专题14.2 三角形全等的判定（高效培优讲义）数学新教材人教版八年级上册

专题14.2三角形全等的判定 教学目标 1.掌握，，，，五种判定三角形全等的方法． 2.运用观察、比较和猜想等手段，探索、归纳、证明两个三角形全等． 3.运用三角形全等，解决有关线段和角的问题． 教学重难点 1.重点 （1）掌握全等三角形的五种判定方法； （2）掌握证明全等三角形的书写格式． 2.难点 （1）灵活选用恰当的方法证明三角形全等； （2）运用三角形全等证明探索线段及角度的关系； （3）运用三角形全等证明解决相关问题． 知识点01 三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1. 基本事实： 和 分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ ”或“ ”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 注意： ①相等的元素一定是两边和它们的夹角． ②书写顺序：按“边→角→边”的顺序排列条件． ③两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 【即学即练】 1．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 2．如图，已知点E是，的中点，和全等吗？为什么？ 3．如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 知识点02 三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 1. 基本事实： 和 分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ ”或“ ”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 注意： ①相等的元素一定是两角和它们的夹边． ②书写顺序：按“角→边→角”的顺序排列条件． 【即学即练】 1．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C和点F处，甲看向地面上点B处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点E处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点C，于点F，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 3．如图，已知点B，F，C，E在同一条直线上，，且，．求证：． 知识点03 三角形全等的推论：角角边（AAS） 1．推论： 分别相等且其中一组 的 相等的两个三角形全等，可以简写成“ ”或“ ”． 2．推论证明 已知：在和中，，，． 求证：． 证明：∵，， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． 3．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 【即学即练】 1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 2．如图，已知，，，求证：． 3．和的位置如图所示，点B在边上，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 知识点04 三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1. 基本事实： 分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ ”或“ ”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 【即学即练】 1．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 知识点05 直角三角形全等的判定方法：HL 1. 判定方法： 和 分别相等的两个 三角形全等，可以简写成“ ”或“ ”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 注意： ①“”只适用于判定直角三角形全等，对于一般三角形不适用． ②应用“”判定两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号前一定要加上“”． 3. 判定两个三角形全等的方法： 判定方法 适用条件 任意三角形 任意三角形 任意三角形 任意三角形 直角三角形 【即学即练】 1．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 2．如图，在和中，，，A、E、C、F四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 3．如图，已知，其中，的延长线与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 题型01 全等三角形的判定 【典例1】如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【典例2】如图，在中，点D是边上一点，，，，判断与的数量关系，并说明理由． 【典例3】如图，，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，再添加条件_________就可以判定． 【变式2】如图，，点F、C在上，，．求证：． 【变式3】如图，在中，，于D，于E，，相交于F．求证： （1）； （2）平分． 题型02 巧构全等三角形 【典例1】如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 【典例2】问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_______________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点P，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【变式1】已知：如图1，在中，两内角的平分线、交于点I， （1）试探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【变式2】【探究】 （1）如图1，是 的中线，且，延长至点E，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为_________． A． B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 题型03 运用全等三角形解决实际问题 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】利用三角形全等测距离． （1）任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ∵，，∴． 又∵，，∴（______），∴______． （2）任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【典例3】根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在秋千距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【变式1】 数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端A、B的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点A作射线． ②过点B作于点D． ③在射线上截取，使得． ④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端A、B的距离． 【变式3】如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 题型04 全等三角形与动点问题 【典例1】如图，在中，，，，射线，线段，其两端点P，Q分别在射线和射线上移动，点P从点A开始移动，速度为，则当点P运动______s时，和全等． 【变式1】如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 1．如图，已知，下列所给条件能证明的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 3．下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 4．同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部B点与教学楼底部D点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点C，测得点C到教学楼底部D点的距离为3米，从点C观察标杆顶A与楼顶E时，，且点B、C、D在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（    ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 5．如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（    ） A．46 B．48 C．50 D．52 7．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 8．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 9．如图，在中，于点D，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 10．如图，在中，为的中线，过点B作，交的延长线于点E，过点C作交于点F，若，则的长为________． 11．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点D，E；②保持半径不变，以点B为圆心作弧，分别交边，于点G，F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交弧于点H；④连接并延长交于点M，则的度数为_______． 12．如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点M，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 13．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 14．在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点B，C分别在的边，上，且，，垂足为F，，垂足为D，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点B，C分别在的边，上，点E，F都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 1．如图，在中，为中线，过B作，垂足为E，过C作，垂足为F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，，，，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发以的速度沿射线运动，经过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是________ ． 3．求解下列各题： （1）【问题发现】如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，连接、、，且，延长到点G，使，连接，试说明：； （2）【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，且，延长至点G，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 4．按要求解答问题： （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_________________； （2）如图②，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，E，F分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_________________． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2三角形全等的判定 教学目标 1.掌握，，，，五种判定三角形全等的方法． 2.运用观察、比较和猜想等手段，探索、归纳、证明两个三角形全等． 3.运用三角形全等，解决有关线段和角的问题． 教学重难点 1.重点 （1）掌握全等三角形的五种判定方法； （2）掌握证明全等三角形的书写格式． 2.难点 （1）灵活选用恰当的方法证明三角形全等； （2）运用三角形全等证明探索线段及角度的关系； （3）运用三角形全等证明解决相关问题． 知识点01 三角形全等的基本事实：边角边（SAS） 1. 基本事实： 两边和 它们的夹角 分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ 边角边 ”或“”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 注意： ①相等的元素一定是两边和它们的夹角． ②书写顺序：按“边→角→边”的顺序排列条件． ③两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 【即学即练】 1．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 2．如图，已知点E是，的中点，和全等吗？为什么？ 【答案】和全等，理由见解析 【详解】和全等，理由如下： ∵点E是，的中点， ∴，， 在和中， ， ∴． 3．如图，在和中，，，．请判断和是否全等？为什么？ 【答案】和全等，理由见解析 【详解】解：和全等，理由如下， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 知识点02 三角形全等的基本事实：角边角（ASA） 1. 基本事实： 两角和 它们的夹边 分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ 角边角 ”或“”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 注意： ①相等的元素一定是两角和它们的夹边． ②书写顺序：按“角→边→角”的顺序排列条件． 【即学即练】 1．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点C和点F处，甲看向地面上点B处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点E处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点C，于点F，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意整理已知条件： 由，，可得 ， ∵，， 且恰好是和的夹边，恰好是和的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的（角边角）判定依据． 2．如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【答案】① 【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形； ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形． 3．如图，已知点B，F，C，E在同一条直线上，，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 知识点03 三角形全等的推论：角角边（AAS） 1．推论： 两角 分别相等且其中一组 等角 的 对边 相等的两个三角形全等，可以简写成“ 角角边 ”或“”． 2．推论证明 已知：在和中，，，． 求证：． 证明：∵，， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． 3．书写格式 如图，在和中， ∵， ∴． 【即学即练】 1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【答案】49 【详解】解：由题意得，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 2．如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 3．和的位置如图所示，点B在边上，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）4 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴，， ∴． 知识点04 三角形全等的基本事实：边边边（SSS） 1. 基本事实： 三边 分别相等的两个三角形全等，可以简写成“ 边边边 ”或“”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 【即学即练】 1．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由作图方法可得，， ∴， ∴， 即． 2．如图，做一个角平分仪，其中，，将角平分仪上的顶点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线，则，所以，就是的平分线，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在和中， ， ∴． 3．如图，点C，D在线段上，且，，．试说明：． 【答案】证明见解析 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 知识点05 直角三角形全等的判定方法：HL 1. 判定方法： 斜边 和 一直角边 分别相等的两个 直角 三角形全等，可以简写成“ 斜边、直角边 ”或“”． 2. 书写格式： 如图所示，在和中， ∵， ∴． 注意： ①“”只适用于判定直角三角形全等，对于一般三角形不适用． ②应用“”判定两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号前一定要加上“”． 3. 判定两个三角形全等的方法： 判定方法 适用条件 任意三角形 任意三角形 任意三角形 任意三角形 直角三角形 【即学即练】 1．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 2．如图，在和中，，，A、E、C、F四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵， ∴若要用“”证明还需要添加的条件为“一组斜边相等”，即． 3．如图，已知，其中，的延长线与相交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）3 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型01 全等三角形的判定 【典例1】如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵和， ∴当添加时，可用来判定． 【典例2】如图，在中，点D是边上一点，，，，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【详解】，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【典例3】如图，，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【变式1】如图，，再添加条件_________就可以判定． 【答案】或或（答案不唯一） 【详解】解：添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴； 添加条件， ∵，，， ∴． 【变式2】如图，，点F、C在上，，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，在中，，于D，于E，，相交于F．求证： （1）； （2）平分． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型02 巧构全等三角形 【典例1】如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在上截取，连接． ∵平分， ∴， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴． 【典例2】问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是_______________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积． （3）拓展延伸： 如图，在第（2）的条件下，若延长交于点P，请猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①A；②；（2）40；（3），理由见解析 【详解】（1）解：①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴，即选项A符合题意； ②∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图：延长至H，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图：过点M作交延长线于点H，过点N作于点G，则． ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 在和中 ∵，， ∴ ∴． 【变式1】已知：如图1，在中，两内角的平分线、交于点I， （1）试探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①证明见解析；② 【详解】（1）解：，理由如下： ∵在中，两内角的平分线、交于点I， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：如图2所示，在上截取，连接， ∵在中，两内角的平分线、交于点I， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：如图所示，过点E作于点T， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】【探究】 （1）如图1，是 的中线，且，延长至点E，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为_________． A． B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）证明见解析 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：如图2，是的中线，，，延长至点Q，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图3，E是的中点，延长至点H，使，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型03 运用全等三角形解决实际问题 【典例1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例2】利用三角形全等测距离． （1）任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ∵，，∴． 又∵，，∴（______），∴______． （2）任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【答案】（1），，；（2）见解析 【详解】（1）∵ ， ， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）第一步：在池塘外取可同时到达A、B的点C，连接并延长至点D，使；连接并延长至点E，使； 第二步：测量的长度，的长度就是A、B两点间的距离． 在和中， ， ，， ∴ ， ∴ 【典例3】根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在秋千距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1）全等，理由见解析；（2） 【详解】（1）全等，理由如下： 据题意可知，， ∵， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：据（1）可知，， 则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故在C处接住小丽时，小丽距离地面． 【变式1】 数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 【变式2】根据以下素材，解决问题． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端A、B的距离，小明设计出如图所示的方案． 测量示意图    测量步骤 ①过点A作射线． ②过点B作于点D． ③在射线上截取，使得． ④测量的长． 测量数据 ． 根据以上信息，求池塘两端A、B的距离． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）的长为 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为． 题型04 全等三角形与动点问题 【典例1】如图，在中，，，，射线，线段，其两端点P，Q分别在射线和射线上移动，点P从点A开始移动，速度为，则当点P运动______s时，和全等． 【答案】4或8 【详解】解：点P的运动时间为t， 由题意得， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，则当点P运动或时，和全等， 故答案为：4或8． 【变式1】如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】秒或4秒 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点F在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，有． ∵，， ∴， 解得； ②如图，当点F在线段上时，．    同①得， 又∵， ∴当时，有． ∵，， ∴， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 1．如图，已知，下列所给条件能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据已知，， 只有两个条件没法证明全等，故D选项不符合题意， 当，，，根据可以得到； 当或时，不能得到． 2．如图，两根钢条、的中点O连在一起，使、可以绕着点O自由转动，就做成一个测量工具， 的长等于内槽宽，那么判定的理由是（    ） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【答案】A 【详解】解：∵两根钢条，的中点O连在一起， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故判定的理由是边角边． 3．下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A．①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B．①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C．③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D．①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 4．同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部B点与教学楼底部D点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点C，测得点C到教学楼底部D点的距离为3米，从点C观察标杆顶A与楼顶E时，，且点B、C、D在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（    ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 【答案】A 【详解】解：由题意可知 ，， ∴． ∵， ∴． 又 ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴． 即教学楼的高度是 15 米． 5．如图，在中，，点E在边上，连接，过点E作于点D，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（    ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【详解】解：∵且，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 同理可证， ∴，， ∴， ∴． 7．如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 8．已知，求作，使得．如图是小明的作图痕迹，他作图的依据是________． 【答案】 【详解】解：由作图痕迹可知，，，， 在和中， ， ∴， 因此作图的依据为． 9．如图，在中，于点D，若要根据“”直接判定，还需要添加条件：_______________． 【答案】 【详解】解：∵于点D， ∴， ∵， ∴当时，根据“”可判定． 10．如图，在中，为的中线，过点B作，交的延长线于点E，过点C作交于点F，若，则的长为________． 【答案】6 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 11．如图，已知中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边，于点D，E；②保持半径不变，以点B为圆心作弧，分别交边，于点G，F；③以点F为圆心，长为半径作弧，交弧于点H；④连接并延长交于点M，则的度数为_______． 【答案】 【详解】解：由作图可知，， ∵， ∴． 12．如图，有两个同样大小的正方形纸片，，将正方形纸片沿着方向滑动，和始终在同一直线上．连接并延长交于点M，连接，．若正方形的边长为4，则的面积为______． 【答案】8 【详解】解：∵两个同样大小的正方形纸片，，正方形的边长为4， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴根据等底等高可得． 13．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点B，C分别在的边，上，且，，垂足为F，，垂足为D，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点B，C分别在的边，上，点E，F都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【详解】（1），理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵在与中， ， ∴． （2），理由如下： ∵在中，，， ∴． ∵，， ∴． 同理可得． ∵在与中， ， ∴． 1．如图，在中，为中线，过B作，垂足为E，过C作，垂足为F．在延长线上取一点G，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，即，， ∴，，故③正确； ∵， ∴，故②正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④． 2．如图，，，，如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发以的速度沿射线运动，经过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是________ ． 【答案】3或 【详解】解：由题意得：，，， ∵，与全等， ∴分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得； 情况2：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得， 综上，x的值为3或． 3．求解下列各题： （1）【问题发现】如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，连接、、，且，延长到点G，使，连接，试说明：； （2）【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，且，延长至点G，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】（1）证明：∵在和中，，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：（形式不唯一）． 理由：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 4．按要求解答问题： （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_________________； （2）如图②，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，E，F分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：_________________． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）或或 【详解】（1）解：如图1，延长到G，使，连接． ∵在与中， ， ∴． ∴，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到G，使，连接． D ∵，， ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）当E，F分别是边，上的点，； 如图3，或． 证明：在上截取，使，连接． ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 如图4，同理可得：， ∵， ∴． 38 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $