第2章 等式与不等式（单元分层自测·基础通关卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高一数学第2章等式与不等式基础通关单元卷，通过基础题与综合应用题梯度设计，考查不等式解法、性质及实际应用，适配单元复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|不等式解集、恒成立范围等|如第2题解不等式，夯实基础| |选择题|4题/18分|充要条件、集合运算等|如15题条件判断，考查逻辑推理| |解答题|5题/78分|综合应用与创新|如20题购买策略、21题构造不等式求最值，体现数学建模与创新意识|

2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、 3、0 4、 5、 4 6、 7、充分不必要 8、 9、 10、 11、 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 D B A D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）由题意可知， 1分 且的两根为和， ∴由根与系数的关系得， 3分 解得， 此时不等式即为符合题意，所以； 6分 （2）当时，. 8分 所以对恒成立对恒成立， 10分 因为当时，，所以对恒成立， 12分 ∴由一次函数性质得，解得. 故的取值范围为. 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1），理由： 由， ， 作差得 . 3分 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. 6分 （2），理由： 作差得 . 9分 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 12分 即 ，当且仅当 时取等号. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）中有且只有一个元素，所以方程有且仅有一个根. 2分 当时，，即，则，满足题设； 4分 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. 6分 （2）依题意，，整理得，即. 8分 （Ⅰ）当时，解得； 9分 （Ⅱ）当时，不等式可化为，解得或； 11分 （Ⅲ）当时，不等式可化为， ①当时，原不等式无解； ②当时，解得； ③当时，解得. 13分 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1）因为， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 2分 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为， 则策略②购买的产品总量，总金额为. 4分 (2) 采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 6分 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量， 则两次平均价格为， 8分 因为，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当 时，，采用策略②比采用策略①更经济. 10分 （3）由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 13分 当时，由，得，即， 15分 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）由，可得， 所以， 2分 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 4分 (2)，理由如下： 因为， 7分 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 10分 （3）要使有意义， 则，解得． 12分 令，有， 则，所以． 14分 ， 即，所以， 16分 当且仅当，即时等号成立． 所以当时，取得最大值为． 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则______．（填“”或“”） 2．不等式的解集是___________． 3．已知，则______时，的值最小． 4．关于x的不等式 的解的集合为________________ 5．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为________． 6．已知实数，满足，，则的范围是____________ 7．命题：，题：，则是的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 8．已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是____________． 9．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 10．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______. 11．已知，，，则的最小值为____． 12．若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 14．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 15．设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） (1)集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (3)请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法． 例：已知，且，求的最小值． 解：，当且仅当，即时，等号成立． 学习上述解法，解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若均为正实数，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求的最大值，并求取得最大值时的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则______．（填“”或“”） 【答案】 【详解】由，则. 故答案为：. 2．不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】因为，所以，即，解得，所以不等式的解集是. 3．已知，则______时，的值最小． 【答案】0 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的值最小为1. 故答案为： 4．关于x的不等式 的解的集合为________________ 【答案】 【详解】原不等式可化为，即， 又显然，所以，解得， 所以不等式的解的集合为. 故答案为：. 5．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为________． 【答案】 【详解】由题意，和为方程的两根，且. 所以，解得，所以． 故答案为： 6．已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 7．命题：，题：，则是的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【详解】若，则必成立，充分性成立； 若，则，此时有或，必要性不成立； 故是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 8．已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】不等式在上恒成立，则，解得． 故答案为： 9．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 10．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 又恒成立，所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 11．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【详解】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 12．若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】令， 因为集合的元素个数为2， 则，即函数的图象开口向上， 又，， 则， 所以，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A，取，，，，则，，所以，此时选项A不成立； 对于选项B，取，，，，则，，所以，此时选项B不成立； 对于选项C，取，，，，则，，所以，此时选项C不成立； 对于选项D，，其中由已知得，，，故恒成立. 14．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解不等式，即，解得或， 集合， 解不等式得：，即， ． 15．设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，由不等式的基本性质可得， 即“”“”； 若，不妨取，，，则， 但，所以“”“”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 16．已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，不等式恒成立， 即， ，即 ， ， ，， ，， ，当且仅当，即时等号成立， 当时，取得最小值为8， ，即，解得. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 1分 且的两根为和， ∴由根与系数的关系得， 3分 解得， 此时不等式即为符合题意，所以； 6分 （2）当时，. 8分 所以对恒成立对恒成立， 10分 因为当时，，所以对恒成立， 12分 ∴由一次函数性质得，解得. 故的取值范围为. 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【详解】（1），理由： 由， ， 作差得 . 3分 因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. 6分 （2），理由： 作差得 . 9分 因 ，，故 ，，又 ， 所以 ， 12分 即 ，当且仅当 时取等号. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） (1)集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式. 【详解】（1）中有且只有一个元素，所以方程有且仅有一个根. 2分 当时，，即，则，满足题设； 4分 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. 6分 （2）依题意，，整理得，即. 8分 （Ⅰ）当时，解得； 9分 （Ⅱ）当时，不等式可化为，解得或； 11分 （Ⅲ）当时，不等式可化为， ①当时，原不等式无解； ②当时，解得； ③当时，解得. 13分 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (3)请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 【详解】（1）因为， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 2分 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为， 则策略②购买的产品总量，总金额为. 4分 (2) 采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 6分 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量， 则两次平均价格为， 8分 因为，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当 时，，采用策略②比采用策略①更经济. 10分 （3）由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 13分 当时，由，得，即， 15分 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2. 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法． 例：已知，且，求的最小值． 解：，当且仅当，即时，等号成立． 学习上述解法，解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若均为正实数，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求的最大值，并求取得最大值时的值． 【详解】（1）由，可得， 所以， 2分 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 4分 (2)，理由如下： 因为， 7分 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 10分 （3）要使有意义， 则，解得． 12分 令，有， 则，所以． 14分 ， 即，所以， 16分 当且仅当，即时等号成立． 所以当时，取得最大值为． 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第2章 等式与不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，则______．（填“”或“”） 2．不等式的解集是___________． 3．已知，则______时，的值最小． 4．关于x的不等式 的解的集合为________________ 5．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的值为________． 6．已知实数，满足，，则的范围是____________ 7．命题：，题：，则是的____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 8．已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是____________． 9．若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 10．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______. 11．已知，，，则的最小值为____． 12．若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．设，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 14．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 15．设、、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） (1)集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (3)请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法． 例：已知，且，求的最小值． 解：，当且仅当，即时，等号成立． 学习上述解法，解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若均为正实数，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求的最大值，并求取得最大值时的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $