专题04 有理数的实际应用题10大题型（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题04 有理数的实际应用题（10大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正负数的实际应用 1 题型二、行程问题 2 题型三、销售问题 3 题型四、水流速度问题 5 题型五、分段收费问题 6 题型六、计件问题 8 题型七、算24点应用 8 题型八、数轴中的实际应用题 8 题型九、含绝对值的实际应用题 9 题型十、有理数混合运算的实际应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一：正负数的实际应用 1．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 2．某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长/ 0 请根据表格信息回答下列问题： (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 3．某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 4．某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 题型二：行程问题 5．阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 6．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 7．甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 8．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 题型三：销售问题 9．“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 10．某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 11．海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 12．某水果店以每箱120元的价格从水果批发市场购进5箱冰糖橙，若以每箱10千克为标准，超过标准的千克数记为正数，不足标准的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：． (1)求这5箱冰糖橙的总质量； (2)若水果店打算以每千克20元的价格销售这批冰糖橙，则全部售出可获利多少元？ 题型四：水流速度问题 13．水流速度是每小时15千米，现在有船顺水而行，8小时行320千米．则逆水行320千米需几小时？ 14．一个装满水的长方体水池，长7.5米，宽4米，池深3米，一台抽水机的水管半径是5厘米，抽水时的水流速度是每秒2米，这台抽水机需要多少小时才能把满池水抽完?（取近似值3） 15．某船在静水中的速度是每小时千米，它从上游甲地开往乙地共用了6小时，水流速度每小时4千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 16．甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？ 题型五：分段收费问题 17．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 18．为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． (1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费________元． (2)如果小张家八月份用电215度，那么这个月应缴电费多少元？ 19．为支持节能减排，绿色出行，王老师元旦节前夕新购置了一辆纯电轿车．他记录了一周内每天行驶的里程数（如下表），以为标准，超过的里程数记为正数，不足的里程数记为负数，刚好的里程数记为“0”． 时间 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 1月7日 里程数 (1)王老师本周内里程数最多的一天比最少的一天多行驶______． (2)王老师这辆纯电轿车本周一共行驶了多少千米？ (3)已知王老师的燃油轿车每行驶平均耗油量为8升，这辆纯电轿车每行驶平均耗电量为度．已知汽油平均每升8元，电费平均每度元．如果王老师每周行驶的里程数与本周基本相同，那么王老师使用纯电轿车与使用燃油轿车相比，全年能节省燃油费多少元？（全年按周计算） 20．王叔叔十月份的工资为8000元，超过5000元的部分需要交3％的个人所得税． （1）王叔叔十月份税后的工资是多少元？ （2）王叔叔将该月税后工资的一半存入银行，然后用余额购买一部定价为3000元的某品牌手机，恰好遇到手机店开展活动，该款手机打八折，则买完手机后还剩下多少元？ （3）某家超市正在开展促销活动，促销方案如下：若王叔叔在此次促销活动中付款980元，问他购买的商品原价是多少元？ 商品原价 优惠方案 不超过500元 不打折 超过500元但不超过800元的部分 打八折 超过800元的部分 打七五折 题型六：计件问题 21．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_____辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_____辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 22．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)根据记录可知，前三天共生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产1辆自行车就可以得到人民币60元，每天超额完成任务，每超1辆可多得15元，不足计划数的，每少生产1辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 23．因疫情防控需要，医用口罩需求量大幅增加．我市某口罩加工厂为满足市场需求计划每台机器每天生产3000个，由于各种原因，实际每天投入的机器台数和每台机器的生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是9月份某一周（实行五天工作制）的生产情况（超出为正，不足为负）． 星期 一 二 三 四 五 正常工作机器数（台） 5 3 4 4 5 每台产量较计划增减（个） 请解决下面问题： (1)总产量最多的一天比总产量最少的一天多生产口罩多少个？ (2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.1元的工资，每个口罩的材料成本为0.4元，该工厂以每个1元的批发价将前四天生产的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将最后一天生产的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了多少元？ 24．小南国庆期间在乐乐玩具厂勤工俭学．厂里规定：国庆期间工作4天，每人每天需组装卡皮巴拉30个，4天需要组装120个．下表是小南国庆4天实际的组装情况（超产记为正、减产记为负，单位：个）： 日期 4日 5日 6日 7日 增减（单位：个） (1)根据记录的数据可知小南10月5日组装卡皮巴拉________个； (2)根据记录的数据可知小南组装最多的一天比组装最少的一天多组装________个； (3)该厂规定：每组装一个卡皮巴拉可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另外奖励3元；若未完成任务，则每少组装一个倒扣2元．工资采用“每日计件”或“4天总计件”两种结算方式，请通过计算说明小南工作4天，选择哪种结算方式更合算？ 题型七：算24点应用 25．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 26．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字和最大，最大值是　　； (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是　　； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子． 27．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：      0      (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“，，，”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：________________． 28．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 题型八：数轴中的实际应用题 29．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 30．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 31．同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 32．定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 题型九：含绝对值的实际应用题 33．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 34．已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 35．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 36．如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 题型十：有理数混合运算的实际应用 37．我们知道，一年四季中白昼时长和正午时刻都不是固定不变的．不同地点每天日出、日落的时刻各不相同，白昼时长是指从日出到日落的时间长度．理论上，一个地区日出、日落相对于当天的正午时刻应该是对称的，于是我们就能得到一个简单的白昼时长计算公式∶白昼时长=（正午时刻－日出时刻） （日落时刻－正午时刻）． 表1是2025年5月23日南平市四个县市的日出时刻与日落时刻 表1 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时37分 表2 日出时间 日落时间 6月21日（夏至） 12月21日（冬至） (1)分别求出延平、邵武、浦城这一天的白昼时长，并按表格样式填入上表； (2)求延平区这一天的正午时刻； (3)表2是南平市某年冬至与夏至的日出与日落时刻，求夏至与冬至当天白昼时长的差． 38．某送货员负责为五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 4 7 B 13 4 C 10 5 D 8 5 E 15 6 (1)如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； (2)在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 39．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 40．合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示． 注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计； 注2：以上计算取3； 注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等； 注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点． (1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为． ①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）； ②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）； (2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）． 1．（2024·江西南昌·一模）综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 2．（2024·安徽安庆·一模）综合与实践 古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天、一年个月、一小时分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 规定当时，． 如：； . 【解决问题】 任务一、将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。 ________． 任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）： ； ________． 任务三、已知年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月日的天数，并判断6月日是星期几．（天数算法举例：年1月1日至本年1月6日的天数为6天） 3．（2024·山东聊城·一模）如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合． (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是　 　； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是　 　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，． ①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？ ②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上2表示的点；第　 　次滚动后，点A距离原点最远． 4．某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 5．出租车司机李师傅某天下午营运全是在东西走向的平安大道上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：． （1）将最后一名乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？ （2）如果汽车的耗油量为0.1升/千米，汽油每升6元，收入是3元/千米，那么这天下午李师傅共赚多少钱？ 6．（2024·广东佛山·一模）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： （1）请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． （2）计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 7．（2024·江苏南通·一模）阅读材料，并回答问题 钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘上看到的是2点钟.如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则.若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，，用符号“㊀”表示钟表上的减法.（注：我们用0点钟代替12点钟）由上述材料可知： （1）______，______； （2）在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是______，举例说明有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； （3）规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，，，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例，并结合反例加以说明. 8．（2024·河北邯郸·一模）某服装城用80000元购进2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天内全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天每件多的利润，负数表示比前一天每件少的利润）． 销售天数/天 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每件利润变化/元 ＋3 ＋5 －4 －7 ＋2 ＋5 每天销售的件数/件 300 350 250 350 400 150 200 (1)每件衬衫的进价为_____元，第四天时，每件衬衫的售价为_____元； (2)求服装城这七天的总利润； (3)服装城老板觉得这个商机非常好，于是花了176000元第二次购进这种衬衫，每件比上一次贵了4元．若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求第二次销售衬衫一共盈利的钱数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的实际应用题（10大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正负数的实际应用 1 题型二、行程问题 2 题型三、销售问题 3 题型四、水流速度问题 5 题型五、分段收费问题 6 题型六、计件问题 8 题型七、算24点应用 8 题型八、数轴中的实际应用题 8 题型九、含绝对值的实际应用题 9 题型十、有理数混合运算的实际应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一：正负数的实际应用 1．某体育用品店用400元购进了8套运动服，准备以一定价格出售．如果该店卖出每套运动服的价格以65元为标准，超出部分记做正数，不足部分记做负数，记录如下（单位：元）：，，，，，，0，． (1)你能求出销售后的总额吗？ (2)该店卖出这8套运动服后是盈利还是亏损？赢利（亏损）多少？ 【答案】(1)元 (2)盈利，元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，正数和负数的实际应用，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列算式即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （元）； 即销售后的总额为元； （2）解：， 该店卖出这8套运动服后是盈利， 盈利元． 2．某超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比的增长率如下表所示。 月份 1 2 3 4 5 6 比去年同月增长/ 0 请根据表格信息回答下列问题： (1)该超市今年上半年的营业额与去年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)今年上半年与去年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月、5月、6月是增长的 (2)表示营业额下降 (3)1月、2月、4月 【分析】本题考查了正负数的应用，正确理解负数的意义是解题关键． （1）找出表格中增长率为正数的即可得； （2）根据负数的意义即可得； （3）找出表格中增长率为负数和0的即可得． 【详解】（1）解：因为，，是正数， 所以3月、5月、6月是增长的． （2）解：今年1月和4月相比去年同月增长率是负数表示营业额下降． （3）解：因为和是负数，0表示不变， 所以营业额没有增长的是1月、2月、4月． 3．某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重克 (2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80% 【分析】本题主要考查正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，熟练掌握运算法则．（1）根据样本的平均质量减去标准的质量，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得答案；找到所给数值中，绝对值小于或等于3的食品的袋数占总袋数的多少即可． 【详解】（1）解：(克)； (克)． 答:这批样品的平均质量比标准质量重，重克． （2）由题意，得：(克)． 由题意可知，与标准质量相差g的有袋， 所以， 答:这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是． 4．某天一个巡警骑摩托车在条南北大道上巡逻，他从岗亭出发，巡逻了一段时间停留在处，规定以岗亭为原点，向北方向为正，这段时间行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，， (1)在岗亭哪个方向？距岗亭多远？（列式并计算） (2)离开出发点最远时是多少千米？（直接写出） (3)若摩托车行驶1千米耗油0.5升，从岗亭到处共耗油多少升？ 【答案】(1)A在岗亭南，距岗亭13千米 (2)离开出发点最远时是15千米 (3)从岗亭到A处共耗油33.5升 【分析】此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．（1）求出记录数据之和，即可作出判断；（2）找出各个位置离出发点的距离，比较即可；（3）求出各数据绝对值之和，乘以0.5即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：（千米）， 答：A在岗亭南，距岗亭13千米； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 答：离开出发点最远时是15千米； （3）根据题意得： （千米）， ∵摩托车行驶1千米耗油0.5升， ∴（升）， 答：从岗亭到A处共耗油升． 题型二：行程问题 5．阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 【答案】(1)400米/分 (2)①，过程见解析；②80 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用路程除以时间即可； （2）①计算观光车的时间加上小丽游玩的时间即可； ②由图可知观光车在10分钟时第一次到达雨林漂流，然后每在20分钟一次到达雨林漂流，小丽要在前返回花海，则最晚乘坐分的观光车，据此求解即可． 【详解】（1）依题意，得 观光车一个往返耗时20分钟， 行驶的路程为（米）． 则观光车的速度为：（米/分）． 答：观光车的速度为400米/分； （2）①小丽在彩虹滑道游玩40分钟， （分钟） 小丽到达欢乐谷的时间是． 小丽在欢乐谷游玩60分钟， 小丽在欢乐谷乘坐的观光车前往雨林漂流． ②从到共用时200分钟， 次余10分钟， ∴小丽想在雨林漂流尽可能游玩更多时间需乘坐的观光车， ∴小丽在返回前共用时分钟， ∴小丽在雨林漂流最多游玩分钟． 故答案为：80 6．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 【答案】分钟 【分析】本题考查追及问题，求出需要追及的路程是解题的关键．根据速度×时间=路程，据此求出弟弟先走的路程即需要追及的距离，然后根据路程差÷速度差=追及时间，据此计算即可． 【详解】解： （分钟） 答：经过分钟以后哥哥可以追上弟弟． 7．甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 【答案】快车开到甲城还需要小时 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：15分钟小时， （时） 答：快车开到甲城还需要小时． 8．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 题型三：销售问题 9．“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】(1)该商店本周一共销售了1450条 (2)该商场本周共盈利667元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）用7天的标准销量加上7天销量的出入数量即可； （2）用盈利的金额减去亏损的金额即可． 【详解】（1）解：由题意可知 （条） 答：该商店本周一共销售了1450条． （2）解：由题意可知 ＝667（元） 答：该商场本周共盈利667元． 10．某水果超市新进一批樱桃，每斤进价10元．为了合理定价，在一周内试行浮动价格，售出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录一周内樱桃的售价情况及售出情况如下表所示（该周售完全部樱桃）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤售价与标准售价相比 ■ 0 ● 售出斤数（斤） 10 20 15 10 10 5 20 (1)已知星期一每斤的实际售价为16元，则■表示的数是 ；已知星期五每斤的实际售价为11元，则●表示的数是 ；星期日每斤的实际售价为 元． (2)在（1）的基础上，这一周售完全部樱桃时，该水果超市能赚多少元？ 【答案】(1)；；12 (2)一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元 【分析】本题主要考查了正负数的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接根据正负数的意义、有理数加减运算即可解答； （2）根据有理数的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是； ∵， ∴■表示的数是． 故答案为；；12． （2）解：根据题意得： （元）． 答：一周售完全部樱桃，该水果超市能赚320元． 11．海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 【答案】(1)38.5元 (2)最高价格39.5元，最低价格31元 (3)877.4元 【分析】此题考查正数和负数的实际意义，有理数的加减法的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）用原价加上表格中前三个数据，求和即可； （2）分别求出每天的价格即可得到答案； （3）分别求出卖出的价格与买入的价格，两者相减即可得到答案． 【详解】（1）解：（元） 答：星期三收盘时，每股是38.5元； （2）周一价格：（元） 周二价格：（元） 周三价格：（元） 周四价格：（元） 周五价格：（元）； 答：最高价格：39.5元，最低价格31元； （3）卖出价格为：（元） 买入价格为：（元） ∴收益（元） 答：收益877.5元． 12．某水果店以每箱120元的价格从水果批发市场购进5箱冰糖橙，若以每箱10千克为标准，超过标准的千克数记为正数，不足标准的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：． (1)求这5箱冰糖橙的总质量； (2)若水果店打算以每千克20元的价格销售这批冰糖橙，则全部售出可获利多少元？ 【答案】(1)这5箱苹果的总重量是48.6千克 (2)全部售出可获利372元 【分析】本题考查正数和负数，掌握正数和负数的意义是关键． （1）求出记录数据的和再加50千克即可； （2）根据销售额=销售单价×总数量计算即可； 【详解】（1）解：根据题意可知， （千克）； 答：这5箱苹果的总重量是48.6千克； （2）解： （元）； 答：全部售出可获利372元． 题型四：水流速度问题 13．水流速度是每小时15千米，现在有船顺水而行，8小时行320千米．则逆水行320千米需几小时？ 【答案】32小时 【分析】本题考查了逆水行舟问题，明确顺水速度与逆水速度之间的关系是本题解题的关键．根据速度=路程÷时间，求出顺水速度，然后再减去两倍的水流速度，就是逆水速度，最后根据时间=路程÷速度求解即可． 【详解】解： （小时）． 答：逆水行320千米需32小时． 14．一个装满水的长方体水池，长7.5米，宽4米，池深3米，一台抽水机的水管半径是5厘米，抽水时的水流速度是每秒2米，这台抽水机需要多少小时才能把满池水抽完?（取近似值3） 【答案】小时 【分析】先求出水池的容积，再用容积除以水管的截面面积与水流速度的乘积即可得出结果． 【详解】解：水池容积为：7.5×4×3=90立方米， 水管截面面积=3×52=75平方厘米=0.0075平方米， ∴把满池水抽完所用时间为：90÷（0.0075×2）=6000（秒）=小时 【点睛】此题主要考查长方体和圆柱的体积的计算方法在实际生活中的应用． 15．某船在静水中的速度是每小时千米，它从上游甲地开往乙地共用了6小时，水流速度每小时4千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 【答案】9小时 【分析】根据顺流的时间速度相乘的得到路程，再除以逆流中的速度直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， (小时) 【点睛】本题考查行船再顺水逆水航行的问题，解题的关键是熟练掌握顺水中速度等于静水中速度加上水速，逆水中船速等于静水中速度减去水速． 16．甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？ 【答案】第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇 【分析】本题中的甲船的速度、乙船的速度、水的速度、A、B两个码头之间的距离都不知道，只知道甲、乙两船的速度和水速之间的关系，所以我们可以把水速设为1千米/小时，则甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是（千米/小时），甲船顺水航行的速度是12千米/小时，乙船逆水航行的速度是6千米/小时．两船出发后6小时第一次相遇，所以A、B两个码头之间的距离是（千米）．甲、乙两船相遇后，甲船还需要再行驶（小时）到达B码头，这时乙船已经离开B码头（千米），正好走了一半的路程，乙船还需要再行驶9小时才能到达A码头，甲船在这9小时的时间内逆流而上行驶了（千米），离A码头还有（千米），甲船继续逆流而上，乙船顺流而下，两船变成了相遇问题，相遇时间（小时），所以第一次相遇与第二次相遇之间时间是（小时）． 【详解】设水速为1千米/小时，则 甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是：（千米/小时）， 甲船顺水航行的速度是（千米/小时），乙船顺水航行的速度是（千米/小时）， 甲船逆水航行的速度是（千米/小时），乙船逆水航行的速度是（千米/小时）， A、B两个码头之间的距离是（千米）． （小时） （小时） （小时） 答：第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇． 【点睛】本题主要考查了轮船相遇问题，可以把水速设为1千米/小时，甲、乙两船的速度在变化，所以逐步分析两船行驶的路程和速度是解题的关键． 题型五：分段收费问题 17．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．该市自来水收费标准见价目表： 价目表 每月用水量 单 价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米的部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若某户居民1月份用水立方米，则应收水费多少元？ (2)若该户居民2月份缴水费40元，则2月份用水多少立方米？ (3)若该户居民3，4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份），共缴水费44元，则该户居民3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元 (2)2月份用水立方米 (3)该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则运算，找清楚题目数量间的关系，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据价目表进行计算即可； （2）先根据2月份缴水费40元判断出2月份用水量再那个阶段，再根据价目表进行计算即可； （3）设三月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米，然后分类讨论，列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， 答：1月份用水12.5立方米，则应向其收水费48元． （2）解：， ， 2月份用水量超过了10立方米， （元）， （立方米） （立方米） 答：2月份用水立方米； （3）解：设3月份的用水量为立方米，则4月份用水量为立方米， 当时，， 由题意得， 解得，符合题意； 当时，， 由题意得， 解得，不符合题意，舍去； 答：该用户3，4月份各用水4立方米，11立方米． 18．为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元． (1)小张家一月份用电120度，那么这个月应缴电费________元． (2)如果小张家八月份用电215度，那么这个月应缴电费多少元？ 【答案】(1)60 (2)这个月应缴电费127元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算： （1）如果小张家一个月用电120度．，所以只有一种情况，每度电0.5元，可求解； （2）先算出150度电用的钱，再算出剩下的度的电用的钱，加起来就为所求． 【详解】（1）（元）． 答：这个月应缴电费60元， 故答案为：60； （2） （元）． 答：这个月应缴电费127元． 19．为支持节能减排，绿色出行，王老师元旦节前夕新购置了一辆纯电轿车．他记录了一周内每天行驶的里程数（如下表），以为标准，超过的里程数记为正数，不足的里程数记为负数，刚好的里程数记为“0”． 时间 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 1月7日 里程数 (1)王老师本周内里程数最多的一天比最少的一天多行驶______． (2)王老师这辆纯电轿车本周一共行驶了多少千米？ (3)已知王老师的燃油轿车每行驶平均耗油量为8升，这辆纯电轿车每行驶平均耗电量为度．已知汽油平均每升8元，电费平均每度元．如果王老师每周行驶的里程数与本周基本相同，那么王老师使用纯电轿车与使用燃油轿车相比，全年能节省燃油费多少元？（全年按周计算） 【答案】(1) (2)千米 (3)元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的减法运算的应用，有理数的混合运算的应用．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据最多的一天比最少的一天多行驶，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可； （3）由题意知，根据全年燃油费为，全年电费为，计算求解，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴最多的一天比最少的一天多行驶（）， 故答案为：； （2）解：由题意知，（千米）， ∴本周一共行驶了千米； （3）解：由题意知，全年燃油费为（元）， 全年电费为（元）， ∵（元）， ∴全年能节省燃油费元． 20．王叔叔十月份的工资为8000元，超过5000元的部分需要交3％的个人所得税． （1）王叔叔十月份税后的工资是多少元？ （2）王叔叔将该月税后工资的一半存入银行，然后用余额购买一部定价为3000元的某品牌手机，恰好遇到手机店开展活动，该款手机打八折，则买完手机后还剩下多少元？ （3）某家超市正在开展促销活动，促销方案如下：若王叔叔在此次促销活动中付款980元，问他购买的商品原价是多少元？ 商品原价 优惠方案 不超过500元 不打折 超过500元但不超过800元的部分 打八折 超过800元的部分 打七五折 【答案】（1）王叔叔十月份税后的工资是7910元；（2）王叔叔还剩1555元；（3）他购买的商品原价是1120元. 【分析】（1）减去个人所得税即可得出税后工资； （2）通过有理数计算，用工资的一半减去手机的钱就是剩下的； （3）他付款980元，知道总价肯定超过了800元，然后先算出500到800优惠的钱，再算出超过800元优惠后的钱，从而可以算出原价. 【详解】（1）8000-（8000-5000）×3％=7910（元） 答：王叔叔十月份税后的工资是7910元； （2）7910÷2-3000×0.8=1555（元） 答：王叔叔还剩1555元； （3）付款980元，知道总价肯定超过了800元， 则超过500元但不超过800元的部分，（800-500）×0.8=240（元），优惠300-240=60（元）， 980+60-800=240（元），240÷0.75=320(元)，800+320=1120（元）， 答：他购买的商品原价是1120元. 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，正确理解题意，准确列出式了子是解题的关键. 题型六：计件问题 21．某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_____辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_____辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ (4)若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由． 【答案】(1)213 (2)1409 (3)该厂工人这一周的工资总额是84550元 (4)按周计件制的一周工资较高，理由见解析 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据绝对值的意义可进行求解； （2）根据题意可把所给数据相加，然后再加上平均数量即可求解； （3）由（2）及题意先得出此时的工资，然后再加上减产和增产的工资即可； （4）由（3）及题意可直接进行求解 【详解】（1）解：超产记为正、减产记为负， 星期四生产自行车（辆）， 故答案为213； （2）解：该厂本周实际生产自行车数量为 （辆）， 故答案为：1409； （3）解：（辆）， （元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是84550元； （4）解：实行每周计件工资制的工资为， 所以按周计件制的一周工资较高． 22．某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 (1)根据记录可知，前三天共生产自行车______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产1辆自行车就可以得到人民币60元，每天超额完成任务，每超1辆可多得15元，不足计划数的，每少生产1辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)303 (2)28 (3)42470 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用及正数和负数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式． （1）利用表格中前三个的数据和加上，进行求解即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据，即可得到答案； （3）分别算出每一天的工资，然后再相加即可． 【详解】（1）解： （辆）， ∴前三天共生产自行车303辆； 故答案为：303； （2）解：（辆）； ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产28辆； （3）解：星期一：（元）， 星期二：（元）， 星期三：（元）， 星期四：（元）， 星期五：（元）， 星期六：（元）， 星期日：（元）， ∴(元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 23．因疫情防控需要，医用口罩需求量大幅增加．我市某口罩加工厂为满足市场需求计划每台机器每天生产3000个，由于各种原因，实际每天投入的机器台数和每台机器的生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是9月份某一周（实行五天工作制）的生产情况（超出为正，不足为负）． 星期 一 二 三 四 五 正常工作机器数（台） 5 3 4 4 5 每台产量较计划增减（个） 请解决下面问题： (1)总产量最多的一天比总产量最少的一天多生产口罩多少个？ (2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩需支付工人0.1元的工资，每个口罩的材料成本为0.4元，该工厂以每个1元的批发价将前四天生产的口罩全部售出后，为响应国家“一方有难，八方支援”的号召，决定将最后一天生产的口罩全部捐出，试通过计算说明该工厂本周是赚了还是亏了多少元？ 【答案】(1) (2)本周赚了16385元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （1）根据正负数的实际应用得出总产量最多的一天是周五，总产量最少的一天是周二，用周五的产量减去周二的产量即可得出答案． （2）先根据产量乘以售价得出前四天的总收入，再计算出五天的成本价，然后用总收入减去成本即可得出答案． 【详解】（1）解：（个） （2）卖出前四天总收入 （元） 五天总支出 （元） （元） 所以本周赚了16385元． 24．小南国庆期间在乐乐玩具厂勤工俭学．厂里规定：国庆期间工作4天，每人每天需组装卡皮巴拉30个，4天需要组装120个．下表是小南国庆4天实际的组装情况（超产记为正、减产记为负，单位：个）： 日期 4日 5日 6日 7日 增减（单位：个） (1)根据记录的数据可知小南10月5日组装卡皮巴拉________个； (2)根据记录的数据可知小南组装最多的一天比组装最少的一天多组装________个； (3)该厂规定：每组装一个卡皮巴拉可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另外奖励3元；若未完成任务，则每少组装一个倒扣2元．工资采用“每日计件”或“4天总计件”两种结算方式，请通过计算说明小南工作4天，选择哪种结算方式更合算？ 【答案】(1)29 (2)12 (3)“每日计件”结算方式合算 【分析】本题主要考查了正数与负数，有理数加减混合运算等知识点， （1）把表格中的记录，计算即可得解； （2）根据正负数的意义确定7日产量最多，4日产量最少，然后用记录相减计算即可得解； （3）先分别算出两种结算方式的工资总额，再比较大小即可得解． 读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键 【详解】（1）由题意得：（个）， ∴小南10月5日组装卡皮巴拉29个， 故答案为：29； （2）根据正负数的意义确定7日产量最多，4日产量最少， （个）， 故答案为：12； （3）每日计件：（元）， 4天总计件：（元）， ∵， ∴“每日计件”结算方式合算． 题型七：算24点应用 25．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)或或 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）根据题意列出算式，找出差最大值即可； （4）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：取，乘积最小值为， 故答案为：； （2）取，，商最小值为， 故答案为：； （3）取，，差最大值， 故答案为：5； （4）或或， 故答案为：或或 26．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字和最大，最大值是　　； (2)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是　　； (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出和最大值即可； （2）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （3）利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴最大值为； （2）解：， ∴最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 27．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：      0      (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，每张卡片只能用一次，用学过的“，，，”运算，使结果为24．请写出1个运算式并进行计算：________________． 【答案】(1)15 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）根据题意，可以得到要使得乘积最大，一定是取同号的两个数字，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （2）根据题意，可以得到要使得数字相除的商最小，一定是取异号的两个数，再观察数字可知，当取和时，符合要求； （3）根据有理数的四种混合运算，求解即可． 【详解】（1）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的乘积最大， 此时，； 故答案为：； （2）解：根据题中的数字以及题意可得：当取和时，得到的商最小， 此时，； 故答案为：； （3）解：选择卡片：， 列式得： ， 故答案为： （答案不唯一）． 28．有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24． 如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：． (1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24； (2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24； (3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意数字的正负，巧妙利用计算解决问题． （1）所给的数字为：、、5、3； （2）所给的数字为：、、8、12； （3）所给的数字为：、、2、3； 利用数字特点，注意数字符号：选用运算符号解决问题即可． 【详解】（1）（1）答案不唯一，如 ； （2）①答案不唯一，如 ； ②答案不唯一，如 ； （3）答案不唯一，如 ． 题型八：数轴中的实际应用题 29．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 30．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）， ，， 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程， 对于（1），先设，则，根据题意得出方程，求出解即可； 对于（2），先求出点D表示的数，可得，再根据新定义得，，最后根据得出答案； 对于（3），设当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 再分两种情况：当点D是线段的“分”点时，当点P是线段的“分”点时，列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）设，则，根据题意，得 ， 解得， ∴； 故答案为：4； （2）∵点D表示的数是， ∴. ∵不重合的两点M，N均为线段的“分”点，假设点M在点N的左边， ∴，， ∴； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点D是线段的“分”点时， 或， 解得或； 当点P是线段的“分”点时， 或， 解得或. 所以，t的值为或或得或. 31．同学们通过学习知道了点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．请回答： (1)如图，数轴上表示和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________； (2)若数轴上A，B两点表示的数分别为x和， ①A，B两点之间的距离可表示为___________； ②如果，求x的值； (3)若数轴上A，B两点表示的数分别为和6，点P是线段上的一个动点，且点P表示的数为x，请直接写出的值． 【答案】(1)7，3 (2)①；②2或 (3)11 【详解】（1）解：根据A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离表示为， 则数轴上表示-2和5的两点之间的距离， 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离． 故答案为7，3． （2）解：①数轴上A，B两点表示的数分别为x和， A，B两点之间的距离． ②， ， 解得或． （3）解：点P在线段上，因此x的取值范围为， 计算的值： 当时，； 当时，， 因此： 【点睛】此题综合考查了数轴距离、绝对值性质、绝对值方程、动点问题以及数轴上的几何意义等多个知识点，要求学生具备较强的数形结合能力和代数运算能力． 32．定义：在直线上点、之间的部分（含点、）叫线段，在线段上到点、距离相等的点叫线段的中点． (1)[操作·探索] 在数轴上点、分别表示的数是、，请完成下表： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 … (2)[发现·证明] 我们经历操作、探索、观察、发现、归纳，获得猜想性结论：在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是_______．为了证明该结论的正确性，不妨设点在点的右侧，请你通过运算证明以上结论的正确性． (3)[思考·应用] 已知在数轴上点、表示的数分别是6、，在数轴上的动点从点出发，以一定的速度向点匀速运动；若为的中点，为的中点，问：在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？如果会发生变化，请说明理由；如果不会发生变化，请求出线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)不会发生变化，线段的长度为5． 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离，中点的表示方法． （1）根据数轴上中点的表示方法求解即可； （2）根据数轴上中点的表示方法求解即可； （3）设点P表示的数为m，得到点M表示的数为，点N表示的数为，然后得到即可求解． 【详解】（1）解：当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 当，时，线段的中点对应的数为； 填表如下： 3 5 … 7 0 2 … 线段的中点对应的数 5 … （2）解：根据题意得，在数轴上，若点、表示的数是、，则线段的中点对应的数是． 证明：设点在点的右侧， ∴，， ∴在a和b的中间． （3）解：设点P表示的数为m ∵在数轴上点、表示的数分别是6、，为的中点，为的中点 ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，线段的长度为5． 题型九：含绝对值的实际应用题 33．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 34．已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)点P的运动时间为1秒或10秒 (3)点P表示的数是： 【分析】本题考查了数轴，广益点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，是解决本题的关键． （1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离，利用距离公式，即可得到结论； （2）根据题意可得，，再根据“广益点”的定义即可求解； （3）分两种情况进行讨论：当点A是关于的“广益点”时，当点A是关于的“广益点”时，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A，B对应的数分别为和4， ∴， ∵点P到点A、点B的距离相等， ∴P为的中点， ∴， ∴点P表示的数是； （2）解：根据题意可知：设点P运动的时间为t秒， ， ， 解得或， ∴点P的运动时间为1秒或10秒； （3）解：根据题意可知：设点P表示的数为n， 或， 分五种情况进行讨论： ①当点A是关于的“广益点”时， ， 即， 解得； ②当点A是关于的“广益点”时， ， 即，解得； 或，解得； 综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：． 35．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)①6或10；②20 (3)7，31，1， 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、两点之间的距离等知识点，掌握绝对值的非负性以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可解答； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）根据题意分点P在点M左边，点P在点M、N之间靠近点M，点P在点M、N之间靠近点N，点P在点N的右边四种情况，分别根据绝对值的意义以及题意求解即可． 【详解】（1）解：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， ∴点B表示的数为． （2）解：①∵， ∴， ∴或； ②当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：①6或10；②20． （3）解：设点P表示的数为x， ①当点P在点M左边时，有， 即，解得：或（舍去）； ②当点P在点M、N之间靠近点M时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点M，N之间靠近点N时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点N的右边时，有， 即，解得：或（舍去）． 综上所述，点P表示的数为或1或7或31． 36．如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)；2 (2)4或2 (3)1 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性．用到的知识点为：两个非负数的和为0，这两个数均为0；数轴上两点的中点可表示为表示这两点的数的和的平均数；表示a和b之间的距离． （1）根据两个非负数的和为0，这两个数均为0解答即可； （2）分别表示出点P和点Q，进而可得它们的中点M，根据的长为1可得t的值； （3）整理的代数式，得到含t的绝对值，根据表示a和b之间的距离求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解：由题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为：，点R表示的数为， 点M为的中点， 点M表示的数为：， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：， 又∵表示数轴上表示t的点到3和4的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最小值为1． 题型十：有理数混合运算的实际应用 37．我们知道，一年四季中白昼时长和正午时刻都不是固定不变的．不同地点每天日出、日落的时刻各不相同，白昼时长是指从日出到日落的时间长度．理论上，一个地区日出、日落相对于当天的正午时刻应该是对称的，于是我们就能得到一个简单的白昼时长计算公式∶白昼时长=（正午时刻－日出时刻） （日落时刻－正午时刻）． 表1是2025年5月23日南平市四个县市的日出时刻与日落时刻 表1 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时37分 表2 日出时间 日落时间 6月21日（夏至） 12月21日（冬至） (1)分别求出延平、邵武、浦城这一天的白昼时长，并按表格样式填入上表； (2)求延平区这一天的正午时刻； (3)表2是南平市某年冬至与夏至的日出与日落时刻，求夏至与冬至当天白昼时长的差． 【答案】(1)13小时34分；13小时38分；13小时40分，见表格 (2)12时04分 (3)3小时21分 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据“白昼时长日落时刻日出时刻”解答即可； （2）根据“正午时刻白昼时长日出时刻” 解答即可； （3）分别求出夏至与冬至当天白昼时长，再作差即可得出结论． 【详解】（1）解：延平这一天的白昼时长为18时51分时17分=13时34分； 邵武这一天的白昼时长为18时56分时18分=13时38分； 邵武这一天的白昼时长为18时53分时13分=13时40分； 填表如下： 县市 延平 建阳 邵武 浦城 日出时刻 日落时刻 白昼时长 13小时34分 13小时37分 13小时38分 13小时40分 （2）解：∵白昼时长＝（正午时刻－日出时刻） ∴正午时刻白昼时长日出时刻     ∴延平区这一天的正午时刻为： 13小时34分时17分 6小时47分时17分 12时04分； （3）解：夏至日白昼时长时03分时14分小时49分 ，   冬至日白昼时长时19分时51分小时28分， 13小时49分小时28分小时21分 ， 答：夏至与冬至当天白昼时长的差为：3小时21分． 38．某送货员负责为五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 4 7 B 13 4 C 10 5 D 8 5 E 15 6 (1)如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； (2)在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 【答案】(1)E，C，D（答案不唯一） (2)C，B，E 【分析】本题考查了数据分析，逻辑推理和方案选择能力，理解题目要求计算出每个组合，并计算出收益，然后选择最优方案是解题的关键． （1）根据三个商场送甲种货物，送乙种货物，分组列举求解即可； （2）分别计算出每组满足方案的收益，再比较，选择收益最多的，即可． 【详解】（1）解：E商场需送甲种货物数量15，需送乙种货物数量6，C商场需送甲种货物数量10，需送乙种货物数量5，D商场需送甲种货物数量8，需送乙种货物数量5， 若前往E、C、D 商场，需送甲种货物数量为，需送乙种货物数量为， ∴前往E，C，D 商场满足条件． 故答案为：E，C，D （答案不唯一）； （2）由题意得，前往A市场收益为：（元），前往B市场收益为：（元），前往C市场收益为：（元），前往D市场收益为：（元），前往E市场收益为：（元）． 又∵，，， ∴送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是：C，B，E． 故答案为：C，B，E． 39．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖员小张一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“-”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖员小张这一周一共送餐多少单？ (2)外卖员每周的工资由底薪700元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每周送餐量不超过200单的部分，每单补贴3元：超过200单但不超过300单的部分，每单补贴4元：超过300单的部分，每单补贴6元．求小张这一周工资收入是多少元？ (3)小张想用这周的工资买一台标价2400元的扫地机器人，商场促销这款扫地机器人让利销售，恰逢市政府面向全市人民发放4000万元消费券，小张幸运地抢到了一张满500元减180元的消费券．小张这周的工资够不够买下这台扫地机器人？ 【答案】(1)310单； (2)1760元； (3)够买扫地机器人． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用有理数的混合运算解决实际问题，解题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （2）根据题意利用有理数的混合运算进行求解即可； （3）根据题意求出购买机器人优惠完后的价格，然后和工资进行对比即可． 【详解】（1）解：（单） 所以，外卖员小张这一周一共送餐310单； （2）解：（元） 所以，小张这一周工资收入是1760元； （3）解：（元） （元） ， 所以，小张这周的工资够买下这台扫地机器人． 40．合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示． 注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计； 注2：以上计算取3； 注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等； 注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点． (1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为． ①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）； ②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）； (2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）． 【答案】(1)①第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为．②第六分道起跑点设在北侧直道；第六道相对于第一道的前伸数． (2)两项比赛场地的总面积为． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式． （1）①根据总长减去圆周长进行计算即可； ②根据①的计算结果可得起跑点设在北侧直道，再由第六跑道西侧查道测量线的长减去第一跑道西侧弯道测量线的长即可； （2）利用割补法求解五边形的面积，再求解圆的面积，再求和即可． 【详解】（1）解：①记第一分道弯道测量线所在圆半径为，第六分道弯道测量线所在圆半径为 第六分道的直道总长度为 第六分道的弯道总长度为 答：第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为． ②第六分道起跑点设在北侧直道； 第六分道西侧弯道长为 第一分道西侧弯道长为 答：第六道相对于第一道的前伸数． （2）解：根据题意，得 长方形的面积为 三角形的面积为 三角形的面积为 五边形的面积为 “跳绳”项目比赛场地 答：两项比赛场地的总面积为． 1．（2024·江西南昌·一模）综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 【答案】（1）见解析；（2）九年级六班；（3），二维码见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意即可填涂出来； （2）根据题意把二进制转化为十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （3）根据题意把十进制转化为二进制数的方法即可求解． 【详解】解：（1）考场号二进制数10101，对应二维码的五个方格从左到右分别为：黑、白、黑、白、黑，填涂如下： （2）根据图的二维码图形，小张同学所在的年级：，即为九年级； 班级：，即为六班； （3）方法一：， 方法二：则， 补全图： 2．（2024·安徽安庆·一模）综合与实践 古人在研究天文，历法时，也曾经采用七进制、十二进制、六十进制记数法．至今，我们仍然使用一星期7天、一年个月、一小时分钟的记时方法。某校七年级课外实践小组进行了进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 规定当时，． 如：； . 【解决问题】 任务一、将表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式。 ________． 任务二、类比十进制加减法计算（结果保留二进制）： ； ________． 任务三、已知年1月1日是星期三，请分别用十进制数和七进制数表示到本年6月日的天数，并判断6月日是星期几．（天数算法举例：年1月1日至本年1月6日的天数为6天） 【答案】任务一、；任务二、；任务三、见解析，星期三 【分析】本题考查有理数的运算，掌握进制之间的转换方法，是解题的关键； 任务一：根据二进制的表示方法，进行作答，即可求解； 任务二：仿照十进制的加减法转化为二进制的加减方法，进行求解即可； 任务三：先算出总天数天，再将十进制转化为二进制，再把天减去1月1日到1月5日共5天，还剩天，再根据一星期7天，进行作答，即可求解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）1月：天，2月：天，3月：天，4月：天，5月：天，6月：天， 总天数：天（十进制）， ∴1月1日到6月日总天数为天， 七进制：， ∵1月1日是星期三， ∴1月1日到1月5日是星期三到星期日， ∴（天）， ∵， ∴可得年6月日仍为星期三． 3．（2024·山东聊城·一模）如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合． (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是　 　； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是　 　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，． ①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？ ②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上2表示的点；第　 　次滚动后，点A距离原点最远． 【答案】(1) (2)或0 (3)①；②， 【分析】（1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的数； （2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数； （3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动1周，点A在数轴上是个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，，分别得出滚动过程，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是， 故答案为：； （2）解：∵， ①把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是， ②把圆片沿数轴向左滚动一周然后再向右滚动一周，或把圆片沿数轴向右滚动一周然后再左右滚动一周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是0， 故答案为：或0； （3）解：①，即向左滚动了3周， ∵， ∴圆片结束滚动时，点A对应的数是； ②∵第1次：从0滚动到了4，经过数轴上2表示的点； 第2次：从4滚动到了2，经过数轴上2表示的点； 第3次：从2滚动到了8，经过数轴上2表示的点； 第4次：从8滚动到了0，经过数轴上2表示的点； 第5次：从0滚动到了，不经过数轴上2表示的点； ∴共有4次经过数轴上2表示的点，第3次滚动后，点A距离原点最远． 故答案为：4，3． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 【答案】(1)这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨 (2)从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用： （1）根据计算这天冷库冷冻食品进出的总和的符号可确定此题结果． （2）分别求出两种方案总费用，可比较出哪种方案更好． 【详解】（1）解：．   故这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨． （2）解：方案一：费用为（元），   方案二：费用为（元）， 由于， 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适． 5．出租车司机李师傅某天下午营运全是在东西走向的平安大道上进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：． （1）将最后一名乘客送到目的地时，李师傅在什么位置？ （2）如果汽车的耗油量为0.1升/千米，汽油每升6元，收入是3元/千米，那么这天下午李师傅共赚多少钱？ 【答案】（1）将最后一名乘客送到目的地时，李师傅在下午出发地点的西面1千米的地方；（2）这天下午李师傅共赚208.8元． 【分析】（1）根据有理数的加法进行计算即可得到答案； （2）用李师傅的收入减去他所花费的油费即可得到答案． 【详解】解：（1） （千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，李师傅在下午出发地点的西面1千米的地方． （2）（千米）， （元）． 答：这天下午李师傅共赚208.8元． 【点睛】本题考查了有理数运算的实际应用，理解题意是解题关键． 6．（2024·广东佛山·一模）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： （1）请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． （2）计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值；（2）-17；（3）见解析． 【分析】（1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意可知：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特 别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都得此数的 绝对值； （2）； （3）选择加法交换律，加法交换律仍然适用， 例如：（−3）※（−5）＝8，（−5）※（−3）＝8， 所以（−3）※（−5）＝8＝（−5）※（−3）， 故加法交换律仍然适用． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． 7．（2024·江苏南通·一模）阅读材料，并回答问题 钟表中蕴含着有趣的数学运算，不用负数也可以作减法，例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘上看到的是2点钟.如果用符号“⊕”表示钟表上的加法，则.若问2点钟之前4小时是几点钟，就得到钟表上的减法概念，，用符号“㊀”表示钟表上的减法.（注：我们用0点钟代替12点钟）由上述材料可知： （1）______，______； （2）在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则5的相反数是______，举例说明有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； （3）规定在钟表运算中也有，对于钟表上的任意数字，，，若，判断是否一定成立，若一定成立，说明理由；若不一定成立，写出一组反例，并结合反例加以说明. 【答案】（1）3，10；（2）7, 有理数减法法则在钟表运算中仍然成立，理由见解析；（3）不一定成立，理由见解析 【分析】（1）根据钟表的定义及钟表上的加减法定义即可求解； （2）根据钟表运算中相反数的定义即可求解，再举例即可验证有理数减法法则在钟表运算中是否仍然成立； （3）根据钟表运算的定义举出反例即可验证. 【详解】解：（1）表示9点钟再过去6小时，故为9+6=15小时，即为3时； 表示2点钟之前4小时，故为2+12-4=10小时，即为10时 故填：3；10； （2）在钟表运算中相反数的定义为相加为12时， 故钟表中，5的相反数是12-5=7，故填：7； 有理数减法法则在钟表运算中仍然成立. 举例如下： 因为，， 所以. 即减去一个数等于加上这个数的相反数. （3）不一定成立， 一组反例如下： 取，，. 因为，，， 所以当时，. 【点睛】此题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解. 8．（2024·河北邯郸·一模）某服装城用80000元购进2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天内全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天每件多的利润，负数表示比前一天每件少的利润）． 销售天数/天 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每件利润变化/元 ＋3 ＋5 －4 －7 ＋2 ＋5 每天销售的件数/件 300 350 250 350 400 150 200 (1)每件衬衫的进价为_____元，第四天时，每件衬衫的售价为_____元； (2)求服装城这七天的总利润； (3)服装城老板觉得这个商机非常好，于是花了176000元第二次购进这种衬衫，每件比上一次贵了4元．若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求第二次销售衬衫一共盈利的钱数． 【答案】(1)40，54 (2)元 (3)元 【分析】本题主要考查了有理数的运算的实际应用，理解题意、正确列出算式是解题的关键． （1）根据“用80000元购进2000件衬衫”即可求出进价；由表格数据即可求出第四天时，每件衬衫的售价； （2）分别求出每一天每件衬衫的利润即可求解； （3）根据题意可求出进价为元，购进件数为件，结合第七天的售价为元即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：每件衬衫的进价为元， 第四天时，每件衬衫的售价为元． 故答案为：40，54． （2）解：由表格数据可知： 第一天每件衬衫的利润为10元； 第二天每件衬衫的利润为元； 第三天每件衬衫的利润为元； 第四天每件衬衫的利润为元； 第五天每件衬衫的利润为元； 第六天每件衬衫的利润为元； 第七天每件衬衫的利润为元． 这个服装城这七天的总利润为 （元）． 答：服装城这七天的总利润23900元． （3）解：由题意，得此次衬衫的进价为：（元）． 购进件数为（件）． 由（3）得第七天的售价为（元）． 故第二次一共盈利（元）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$