第二章一元二次函数、方程和不等式（单元测试·基础卷）高一数学人教A版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 3．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 4．若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，，，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 5．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，，得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 6．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【详解】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 7．已知正数x，y满足，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】利用，可求的最大值. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即的最大值为8． 故选：A. 8．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用作差法即可判断A；根据不等式的性质即可判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A．； B．，2是方程的两个实数根； C．； D．不等式的解集为或． 【答案】BD 【分析】由一元二次不等式的解集，结合韦达定理可判断ABC选项；由一元二次不等式的解法可判断D选项； 【详解】不等式的解集为， 所以和2是方程的两个实数根， 有，解得，， 故AC错误，B正确； 不等式即，可得解集为或. 故选：BD. 11．以下结论正确的是（    ） A．若，则的最小值是2 B．若a，R且，则 C．的最小值是2 D．若，，且，则 【答案】ABD 【分析】使用基本不等式（均值不等式）及其取等条件进行判断； 【详解】由基本不等式（均值不等式）：如果，，则，当且仅当时取等号，可得 如果，，，当且仅当时取等号，即为定值时，的最小值为， 如果，，，当且仅当时取等号，即为定值时，的最大值为， 对于A，当时，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因，所以且，因此，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，此时无实数解，故无法取等号，故的最小值不是，选项C错误， 对于D，如果，，则，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 【答案】，或 【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可. 【详解】由得，，通分得， 此不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为，或 故答案为：，或 13．已知实数x、y满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】通过观察可知， 由于，则， 而，所以. 故答案为： 14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】变形得到在上恒成立，由基本不等式求出，得到. 【详解】， 因为，所以问题等价于在上恒成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小： （2）结合不等式性质即可证明． 【详解】解：（1） . （2）证明：因为，可得， 则，又，可得． 16．（15分） （1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 17．（15分） 已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）变换得到，再利用均值不等式计算得到答案； （2）变换，展开利用均值不等式即可证明. 【详解】（1）因为，所以， ，，故，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最小值为8； （2）证明： ， 当且仅当，即时取等号，所以. 18．（17分） 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19．（17分） 已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可. （2）对参数分类讨论，再求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除， 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除， 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，得到实数的取值范围为. （2）当时，，令，解得 当时，我们讨论如下，因为， 所以，令， 解得或，当时，解得， 此时， 故得到的解集为， 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得， 令，解得，此时令，解得， 当时，恒成立，令，解得 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 4．若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 6．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．已知正数x，y满足，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A．； B．，2是方程的两个实数根； C．； D．不等式的解集为或． 11．以下结论正确的是（    ） A．若，则的最小值是2 B．若a，R且，则 C．的最小值是2 D．若，，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 13．已知实数x、y满足，，则的取值范围为 . 14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 16．（15分） （1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 17．（15分） 已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 18．（17分） 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19．（17分） 已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 4．若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．12 C． D．27 6．当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．已知正数x，y满足，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在5G信号传输中某通信实验室测试两种信号增强器，其增益参数满足，，则下列结论恒成立的是（ ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A．； B．，2是方程的两个实数根； C．； D．不等式的解集为或． 11．以下结论正确的是（    ） A．若，则的最小值是2 B．若a，R且，则 C．的最小值是2 D．若，，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．不等式的解集为 ． 13．已知实数x、y满足，，则的取值范围为 . 14．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）比较与的大小； （2）已知，求证：． 16．（15分） （1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 17．（15分） 已知，，且． (1)求的最小值； (2)证明：． 18．（17分） 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19．（17分） 已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B B C A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．，或 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】解：（1）（2分） （5分） .（6分） （2）证明：因为，可得，（8分） 则，（11分） 又，可得．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，（2分） 可得，（3分） 当且仅当时，即当时，等号成立，（6分） 故的最大值为；（7分） （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，，（10分） 由不等式的基本性质可得，（12分） 当且仅当时，等号成立.（14分） 故.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为，所以，（2分） ，，故，（4分） 当且仅当，即时取等号，（6分） 所以，即的最小值为8；（7分） （2）证明： ，（11分） 当且仅当，即时取等号，（14分） 所以.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意知，当时，（万件），（1分） 则，解得；（3分） （2）由（1）可得.（4分） 所以每件产品的销售价格为（元），（5分） 2024年的利润.（8分） （3）当时，，（9分） ，当且仅当时等号成立.（12分） ，（13分） 当且仅当，即万元时，（万元）.（16分） 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除，（2分） 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除，（3分） 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，（5分） 得到实数的取值范围为（6分） （2）当时，，令，解得（7分） 当时，我们讨论如下，因为， 所以，（8分） 令，解得或，（9分） 当时，解得，此时， 故得到的解集为，（10分） 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得，（12分） 令，解得，此时令，解得，（14分） 当时，恒成立，令，解得（16分） 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$