培优专题02 一元二次函数、方程和不等式十二类重难点题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以五大核心为纲，十二类题型为目，通过通法提炼-题型模板-变式迁移构建系统性方法体系，强化“三个二次”内在逻辑与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|5核心+3原则|不等式变形/基本不等式三要素/二次问题双重约束|概念原理→运算规则→易错规避| |题型归纳|12题型+多变式|作差比大小/三题十法求最值/分类讨论解含参不等式|性质应用→方程函数关联→实际问题建模| |压轴挑战|15题|恒成立/根分布/复杂最值综合解法|基础方法→综合迁移→思维突破|

专题02 一元二次函数、方程和不等式十二类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用不等式的性质、基本不等式及运算比大小 题型二、利用基本不等式求最值（三题十法） 题型三、利用基本不等式解决实际问题 题型四、利用不等式性质或基本不等式证明复杂不等式 题型五、求具体的一元二次不等式、分式不等式的解集 题型六、求含参的一元二次不等式的解集 题型七、利用”三个二次“之间的关系求值（范围） 题型八、利用一元二次不等式解决实际问题 题型九、一元二次方程根的分布问题 题型十、一元二次不等式在R上恒成立、有解问题 题型十一、一元二次函数在闭区间上的最值问题 题型十二、一元二次不等式在区间上恒成立、有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本章是高中数学运算基石、函数基础、高考必考核心，全章所有题型围绕不等式性质、基本不等式、一元二次方程与判别式、一元二次函数图像与最值、一元二次不等式求解五大核心展开。解题贯穿三条绝对底线原则：一是等式、不等式变形恒等原则，不等式两边同乘负数必须变号；乘除含参式子必须讨论正负，严禁随意约分；二是基本不等式适用三要素：一正、二定、三相等，缺一不可，取不到等号必须用后续将要学习的单调性求最值。三是 一元二次问题双重约束：含参二次问题，二次项系数决定曲线类型，实数根/解集存在必须验证判别式Δ，范围问题必须结合图像验证. 本章高频易错避雷清单（核心丢分点） 1. 解不等式二次项系数不化正，直接套用“大于取两边,小于取中间”，解集完全错误； 2. 用基本不等式时犯如下错误①忽略正数条件，直接套用公式；② 套公式后无定值，强行利用等号成立时反求值，并以此作为最值；③ 未验证“取等条件”，所求定值不能作为最值；④ 多次利用不等式导致传递方向出错或“取等条件”无法同时满足，所求定值不能作为最值； 3. 含参不等式直接默认是二次，漏掉二次项系数为0的一次方程/不等式情况； 4. 二次函数区间最值，只看顶点不看区间，忽略对称轴与区间的位置关系； 5. 根与系数的关系不验证Δ，出现无实根却套用两根关系的错误； 6. 不等式变形随意乘除含参式子，不讨论正负导致变号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用不等式的性质、基本不等式及运算比大小 典例1 已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 题型模板 1.代数式比大小，利用不等式性质变换或者作差与0比大小是行之有效的首选方法，实际上作商与1比大小需要全正的条件，所以要慎用，况且作商等价于作差后通分因式分解，故而作商不宜作为首选方法； 2.当单纯作差无法比大小时，需要结合基本不等式比较大小. 变式1-1设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 变式1-2已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 题型二、利用基本不等式求最值（三题十法） 典例2 已知且,求的最大值. 题型模版 基本不等式求最值之所以有难度，除了“一正、二定、三相等”容易出错意外，更大的原因在于解题方法比较多，很容易受题干条件或目标结构影响解法的适用性及可行性。根据经验，常见的解法有： ①直接定"a"、"b"利用基本不等式求最值.②凑系数定"a"、"b利用基本不等式求最值.③有和有倒数结构乘一乘求最值.④换元法化求最值.⑤和积分离后再用基本不等式求最值.⑥有积、有和、有平方和，消平方和后再用基本不等式求最值.⑦消元（主元）思想求最值.⑧"万能t法”求最值.⑨常数代换化齐次式结构求最值.⑩双换元法求最值. 变式2-1已知正实数，满足，求的最小值． 变式2-2已知，，，求的最大值. 题型三、利用基本不等式解决实际问题 典例3 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 题型模版 1.实际问题核心是要根据题目条件合理假设变量正确列出表达式; 2.变量的合理假设是难点，另外还要结合实际意义考虑变量的范围，这一点极其容易忽略. 变式3-1现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 变式3-2某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 变式3-3如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 题型四、利用不等式性质或基本不等式证明复杂不等式 典例4（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2） 已知，，均为正实数，求证：. 题型模版及解题技巧 证明不等式常见的方法有： ①由左至右证明；②由右至左证明；③左右分别借助中间量证明；④作差证明. 借助基本不等式时要合理定，并适当组合，拼凑，拆解等，可适当积累一些常见不等式的证明方法，比如不等式的证明. 变式4-1已知，求证：. 变式4-2若，求证：． 题型五、求具体的一元二次不等式、分式不等式的解集 典例5 （多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 题型模版 1.解一元二次不等式步骤：①二次项系数化正；②求相应方程的根；③“大于取两边，小于取中间”，相应方程无根或唯一根时图像分析. 2.解分式不等式步骤：①移项，右边化为0；②通分，系数化正；③化为乘积形式（注意分母不为0）；④“口诀”或“穿针引线法”； 3.易错点：二次项系数没有化正，盲目用“口诀”导致解集结构错误； 变式5-1不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 题型六、求含参的一元二次不等式的解集 典例6 解关于x的不等式. 题型模版及难点易错点分析 1.解含参的一元二次不等式步骤：①讨论二次项的系数（大于0，小于0，等于0）；②求相应方程的根（讨论根的个数）；③讨论根的大小. 2.难点在于讨论原则确立，易错点在于讨论容易漏掉等于情形. 变式6-1解关于的不等式：． 变式6-2若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式6-3已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 题型七、利用”三个二次“之间的关系求值（范围） 典例7（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 题型模版及难点易错点分析 不等式解集与最高次项系数及相应方程根之间的关系如下：①解集的结构与最高次项系数的关联，时，“大于取两边小于取中间”，时，“大于取中间，小于取两边”；②不等式解集的边界是相应方程的根，常结合韦达定理或根代入相应方程解题. 变式7-1(多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 变式7-2已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型八、利用一元二次不等式解决实际问题 典例8甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 题型模版及难点易错点分析 实际问题重在理解题意，如何合理的假设变量，并能将题中的自然语言正确的转化为代数语言是解题的关键.非常容易出错的点在于实际问题中所隐含的变量的范围. 变式8-1完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 题型九、一元二次方程根的分布问题 典例9若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 题型模版及难点易错点分析 一元二次函数根的分布问题，核心难点在于“抛物线的锁定”，由图像需要哪些代数条件才能精准刻画符合条件的图像，体现图形与代数之间的对应关系，难点在于“锁定抛物线”时，所列举的代数条件可能会遗漏，不能锁定图像，求解范围扩大。不过“锁定抛物线”时往往有以下四大点是必须考虑的①开口；②判别式；③对称轴；④边界（包括）处. 变式9-1已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 变式9-2已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 变式9-3已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 题型十、一元二次不等式在R上恒成立、有解问题 典例10若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型模版及难点易错点分析 一元二次不等式在上恒成立有解问题，往往结合一元二次函数研究，一般转化为讨论二次项系数及判别式的问题.易错点就在于，二次项系数的讨论，尤其是二次项系数为0时极其容易踩雷. 变式10-1已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 变式10-2对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型十一、一元二次函数在闭区间上的最值问题 典例11已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 题型模版及难点易错点分析 一元二次不等式在闭区间上的最值问题，在开口确定的情况下（开口不确定时先讨论开口方向）主要是按对称轴在区间的左中右原则讨论。以开后向上为例： 若求最小值，则讨论三种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部；③对称轴在区间的右侧. 若求最大值，则需讨论两种情形①对称轴在区间中点的左侧；②对称轴在区间中点的右侧. 若同时求最大值和最小值，则需讨论四种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部中点左侧；③对称轴在区间的内部中点右侧；④对称轴在区间的右侧. 变式11-1函数在区间上的最小值为，则的表达式为____. 变式11-2已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 题型十二、一元二次不等式在区间上恒成立、有解问题 典例12设函数，若恒成立，求的取值范围． 题型模版 不等式恒成立；可用基本的转化思想： ;; ;; 故而针对形如多变量的不等式恒成立或有解问题，将有两种方向： ①分离变量法，求具体函数的最值；②定主元，直接讨论动态函数的最值 变式12-1已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式12-2若存在使得不等式成立，则取值范围是 . 变式12-3已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 3．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 4．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6（多选）．下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 7(多选）．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 8（多选）．已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 9．已知实数、满足且，则的最小值为______． 10．已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 11．已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 12．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 13．已知，，求的最大值． 14．已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 15．已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式十二类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用不等式的性质、基本不等式及运算比大小 题型二、利用基本不等式求最值（三题十法） 题型三、利用基本不等式解决实际问题 题型四、利用不等式性质或基本不等式证明复杂不等式 题型五、求具体的一元二次不等式、分式不等式的解集 题型六、求含参的一元二次不等式的解集 题型七、利用”三个二次“之间的关系求值（范围） 题型八、利用一元二次不等式解决实际问题 题型九、一元二次方程根的分布问题 题型十、一元二次不等式在R上恒成立、有解问题 题型十一、一元二次函数在闭区间上的最值问题 题型十二、一元二次不等式在区间上恒成立、有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 本章是高中数学运算基石、函数基础、高考必考核心，全章所有题型围绕不等式性质、基本不等式、一元二次方程与判别式、一元二次函数图像与最值、一元二次不等式求解五大核心展开。解题贯穿三条绝对底线原则：一是等式、不等式变形恒等原则，不等式两边同乘负数必须变号；乘除含参式子必须讨论正负，严禁随意约分；二是基本不等式适用三要素：一正、二定、三相等，缺一不可，取不到等号必须用后续将要学习的单调性求最值。三是 一元二次问题双重约束：含参二次问题，二次项系数决定曲线类型，实数根/解集存在必须验证判别式Δ，范围问题必须结合图像验证. 本章高频易错避雷清单（高一核心丢分点） 1. 解不等式二次项系数不化正，直接套用“大于取两边,小于取中间”，解集完全错误； 2. 用基本不等式时犯如下错误①忽略正数条件，直接套用公式；② 套公式后无定值，强行利用等号成立时反求值，并以此作为最值；③ 未验证“取等条件”，所求定值不能作为最值；④ 多次利用不等式导致传递方向出错或“取等条件”无法同时满足，所求定值不能作为最值； 3. 含参不等式直接默认是二次，漏掉二次项系数为0的一次方程/不等式情况； 4. 二次函数区间最值，只看顶点不看区间，忽略对称轴与区间的位置关系； 5. 根与系数的关系不验证Δ，出现无实根却套用两根关系的错误； 6. 不等式变形随意乘除含参式子，不讨论正负导致变号错误。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用不等式的性质、基本不等式及运算比大小 典例1 已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解选项A；利用作差法比较大小求解选项B,C,D. 【详解】因为， 对于A，， 当且仅当，即时取得等号，即恒成立，故A不符合题意； 对于B，， 因为， 所以， 所以，即恒不成立，故B符合题意； 对于C，， 所以，即恒成立，故C不符合题意； 对于D，， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以， 所以当时，有最小值为0， 所以，即恒成立，故D不符合题意； 故选：B. 题型模板 1.代数式比大小，利用不等式性质变换或者作差与0比大小是行之有效的首选方法，实际上作商与1比大小需要全正的条件，所以要慎用，况且作商等价于作差后通分因式分解，故而作商不宜作为首选方法； 2.当单纯作差无法比大小时，需要结合基本不等式比较大小. 变式1-1设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 变式1-2已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 题型二、利用基本不等式求最值（三题十法） 典例2 已知且,求的最大值. 【答案】 【分析】法一：“消平方和法”、“和积分离法”、“凑系数法综合应用” 【详解】解：=2， 所以,由得 所以,当且仅当即时取,所以最大值为. 【分析】法二：“消平方和法”、“定直接应用法” 解： ,,故要求的最大值，只需先求的最大值.由条件=2可得，，,解得,当且仅当即时取,所以最大值为. 【分析】法三：“万能t法” 解：设，则，代入条件可得,即 ，，解得,，当时，，所以最大值为. 题型模版 基本不等式求最值之所有有难度，除了“一正、二定、三相等”容易出错意外，更大的原因在于解题方法比较多，很容易受题干条件或目标结构影响解法的适用性及可行性。根据经验，常见的解法有： ①直接定"a"、"b"利用基本不等式求最值.②凑系数定"a"、"b利用基本不等式求最值.③有和有倒数结构乘一乘求最值.④换元法化求最值.⑤和积分离后再用基本不等式求最值.⑥有积、有和、有平方和，消平方和后再用基本不等式求最值.⑦消元（主元）思想求最值.⑧"万能t法”求最值.⑨常数代换化齐次式结构求最值.⑩双换元法求最值. 变式2-1已知正实数，满足，求的最小值． 【答案】 【分析】法一“齐次式法” 【详解】解：， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【分析】法二“消元函数法”、“换元法”综合 【详解】解：，故，当，即时取等号，所以的最小值为. 变式2-2已知，，，求的最大值. 【答案】 【分析】“双换元法”，“有和有倒数乘一乘”化繁为简 【详解】解：令，，所以， 因为，所以，所以，所以 ，当且仅当时取等号，结合，解得，即时，，所以的最大值为. 题型三、利用基本不等式解决实际问题 典例3 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 题型模版 1.实际问题核心是要根据题目条件合理假设变量正确列出表达式; 2.变量的合理假设是难点，另外还要结合实际意义考虑变量的范围，这一点极其容易忽略. 变式3-1现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 变式3-2某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 变式3-3如图，某学校计划在一块空地上修建一个面积为500平方米的矩形花坛.花坛周围需要修建路径，路径宽度不均匀：在花坛的两条长边外侧，路径宽2米；在两条短边外侧，路径宽3米.设花坛的宽与长之比为（）. (1)若花坛的周长为120米，求此时花坛的宽； (2)求使整个花坛区域（包括花坛和路径）面积最小时的值. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）设花坛的长为米，由花坛的宽与长之比为（），得到花坛的宽为米，由花坛的周长为120米和矩形花坛的面积为500平方米，建立和的等式，求解即可； （2）设花坛的长为米，得到花坛的宽为米，由题中条件得到，整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米，从而求得整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积，利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 花坛的周长为120米，， 矩形花坛的面积为500平方米，，联立， 解得，故花坛的宽为米. （2）设花坛的长为米，花坛的宽与长之比为（），花坛的宽为米， 矩形花坛的面积为500平方米，，，， ，， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的长为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的宽为米， 整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积为， 展开得到，， ，， ，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小， 故整个花坛区域（包括花坛和路径）的面积最小时，. 题型四、利用不等式性质或基本不等式证明复杂不等式 典例4（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 题型模版及解题技巧 证明不等式常见的方法有： ①由左至右证明；②由右至左证明；③左右分别借助中间量证明；④作差证明. 借助基本不等式时要合理定，并适当组合，拼凑，拆解等，可适当积累一些常见不等式的证明方法，比如不等式的证明. 变式4-1已知，求证：. 【答案】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 变式4-2若，求证：． 【答案】由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 题型五、求具体的一元二次不等式、分式不等式的解集 典例5 （多选）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误.故选AB 题型模版 1.解一元二次不等式步骤：①二次项系数化正；②求相应方程的根；③“大于取两边，小于取中间”，相应方程无根或唯一根时图像分析. 2.解分式不等式步骤：①移项，右边化为0；②通分，系数化正；③化为乘积形式（注意分母不为0）；④“口诀”或“穿针引线法”； 3.易错点：二次项系数没有化正，盲目用“口诀”导致解集结构错误； 变式5-1不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解. 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 题型六、求含参的一元二次不等式的解集 典例6 解关于x的不等式. 【答案】当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得或； ③当时，原不等式化为， 若，即，不等式无解, 若，即时，解得, 若，即时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型模版及难点易错点分析 1.解含参的一元二次不等式步骤：①讨论二次项的系数（大于0，小于0，等于0）；②求相应方程的根（讨论根的个数）；③讨论根的大小. 2.难点在于讨论原则确立，易错点在于讨论容易漏掉等于情形. 变式6-1解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 变式6-2若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 变式6-3已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 题型七、利用”三个二次“之间的关系求值（范围） 典例7（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 题型模版及难点易错点分析 不等式解集与最高次项系数及相应方程根之间的关系如下：①解集的结构与最高次项系数的关联，时，“大于取两边小于取中间”，时，“大于取中间，小于取两边”；②不等式解集的边界是相应方程的根，常结合韦达定理或根代入相应方程解题. 变式7-1(多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 变式7-2已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合韦达定理得到参数关系，即可将问题转化为，结合进而，求解即可. 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以， 所以不等式可化为， 又，则，解得或． 题型八、利用一元二次不等式解决实际问题 典例8甲，乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数，当甲公司投入万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费用小于万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险；当乙公司投入万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败风险.设，，甲，乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少投入宣传费用，问甲公司应投入______万元宣传费. 【答案】24 【分析】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费，根据题意列不等式组，可得，运算求解即可. 【详解】设甲公司应投入万元宣传费，乙公司应投入万元宣传费， 则，即， 可得，即， 设，则，可得， 整理可得，解得或（舍去）， 即，可得，此时，符合题意， 所以甲公司应投入24万元宣传费. 故答案为：24. 题型模版及难点易错点分析 实际问题重在理解题意，如何合理的假设变量，并能将题中的自然语言正确的转化为代数语言是解题的关键。非常容易出错的点在于实际问题中所隐含的变量的范围. 变式8-1完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 题型九、一元二次方程根的分布问题 典例9若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 题型模版及难点易错点分析 一元二次函数根的分布问题，核心难点在于“抛物线的锁定”，由图像需要哪些代数条件才能精准刻画符合条件的图像，体现图形与代数之间的对应关系，难点在于“锁定抛物线”时，所列举的代数条件可能会遗漏，不能锁定图像，求解范围扩大。不过“锁定抛物线”时往往由以下四大点是必须考虑的①开口；②判别式；③对称轴；④边界（包括）处. 变式9-1已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 变式9-2已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 变式9-3已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 题型十、一元二次不等式在R上恒成立、有解问题 典例10若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和讨论，求解的取值范围后取并集. 【详解】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 题型模版及难点易错点分析 一元二次不等式在上恒成立有解问题，往往结合一元二次函数研究，一般转化为讨论二次项系数及判别式的问题.易错点就在于，二次项系数的讨论，尤其是二次项系数为0时极其容易踩雷. 变式10-1已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围. 【详解】命题的否定为“，”，为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得：， 综上可得：的取值范围是 变式10-2对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题可得对任意实数恒成立，分两种情况讨论，结合二次函数开口方向，二次方程判别式可得答案. 【详解】即对任意实数恒成立. 当，得，当时不成立； 当，则二次函数图象恒在轴下方， 得. 综上可得：. 题型十一、一元二次函数在闭区间上的最值问题 典例11已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 题型模版及难点易错点分析 一元二次不等式在闭区间上的最值问题，在开口确定的情况下（开口不确定时先讨论开口方向）主要是按对称轴在区间的左中右原则讨论。以开后向上为例： 若求最小值，则讨论三种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部；③对称轴在区间的右侧. 若求最大值，则需讨论两种情形①对称轴在区间中点的左侧；②对称轴在区间中点的右侧. 若同时求最大值和最小值，则需讨论四种情形①对称轴在区间的左侧；②对称轴在区间的内部中点左侧；③对称轴在区间的内部中点右侧；④对称轴在区间的右侧. 变式11-1函数在区间上的最小值为，则的表达式为____. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质可知的最小值为. 【详解】由题意可知，二次函数的开口向下，对称轴方程为 ∵，， 令，即时，， 令，即时，， ∴，即. 变式11-2已知二次函数，当时，y的最小值为0，求a的值？ 【答案】或或或 【分析】根据给定条件，按二次函数图象的对称轴与区间的关系分类求解. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，而，则； 当时，则当时，，因此，解得或， 所以a的值为或或或. 题型十二、一元二次不等式在区间上恒成立、有解问题 典例12设函数，若恒成立，求的取值范围． 【答案】. 法一：【分析】将不等式化为，由参变分离得恒成立，再求函数在上的最小值，进而得到取值范围即可. 【详解】由恒成立，得， 即在上恒成立， 因为，所以恒成立， 设，， 由二次函数性质得在上单调递增，所以， 于是，当时取得等号， 可得，即的取值范围为. 法二：【分析】函数 当符合恒成立 当时，函数对称轴为， 若，则函数在递增，故，解得，故. 若，则函数在递减，故，解得，故. 综上的取值范围为. 题型模版 不等式恒成立；可用基本的转化思想： ;; ;; 故而针对形如多变量的不等式恒成立或有解问题，将有两种方向： ①分离变量法，求具体函数的最值；②定主元，直接讨论动态函数的最值 变式12-1已知，函数，若，成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】二次函数的图象抛物线开口向上，对称轴方程为， 由，有，又，若，成立， 则有，解得， 所以实数m的最小值为. 变式12-2若存在使得不等式成立，则取值范围是 . 【答案】. 【分析】转化问题为在上有解，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得在上有解，， 而，当且仅当时等号成立， 所以. 变式12-3已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若“，”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数不等式恒成立问题，进而通过端点值满足对应条件，即可求解. 【详解】由题意可得“，”为真命题， 设，因此上述不等式恒成立即转化为，恒成立， 则， 解得. 2．下列说法不正确的有（    ） A．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 B．在上恒成立，则实数k的取值范围是 C．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 D．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围 【答案】D 【分析】利用判别式法来判断二次不等式恒成立，可判断A，利用二次式因式分解法，即可判断B，利用分离参变量再结合基本不等式求最值来判断二次不等式恒成立，即可判断CD． 【详解】对于A，当时，恒成立， 当时，由题意可知：，解得， 综上得，k的取值范围是，故A正确； 对于B，由得， 因该不等式在上恒成立，则需使，即在上恒成立， 故得，即实数k的取值范围是，故B正确； 对于C，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），则得，故C正确； 对于D，由题意得，对恒成立，即 ， 因（当且仅当时取等号），可知，故D错误. 3．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 4．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 5．已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 6（多选）．下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 7(多选）．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】当同号时，，即，亦即，此时解集相同； 当异号时，，即，亦即，显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误. 若，即的解集为， 则是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是3，故B正确. 若，即的解集为， 则是方程的两个根， 所以，所以， 则关于x的不等式，即， 两边同时除以负数a得，即，其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 8（多选）．已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 9．已知实数、满足且，则的最小值为______． 【答案】90 【分析】由换元法，令，，再根据基本不等式求解即可． 【详解】令，，则， 原式， 当且仅当，即， 时取等号， 此时，故最小值为90． 10．已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 11．已知关于的方程的四个实根均为正数，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】关于的方程的四有正实根，两边同除以，等价变形为，然后利用分离变量法转化成值域问题即可解决. 【详解】由题意知：， 关于的方程有正实根，， 等价变形为，（1） 设，则，（1）可变形为：有根， 分离变量得：， 原方程有四个正根，所以， 所以， 所以，当且仅当时取等， 所以， 12．若方程（，）在上有实根，则的最大值为______. 【答案】 【分析】通过不断构造函数利用一元二次函数性质求解最值. 【详解】设实根，则， ，所以. 由二次函数特性可知，时取得最大值. ， 又当时取得最大值，且. 所以. 13．已知，，求的最大值． 【答案】/ 【分析】拆分分母构造均值不等式，匹配系数求解待定参数，最后利用均值不等式的放缩即可求解. 【详解】， 为使不等式右侧为常数，需使，解得， 此时当且仅当时等号成立，解得 故的最大值为. 故答案为：． 14．已知二次函数. (1)已知，，，且当时的最大值是. （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）求时，函数的最小值. (2)若对任意，恒成立，求的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）； （ⅱ）当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 当时，的最小值为. (2) 【分析】（1）（ⅰ）由得到，由得到，根据二次函数图象求得时的最大值，即可求出的解析式，（ⅰⅰ）按照区间在对称轴的位置分为，和三种情况，分别求最小值即可； （2）令，求得，根据恒成立得到，，进而得到，，利用二次函数的性质求出的最大值，再验证此时恒成立即可. 【详解】（1）（ⅰ）由题意得， 由题可知对称轴， 所以，， 所以在区间上的最大值是， 所以，即， 所以的解析式为. （ⅱ）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为 ①当时，即时，在上单调递减， 此时的最小值为， ②当时，在上单调递增， 此时的最小值为， ③当时，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值为， 综上，当时，的最小值为， 当时，的最小值为， 当时，的最小值为. （2）令，则，所以， 因为对任意，恒成立，所以恒成立， 所以， ， 所以，此时， 所以，当，，时取等号， 此时，成立， 即成立， 故的最大值为. 15．已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $