专题03 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式解法全归纳（专项训练）（专项训练9大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不 等式解法全归纳 當考题型·精准突破 ·考点一分式不等式的解法·一 ◆题型1解不含参的分式不等式 1.【答案】C x-4≥2，得 【详解】由x-了 x+2≤0 -4-220,即x-1 -1 [(x+2)(x-1)≤0 等价为x-1+0 解得 -2≤x<1 故解集为{-2≤x< 2.【答案】B 1 【详解】由不等式x一之2，即 x-3≤0 x-1 则（2x-3)(x-)≤0.解得 15x2 3 x≠1 x≠1 即1<x≤ 所以不等式x 之2的解集为 3.【答案】B 详期1集合40-1到 B={xx2-2x<0={x0<x<2} 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则AUB={1<x<2} 4.【答案】A 【详解】解不等式<0可得0<<1· 所以A=(0,1) 又B=(0,3), 显然A至B,即A是B的真子集， 因此，“meA"能推出“m∈B”,但反过来不成立，故“meA"是“m∈B“的充分不必要条件 5. 【答案】( (2){x|x<-2} x-1 【详解】()原不等式可化为3x+5≤0 (x-1)3x+5)≤0， 3x+5≠0， ≤x≤1， 3 即 5 3 <x≤1 3 5 故原不等式的解集为3x≤1 (2)原不等式可化为x+2 x-1-1>0-1-+2>0 x+2 、3 x+2 >0,则x<-2 故原不等式的解集为{xx<-2} ●考点二 高次不等式的解法。— ◆题型2解一元高次不等式 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.【答案】A 【分析)按x的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案 【详解】按x的正负分类可得： x>0 x<0 (x-103x-2)<0或(x-13x-2)>0 x≠-2 x≠-2 x>0 x<0 2 .2 x<0 得 <x<1或x<行或x>1 x≠-2 x≠-2x≠-2 解得： 月<x<1或2<x<0或<-2 故选：A 7.【答案】B 【详解】 x2+2x-2 3+2x-x-xs0,即 +2x-2-x3+2x-)≤0 3+2x-x2 20 因为+41+号经0恒成立所以原不等武等价于-之0 x-2 即(x-2x-3(x+)≥0，且x≠-1，x≠3. 可利用根法进行求解，如图： 2 3x 解得-1<x≤2或x>3 故原不等式的解集为(-l,2]U(3,+∞) 3/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 8.【答案】A 【详解】由3x3+x2-8x+4=(x-1)(3x-2)(x+2) 所以x(3x'+x2-8x+4)(x+2)=x(x-1)(3x-2)(x+2}2<0 x>0 x<0 所以(x-1)3x-2)<0或 (x-1)(3x-2)>0 x≠-2 x≠-2 x>0 x<0 2 / 解得 <x<1或3 或x1 3 x≠-2 x≠-2 解得： 3 <x<1或-2<x<0或x<-2 故选：A 9.【答案】{r≤1或2(x≤3或x4 【详解】由题意可得： 3x2-14x+14-区-6x+8】2≥0 x2-6x+8 (x-10x-3》20 即2x-8x+6≥0.即-2x-41 x2-6x+8 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≥0 所以x-2≠0 x-4≠0 由数轴穿根法可得 所以解集为xr≤1或2<x≤3或x>4 4/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.【答案】（o,-V2)U(-1,1)U(2,+∞) 【详解1因为x-2x2+1>x2-1→(x2->x2-1→(x2-1)(x2-2>0 所以(x+V2)(x+1)(x-1)x-V2)>0 由图可知 2-1 12 ∴x∈(-o,-V2U-1,l)u(N2,+∞】 ● 考点三根式不等式的解法● ◆题型3解根式不等式 11.【答案】A 10-x≥0 【详解】由V10-x<3x→ →0<x≤10 x>0 于是由10-<3x10-X<9r>1或x<-9 91 所以不等式V10-x<3x的解集为(L,10] 12.【答案】D 【详解】由M={<2={x0≤x<4,且N={x<x<5到 所以MUN={x0≤x<5} 13.【答案】C 【详解1因为4={x-1≤2={x0≤x-1≤4={≤x≤5到 5122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故AnB={x1≤x≤2}=[l,2] 14. 【答案】 【分析】对于原不等式，有x≤1，原不等式化为V-x≤1-x2,两边平方化简为x(x-(x+x-)≥0 结合高次不等式的解法并结合x≤1可得出原不等式的解集 【详解】对于不等式x2+V-x≤1，有1-x≥0，可得xs1, 所以原不等式化为V1-x≤1-x2. 因为V1-x≥0，必有1-x2≥0，可得-1≤x≤1， 由-x≤1-x可得1-x≤-x2=(1-x(x+1)2. 即(x+(x-1+(x-1)=(x-1(x+1(x-)+1≥0 整理可得x(x-1(x2+x-)2≥0 方程，+x-1=0的两根分别为5=-115 25,如下图所示 -1+5 1-/5 0 2 不等式x(x-r+x-)小上0的解为x≤山，5 2或0sx≤V5-L或x≥ 2 又因为15x1 故原不等式的解集为 6/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15. 【答案】x2x<5列 【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式解法，分段求解即可. 【详解】由不等式2x可>x-2有意义得2x-10解得x之 Γ2 当2≤x<2时，V2x-1≥20>x-2因此2≤x<2, 当x≥2时，2x-1>x2-4x+4即x2-6x+5<0,解得1<x<5,因此2≤x<5 所以不等式V2x->x-2的解集为x2≤x<5号 故答案为：x)≤x<5列 ●考点四绝对值不等式的解法● ◆题型4公式法解绝对值不等式 16.【答案】A 【详解】不等式x-<2可化为-2<x-1<2,即-1<x<3. 若-1<x<3成立，一定满足x<3,因此充分性成立； 若x满足x<3,不一定满足1<x<3,因此，必要性不成立 故x-<2"是“x<3"的充分不必要条件 17. 【答案】[211,985 【详解】x-598≤387，得-387≤x-598≤387. 所以211≤x≤985 故不等式x-598≤387的解集为[211,985] 7122 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18. 【答案】(0,1)U(3,+∞) 【详解】不等式x-2卜1表示x-2>1或x-2<-1,解得x>3或x<1, :.不等式的解集为（o,1)U(3,+∞) ◆题型5平方法解绝对值不等式 19.【答案】A 【详解】由不等式r-2-x-l>0,可得-2>x-1 即：-2>k-少整理得到2x<3解得×< 所以不等式的解集为(0， 故选：A 20. 【答案】(-0,2) 【详解】不等式r-l<k-3等价于(x-)2<(x-3)}2 化简可得4x<8,即x<2 所以不等式x-l<x-3的解集为(-o,2) 21. 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可， 【详解】左右两侧同时平方得4x2≤(x-2) 所以4x2≤x2-4x+4,故3x2+4x-4≤0 化简得(3x-2x+2)≤0 解得[2引 ◆题型6去绝对值法解绝对值不等式 8122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 22.【答案】C 【详解】因为B={x-s1-={-x20}={x≤1，A={-1,01,2, 所以，AnB={-l0,1. 故选：C. 23.【答案】 【详解】由题意得-x<2x-1<x, 解得3了x<1 所以原不等式的解集为写x<小 24. 【详解】解法一：由题意，当x>3时，原不等式可化为3x-4>1+2x,解得x>5 时，原不等式可化为4-31+2x,解得< 当s 所以不等式的解集为中5或<引 解法二：原不等式等价于3x-4>1+2x,或3x-4<-1-2x, 解得x>5或x< 5 3 所以原不等式的解集为xx>5或x< ◆题型7零点分段讨论法解绝对值不等式 3 25.【答案】 9122 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解， 【详1原不等式等价于pH2x-小号 当<0时.原不等武等价于-2+(2-分，即得-1不成立，不等式无解 3 31 当0≤x<2时。原不等式等价于2x+(2x-)≥2解得x之8，不等式的解集为82)： 当x之2时，原不等式等价于2x-(2x-)≥2即得12)不等式的解集为+o): 综上所述，原不等式的解集为四 8 26. 【答案】{xx<5} 4,x≤4 【详解】令f()=x-8-k-4=-2x+12,4<x≤8 -4,x>8 当x≤4时，f(x)=4>2, 当4<x≤8时f)=-2x+l2>2.得x<5,所以4<x<5; 当x>8时，f)=-4>2不成立. 故原不等式的解集为{xx<5} 27【答案】证明见解析 .1 【详解】当X<时，原不等式可化为2x1+1-2x<4,即x>1,所以-1<x<-2 1 1 当2≤x≤2时，原不等式可化为2x+1+1-2x<4,即2<4，所以2≤x 2 当x> 2时，原不等式可化为2x+1+2X-1<4,即x<1,所以与<x<1; 综上可知M={x-1<x<1}: 10/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证法-：因为a∈M,b庄M,所以a<1,b≥1 而labl+1-la+bl=abl+1-a-bl=a-1llb-1s0,所以abl+1≤al+bl: 证法三：要证labl+1≤a+bl,只需证：ab+1-a-bs0, 只需证：‖a-1lbl-1s0, 因为a∈M,b庄M,所以a<1,b≥1 所以a-1lbl-1≤0成立，所以ab+1≤a+b成立. ●考点五根据不等式的解集求参。— ◆题型8根据不等式的解集求参 28.【答案】-2 【详解】不等式 x+0<1,移项得 x+a-1=x+a+l<0 x-1 x-1 x-1 解得(x+a+l(x-)<0,且x1, 若解集为空集，则x+a+1=0与x-1=0的根必须重合 故x+a+1=0,的根应为x=1,于是-(a+)=l解得a=-2 29.【答案】-8 【详解】由Vx+a得x≥-a, 又不等式Vx+a>x+b的解集为l,10),该解集只有左端为闭区间，故-a=l,即a=-l, 从而可得x=10是方程Vx-1=x+b的解，代入可得V10-1=10+b 解得：b=-7,经检验满足题意 ∴.a+b=-8 30. 【答案】[-3,6) 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】分析可知-2和3是方程x2-a-b=0的两个实数根，利用韦达定理求a,b的值，代入解分式不 等式即可 【详解】不等式-x2+a+b≥0，即x2-ax-b≤0的解集为{x-2≤x≤3} 则-2和3是方程x2-ax-b=0的两个实数根 -2+3=a a=1 则 -2×3=-b解得6=6 则x+3=x+3 (x+3)(x-6)≤0 ≤0，等价于1 x-6≠0 解得 x-b x-6 -3≤x<6 故该不等式的解集为[-3,6) 31 【答案】 <x<2 【详解】甲写错了b,但c是正确的.由x2+bx+c<0的解为{x1<x<2,则1和2是方程 x2+bx+c=0的两个根，得c=1×2=2, 乙写错了c,但b是正确的，由x+hx+c<0的解为{x4<x<,则-4和1是方程x2+br+c=0的两 个根，得-b=-4+1=-3,即b=3 bx+C<0,得 由x-2 t子<0，即（6x+20g-2<0.解得 x-2 3r<2 不等式 x+C<0的解为 <x<2 x-2 ●考点六不等式有解或恒成立问题● ◆题型9解决不等式有解或恒成立问题 32. 【答案】{mm≥-2} 【详解】x2-2x+3=(x-)2+2>0 12/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴原不等式可化为4x+m22(x2-2x+3) 由题意得，不等式m≥2x2-8x+6有解 令g(x)=2x2-8x+6,则gx)=2(x-2)}-2 ·g(x)mn=g(2)=-2 故要使m≥2x2-8x+6有解，则m≥-2 .m的取值范围为{mm之-2}. 故答案为：{mm≥-2} 33. 【答案】(~1，) 【详解】由于x+x+≥x-(x+=1,x(x+)≤0时等号成立， 故不等式a<x+x+l的解集为R,即la<1 即得实数a的取值范围是(-l,1) 立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题， 34.【答案】(1)-8,0 (2)答案见解析 【标1沿-02，卫不式巴2之：对一切xeRa波立 又x2+2x+3>0恒成立， 所以ax-ax-2≤0恒成立， 当a=0时，-2≤0恒成立，符合题意： 当a≠0时，乙，解得-8≤a<0, 综上，实数a的取值范围为-8,0； 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当b=a时，又x2+2x+3>0恒成立， 不等式a-b-2X-2≤0可化为0X-0-2x-250, x2+2x+3 即ax+2x-1≤0， 当a=0时，x≤1， 当a>0时，不等式可化为x+2x-1s0, a 解得。≤x≤1， 当Q<0时，不等式可化为x+2x-1≥0， 2 当-2<a<0时，解得X≥-二或x≤1： 0 当a=-2时，x∈R; 当a<-2时，解得x≥1或x≤.2 故当a=0时，解集为心； 当a>0时，解集为心， 当-2<a<0时，解集为： 当a=-2时，解集为R 当a<-2时，解集为6 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.【答案】C 14/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1对不等式！<1移项得}1<0整理得'<0，等价于-少>0解得x<0或x>1 1 即A=（-o∞，0)UL,+∞) 已知B=L,+∞)，AnB=L,+o)=B≠，故A错误； AUB=(-o,0)UL,+∞)=A≠B,故B错误； B的所有元素均属于A,且A中存在小于0的元素不属于B 因此BSA,C正确，D错误 2.【答案】A 1 【详解1由>1，可得0<x<1由R<1,可得0sx<1 因为(0,1)0,1) 故>1是<1的充分不必要条件 故选：A 3. 【答案】B 【详解】由V2a-1>1分2a-1>1÷a>1,此时不-定有a>2成立，充分性不成立 由a>2,则必有V2a-1>1,必要性成立 所以“√2a-1>1"是“a>2"的必要不充分条件 故选：B 4.【答案】B 【详解1由50.得+1+0 (x+1)(x-2)≤0 x+1 解得1<x2 所以A={-1<x≤2} 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由x-1≥2，得x-1≤-2或x-1≥2，解得x≤-1或x23. 所以B={xx≤-1或x≥3} 所以B={x1<x<3} 所以AU(GB)=(-1,3) 5.【答案】D 1 1 【详解由不等式时产2x可知40且x号 当2x-1<0:即x<2且x≠0时 1 1 1 因为时>0，所以不等式时产2x一恒成立： 当2x-1>0即x>2时， x≤2x-1,x≤(2x-12 即3x2-4x+1≥0，(3x-1)(x-1)≥0 所以x≥1或x≤3（与x>2矛盾，舍去） 综上所述不等式啊产2x一的解集为(@0(0L+四) 1 6.【答案】C 【详解】解：由lr+≤b等价于-b≤x+1≤b,由题意知a≠0，b>0 -b-1= a ,解得 3(舍)； a>0 -≤x≤ a= a a a 26 2 16/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -b-1 =5 a 当 时 b-1sxs-b-1 则1b-1 解得 符合题意， =-1 3 a<0 a 2 7.【答案】B 【分析】分别求解相应的不等式，得集合A,B,根据子集的定义求得a的取值范围 【饼割由0， (x-3)(x-2)≤0 x-2≠0 .所以2<x<3 所以A={x|2<x≤3} 因为x2+1>0恒成立，所以不等式(r+(x-a)>0等价于x-a>0,即x>a 所以B={xxa 若A二B,则a≤2 所以a的值范围是{aa≤2} 二、多选题 8.【答案】ACD 【详解由分可得0，即>0，解得<0或>2 11 11 11 则x2的解集为M=xx<0或x>2y 11 若找，<2的充分不必要条件对应的集合N: 则N必须满足N二M,且N≠M,故A,C,D均正确，B错误 9.【答案】ABC 忠x113x202x+0 【详解】不等式x-1≥2→x-12 17/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 等价于 5x+3x-1)2 x-1≠0 解得xe(孔L+) 因为9是P的充分不必要条件则9对应的集合必须是集合A的真子集 所以ABC符合题意，D不符合题意 10.【答案】AC 【分析】先解不等式求出解集，再逐个分析判断即可 [1-2x20 【详解】由题意得 228解得-子即4(3 1 故-2∈A1A 4 CA, {3}￥A 故选：AC 三、填空题 11. 【答案】(2，+∞) -x-2_-2x+-x-2>0.所以x>2 【详解】由不等式可得x+10且x+1= x+1 12. 【答案】{x|x≥I} 【详解】当x≥2时，原不等式化为x+3-(x-2)≥3，解得x≥2； 当-3<x<2时，原不等式化为x+3-(2-x)23,解得1≤x<2: 当x≤-3时，原不等式化为x-3-(2-x)≥3，无解 综上，不等式x+3Hx-2≥3的解集为{xx2} 13.【答案】1<a≤2 x-2≠0 【详解1对于p20等价于-2-3列50解得 2<x≤3 18/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于9：由x2-4ar+3a<0,得：(x-3a(x-a）<0 又a>0,所以a<x<3a 因为P是9的必要不充分条件，所以P是9的充分不必要条件 a≤2 所以(2,3是(a,3a)的真子集， 则 3a>3 解得 <a≤2 14.答案】[1,2)U(5,+o) 【详解】因为不等式m2+r+c<0的解集为(，2) 所以x=l,2是a2+bx+c=0的两个根，且a>0, 可得名3后-2所以6：-a6=2a a 所以a+bWx-1-a+c>0得a-3aNx-1-a+2a>0 即x+1>3Vx-1,由x-1≥0得x≥1 所以(x+1>9(x-),所以1≤<2或x>5, 则不等式的解集为l,2U(5,+o) 故答案为：[，2U(5,+∞) 四、解答题 15. 2或x>5+v33, 【答案】(a)M=xx<5-33 2 【详解】(1)若a=1,x2+5x-2>0 方程2+5x-2=0的根为x=5士丽 2 19/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以2+5x-2>0 解得x<-5-V33 2或x>5+V33 2 故M=x<5,E或>5+3： 2 2 2因为不等式46x-20的解袋M-分x<2斗 所以am2+5x-2=0的一个解为x=2 所以4a+10-2=0,解得a=-2。 此时2+5r-2>0的解集为M-r<2} 满足题意 不等式2x->1即2x -2x>1-2x-2x+1>0 2x-1 等价于-4r+2s->0.解得}<x分 故不等式的华为：<} 1 16. 【答案】(1){x-2<x<3} (2)(-0,1 【详解1(1)解：由不等式x+2 3<0可得2<x<3所以A=-2<x<3} (2)解：由(1)知：集合A={x-2<x<3},且B={xx-2<a 当a≤0时，不等式的解集为空集，满足B二A,符合题意； 当a>0时，不等式x-2<a,可得2-a<x<2+a,即B={x2-a<x<2+a a>0 因为，则满足2-a2-2,解得 BCA 2+a≤3 0<a≤1 20/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上可得，实数a满足a≤1，即实数a的取值范围为(-o,刂. 17.【答案】(1)[-l,0U(2,+∞) (--U-(2 【分析】根据阶梯运算V的规则，分情况列不等式组，结合分式不等式的解法求解即可· 【详解口)解：阶榜分式不等武中 x>2 「-1≤x≤2 x<-1 x+>1或x+≤1或x+1 x x [x>2 「-1≤x≤2「x<-1 即0或1s0 或120 解得x>2或-1≤x<0或x∈0 综上，该不等式的解集为[-l,0U(2,+∞)： X-3x-4v(x+1) (②)解：阶梯分式不等式2x-1 x>2 「-1≤x≤2 [x<-1 +02+0 02x-1 2x-1 x>2 [-1≤x≤2 x<-1 即-x2-4x-3 30或--4-3≤0或--4x-320 02x-1 2x-1 2x-1 -1≤x≤2 [x<-1 即x>2 或-(x+3)(x+10(2x-1)≤0或-(x+3)(x+1)(2x-1)20 1-(x+3)(x+1)(2x-1)>02x-1≠0 2x-1≠0 解得xo或xeHu2]成x(w-引 21/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上， 该不等式的解集为(m-小-u(22 22122 专题03 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式解法全归纳 常考题型·精准突破 考点一 分式不等式的解法 题型1 解分式不等式（重点） 考点二 高次不等式的解法 题型2 解一元高次不等式（高频） 考点三 根式不等式的解法 题型3 解根式不等式（易错点） 考点四 绝对值不等式的解法 题型4 公式法解绝对值不等式（重点） 题型5 平方法解绝对值不等式 题型6 去绝对值法解绝对值不等式 题型7 零点分段讨论法解绝对值不等式（难点） 考点五 根据不等式的解集求参数 题型8 由不等式的解集求参数（高频） 考点六 不等式有解或恒成立问题 题型9 解决不等式有解或恒成立问题（重、难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式不等式的解法 ◆题型1 解不含参的分式不等式 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2027年高考数学一轮复习检测卷）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．解下列不等式： (1)； (2)． 考点二 高次不等式的解法 ◆题型2 解一元高次不等式 6．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）不等式的解集为_____． 10.（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为______. 考点三 根式不等式的解法 ◆题型3 解根式不等式 11．（25-26高二下·云南曲靖·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·山东·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·全国·自主招生）不等式的解集是___________． 15．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）关于的不等式的解集为___________． 考点四 绝对值不等式的解法 ◆题型4 公式法解绝对值不等式 16.（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2026·上海·模拟预测）不等式的解集为__________． 18．(25-26高一上·山东济南·期中）含有绝对值的不等式的解集是______． ◆题型5 平方法解绝对值不等式 19.（2026高二·全国·课后作业）不等式的解集为 A． B． C． D． 20．（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 21．不等式的解集为 ； ◆题型6 去绝对值法解绝对值不等式 22.（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 23.（23-24高一上·上海·阶段检测）不等式的解集是__________ 24．解关于x的不等式：. ◆题型7 零点分段讨论法解绝对值不等式 25.（25-26高三上·辽宁·期末） 的解集为_____ 26．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． 27（2025高一·上海·专题练习）已知不等式的解集为．设实数，证明：． 考点五 根据不等式的解集求参 ◆题型8 根据不等式的解集求参 28．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 29．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）不等式的解集为，则______． 30．（25-26高二下·云南昆明·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________________． 31．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 考点六 不等式有解或恒成立问题 ◆题型9 解决不等式有解或恒成立问题 32．（25-26高一上·天津和平·开学考试）若存在，使得成立，则实数m的取值范围是 ． 33．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 34.（25-26高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东广州·期末）若，则“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（25-26高一上·福建宁德·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为，不等式的解集为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·河北·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·湖北荆州·期末）设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·贵州毕节·期中）已知不等式的解集为集合A，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）不等式的解集为________． 12．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 14．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 四、解答题 15．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 16．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 17．（25-26高一上·上海·期中）定义： 形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”． (1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集； (2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式解法全归纳 常考题型·精准突破 考点一 分式不等式的解法 题型1 解分式不等式（重点） 考点二 高次不等式的解法 题型2 解一元高次不等式（高频） 考点三 根式不等式的解法 题型3 解根式不等式（易错点） 考点四 绝对值不等式的解法 题型4 公式法解绝对值不等式（重点） 题型5 平方法解绝对值不等式 题型6 去绝对值法解绝对值不等式 题型7 零点分段讨论法解绝对值不等式（难点） 考点五 根据不等式的解集求参数 题型8 由不等式的解集求参数（高频） 考点六 不等式有解或恒成立问题 题型9 解决不等式有解或恒成立问题（重、难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 分式不等式的解法 ◆题型1 解不含参的分式不等式 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即. 等价为，解得. 故解集为. 2．（2027年高考数学一轮复习检测卷）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 3．（2026·湖北武汉·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， ， 则. 4．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】解不等式可得，所以， 又，显然⫋，即是的真子集, 因此，“”能推出“”，但反过来不成立，故“”是“”的充分不必要条件． 5．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． 考点二 高次不等式的解法 ◆题型2 解一元高次不等式 6．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按的正负分类讨论，利用一元二次不等式的解法再结合集合的运算法则可得答案. 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 7．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，即， 即， 因为恒成立，所以原不等式等价于， 即，且，， 可利用根法进行求解，如图：    解得或， 故原不等式的解集为． 故选：B． 8．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 所以， 所以或， 解得：或， 解得：或或. 故选：A. 9.（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）不等式的解集为_____． 【答案】 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 10.（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为 所以. 由图可知：    . 考点三 根式不等式的解法 ◆题型3 解根式不等式 11．（25-26高二下·云南曲靖·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 于是由，或， 所以不等式的解集为. 12．（2026·山东·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且， 所以. 13．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由可得，解得，即， 故. 14．（25-26高二下·全国·自主招生）不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】对于原不等式，有，原不等式化为，两边平方化简为，结合高次不等式的解法并结合可得出原不等式的解集. 【详解】对于不等式，有，可得， 所以原不等式化为． 因为，必有，可得， 由可得， 即， 整理可得， 方程的两根分别为，，如下图所示： 不等式的解为或或， 又因为，故原不等式的解集为. 15．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式解法，分段求解即可. 【详解】由不等式有意义，得，解得， 当时，，因此； 当时，，即，解得，因此， 所以不等式的解集为. 故答案为： 考点四 绝对值不等式的解法 ◆题型4 公式法解绝对值不等式 16.（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 17．（2026·上海·模拟预测）不等式的解集为__________． 【答案】 【详解】，得， 所以. 故不等式的解集为. 18．(25-26高一上·山东济南·期中）含有绝对值的不等式的解集是______． 【答案】 【详解】不等式表示或，解得或， 不等式的解集为． ◆题型5 平方法解绝对值不等式 19.（2026高二·全国·课后作业）不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不等式，可得， 即，整理得到，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A． 20．（2026·上海浦东新·三模）不等式的解集为______________． 【答案】 【详解】不等式等价于， 化简可得，即， 所以不等式的解集为. 21．不等式的解集为 ； 【答案】 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可. 【详解】左右两侧同时平方得， 所以，故， 化简得，解得. ◆题型6 去绝对值法解绝对值不等式 22.（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，. 故选：C. 23.（23-24高一上·上海·阶段检测）不等式的解集是__________ 【答案】 【详解】由题意得-x<2x-1<x, 解得. 所以原不等式的解集为. 24．解关于x的不等式：； 【详解】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 解法二：原不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. ◆题型7 零点分段讨论法解绝对值不等式 25.（25-26高三上·辽宁·期末） 的解集为_____ 【答案】 【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解. 【详解】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 26．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为________． 【答案】 【详解】令， 当时，； 当时，，得，所以； 当时，不成立． 故原不等式的解集为. 27（2025高一·上海·专题练习）已知不等式的解集为．设实数，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以； 当时，原不等式可化为，即，所以； 当时，原不等式可化为，即，所以； 综上可知； 证法一：因为，，所以，. 而，所以； 证法二：要证，只需证：， 只需证：， 因为，，所以，. 所以成立，所以成立. 考点五 根据不等式的解集求参 ◆题型8 根据不等式的解集求参 28．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 29．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）不等式的解集为，则______． 【答案】-8 【详解】由得 ， 又不等式的解集为，该解集只有左端为闭区间，故，即， 从而可得是方程的解，代入可得， 解得：，经检验满足题意. ． 30．（25-26高二下·云南昆明·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________________． 【答案】 【分析】分析可知和是方程的两个实数根，利用韦达定理求的值，代入解分式不等式即可. 【详解】不等式，即的解集为， 则和是方程的两个实数根， 则，解得， 则，等价于，解得 故该不等式的解集为． 31．（25-26高一下·江苏盐城·期末）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了，正确计算后得到的解为；乙写错了，正确计算后得到的解为．那么不等式的解为___________． 【答案】 【详解】甲写错了，但是正确的，由的解为，则1和2是方程的两个根，得； 乙写错了，但是正确的，由的解为，则和1是方程的两个根，得，即. 由，得，即，解得. 不等式的解为. 考点六 不等式有解或恒成立问题 ◆题型9 解决不等式有解或恒成立问题 32．（25-26高一上·天津和平·开学考试）若存在，使得成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵， ∴原不等式可化为， ∴由题意得，不等式有解， 令，则， ， 故要使有解，则， 的取值范围为. 故答案为：. 33．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由于，时等号成立， 故不等式的解集为，即， 即得实数的取值范围是. 立问题，考查转化思想与计算能力，是中档题． 34.（25-26高一上·上海黄浦·期中）已知，，关于的不等式． (1)若，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式（解集用表示）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）若，且不等式对一切恒成立， 又恒成立， 所以恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）当时，又恒成立， 不等式可化为， 即， 当时，， 当时，不等式可化为， 解得， 当时，不等式可化为， 当时，解得或； 当时，； 当时，解得或， 故当时，解集为； 当时，解集为， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·山东青岛·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对不等式移项得，整理得，等价于，解得或， 即. 已知，，故A错误； ，故B错误； 的所有元素均属于，且中存在小于0的元素不属于， 因此，C正确，D错误. 2．（25-26高一上·广东广州·期末）若，则“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】由，可得；由，可得， 因为⫋， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（25-26高一上·福建宁德·期中）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，此时不一定有成立，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（25-26高二下·辽宁本溪·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得 所以. 由，得或，解得或， 所以或， 所以， 所以. 5．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由不等式，知且. 当，即且时， 因为，所以不等式恒成立； 当，即时， ，， 即，， 所以或（与矛盾，舍去）. 综上所述，不等式的解集为. 6．关于的不等式的解集是，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由等价于，由题意知， 当时，，则，解得（舍）； 当时，，则，解得，符合题意. 7．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为，不等式的解集为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求解相应的不等式，得集合，根据子集的定义求得的取值范围. 【详解】由，得，所以. 所以. 因为恒成立，所以不等式等价于，即. 所以． 若，则. 所以的值范围是. 二、多选题 8．（25-26高二下·河北·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由，可得，即，解得或， 则的解集为或， 若找的充分不必要条件对应的集合， 则必须满足，且，故A，C，D均正确，B错误. 9．（25-26高一下·湖北荆州·期末）设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】不等式 等价于解得 因为是的充分不必要条件则对应的集合必须是集合的真子集， 所以ABC符合题意，D不符合题意； 10．（25-26高一上·贵州毕节·期中）已知不等式的解集为集合A，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先解不等式求出解集，再逐个分析判断即可 【详解】由题意得，解得，即． 故，，，． 故选：AC 三、填空题 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）不等式的解集为________． 【答案】 【详解】由不等式可得，且，所以． 12．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为________. 【答案】 【详解】当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为，解得； 当时，原不等式化为3，无解. 综上，不等式的解集为. 13．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 【答案】 【详解】对于：等价于，解得：， 对于：由，得：， 又，所以； 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，解得． 14．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【详解】因为不等式的解集为， 所以是的两个根，且， 可得，所以， 所以得， 即，由得， 所以,所以或， 则不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）若，， 方程的根为， 所以，解得或， 故或； （2）因为不等式的解集， 所以的一个解为， 所以，解得， 此时的解集为，满足题意. 不等式即， 等价于，解得， 故不等式的解集为． 16．（25-26高一上·上海奉贤·期末）设全集为R，集合，集合． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由不等式，可得，所以. （2）解：由（1）知：集合，且， 当时，不等式的解集为空集，满足，符合题意； 当时，不等式，可得，即， 因为，则满足，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 17．（25-26高一上·上海·期中）定义： 形如（其中均为关于的整式，且）的不等式为“阶梯分式不等式”，其“阶梯运算”的规则如下：当时，表示“”；当时，表示“”；当时，表示“”． (1)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集； (2)已知阶梯分式不等式，请求解该不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】根据“阶梯运算”的规则，分情况列不等式组，结合分式不等式的解法求解即可． 【详解】（1）解： 阶梯分式不等式， 或或， 即或或， 解得或或， 综上，该不等式的解集为； （2）解：阶梯分式不等式 或或， 即或或， 即或或， 解得或或， 综上，该不等式的解集为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $