第四章 指数函数与对数函数（单元测试·基础卷）高一数学人教A版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 3．，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 4．函数（，且）的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 7．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．在上单调递减 11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算 ． 13．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的 倍. 14．已知函数，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）计算 （2）化简：. （3）已知，求的值. 16．（15分） 已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 17．（15分） 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求的定义域及单调递增区间； (2)若关于的方程在上有解，求的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C B B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．1000 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】(1) （4分） (2) （8分） (3)因为，两边同时平方可得：， 再将两边同时平方可得：， 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由，，得.（7分） （2）由，，得， 所以.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）依题意，当时， 可设，且，解得，（3分） 又由，解得，（6分） 所以；（8分） （2）令，（11分） 即，解得，（14分） 即至少需要经过后，学生才能回到教室.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）当时，，（1分） 令，因为，所以，（2分） 令，（3分） 则函数在上单调递增，（4分） ∴当时，有最小值，（6分） 当时，有最大值，（8分） ∴函数在区间上的值域为.（9分） 故时，在区间上的值域为.（10分） （2）当时，． 由，得，即，（13分） 解得 或，（15分） 所以 或，（16分） 所以不等式的解集为或.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）当时，， 令，即，解得或，（2分） 所以函数的定义域为； （3分） 因为在上单调递减，在上单调递增，（4分） 在定义域上单调递增，（5分） 所以在上单调递减，在上单调递增；（6分） 即的单调递增区间为；（7分） （2）因为关于的方程在上有解， 所以关于的方程在上有解且恒成立， （8分） 即在上有解，   （9分） 因为，（13分） 当且仅当，即时等号成立，（15分）        又当时，注意到在上恒成立，（16分） 所以的最小值为．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式和指数幂的运算逐项判断. 【详解】A：因为，故错误； B：因为不存在，故错误； C：因为，故错误； D：因为，故正确； 故选：D. 2．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 3．，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 【答案】C 【分析】利用对数的性质，由内到外进行求值即可. 【详解】，，. 故选：. 4．函数（，且）的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断. 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，B正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，C错误. 故选：B. 5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可. 【详解】由题设，因为在上单调递增， 则是定义域在上为连续不断的递增函数, 又，， 由零点存在定理可知，零点所在区间为. 故选：B. 6．若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为，， 函数在上为增函数，所以，即， 故． 故选：C. 7．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围． 【详解】设，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减， 所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得． 故选：A． 8．若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，结合图像求解即可. 【详解】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数的运算性质及换底公式逐一判断各选项即可． 【详解】已知，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误， 故选：AC． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．在上单调递减 【答案】BD 【分析】利用函数奇偶性以及单调性的定义，结合对数的运算法则以及对数函数的定义域，可得答案. 【详解】由函数， 则可得，解得，即该函数的定义域为， 由，则函数为偶函数，A错，B对； 因为，所以，的值域为，C错； 取任意，令，则， ，，且，则，即， 可得，故函数在上单调递减，D对； 故选：BD. 11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算 ． 【答案】 【分析】利用指数运算及对数运算计算得解. 【详解】. 故答案为： 13．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的 倍. 【答案】1000 【分析】首先指对互换得，由指数幂运算性质即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以， 即里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的1000倍. 故答案为：1000. 14．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】判断函数为奇函数和增函数，将不等式转化为，计算得到答案. 【详解】因为， 所以，故函数为奇函数， 因为为增函数，则为增函数， 所以为增函数， 由，可得， 即，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）计算 （2）化简：. （3）已知，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求解； (2)根据分数指数幂的运算性质即可求解； (3)根据题意，先计算，然后将其平方得到，代入即可求解. 【详解】(1) (2) (3)因为，两边同时平方可得：， 再将两边同时平方可得：， 所以. 16．（15分） 已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 17．（15分） 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 【答案】(1) (2)至少需要经过后，学生才能回到教室 【分析】（1）根据图象利用待定系数法计算函数关系式即可； （2）根据指数函数的单调性解不等式计算即可. 【详解】（1）依题意，当时， 可设，且，解得， 又由，解得， 所以； （2）令， 即，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）令，由得到的范围，再将问题转化为二次函数在给定区间上的值域的问题求解即可； （2）将看成整体，先求出的范围，再利用指数函数单调性求解即可. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 令，则函数在上单调递增， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， ∴函数在区间上的值域为. 故时，在区间上的值域为. （2）当时，． 由，得，即， 解得 或， 所以 或， 所以不等式的解集为或. 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求的定义域及单调递增区间； (2)若关于的方程在上有解，求的最小值． 【答案】(1)定义域为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由对数的真数大于0得定义域，由对数型复合函数的单调性得增区间； （2）问题为方程在有解且恒成立，分离参数转化为，从而转化为用基本不等式求的最小值即可得． 【详解】（1）当时，， 令，即，解得或， 所以函数的定义域为； 因为在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 即的单调递增区间为； （2）因为关于的方程在上有解， 所以关于的方程在上有解且恒成立， 即在上有解，    因为， 当且仅当，即时等号成立，        又当时，注意到在上恒成立， 所以的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第四章 指数函数与对数函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 3．，则(    ) A．0 B．1 C．5 D．625 4．函数（，且）的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   5．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 6．若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 7．若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．为偶函数 C．的值域为 D．在上单调递减 11．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算 ． 13．科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，里氏9.0级地震释放的能量是7.0级地震所释放能量的 倍. 14．已知函数，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）计算 （2）化简：. （3）已知，求的值. 16．（15分） 已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 17．（15分） 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与药熏时间（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）达到最大值.此后，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）的函数关系式为（为常数，）.已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量（毫克）关于时间（小时）的变化曲线如图所示. (1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)据测定，当空气中每立方米的药物含量不高于毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室. 18．（17分） 已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求的定义域及单调递增区间； (2)若关于的方程在上有解，求的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $