专题15.2 等腰三角形（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题15.2等腰三角形 教学目标 1.理解等腰三角形的概念． 2.掌握等腰三角形的性质及判定定理． 3.运用等腰三角形的性质及判定定理解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）等腰三角形的概念； （2）掌握等腰三角形的性质及判定定理． 2.难点 运用等腰三角形的性质及判定定理解决相关问题． 知识点01 等腰三角形的概念 1. 等腰三角形的概念： 有_______相等的三角形是等腰三角形． 2. 等腰三角形的相关概念： 在等腰三角形中，相等的两条边叫做____，剩余的一边叫做_______，两腰的夹角叫做_______，腰与底边的夹角叫做_______． 如图，在中，，是腰，是底边，是顶角，，是底角． 注意： ①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是，两边之和大于第三边等； ②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是研究它的重要方法； ③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方； ④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角． 知识点02 等腰三角形的性质 1．等腰三角形的两个底角_______（简写成“____________”）． 应用模式： 在中， ∵， ∴． 注意： ①这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便； ②应用这个性质时，必须在一个三角形中． 2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 应用模式：如图，在中， ①∵，平分， ∴，； ②∵，， ∴，； ③∵，， ∴，． 注意： ①应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合； ②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 【即学即练】 1．如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 3．如图，在中，，点D是边上的中点，． （1）求的度数； （2）求的度数． 4．如图，在中，，，的延长线交于点E．求证：，． 知识点03 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法有两个： ①定义法：有两条边_______的三角形是等腰三角形． ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）． 注意： “等角对等边”也是我们今后证明两条线段相等常用的方法． 【即学即练】 1．以下条件中，能判定三角形是等腰三角形的是（    ） A．三角形中有两个角分别是， B．三角形中有两个角分别是， C．三角形中有两个角分别是， D．三角形中有两个角分别是锐角 2．如图，，．求证：． 3．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 【典例1】等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和或和 【变式2】等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【典例2】已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，则这个等腰三角形的周长为________． 【变式3】若等腰三角形两条边的长分别是和，则该三角形的周长是_____． 【变式4】已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为_________． 【典例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 【变式5】等腰三角形的一边上的高与一腰的夹角是，则底角为_________． 【变式6】已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为___________度． 题型02 等腰三角形的判定及性质的综合应用 【典例1】 如图，E为的边上一点，且，平分，与相交于点D，．若，，则的长为_________________． 【典例2】在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． （1）求证：； （2）若平分，且，，求的周长． 【变式1】如图，在中，，点E在的延长线上，于点P，交于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，在上截取，连接，． （1）与相等吗？为什么？ （2）求的度数． 【变式3】 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，过点B作于点F，点G在上，连接，与互余． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 题型03 等腰三角形的存在性 【典例1】如图，点A、B都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的C点的个数是（    ） A．10个 B．8个 C．6个 D．4个 【变式1】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有_______个． 【变式2】如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（    ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有___________个． 1．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等腰三角形，已知，，点B在点C的正西方向上，点A在点C的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏东方向上 D．东偏北方向上 3．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为D，连接．已测得，则（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点C和点D，连接，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点E．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 5．在下图的三角形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为，那么其余两个角的度数分别为______和______； （2）如果等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为______． 8．如图，在中，，点E在边上，点D在上，，若，，则等于__________． 9．如图，中，G、D两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则__________． 10．如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，，那么这个三角形的周长是______；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 11．如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 12．如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中： ①；②；③；④． 错误的是__________．（写出所有错误结论的序号） 13．如图，在中，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点F，连接，作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）证明：． 14．如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 1．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点B与上的点E重合，展开后，折痕交于点F，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点D不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为_______________ 3．如图，在中，，，边沿着过点A的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接． （1）如图1，连接，当点D在外部时，试说明； （2）如图2，连接，当点D在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； （3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且，求的长． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2等腰三角形 教学目标 1.理解等腰三角形的概念． 2.掌握等腰三角形的性质及判定定理． 3.运用等腰三角形的性质及判定定理解决相关问题． 教学重难点 1.重点 （1）等腰三角形的概念； （2）掌握等腰三角形的性质及判定定理． 2.难点 运用等腰三角形的性质及判定定理解决相关问题． 知识点01 等腰三角形的概念 1. 等腰三角形的概念： 有两边相等的三角形是等腰三角形． 2. 等腰三角形的相关概念： 在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，剩余的一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角． 如图，在中，，是腰，是底边，是顶角，，是底角． 注意： ①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是，两边之和大于第三边等； ②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点，又是研究它的重要方法； ③对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和产生错误的地方； ④等腰三角形的顶角可以是直角、钝角、锐角，而底角只能是锐角． 知识点02 等腰三角形的性质 1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 应用模式： 在中， ∵， ∴． 注意： ①这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法．它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便； ②应用这个性质时，必须在一个三角形中． 2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 应用模式：如图，在中， ①∵，平分， ∴，； ②∵，， ∴，； ③∵，， ∴，． 注意： ①应用“三线合一”性质的前提条件必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线互相重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合； ②等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 【即学即练】 1．如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设的度数为， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 在中，由三角形内角和定理得：， ∴，解得， ∴的度数为． 2．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】6 【详解】解：∵在中，，于点D， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 3．如图，在中，，点D是边上的中点，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵，点D是边上的中点， ∴． 4．如图，在中，，，的延长线交于点E．求证：，． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 知识点03 等腰三角形的判定 判定等腰三角形的方法有两个： ①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形． ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 注意： “等角对等边”也是我们今后证明两条线段相等常用的方法． 【即学即练】 1．以下条件中，能判定三角形是等腰三角形的是（    ） A．三角形中有两个角分别是， B．三角形中有两个角分别是， C．三角形中有两个角分别是， D．三角形中有两个角分别是锐角 【答案】C 【详解】解：∵ 三角形内角和为， ∴ 选项A、B的第三个内角分别为、，均无相等内角，不是等腰三角形； 选项C的第三个内角为，有两个相等内角，则这两个相等的角的对边相等，故是等腰三角形； 选项D中，两个锐角无法确定是否相等，如两角为和时不是等腰三角形，不能判定． 2．如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，边的垂直平分线与边交于点M，点E在线段上，连接，，且． （1）求的度数； （2）求证：是等腰三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵点M在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则的度数为． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型01 等腰三角形中的分类讨论问题 【典例1】等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个外角为， ∴ 和这个外角相邻的内角为． 分两种情况讨论： ① 若是底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去该情况． ② 若是顶角，则底角为 ． ∴ 该等腰三角形的底角为． 【变式1】等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和或和 【答案】D 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和， 综上所述，另外两个角为和或和． 【变式2】等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， 分两种情况讨论： 若为底角，则底角就是； 若为顶角，则底角为； ∴该等腰三角形的底角度数是或． 【典例2】已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为3，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】11或13 【详解】解： 分两种情况讨论： 情况1：当腰长为3时，三角形三边长为3，3，5， ∵，符合三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为． 情况2：当腰长为5时，三角形三边长为5，5，3， ∵，符合三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为． 因此这个等腰三角形的周长为11或13． 【变式3】若等腰三角形两条边的长分别是和，则该三角形的周长是_____． 【答案】 【详解】解：若等腰三角形两条边的长分别是和，假设是该等腰三角形的腰，那么它的另一条腰也为，因为，所以不能是该等腰三角形的腰，因此该等腰三角形的腰长为，那么该三角形的周长． 【变式4】已知等腰三角形两边的长分别是15和7，则其周长为_________． 【答案】 【详解】解：①是腰长时，三角形的三边分别为、、， ∵， ∴不能组成三角形， ②是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长， 综上所述，它的周长是． 【典例3】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，它的底角为________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，设等腰三角形，为边上的高， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，设等腰三角形，为延长线上的高， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，该等腰三角形的底角为或． 【变式5】等腰三角形的一边上的高与一腰的夹角是，则底角为_________． 【答案】或或 【详解】解：如图1，高为底边上的高时， ∵ ∴顶角， ∴； 高为腰上的高时，如图2，若三角形是锐角三角形， ∵， ∴顶角， ∴， 如图3，若三角形是钝角三角形，    ∵， ∴， ∴， 综上所述，底角的度数为或或． 【变式6】已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的底角度数为___________度． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ∵，， ∴， ∵， ∴； ∴； ②若，如图2所示： 同①可得：， ∴； ∴， 综上所述，底角的度数为或． 题型02 等腰三角形的判定及性质的综合应用 【典例1】 如图，E为的边上一点，且，平分，与相交于点D，．若，，则的长为_________________． 【答案】1 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例2】在四边形中，，连接，且，在对角线上取点E，使，连接． （1）求证：； （2）若平分，且，，求的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）11 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解： ∵平分， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴的周长， 即的周长是11． 【变式1】如图，在中，，点E在的延长线上，于点P，交于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，在上截取，连接，． （1）与相等吗？为什么？ （2）求的度数． 【答案】（1）相等，理由见解析；（2） 【详解】解：（1）相等，理由如下： ∵， ∴点E是的中点， ∵， ∴是的角平分线， ∴． （2）∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）知：是的高线， ∴， ∴． 【变式3】 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，过点B作于点F，点G在上，连接，与互余． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）5 【详解】（1），理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 又∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵，， ∴． 题型03 等腰三角形的存在性 【典例1】如图，点A、B都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的C点的个数是（    ） A．10个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【详解】解：设网格小正方形的边长为1， 由图可知，点A、B在同一条竖直格线上，且， 网格横向有6个格，纵向有3个格， 分三种情况讨论：①当时，点C在以A为圆心，2为半径的圆上， 在网格内，满足条件的格点有2个，分别位于点A的左侧和右侧，与点A在同一水平线上， ②当时，点C在以B为圆心，2为半径的圆上． 在网格内，满足条件的格点有2个，分别位于点B的左侧和右侧，与点B在同一水平线上， ③当时，点C在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线是经过中点的水平格线， 该直线上共有7个格点，除去与A、B共线的1个点（即 中点），剩余6个点满足条件， 综上所述，满足条件的点C的个数是． 【变式1】如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有_______个． 【答案】8 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，可与4个格点相交，则图中4点可作为点C； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与4个格点相交，则图中4点可作为点C． 综上，满足条件的点C有个． 【变式2】如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（    ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点C在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以A为圆心，为半径画圆，交x轴于，得到以A为顶点的等腰， 以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以B为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，点P是x轴上一动点，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有___________个． 【答案】4 【详解】解：以O为圆心，以为半径画弧交x轴于点P和，此时三角形是等腰三角形，即2个； 以A为圆心，以为半径画弧交x轴于点（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个； 作的垂直平分线交x轴于一点， 则， 此时三角形是等腰三角形，即1个； ． 1．如图，在中，，点D在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2．如图，是等腰三角形，已知，，点B在点C的正西方向上，点A在点C的（    ） A．北偏东方向上 B．北偏东方向上 C．北偏东方向上 D．东偏北方向上 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A点C北偏东方向上． 3．新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为D，连接．已测得，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，D为的中点， ∴平分， ∴． 4．如图，在中，，以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点C和点D，连接，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点E．若，则的大小为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题目的作法可知：、平分， ∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 5．在下图的三角形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴． 6．已知．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为，那么其余两个角的度数分别为______和______； （2）如果等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为______． 【答案】（1），（或，）；（2） 【详解】解：（1）另一个底角的度数也为，顶角度数为； （2）一个底角的度数为． 8．如图，在中，，点E在边上，点D在上，，若，，则等于__________． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 9．如图，中，G、D两点分别在、上，为的中垂线，为的角平分线，若，则__________． 【答案】 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵为的中垂线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，且的内角和为， ∴， ∴，， ∴． 10．如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，，那么这个三角形的周长是______；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 【答案】19；或80 【详解】解：∵等腰三角形中，有两条边的长度分别是，， ∴这个等腰三角形的三边分别为：，，或，，， ∵，， ∴这个等腰三角形的三边长只能为，，， ∴这个等腰三角形的周长为； ∵如果一个等腰三角形中，有一个角是， 当角为底角时，则顶角为； 当角为顶角时，则底角为 ∴这个三角形的顶角度数为或． 11．如图，垂直平分线段，，垂足为E，交于P点，，，则的面积是________． 【答案】12 【详解】解：过点P作于点M， ∵垂直平分线段， ∴， ∴，即为角平分线， 又∵，， ∴． 又∵， ∴． 12．如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中： ①；②；③；④． 错误的是__________．（写出所有错误结论的序号） 【答案】④ 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，①正确； ∵是的高， ∴， ∴， ∵，，， ∴，②正确； ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，③正确； ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，④错误． 综上所述，错误的是④． 13．如图，在中，，． （1）尺规作图：作的垂直平分线交于点D，交于点F，连接，作的平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）证明：． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）解： （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的角平分线， ∴（等腰三角形的三线合一）． 14．如图，在等腰中，，点D是的中点，且，试判断的形状． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【详解】解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵等腰中，，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形． 1．如图，在中，，，把折叠，使落在上，点B与上的点E重合，展开后，折痕交于点F，连结、．下列结论：①图中有4对全等三角形；②若将沿折叠，则点D不一定落在上；③；④，上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵把折叠，使落在上，点B与上的点E重合， ∴， ∴，，， 在和中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴图中共有4对全等三角形，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴将沿折叠，则点D一定落在上，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为_______________ 【答案】8 【详解】解：连接，，如图， ∵是等腰三角形，点D是底边的中点， ∴， ∵，且， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线，点M在上， ∴， ∴的周长， ∵为定值， ∴要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴的周长的最小值． 3．如图，在中，，，边沿着过点A的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点F，连接． （1）如图1，连接，当点D在外部时，试说明； （2）如图2，连接，当点D在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； （3）如图3，当点D在的内部时，若点F为的中点，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）4 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：结论：是等腰三角形， 理由：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：如图，延长到T，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵据（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 24 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $