专题02 直接开平方法与配方法（10大题型）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦直接开平方法与配方法，构建从基础解法到综合应用的递进式训练体系，通过题型分层实现方法迁移与逻辑深化。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|2题型（含典例+变式）|直接开平方步骤及参数取值条件分析|从解方程到参数求解，体现解法适用条件的逻辑延伸| |配方法|8题型（含典例+变式）|系数为1/不为1的配方步骤、错解还原策略及跨场景应用（求最值、因式分解等）|从配方变形到综合应用，构建“解法-纠错-拓展”的知识链|

专题02 直接开平方法与配方法 题型01 直接开平方法 题型02 利用直接开平方法求参数 题型03 用配方法配系数为1的方程 题型04 用配方法配系数不为1的方程 题型05 用配方法解一元二次方程 题型06 用配方法解一元二次方程之错解还原问题 题型07 利用配方法求最值 题型08 利用配方法比较大小 题型09 通过配方法判断三角形的形状 题型10 用配方法进行因式分解 ▌题型01 直接开平方法 【典例1】下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】方程（x﹣3）2＝4的解是　 ． 【变式1-3】用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【典例1】如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【变式1-2】如果关于x的方程（x-9）2=m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C． D．m≥-3 【变式1-3】如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么的值为　　 ． ▌题型03 用配方法配系数为1的方程 【典例1】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【变式1-2】将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 【变式1-3】用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． ▌题型04 用配方法配系数不为1的方程 【典例1】用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【变式1-1】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式1-2】一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】用配方法解方程，方程可变形为（   ） A． B． C． D． ▌题型05 用配方法解一元二次方程 【典例1】解方程 (1)； (2)． 【变式1-1】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】用配方法解方程： (1)． (2)． 【变式1-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)． ▌题型06 用配方法解一元二次方程之错解还原问题 【典例1】阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【变式1-1】下列是小明同学用配方法解方程：的过程： 解：，…第1步 ，…第2步 ，…第3步 ，则…第4步 ∴． 最开始出现错误的是第 _____步． 【变式1-2】有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【变式1-3】阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． ▌题型07 利用配方法求最值 【典例1】阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为 ； (2)求的最小值． 【变式1-1】【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【变式1-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【变式1-3】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． ▌题型08 利用配方法比较大小 【典例1】我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【变式1-1】已知，，请比较和的大小． 【变式1-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或 几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如x2+4x+6＝（x2+4x+4）+2＝（x+2）2+2．可知当（x+2）2＝0，即x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式x2﹣4x﹣7的最小值为　 　 ； （2）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣10b+34＝0，求边c的取值范围； （3）已知P＝3m2+4n+19，Q＝m2﹣n2+12m﹣4，试比较P，Q的大小． 【变式1-3】定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝（m﹣n）2+（n﹣4）2， 则多项式m2﹣2mn+2n2﹣8n+16就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）判断：多项式x2﹣2xy+2y2是不是双平方多项式． （2）若多项式x2+y2﹣2x+6y+k是双平方多项式，求整数k的值． （3）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小． ▌题型09 通过配方法判断三角形的形状 【典例1】若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【变式1-1】先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【变式1-2】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式1-3】【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+32﹣32+8 ＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式． （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式． （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． ▌题型10 用配方法进行因式分解 【典例1】【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【变式1-1】对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完成平方的方式进行因式分解，比如把代数 式x2﹣6x﹣7因式分解： 解：x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）若代数式x2+8x﹣9＝0，则x的值为　 　 ． 【变式1-2】【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【变式1-3】“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直接开平方法与配方法 题型01 直接开平方法 题型02 利用直接开平方法求参数 题型03 用配方法配系数为1的方程 题型04 用配方法配系数不为1的方程 题型05 用配方法解一元二次方程 题型06 用配方法解一元二次方程之错解还原问题 题型07 利用配方法求最值 题型08 利用配方法比较大小 题型09 通过配方法判断三角形的形状 题型10 用配方法进行因式分解 ▌题型01 直接开平方法 【典例1】下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 【变式1-1】下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 【变式1-2】方程（x﹣3）2＝4的解是　 ． 【分析】方程的左边是一个完全平方的形式，右边是4，两边直接开平方有x﹣3＝±2，然后求出方程的两个根． 【解答】解：（x﹣3）2＝4 x﹣3＝±2 x＝3±2， ∴x1＝1，x2＝5． 故答案为：x1＝1，x2＝5． 【变式1-3】用直接开平方法解下列方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． （3）解：， ， ， ，． （4）解：， ， ，． ▌题型02 利用直接开平方法求参数 【典例1】如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 【变式1-1】若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【答案】C 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2． 【变式1-2】如果关于x的方程（x-9）2=m+3可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m≥0 C． D．m≥-3 【分析】根据解一元二次方程-直接开平方法得到m+3≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得m+3≥0， 解得m≥-3． 故选：D． 【变式1-3】如果关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4，那么的值为　　 ． 【分析】先求出方程的根，得出关于m的不等式，求出m的值，代入后即可求出答案． 【解答】解：解方程ax2＝b得：x2， ∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4， ∴（m+1）2，（2m﹣4）2， ∴b＝a（m+1）2，b＝a（﹣2m+4）2， ∵关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是x1＝m+1与x2＝2m﹣4， ∴m+1＝﹣2m+4（m+1和﹣2m+4互为相反数）， 解得：m＝1， 方程的两根为±2， 即4， b＝4a， ∴4， 故答案为：4． ▌题型03 用配方法配系数为1的方程 【典例1】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 【变式1-1】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ∴，， 则． 【变式1-2】将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 【变式1-3】用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． ▌题型04 用配方法配系数不为1的方程 【典例1】用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 【变式1-1】某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 【变式1-2】一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式1-3】用配方法解方程，方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解：， 移项得：， ∴， 配方得：，即． 故选：D． ▌题型05 用配方法解一元二次方程 【典例1】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解． （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 配方得， ， 即， ． （2）解：， ， 配方得， ， 即， ． 【变式1-1】用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以6得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （4）解：， 变为一般形式得：， 移项得：， 配方得：， 即， ∵， ∴原方程无解． 【变式1-2】用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 【变式1-3】用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】按照配方的方法步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，． （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． ▌题型06 用配方法解一元二次方程之错解还原问题 【典例1】阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)B (2)②；等号右边没有加9 (3)解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． （3）略 【变式1-1】下列是小明同学用配方法解方程：的过程： 解：，…第1步 ，…第2步 ，…第3步 ，则…第4步 ∴． 最开始出现错误的是第 _____步． 【答案】2 【分析】将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】解：，…第1步， ，…第2步， ，……第3步， ，则……第4步， ∴． 所以原解答过程从第2步开始出现错误， 故答案为：2． 【变式1-2】有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【答案】(1)③ (2)解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； (3)解：， ， ， ， ， ∴，． 【分析】（1）过程③应该是，出现错误； （2）根据配方法的步骤进行作答即可； （3）根据配方法的步骤进行作答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式1-3】阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 【分析】（1）步骤②中，等式左边加了1，没有同时减1，导致等式不成立； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 ▌题型07 利用配方法求最值 【典例1】阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为 ； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2）解： ， ∵，， ∴． ∴的最小值是12． 【变式1-1】【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)若，运用配方法可求出的最小值为________； (3)如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 【变式1-2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 【变式1-3】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． ▌题型08 利用配方法比较大小 【典例1】我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 【变式1-1】已知，，请比较和的大小． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，把与代入中，去括号合并后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质判断差的正负，即可确定出与的大小．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， 即． 【变式1-2】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或 几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如x2+4x+6＝（x2+4x+4）+2＝（x+2）2+2．可知当（x+2）2＝0，即x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： （1）代数式x2﹣4x﹣7的最小值为　﹣11　 ； （2）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣6a﹣10b+34＝0，求边c的取值范围； （3）已知P＝3m2+4n+19，Q＝m2﹣n2+12m﹣4，试比较P，Q的大小． 【分析】（1）根据例题用配方法，得出x2﹣4x﹣7＝（x﹣2）2﹣11，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）＝0，根据非负数的性质求得a＝3，b＝5，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出P﹣Q＝2（m﹣3）2+（n+2）2+1＞0，即可求解． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣7＝（x2﹣4x+4）﹣11＝（x﹣2）2﹣11， 当（x﹣2）2＝0，即x＝2时，x2﹣4x﹣7的最小值为﹣11． 故答案为：﹣11； （2）由条件可知（a2﹣6a+9）+（b2﹣10b+25）＝0，即（a﹣3）2+（b﹣5）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣5）2≥0， ∴a＝3，b＝5， ∵b﹣a＜c＜b+a， ∴2＜c＜8； （3）∵P＝3m2+4n+19，Q＝m2﹣n2+12m﹣4， ∴P﹣Q＝3m2+4n+19﹣（m2﹣n2+12m﹣4） ＝3m2+4n+19﹣m2+n2﹣12m+4 ＝2m2﹣12m+n2+4n+23 ＝2（m2﹣6m+9）+（n2+4n+4）+1 ＝2（m﹣3）2+（n+2）2+1， ∴P﹣Q≥0+0+1＝1＞0， ∴P＞Q． 【变式1-3】定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝（m﹣n）2+（n﹣4）2， 则多项式m2﹣2mn+2n2﹣8n+16就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）判断：多项式x2﹣2xy+2y2是不是双平方多项式． （2）若多项式x2+y2﹣2x+6y+k是双平方多项式，求整数k的值． （3）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小． 【分析】（1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到x2+y2﹣2x+6y+k＝（x﹣1）2+（y+3）2+k﹣10，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算P﹣Q＝（x﹣3）2+（y+2）2+1＞0，即可比较大小． 【解答】解：（1）x2﹣2xy+2y2＝x2﹣2xy+y2+y2＝（x﹣y）2+y2 ∴多项式x2﹣2xy+2y2能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）x2+y2﹣2x+6y+k ＝x2﹣2x+y2+6y+k ＝x2﹣2x+1+y2+6y+9﹣1﹣9+k ＝（x﹣1）2+（y+3）2+k﹣10， 由条件可知k﹣10＝0， 解得k＝10． （3）P﹣Q＝2x2+4y+13﹣（x2﹣y2+6x﹣1） ＝x2﹣6x+y2+4y+14 ＝x2﹣6x+9+y2+4y+4+14﹣9﹣4 ＝（x﹣3）2+（y+2）2+1， ∴（x﹣3）2+（y+2）2+1≥1＞0，即P﹣Q＞0， ∴P＞Q． ▌题型09 通过配方法判断三角形的形状 【典例1】若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【答案】等边 【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出，即可判断出的形状． 【详解】解：原式两边都乘2，得． 整理，得， 即． ，，， ，，， ． 故是等边三角形． 【变式1-1】先阅读材料，再解决下列问题． 例如：用配方法求代数式的最小值． 原式． ∵， ∴当时，有最小值是2． 根据上述所用方法，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)3 (2)1，大，-2 (3)直角三角形，见解析 【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式． （2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式． （3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状． 【详解】（1）解：； ∴的最小值是3． （2）， ， ， ∴当的时，有最大值． 故答案为：1，大，． （3）， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0． ，，， 解得，，． ∵， ∴是直角三角形． 【变式1-2】若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】略 【变式1-3】【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式． 配方：x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+32﹣32+8 ＝（x﹣3）2﹣1 分解因式：x2﹣6x+8 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1） ＝（x﹣2）（x﹣4） 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式． （2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式． （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． （4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法． （2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可． （3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案． （4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5 ＝x2﹣4x+22﹣22﹣5 ＝（x﹣2）2﹣9． （2）x2﹣2x﹣35 ＝x2﹣2x+1﹣1﹣35 ＝（x﹣1）2﹣62 ＝（x﹣1+6）（x﹣6） ＝（x+5）（x﹣7）． （3）△ABC为等边三角形，理由如下： ∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0， ∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0， ∴a＝b，b＝1，c＝1， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形． （4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15 ＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2 ＝（x+2）2+（y﹣3）2+2， ∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2， ∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数． ▌题型10 用配方法进行因式分解 【典例1】【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： (1)将配方成的形式为：_________________________； (2)利用配方法分解因式：_________________________； (3)多项式的最小值为_________________________； (4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________． 【答案】(1) (2) (3)2026 (4)8 【分析】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意； （1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：； ∴将配方成的形式为：； （2）解：； （3）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最小值，最小值为2026； （4）解：如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值，最大值为8． 【变式1-1】对于部分不是完全平方形式的代数式，往往可以通过配成完成平方的方式进行因式分解，比如把代数 式x2﹣6x﹣7因式分解： 解：x2﹣6x﹣7＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3）2﹣16 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7） （1）请你仿照上面的方法，把代数式x2﹣8x+7因式分解； （2）若代数式x2+8x﹣9＝0，则x的值为　 　 ． 【分析】（1）把x2﹣8x+7化为（x2﹣8x+16）﹣16+7，再进一步求解即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣8x+16）﹣16+7 ＝（x﹣4）2﹣9 ＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3） ＝（x﹣1）（x﹣7）； （2）原方程因式分解可得： （x﹣1）（x+9）＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣9． 故答案为：1或﹣9． 【变式1-2】【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 【变式1-3】“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1)； (2)当时，多项式有最大值，最大值是5． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式，转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解： ， ∴当时，多项式有最大值，最大值是5． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $