符号与因式内相反，且两根都要写出。 精讲例题 例题2．（2025秋•西安校级期中）·【基础】方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · (x-3)=0应得x=3非-3 · 两因式须分别令0得两根 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固13．（2023秋•汶上县期末）·【基础】方程（x﹣3）（2x﹣4）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 即时巩固14．（新教材同步题）·【基础】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（　　） A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5 即时巩固15．（2023秋•邹城市校级期中）·【基础】方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则m2﹣2m+2024的值是（　　） A．2023 B．2021 C．2027 D．2029 即时巩固16．（2023秋•滨湖区校级期中）·【基础】若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 即时巩固17．（2023秋•台江区校级期中）·【基础】方程（x﹣3）（x+1）＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0． 嘉嘉：两边同时除以（x﹣1），得6＝x﹣1，解得x＝7． 淇淇：移项，得6（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0． 因式分解，得（x﹣1）（6﹣x﹣1）＝0． 于是得x﹣1＝0，或6﹣x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 即时巩固18．（2022秋•工业园区校级期中）·【基础】一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0的根为（　　） A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．2或1 即时巩固19．（2022•梧州）·【基础】一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　 　 ． 易错点3：未移项使右边为0就分解 学习目标 · 明确因式分解法要求右边为0 · 会先移项再提取公因式 纠错指引 因式分解法只适用于右边为0的方程；遇到x(x-2)=2-x，先把右边整体移到左边，化为一般式再分解。 精讲例题 例题3．（2024春•大观区校级期末）·【基础】一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1和2 D．﹣1和2 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 右边2-x未移项不能直接分解 · 应先移项整理成一般式 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固20．（2026•嵊州市二模）·【基础】已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 　 ． 即时巩固21．（2025秋•宣恩县校级月考）·【基础】方程x（x+1）＝x的解是　 　 ． 即时巩固22．（新教材同步题）·【基础】方程a2+7a+2＝a﹣3解为 　 　 ． 易错点4：配方时常数项与符号算错 学习目标 · 掌握配方加(系数一半)² · 注意配方结果中a的符号 纠错指引 配方步骤：移项→两边同加(一次项系数÷2)²→写成(x+m)²=n。结果(x-4)²中a=-4、b为右边常数，符号易错。 精讲例题 例题4．（2026•汝阳县一模）·【基础】将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · (x-4)²中a=-4非4 · 配方加(系数/2)²并两边同加 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固23．（2026春•宁阳县期末）·【基础】用配方法解方程x2+6x＝2，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝8 即时巩固24．（2025秋•郫都区期末）·【基础】用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝1+36 B．（x﹣3）2＝1+9 C．（x﹣6）2＝﹣1+36 D．（x﹣3）2＝﹣1+9 即时巩固25．（2025秋•北辰区校级月考）·【基础】解一元二次方程x2﹣8x+13＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝3 B．（x﹣4）2＝8 C．（x﹣4）2＝13 D．（x﹣8）2＝16 即时巩固26．（2025秋•西安校级期中）·【基础】用配方法解方程x2﹣8x+5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣8）2＝21 B．（x﹣8）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11 即时巩固27．（2025秋•泗县校级月考）·【基础】用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝3 即时巩固28．（2025•广阳区一模）·【基础】一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可形为（　　） A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1 即时巩固29．（2025秋•雅安校级月考）·【基础】对方程x2﹣6x+4＝0进行配方，正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝5 D．（x﹣3）2＝25 即时巩固30．（2024秋•武昌区期末）·【基础】解一元二次方程x2﹣8x+1＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝15 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝17 即时巩固31．（2025秋•天津期中）·【基础】解一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝12 B．（x﹣3）2＝5 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝12 即时巩固32．（2025秋•信都区期中）·【基础】已知方程x2﹣4x+1＝____，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成（x﹣m）2＝5的形式，则印刷不清楚的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 即时巩固33．（2025秋•滨湖区期中）·【基础】用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣1 D．（x+2）2＝﹣1 即时巩固34．（2025秋•福田区校级月考）·【提升】一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0配方后可变形为（　　） A．（x﹣4）2＝18 B．（x+4）2＝16 C．（x+4）2＝18 D．（x﹣4）2＝16 即时巩固35．（2025秋•顺德区月考）·【提升】用配方法解方程x2﹣14x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x+7）2＝41 B．（x+7）2＝57 C．（x﹣7）2＝41 D．（x﹣7）2＝57 即时巩固36．（2025秋•绵阳月考）·【提升】用配方法解方程x2﹣3x+1＝0时，将方程化为（x﹣a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（　　） A． B．3， C． D． 易错点5：判别式计算与符号代入错误 学习目标 · 会计算判别式Δ · 能用Δ判断根的情况 纠错指引 算Δ=b²-4ac时把a,b,c连同符号一起代入；Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根。 精讲例题 例题5．（2025秋•英德市期末）·【基础】一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · Δ=b²-4ac系数连符号代入 · Δ<0时无实数根 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固37．（新教材同步题）·【基础】已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数满足，则方程的两根之比为（　　） A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．1：2 即时巩固38．（2026•金水区校级三模）·【基础】一元二次方程x2﹣2x＝x的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 即时巩固39．（2026春•岳麓区校级期末）·【基础】关于x的一元二次方程4x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．必有实数根 即时巩固40．（2026春•那坡县校级期末）·【基础】一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 即时巩固41．（2026春•钢城区期末）·【基础】一元二次方程x2+4x+7＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 即时巩固42．（2026春•台江区校级期末）·【基础】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 即时巩固43．（2026•安溪县模拟）·【基础】若mn＜0，则关于x的方程mx2+2x+n＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 即时巩固44．（2025秋•玉溪期末）·【提升】若关于x的方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．36 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点6：含参判别式忽略隐含条件 学习目标 · 会用Δ求参数取值范围 · 注意二次项系数≠0与退化 纠错指引 含参二次方程“有两实根”需Δ≥0且a≠0；“总有实根”还要考虑a=0时退化为一次方程仍成立的情况。 精讲例题 例题6．（2026春•北仑区校级期末）·【提升】探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 两实根需Δ≥0且a≠0 · 总有实根要考虑a=0退化 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固45．（2026•安定区二模）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 即时巩固46．（2026春•坊子区期末）·【基础】已知关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0，下列m的取值能使方程有两个不相等的实数根的是（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 即时巩固47．（2026春•温州期末）·【基础】关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 即时巩固48．（2026•瑶海区校级三模）·【基础】关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 易错点7：解方程后未检验几何约束 学习目标 · 会用方程求几何图形边长 · 掌握解后检验几何约束 纠错指引 方程解出的边长要代入三角形三边关系（或菱形、等腰定义）检验，不满足的舍去，多解未必都合题意。 精讲例题 例题7．（新教材同步题）·【基础】已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 解得边长须验三边关系 · 多解未必都合题意需舍去 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固49．（2024秋•延平区校级月考）·【基础】若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．20或28 即时巩固50．（2023秋•青山区校级期中）·【基础】三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．13 B．13或20 C．12 D．20 即时巩固51．（2024秋•冷水滩区校级月考）·【提升】等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则它的周长是（　　） A．10 B．10或8 C．9 D．8 即时巩固52．（2025秋•广信区期中）·【基础】一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0的根，则这个三角形的周长为 　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点8：新定义情境不会列方程 学习目标 · 会把新定义翻译为方程 · 选合适方法解所列方程 纠错指引 先读懂新定义或情境，将其翻译成一元二次方程，再观察结构选因式分解或配方法求解。 精讲例题 例题8．（2025秋•天河区校级期中）·【基础】我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13），若[﹣x，3]*[x﹣2，﹣6]＝10，则x的值为 　 　 ． 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 先按定义写出方程再求解 · 新运算本质是方程建模 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固53．（2026春•义乌市期中）·【基础】如图，电路中有三个定值电阻R1，R2，R3，且R1，R2的阻值（单位：Ω）满足方程R2﹣3R+2＝0，R3＝1Ω．若闭合开关S后，电流表的读数为6A，则电源的电压是（　　） A．8V B．10V C．15V D．24V 即时巩固54．（新教材同步题）·【基础】若3y2与﹣x4m﹣2y2是同类项，则m＝　 　 ． 即时巩固55．（2022秋•冷水滩区校级期中）·【基础】先定义运算“☆”对于任意实数a，b都有a☆b＝a2﹣3a+b，如3☆3＝32﹣3×3+3，如x☆2＝6，则实数x＝　 　 ． 即时巩固56．（2022秋•南康区期中）·【基础】对任意实数，a，b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x+1）＝7，则x的值为 　 　 ． 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点9：解法选择不当走弯路 学习目标 · 会根据方程特征选解法 · 理解四种解法适用情形 纠错指引 缺常数项→提取公因式；一边是完全平方→直接开平；一般式→公式法或配方；优先选最简解法，避免生搬硬套。 精讲例题 例题9．（2025秋•鲤城区校级期末）·【提升】解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 缺常数项应提取公因式 · 观察结构选最简解法 错题复盘：我容易在哪里出错？ 即时巩固 即时巩固57．（2025秋•河南月考）·【基础】关于x的方程x2﹣4x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为﹣4 D．适合用配方法解方程 即时巩固58．（2024•兴庆区校级一模）·【提升】对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　） A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17 C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17 即时巩固59．（2026•常州校级模拟）·【基础】解下列方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）2x（x﹣3）＝5（3﹣x）． 本专题错因自查清单 ☐ 两边同除含未知数因式致漏根 ☐ 因式分解后根符号写错或只写一根 ☐ 未移项使右边为0就分解 ☐ 配方时常数项与符号算错 ☐ 判别式计算与符号代入错误 ☐ 含参判别式忽略隐含条件 ☐ 解方程后未检验几何约束 ☐ 新定义情境不会列方程 ☐ 解法选择不当走弯路 过关测试（综合检测） 1．（2026•黄冈模拟）·【基础】某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝2x，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 2．（2025秋•开鲁县期中）·【基础】一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 3．（2025•青岛自主招生）·【基础】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2025＝0时，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026 4．（2026•密云区一模）·【提升】若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 5．（2023秋•杨浦区校级期中）·【提升】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0．且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n的值为（　　） A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2 6．（2025•南山区校级二模）·【基础】方程x2﹣x＝0的解是 　 　 ． 苏科版（2024） · 一元二次方程的解法 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏科版（2024） · 一元二次方程的解法 · 第1章 一元二次方程 1.2一元二次方程的解法 苏科版（2024）九上易错专题 苏科版（2024） 第1章 一元二次方程 一元二次方程的解法 本专题围绕一元二次方程的解法，按易错原因重新聚合94道典型错题，废弃原有专题标签。每类错因设精讲例题并搭配即时巩固，文末另设综合检测题组检验整体掌握。覆盖因式分解、配方、判别式及几何应用等常见失误，帮助学生精准纠错。 目录 易错点1：两边同除含未知数因式致漏根 易错点2：因式分解后根符号写错或只写一根 易错点3：未移项使右边为0就分解 易错点4：配方时常数项与符号算错 易错点5：判别式计算与符号代入错误 易错点6：含参判别式忽略隐含条件 易错点7：解方程后未检验几何约束 易错点8：新定义情境不会列方程 易错点9：解法选择不当走弯路 易错点1：两边同除含未知数因式致漏根 学习目标 · 能识别方程两边的公因式 · 掌握移项提取公因式防漏根 纠错指引 方程两边有含未知数的公因式时，先移项使右边为0，再提取公因式，绝不能两边同除以该因式，否则会丢失使因式为0的根。 精讲例题 例题1．（2025秋•岳池县月考）·【基础】对于嘉嘉与淇淇两人解方程6（x﹣1）＝（x﹣1）2的过程，下列判断正确的是（　　） 嘉嘉：两边同时除以（x﹣1），得6＝x﹣1，解得x＝7． 淇淇：移项，得6（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0． 因式分解，得（x﹣1）（6﹣x﹣1）＝0． 于是得x﹣1＝0，或6﹣x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝5． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【分析】依据题意，嘉嘉在两边除以（x﹣1）时未考虑x﹣1＝0的情况，漏解；淇淇在因式分解时计算错误，正确因式应为（x﹣1）（7﹣x）＝0，而非（x﹣1）（5﹣x）＝0． 【解答】解：由题意，对于方程6（x﹣1）＝（x﹣1）2， 嘉嘉解法：两边同除以（x﹣1），得6＝x﹣1， ∴x＝7，但当x﹣1＝0时，即x＝1也是解，故漏解，错误． 淇淇解法：移项得6（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0， 提取公因式（x﹣1），得（x﹣1）[6﹣（x﹣1）]＝0， 但淇淇误写为（x﹣1）（6﹣x﹣1）＝（x﹣1）（5﹣x）＝0，解得x＝1或x＝5，计算错误． 故两人都错． 正确的解法：∵6（x﹣1）＝（x﹣1）2， ∴（x﹣1）（7﹣x）＝0， ∴x＝1或x＝7． 故选：D． 教学提示：对比嘉嘉两边同除(x-1)漏掉x=1，强调先移项提取公因式；可让两名学生板演再纠错。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 两边同除(x-1)忽略x-1=0 · 漏掉x=1这个根 即时巩固 即时巩固1．（新教材同步题）·【基础】一元二次方程x2＝x的解是（　　） A．x＝1 B．x＝0 C．， D．x1＝1，x2＝0 【分析】利用因式分解的方法即可得出方程的解． 【解答】解：由题意得，x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故选：D． 教学提示：x²=x移项为x²-x=0=x(x-1)=0，得x=0或1；约去x会漏x=0。 即时巩固2．（2025秋•资阳期末）·【基础】一元二次方程2x2＝4x的解为（　　） A．x1＝2，x2＝0 B．x1＝﹣2，x2＝0 C．x＝0 D．x＝2 【分析】依据题意，先把2x2＝4x化为一般式，再运用因式分解进行解方程，即可作答． 【解答】解：由题意得，2x2﹣4x＝0， ∴2x（x﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝0， 故选：A． 教学提示：2x²=4x先化一般式2x²-4x=0=2x(x-2)=0，约x会漏x=0。 即时巩固3．（2025秋•汕头期末）·【基础】一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（　　） A．x＝0 B． C．x1＝0，x2＝3 D． 【分析】用因式分解法解方程即可． 【解答】解：∵3x2﹣x＝0， ∴x（3x﹣1）＝0， ∴x1＝0，． 故选：D． 教学提示：3x²-x=0=x(3x-1)=0，两根0和1/3；约去x只留1/3是错的。 即时巩固4．（2025•泸县校级一模）·【基础】方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝0 B．x＝3 C．x＝0或x＝3 D．x＝± 【分析】利用解一元一次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2＝3x， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， x1＝0，x2＝3， 故选：C． 教学提示：x²=3x移项x²-3x=0=x(x-3)=0，解为0或3；只写3漏0。 即时巩固5．（2023春•江州区期末）·【基础】方程x2＝4x的根是（　　） A．x＝0 B．x＝4 C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝﹣4，x2＝0 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2＝4x， x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， x＝0或x﹣4＝0， x1＝0，x2＝4， 故选：C． 教学提示：x²=4x移项得x(x-4)=0，根为0和4；两边除以x漏0。 即时巩固6．（2023春•尤溪县期末）·【基础】方程x（x﹣3）＝0的解为　 　 ． 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：x（x﹣3）＝0， 可得x＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3 教学提示：x(x-3)=0已右边为0，两因式令0得x=0或3。 即时巩固7．（2026春•龙口市期中）·【基础】方程x2＝x的解是 　 　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 教学提示：x²=x同类型，移项因式分解，勿约去x致失根。 即时巩固8．（2025秋•兴宁区校级期中）·【基础】方程（x﹣2）2＝3（x﹣2）的根是　 　 ． 【分析】把方程的右边移到等号左边，即可提取公因式x﹣2，则左边是两个多项式相乘的形式，右边是0，即可利用因式分解法求解． 【解答】解：∵（x﹣2）2＝3（x﹣2）， ∴（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝2，x2＝5． 故答案为：x1＝2，x2＝5． 教学提示：点评已点明：方程两边有公因式(x-2)时不能同除，先移项提取公因式防失根。 即时巩固9．（2025秋•铜梁区校级期中）·【基础】方程2x（x﹣1）＝3（x﹣1）的解是　 　 ． 【分析】依据题意，由方程为2x（x﹣1）＝3（x﹣1），则（x﹣1）（2x﹣3）＝0，从而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵方程为2x（x﹣1）＝3（x﹣1）， ∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0． ∴x＝1或x． 故答案为：x＝1或x． 教学提示：2x(x-1)=3(x-1)应移项成(x-1)(2x-3)=0，不能两边除以(x-1)漏根。 即时巩固10．（2024秋•静安区校级期末）·【基础】方程﹣4x＝x2的解为 　 　 ． 【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：﹣4x＝x2， x2+4x＝0， x（x+4）＝0， x＝0或x+4＝0， x1＝0，x2＝﹣4， 故答案为：x1＝0，x2＝﹣4． 教学提示：-4x=x²即x²+4x=0=x(x+4)=0，根0和-4。 即时巩固11．（2024秋•抚顺月考）·【基础】x2＝x的根是　 　 ． 【分析】依据题意，先移项得到x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：∵x2＝x， ∴x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 教学提示：x²=x移项x²-x=0=x(x-1)=0，两根0、1。 即时巩固12．（2023秋•云溪区期中）·【基础】方程x2＝2024x的解是 　 　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：x2＝2024x， x2﹣2024x＝0， x（x﹣2024）＝0， x＝0或x﹣2024＝0， x1＝0，x2＝2024， 故答案为：x1＝0，x2＝2024． 教学提示：x²=2024x移项x(x-2024)=0，根0和2024。 易错点2：因式分解后根符号写错或只写一根 学习目标 · 能由因式正确写出对应根 · 养成两因式各令为0的习惯 纠错指引 因式分解得(x-a)(x-b)=0后，分别令x-a=0、x-b=0，根的符号与因式内相反，且两根都要写出。 精讲例题 例题2．（2025秋•西安校级期中）·【基础】方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣3 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3 【分析】利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：由题意得，x﹣2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3． 故选：B． 教学提示：(x-2)(x-3)=0应得x=2、3；学生常写-2、-3，根符号与因式相反。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · (x-3)=0应得x=3非-3 · 两因式须分别令0得两根 即时巩固 即时巩固13．（2023秋•汶上县期末）·【基础】方程（x﹣3）（2x﹣4）＝0的根是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝3，x2＝2 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣3，x2＝2 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； 【解答】解：（x﹣3）（2x﹣4）＝0， x﹣3＝0或2x﹣4＝0， x1＝3，x2＝2， 故选：B． 教学提示：(x-3)(2x-4)=0，分别令0得x=3、x=2；注意第二个因式系数。 即时巩固14．（新教材同步题）·【基础】一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的根为（　　） A．x＝1 B．x＝5 C．x＝﹣1或x＝5 D．x＝1或x＝﹣5 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x1＝5，x2＝﹣1， 故选：C． 教学提示：x²-4x-5=(x-5)(x+1)=0，根-1或5；易错选1或-5。 即时巩固15．（2023秋•邹城市校级期中）·【基础】方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则m2﹣2m+2024的值是（　　） A．2023 B．2021 C．2027 D．2029 【分析】本题由方程的解可得m2﹣2m＝3，再代入求值即可． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m， ∴m2﹣2m﹣3＝0，即m2﹣2m＝3， ∴m2﹣2m+2024＝3+2024＝2027， 故选：C． 教学提示：m是x²-2x-3=0根则m²-2m=3，整体代入求m²-2m+2024=2027。 即时巩固16．（2023秋•滨湖区校级期中）·【基础】若方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m，则2026﹣m2+2m的值是（　　） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【分析】依据题意，根据方程的根满足方程，进而将m代入方程得m2﹣2m﹣3＝0，再整体代入即可得解． 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根为m， ∴m2﹣2m﹣3＝0． ∴m2﹣2m＝3． ∴2026﹣m2+2m＝2026﹣（m2﹣2m）＝2026﹣3＝2023． 故选：B． 教学提示：m为根则m²-2m-3=0即m²-2m=3，求2026-m²+2m=2023。 即时巩固17．（2023秋•台江区校级期中）·【基础】方程（x﹣3）（x+1）＝0的解是（　　） A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， x1＝3，x2＝﹣1， 故选：C． 教学提示：(x-3)(x+1)=0得x=3或-1；符号要看因式内的符号。 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0． 嘉嘉：两边同时除以（x﹣1），得6＝x﹣1，解得x＝7． 淇淇：移项，得6（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0． 因式分解，得（x﹣1）（6﹣x﹣1）＝0． 于是得x﹣1＝0，或6﹣x﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝5． 即时巩固18．（2022秋•工业园区校级期中）·【基础】一元二次方程x（x﹣2）+x﹣2＝0的根为（　　） A．﹣1 B．1 C．2或﹣1 D．2或1 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x（x﹣2）+x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， x1＝2，x2＝﹣1， 故选：C． 教学提示：x(x-2)+x-2=(x-2)(x+1)=0，根2或-1；先分组提公因式。 即时巩固19．（2022•梧州）·【基础】一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是 　 　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0， x﹣2＝0或x+7＝0， x1＝2，x2＝﹣7， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣7． 教学提示：(x-2)(x+7)=0得x=2或-7；易把+7写成-7。 易错点3：未移项使右边为0就分解 学习目标 · 明确因式分解法要求右边为0 · 会先移项再提取公因式 纠错指引 因式分解法只适用于右边为0的方程；遇到x(x-2)=2-x，先把右边整体移到左边，化为一般式再分解。 精讲例题 例题3．（2024春•大观区校级期末）·【基础】一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1和2 D．﹣1和2 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：x（x﹣2）＝2﹣x， x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， x﹣2＝0或x+1＝0， x1＝2，x2＝﹣1， 故选：D． 教学提示：x(x-2)=2-x先移项x(x-2)+(x-2)=0=(x-2)(x+1)=0，根-1、2。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 右边2-x未移项不能直接分解 · 应先移项整理成一般式 即时巩固 即时巩固20．（2026•嵊州市二模）·【基础】已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 　 ． 【分析】直接移项，然后利用因式分解法求解即可． 【解答】解：原方程整理得： x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝2． 教学提示：x(x-2)=x-2移项(x-2)(x-1)=0，勿把右边(x-2)直接约去漏根。 即时巩固21．（2025秋•宣恩县校级月考）·【基础】方程x（x+1）＝x的解是　 　 ． 【分析】先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：由题意得，x（x+1）﹣x＝0， ∴x（x+1﹣1）＝0， ∴x2＝0， ∴x1＝x2＝0． 故答案为：x1＝x2＝0． 教学提示：x(x+1)=x移项x(x+1)-x=x²=0→x=0（重根）；强调先移项。 即时巩固22．（新教材同步题）·【基础】方程a2+7a+2＝a﹣3解为 　 　 ． 【分析】先将原方程化简整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算即可解答． 【解答】解：a2+7a+2＝a﹣3， 整理得：a2+6a+5＝0， （a+1）（a+5）＝0， a+1＝0或a+5＝0， a1＝﹣1，a2＝﹣5， 故答案为：a1＝﹣1，a2＝﹣5． 教学提示：a²+7a+2=a-3化简为a²+6a+5=0=(a+1)(a+5)=0，先整理成一般式。 易错点4：配方时常数项与符号算错 学习目标 · 掌握配方加(系数一半)² · 注意配方结果中a的符号 纠错指引 配方步骤：移项→两边同加(一次项系数÷2)²→写成(x+m)²=n。结果(x-4)²中a=-4、b为右边常数，符号易错。 精讲例题 例题4．（2026•汝阳县一模）·【基础】将一元二次方程x2﹣8x＝0配方后变形为（x+a）2＝b，则a的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8 【分析】对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方． 【解答】解：由题意得，x2﹣8x+16＝0+16， ∴（x﹣4）2＝16， ∴a＝﹣4． 故选：B． 教学提示：x²-8x=0配方x²-8x+16=16=(x-4)²=16，故a=-4、b=16；a的符号易错。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · (x-4)²中a=-4非4 · 配方加(系数/2)²并两边同加 即时巩固 即时巩固23．（2026春•宁阳县期末）·【基础】用配方法解方程x2+6x＝2，变形后结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝11 D．（x+3）2＝8 【分析】利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：x2+6x＝2， x2+6x+9＝2+9， ∴（x+3）2＝11． 故选：C． 教学提示：x²+6x=2→x²+6x+9=11=(x+3)²=11；加的是9非6。 即时巩固24．（2025秋•郫都区期末）·【基础】用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣6）2＝1+36 B．（x﹣3）2＝1+9 C．（x﹣6）2＝﹣1+36 D．（x﹣3）2＝﹣1+9 【分析】把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6的一半的平方，即可求解． 【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0， 移项得x2﹣6x＝1， 配方得x2﹣6x+9＝1+9， ∴（x﹣3）2＝1+9． 故选：B． 教学提示：x²-6x-1=0→(x-3)²=10（移项-1后加9）；不是1+9。 即时巩固25．（2025秋•北辰区校级月考）·【基础】解一元二次方程x2﹣8x+13＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝3 B．（x﹣4）2＝8 C．（x﹣4）2＝13 D．（x﹣8）2＝16 【分析】根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣8x+13＝0， ∴移项得，x2﹣8x＝﹣13， ∴x2﹣8x+16＝3，即（x﹣4）2＝3． 故选：A． 教学提示：x²-8x+13=0→(x-4)²=3；13-16=-3移到右边成+3。 即时巩固26．（2025秋•西安校级期中）·【基础】用配方法解方程x2﹣8x+5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣8）2＝21 B．（x﹣8）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝11 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2﹣8x+5＝0， x2﹣8x＝﹣5， x2﹣8x+16＝﹣5+16， （x﹣4）2＝11， 故选：D． 教学提示：x²-8x+5=0→(x-4)²=11；5+16=21是错的，应5-16再移项。 即时巩固27．（2025秋•泗县校级月考）·【基础】用配方法解方程x2﹣8x+5＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝11 C．（x﹣4）2＝21 D．（x﹣4）2＝3 【分析】把方程两边加上11得到x2﹣8x+16＝11，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣8x+5＝0， ∴x2﹣8x＝﹣5， ∴x2﹣8x+16＝11， ∴（x﹣4）2＝11， 故选：B． 教学提示：x²-8x+5=0配方(x-4)²=11；注意加减16的归属。 即时巩固28．（2025•广阳区一模）·【基础】一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可形为（　　） A．（x﹣4）2＝18 B．（x﹣4）2＝14 C．（x﹣8）2＝64 D．（x﹣4）2＝1 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可． 【解答】解：由题意得，x2﹣8x＝2， ∴x2﹣8x+16＝18， ∴（x﹣4）2＝18． 故选：A． 教学提示：x²-8x-2=0→(x-4)²=18；移项-2到右边+2，再加16得18。 即时巩固29．（2025秋•雅安校级月考）·【基础】对方程x2﹣6x+4＝0进行配方，正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝5 C．（x+3）2＝5 D．（x﹣3）2＝25 【分析】依据题意，通过配方法将方程转化为完全平方形式即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+4＝0， ∴x2﹣6x＝﹣4． ∴x2﹣6x+9＝9﹣4． ∴（x﹣3）2﹣5＝0， ∴（x﹣3）2＝5， 故选：B． 教学提示：x²-6x+4=0→(x-3)²=5；移项4到右边+4再+9=13？核对：x²-6x=-4,+9→(x-3)²=5。 即时巩固30．（2024秋•武昌区期末）·【基础】解一元二次方程x2﹣8x+1＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣4）2＝15 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝7 D．（x﹣4）2＝17 【分析】依据题意，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【解答】解：x2﹣8x+1＝0， ∴x2﹣8x＝﹣1， ∴x2﹣8x+16＝﹣1+16， ∴（x﹣4）2＝15， 故选：A． 教学提示：x²-8x+1=0→(x-4)²=15；移项1再+16得15。 即时巩固31．（2025秋•天津期中）·【基础】解一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0，配方后正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝12 B．（x﹣3）2＝5 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝12 【分析】依据题意，由x2﹣6x﹣3＝0，则x2﹣6x＝3，从而，即x2﹣6x+32＝3+32，进而可以得解． 【解答】解：由题意得，x2﹣6x＝3， ∴， ∴x2﹣6x+32＝12． ∴（x﹣3）2＝12． 故选：A． 教学提示：x²-6x-3=0→(x-3)²=12；移项-3再+9得12。 即时巩固32．（2025秋•信都区期中）·【基础】已知方程x2﹣4x+1＝____，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成（x﹣m）2＝5的形式，则印刷不清楚的数是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【分析】利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（x﹣m）2＝5， x2﹣2mx+m2＝5， 由题意得：﹣2m＝﹣4， 解得：m＝2， ∴x2﹣4x+22＝5， x2﹣4x+4＝5， x2﹣4x+1+3＝5， x2﹣4x+1＝5﹣3， x2﹣4x+1＝2， ∴印刷不清楚的数是2， 故选：D． 教学提示：x²-4x+1=__配方成(x-m)²=5，反推原常数应为-1；让学生练习由结果倒推常数项。 即时巩固33．（2025秋•滨湖区期中）·【基础】用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝3 B．（x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝﹣1 D．（x+2）2＝﹣1 【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得． 【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0， ∴x2﹣4x＝﹣1， ∴x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3， 故选：A． 教学提示：x²-4x+1=0→(x-2)²=3；移项1再+4得3。 即时巩固34．（2025秋•福田区校级月考）·【提升】一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0配方后可变形为（　　） A．（x﹣4）2＝18 B．（x+4）2＝16 C．（x+4）2＝18 D．（x﹣4）2＝16 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得解． 【解答】解：由题意得，x2﹣8x＝2， ∴x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18， 故选：A． 教学提示：x²-8x-2=0→(x-4)²=18；核对常数项归属。 即时巩固35．（2025秋•顺德区月考）·【提升】用配方法解方程x2﹣14x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x+7）2＝41 B．（x+7）2＝57 C．（x﹣7）2＝41 D．（x﹣7）2＝57 【分析】理由配方法对所给一元二次方程进行变形即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣14x﹣8＝0， ∴x2﹣14x＝8， ∴x2﹣14x+49＝8+49， ∴（x﹣7）2＝57， 故选：D． 教学提示：x²-14x-8=0→(x-7)²=57；移项-8再+49得57。 即时巩固36．（2025秋•绵阳月考）·【提升】用配方法解方程x2﹣3x+1＝0时，将方程化为（x﹣a）2＝b的形式，则a，b的值分别是（　　） A． B．3， C． D． 【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形得到结果，即可得出答案． 【解答】解：由题意，∵方程为x2﹣3x+1＝0， ∴x2﹣3x＝﹣1， ∴x2﹣3x，即（x）2， 又∵用配方法解方程x2﹣3x+1＝0时，将方程化为（x﹣a）2＝b的形式， ∴a，b． 故选：D． 教学提示：x²-3x+1=0→(x-3/2)²=13/4；半系数3/2平方9/4，1+9/4得13/4。 易错点5：判别式计算与符号代入错误 学习目标 · 会计算判别式Δ · 能用Δ判断根的情况 纠错指引 算Δ=b²-4ac时把a,b,c连同符号一起代入；Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根。 精讲例题 例题5．（2025秋•英德市期末）·【基础】一元二次方程x2﹣x+1＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】依据题意，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程无实数根，计算得出Δ＝﹣3＜0即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣x+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣1，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0， ∴原方程无实数根． 故选：C． 教学提示：x²-x+1=0，Δ=(-1)²-4=-3<0，无实根；易把常号算错成有根。 易错倾向标签：易算错 【本题核心易错点】 · Δ=b²-4ac系数连符号代入 · Δ<0时无实数根 即时巩固 即时巩固37．（新教材同步题）·【基础】已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数满足，则方程的两根之比为（　　） A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．1：2 【分析】依据题意，由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数满足，则b2＝4ac，从而Δ＝b2﹣4ac＝4ac﹣4ac＝0，故一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，进而可以得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数满足， ∴b2＝4ac． ∴Δ＝b2﹣4ac＝4ac﹣4ac＝0． ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根． ∴方程的两根之比为1：1． 故选：B． 教学提示：由b²=4ac得Δ=b²-4ac=0，两相等实根；注意关系转化。 即时巩固38．（2026•金水区校级三模）·【基础】一元二次方程x2﹣2x＝x的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【分析】依据题意，根据Δ＝b2﹣4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＝0，方程有两个相等的实数根；Δ＝b2﹣4ac＜0，方程无实数根即可求解． 【解答】解：一元二次方程x2﹣2x＝x，即x2﹣3x＝0中a＝1，b＝﹣3，c＝0，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0， ∴有两个不相等的实数根， 故选：D． 教学提示：x²-2x=x移项x²-3x=0，Δ=9>0两不等实根；先化一般式。 即时巩固39．（2026春•岳麓区校级期末）·【基础】关于x的一元二次方程4x2﹣3x+1＝0的根的情况是（　　） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．必有实数根 【分析】依据题意，先求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式的内容得出答案即可． 【解答】解：由题意，∵4x2﹣3x+1＝0， ∴a＝4，b＝﹣3，c＝1， ∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×4×1＝﹣7＜0， ∴方程无实数根． 故选：C． 教学提示：4x²-3x+1=0，Δ=9-16=-7<0无实根；系数带符号代入。 即时巩固40．（2026春•那坡县校级期末）·【基础】一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【分析】依据题意，先求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式的内容得出答案即可． 【解答】解：由题意，∵x2﹣3x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4， ∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 教学提示：x²-3x-4=0，Δ=9+16=25>0两不等实根；减4ac注意负负得正。 即时巩固41．（2026春•钢城区期末）·【基础】一元二次方程x2+4x+7＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【分析】当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可解答． 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+7＝0， ∴Δ＝42﹣4×1×7＝﹣12＜0， ∴方程无实数根． 故选：C． 教学提示：x²+4x+7=0，Δ=16-28=-12<0无实根。 即时巩固42．（2026春•台江区校级期末）·【基础】关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】根据一元二次方程根的判别式公式Δ＝b2﹣4ac，确定方程x2+mx﹣1＝0中a，b，c的值，代入公式计算Δ，再根据Δ与0的大小关系判断根的情况． 【解答】解：在方程x2+mx﹣1＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣1， ∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4， ∵m2≥0， ∴m2+4＞0， ∴方程x2+mx﹣1＝0有两个不相等的实数根， 故答案选：A． 教学提示：x²+mx-1=0，Δ=m²+4>0恒成立两不等实根（与m无关）。 即时巩固43．（2026•安溪县模拟）·【基础】若mn＜0，则关于x的方程mx2+2x+n＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【分析】根据Δ的值，可以判断方程mx2+2x+n＝0根的情况． 【解答】解：由题意得，Δ＝22﹣4mn＝4﹣4mn，∵mn＜0， ∴﹣4mn＞0， ∴Δ＝4﹣4mn＞4＞0， ∴方程mx2+2x+n＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 教学提示：mn<0时mx²+2x+n=0，Δ=4-4mn>0（mn负→-4mn正）两不等实根。 即时巩固44．（2025秋•玉溪期末）·【提升】若关于x的方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为（　　） A．﹣9 B．3 C．9 D．36 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根的条件，可知判别式Δ＝0，代入系数建立方程求解c的值． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣6）2﹣4×1×c＝0， ∴36﹣4c＝0， ∴4c＝36， ∴c＝9， 故选：C． 教学提示：两相等实根→Δ=0：(-6)²-4c=0→c=9；别与Δ>0混淆。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点6：含参判别式忽略隐含条件 学习目标 · 会用Δ求参数取值范围 · 注意二次项系数≠0与退化 纠错指引 含参二次方程“有两实根”需Δ≥0且a≠0；“总有实根”还要考虑a=0时退化为一次方程仍成立的情况。 精讲例题 例题6．（2026春•北仑区校级期末）·【提升】探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，以下是三名同学给出的建议．甲：a﹣b﹣1＝0；乙：a，b同号；丙：a+b﹣1＝0．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙的建议都正确 B．只有乙的建议不正确 C．甲、乙、丙的建议都不正确 D．只有甲的建议正确 【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例和根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断． 【解答】解：由题意得，Δ＝b2+4a， 若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以甲的条件满足方程总有实数根； 若a、b同号，不妨令a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以乙的条件不满足方程总有实数根； 若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根； 故选：B． 教学提示：ax²+bx-1=0总有实根：a≠0时Δ=b²+4a需≥0；a=0退化为一次也成立，要分类讨论。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 两实根需Δ≥0且a≠0 · 总有实根要考虑a=0退化 即时巩固 即时巩固45．（2026•安定区二模）·【基础】已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≥1 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0，然后解关于m的不等式即可． 【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m≥0， 解得m≤1， 故选：C． 教学提示：两实根→Δ=(-2)²-4m≥0→m≤1；注意等号（可相等）。 即时巩固46．（2026春•坊子区期末）·【基础】已知关于x的方程x2﹣4x﹣m＝0，下列m的取值能使方程有两个不相等的实数根的是（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＞0， ∴m＞﹣4，故对照选项可得，A符合题意，BCD均不合题意． 故选：A． 教学提示：两不等实根→Δ=16+4m>0→m>-4；不等号方向易错。 即时巩固47．（2026春•温州期末）·【基础】关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，代入系数计算不等式即可得到m的范围． 【解答】解：由条件可知根的判别式Δ＝32﹣4×1×m＞0， ∴9﹣4m＞0， ∴m 故选：C． 教学提示：两不等实根→9-4m>0→m<9/4；系数符号代入要准。 即时巩固48．（2026•瑶海区校级三模）·【基础】关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】直接利用根的判别式，得出Δ＞0，进而求出c的值． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝16﹣4c＞0， ∴c＜4， ∴对照选项可得，选项B、C、D均不合题意，选项A符合题意． 故选：A． 教学提示：两不等实根→16-4c>0→c<4；选c=2等符合的值。 易错点7：解方程后未检验几何约束 学习目标 · 会用方程求几何图形边长 · 掌握解后检验几何约束 纠错指引 方程解出的边长要代入三角形三边关系（或菱形、等腰定义）检验，不满足的舍去，多解未必都合题意。 精讲例题 例题7．（新教材同步题）·【基础】已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【分析】根据因式分解法求一元二次方程得x1＝4，x2＝9，再根据三角形三边关系分类讨论，即可求解． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4， 当第三边为4时，6﹣3＜4＜6+3，能构成三角形， ∴周长为3+6+4＝13； 当第三边为2时，2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为13， 故选：C． 教学提示：x²-6x+8=0得x=4或9，三角边3、6，9不满足3+6>9舍去，周长11或13。 易错倾向标签：易漏解 【本题核心易错点】 · 解得边长须验三边关系 · 多解未必都合题意需舍去 即时巩固 即时巩固49．（2024秋•延平区校级月考）·【基础】若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．20或28 【分析】根据菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，然后解一元二次方程可得x＝5或x＝7，再分两种情况：当AB＝AD＝CD＝BC＝5时；当AB＝AD＝CD＝BC＝7时；最后分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣12x+35＝0， ∴（x﹣5）（x﹣7）＝0， x﹣5＝0或x﹣7＝0， 解得x＝5或x＝7， 分两种情况： 当AB＝AD＝CD＝BC＝5时， ∵5+5＜12， ∴不能构成三角形； 当AB＝AD＝CD＝BC＝7时， ∵7+7＝14＞12， ∴能构成三角形， 综上所述：该菱形ABCD的边长为7， ∴菱形的周长＝4×7＝28， 故选：C． 教学提示：菱形边=方程根5或7，5+5<12不能成三角形，故边长7周长28。 即时巩固50．（2023秋•青山区校级期中）·【基础】三角形两边长分别为7和4，第三边是方程x2﹣11x+18＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．13 B．13或20 C．12 D．20 【分析】先利用解一元二次方程的解﹣因式分解法进行计算，可求出x1＝2，x2＝9，然后根据三角形的三边关系可得：x＝2不符合题意，舍去，从而根据三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【解答】解：x2﹣11x+18＝0， （x﹣2）（x﹣9）＝0， x﹣2＝0或x﹣9＝0， x1＝2，x2＝9， ∵三角形两边长分别为7和4， ∴x＝2不符合题意，舍去， ∴这个三角形的周长＝7+4+9＝20， 故选：D． 教学提示：第三边=根2或9，2+4=6<7舍去，第三=9周长20；强调检验。 即时巩固51．（2024秋•冷水滩区校级月考）·【提升】等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则它的周长是（　　） A．10 B．10或8 C．9 D．8 【分析】依据题意，先利用因式分解法解方程可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系求解即可得． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x＝2或x＝4， ∵等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣6x+8＝0的两根， ∴等腰三角形的两边长分别2和4， ∴①当腰为2时，则三边长分别为2，2和4， 此时2+2＝4，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰为4时，则三边长分别为2，4和4， 此时2+4＞4，满足三角形的三边关系，它的周长为2+4+4＝10； 综上，这个等腰三角形的周长为10， 故选：A． 教学提示：等腰两边为方程根，先解方程再用三边关系分类讨论求周长。 即时巩固52．（2025秋•广信区期中）·【基础】一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0的根，则这个三角形的周长为 　 　 ． 【分析】先利用解一元二次方程﹣因式分解法求出方程的根，然后再分两种情况，进行计算即可解答． 【解答】解：x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0， （x﹣5）（x﹣2）＝0， x﹣5＝0或x﹣2＝0， x1＝5，x2＝2， 分两种情况： 当第三边为2时， ∵2+4＝6， ∴不能组成三角形， 当第三边为5时，这个三角形的周长＝4+5+6＝15， 综上所述：这个三角形的周长为15， 故答案为：15． 教学提示：两边4、6，第三边=根2或5；2+4=6不>6舍去，5成立周长15。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点8：新定义情境不会列方程 学习目标 · 会把新定义翻译为方程 · 选合适方法解所列方程 纠错指引 先读懂新定义或情境，将其翻译成一元二次方程，再观察结构选因式分解或配方法求解。 精讲例题 例题8．（2025秋•天河区校级期中）·【基础】我们规定：对于任意实数a，b，c，d有[a，b]*[c，d]＝ac﹣bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算（如：[3，2]*[5，1]＝3×5﹣2×1＝13），若[﹣x，3]*[x﹣2，﹣6]＝10，则x的值为 　 　 ． 【分析】按照定义的新运算可得：﹣x（x﹣2）﹣3×（﹣6）＝10，从而整理可得：x2﹣2x﹣8＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵[﹣x，3]*[x﹣2，﹣6]＝10， ∴﹣x（x﹣2）﹣3×（﹣6）＝10， 整理得：x2﹣2x﹣8＝0， （x﹣4）（x+2）＝0， x﹣4＝0或x+2＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣2， ∴x的值为4或﹣2， 故答案为：4或﹣2． 教学提示：[−x,3]*[x−2,−6]=−x(x−2)−3(−6)=10→x²−2x−8=0→x=4或−2；先按定义列式。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 先按定义写出方程再求解 · 新运算本质是方程建模 即时巩固 即时巩固53．（2026春•义乌市期中）·【基础】如图，电路中有三个定值电阻R1，R2，R3，且R1，R2的阻值（单位：Ω）满足方程R2﹣3R+2＝0，R3＝1Ω．若闭合开关S后，电流表的读数为6A，则电源的电压是（　　） A．8V B．10V C．15V D．24V 【分析】依据题意，先根据一元二次方程的根与系数的关系得出R1+R2＝3，R1•R2＝2，根据已知关系式求出并联电阻，再求然后根据得出结论． 【解答】解：由题意，∵R1，R2的阻值满足方程R2﹣3R+2＝0， ∴R1+R2＝3，R1•R2＝2． ∵， ∴， ∴电路中总电阻为R1（Ω）． ∵， ∴U＝IR＝610， ∴电源的电压是10V． 故选：B． 教学提示：R方程R²−3R+2=0根1、2即R1、R2；用根与系数求并联电阻再算电压。 即时巩固54．（新教材同步题）·【基础】若3y2与﹣x4m﹣2y2是同类项，则m＝　 　 ． 【分析】根据同类项的定义可得2m2﹣m＝4m﹣2，从而整理得：2m2﹣5m+2＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：∵3y2与﹣x4m﹣2y2是同类项， ∴2m2﹣m＝4m﹣2， 整理得：2m2﹣5m+2＝0， （m﹣2）（2m﹣1）＝0， m﹣2＝0或2m﹣1＝0， m1＝2，m2， ∴m＝2或， 故答案为：2或． 教学提示：同类项→2m²−m=4m−2→2m²−5m+2=0→m=2或1/2；先列方程。 即时巩固55．（2022秋•冷水滩区校级期中）·【基础】先定义运算“☆”对于任意实数a，b都有a☆b＝a2﹣3a+b，如3☆3＝32﹣3×3+3，如x☆2＝6，则实数x＝　 　 ． 【分析】根据运算定义列出一元二次方程，并进行整理、求解． 【解答】解：由题意得x2﹣3x+2＝6， 整理，得x2﹣3x﹣4＝0， 因式分解，得（x﹣4）（x+1）＝0， 可得x﹣4＝0或x+1＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝4， 故答案为：﹣1或4． 教学提示：x☆2=x²−3x+2=6→x²−3x−4=0→x=4或−1；把新运算翻译成方程。 即时巩固56．（2022秋•南康区期中）·【基础】对任意实数，a，b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x+1）＝7，则x的值为 　 　 ． 【分析】根据已知可得x2+（x+1）2﹣x（x+1）＝7，然后化简整理可得x2+x﹣6＝0，再利用因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：∵x⊗（x+1）＝7， ∴x2+（x+1）2﹣x（x+1）＝7， ∴x2+x2+2x+1﹣x2﹣x＝7， ∴x2+x﹣6＝0， ∴（x+3）（x﹣2）＝0， ∴x+3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝2， ∴x的值为：﹣3或2， 故答案为：﹣3或2． 教学提示：x⊗(x+1)=x²+(x+1)²−x(x+1)=7→x²+x−6=0→x=2或−3。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 易错点9：解法选择不当走弯路 学习目标 · 会根据方程特征选解法 · 理解四种解法适用情形 纠错指引 缺常数项→提取公因式；一边是完全平方→直接开平；一般式→公式法或配方；优先选最简解法，避免生搬硬套。 精讲例题 例题9．（2025秋•鲤城区校级期末）·【提升】解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 【分析】依据题意，根据一元二次方程x2﹣2x＝0，从而可得x（x﹣2）＝0，故可得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程为x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0，故最适合的方法是因式分解法． 故选：B． 教学提示：x²−2x=0缺常数项，最适合因式分解x(x−2)=0；不选配方/公式劳而无功。 易错倾向标签：易想错 【本题核心易错点】 · 缺常数项应提取公因式 · 观察结构选最简解法 即时巩固 即时巩固57．（2025秋•河南月考）·【基础】关于x的方程x2﹣4x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为﹣4 D．适合用配方法解方程 【分析】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0），分析方程x2﹣4x+3＝0各项系数，并判断解方程的方法． 【解答】解：由题意得，∵x2﹣4x+3＝0的二次项是x2， ∴二次项系数为1，故A正确，不符合题意． ∵x2﹣4x+3＝0的常数项是3， ∴B错误，符合题意． ∵x2﹣4x+3＝0的一次项是﹣4x， ∴一次项系数为﹣4，故C正确，不符合题意． ∵x2﹣4x+3＝0中，二次项系数为1，一次项系数是﹣4， ∴适合用配方法解方程，故D正确，不符合题意． 故选：B． 教学提示：x²−4x+3=0各项系数清晰，适合配方或直接求根；识别一般形式。 即时巩固58．（2024•兴庆区校级一模）·【提升】对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（　　） A． S＝21+4＝25 B． S＝21﹣4＝17 C． S＝21+4＝25 D． S＝21﹣4＝17 【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答． 【解答】解：x2﹣4x﹣21＝0 x2﹣4x+4＝21+4 （x﹣2）2＝25 正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25， 故选：C． 教学提示：几何背景方程x²−4x−21=0，用配方构造正方形面积；理解配方几何意义。 即时巩固59．（2026•常州校级模拟）·【基础】解下列方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）2x（x﹣3）＝5（3﹣x）． 【分析】（1）运用求根公式计算即可求解； （2）运用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝16+12＝28＞0， ∴， ∴； （2）由题意得，2x（x﹣3）＝﹣5（x﹣3）， ∴2x（x﹣3）+5（x﹣3）＝0， ∴（x﹣3）（2x+5）＝0， ∴x﹣3＝0，2x+5＝0， ∴． 教学提示：(1)x²−4x−3=0用求根公式；(2)2x(x−3)=5(3−x)移项提(x−3)因式分解。 本组更多习题参见教师版附录‑备用题库 【附录‑备用题库】 9．（2026•黄冈模拟）·【基础】某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝2x，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 27．（2025秋•河南月考）·【基础】关于x的方程x2﹣4x+3＝0，下列说法错误的是（　　） A．二次项系数为1 B．常数项为0 C．一次项系数为﹣4 D．适合用配方法解方程 34．（2026春•那坡县校级期末）·【基础】一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 37．（2026春•钢城区期末）·【基础】一元二次方程x2+4x+7＝0根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 68．（2025秋•广信区期中）·【基础】一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程x（x﹣5）﹣2（x﹣5）＝0的根，则这个三角形的周长为 　 　 ． 86．（2022秋•南康区期中）·【基础】对任意实数，a，b，定义一种运算：a⊗b＝a2+b2﹣ab，若x⊗（x+1）＝7，则x的值为 　 　 ． 过关测试（综合检测） 1．（2026•黄冈模拟）·【基础】某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2＝2x，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得x＝2． 移项，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0． ∴x﹣2＝0或x＝0，解得x1＝2，x2＝0． 其中完全正确的是（　　） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【解答】解：由题意得，甲同学的解法错误，理由如下： 方程两边不能同时除以x，因为x可能为0，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， ∴完全正确的是乙同学． 故选：B． 教学提示：判断甲乙解x²=2x：正确做法是移项因式分解，找出谁漏根或算错。 2．（2025秋•开鲁县期中）·【基础】一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2+4x+1＝0， x2+4x＝﹣1， x2+4x+4＝﹣1+4， （x+2）2＝3， 故选：B． 教学提示：x²+4x+1=0→(x+2)²=3；移项1再+4得3。 3．（2025•青岛自主招生）·【基础】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2025＝0时，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2025 D．2026 【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形，据此得出a的值即可解决问题． 【解答】解：由题知，x2+2x﹣2025＝0， ∴x2+2x+1＝2025+1， ∴（x+1）2＝2026， ∴a＝1． 故选：B． 教学提示：x²+2x-2025=0→(x+1)²=2026；-2025+1=-2024移项+2024再+1→2026。 4．（2026•密云区一模）·【提升】若关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【解答】解：由题意，∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4（2m﹣1）＝0， ∴m＝1． 故选：C． 教学提示：两相等实根→Δ=4-4(2m-1)=0→m=1；先化一般式再算Δ。 5．（2023秋•杨浦区校级期中）·【提升】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0．且该方程与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，则n的值为（　　） A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】根据题意易得：关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两个实数根为x＝1或x＝﹣1，然后利用解一元二次方程﹣因式分解法可得（x+2）（x﹣n）＝0的根为x＝﹣2或x＝n，再根据互为“同伴方程”的定义可得n＝1或n＝﹣1，即可解答． 【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两个实数根为x＝1或x＝﹣1， ∵（x+2）（x﹣n）＝0， ∴x+2＝0或x﹣n＝0， ∴（x+2）（x﹣n）＝0的根为x＝﹣2或 x＝n， ∵ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”， ∴n＝1或n＝﹣1， 故选：A． 教学提示：同伴方程：先由a+b+c=0与a-b+c=0得根1、-1，再匹配n值。 6．（2025•南山区校级二模）·【基础】方程x2﹣x＝0的解是 　 　 ． 【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 教学提示：x²-x=0=x(x-1)=0，两根0、1；约去x漏根。 苏科版（2024） · 一元二次方程的解法 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $