2.1等式性质与不等式性质训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以作差法为核心，系统整合不等式性质与糖水不等式，通过分层题型构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养推理意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|8例（含多选）|性质判断“三注意”（符号、同向、正数条件）|从实数比较（作差法）到性质推导（对称性/传递性等），形成公理体系| |比大小|12例|作差因式分解、作商与1比较、糖水不等式迁移|以作差法为基础，拓展至生活情境（糖水变甜）的数学抽象| |取值与综合|10例|范围叠加法、最值模型构建|性质应用进阶，结合函数思想解决取值范围与最值问题|

等式性质与不等式性质 一、等式与不等式性质 知识点一：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点二：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点三：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 知识点四：糖水不等式及其变形 若实数a，b，c，满足，，则 ，＞ ，(b－m＞0)； ＞ ； ＜ ，(b－m＞0) 题型一 不等式性质的应用 例1．（1）（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． （2）（25-26·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 （3）（25-26高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 （4）（多选题）（25-26高一上·贵州安顺·期末）若，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C． D．若，，则 例2．（1）（多选题）（2025·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （2）（多选题）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． （3）（多选题）（25-26高一上·湖北·阶段练习）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D． （4）（多选题）（25-26高一上·云南大理·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 题型二 作差或作商比大小 例3．（1）（浙江高一月考）已知，，则、 的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 （2）（24-25高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 例4．（1）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（1）已知，，试比较与的大小. （2）已知a，b，m，n均为正实数，求证: . （2）（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． （3）（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． （1）请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； （2）求证：． （4）（北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）若，则. （1）若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：； （2）证明不等式：. 例5．（1）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． （2）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明； （2）已知，求证：的充要条件是. （3）（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. （4）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 题型三 利用不等式求值或取值范围 例6．（1）（2025安徽·模拟预测））已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（24-25高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 例7．（1）（安徽合肥市高一期中）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______. （2）（2025云南大理）已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知实数满足，. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 题型四 不等式的综合问题 例8.（1）（2025·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （2）（重庆·高考真题）若，且，则的最小值是. A． B．3 C．2 D． （3）表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ． 例9.（1）（2025·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . （2）（2025·广东广州·模拟预测）（多选题）已知，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在，使得 D． 例10.（1）（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． （2）（2026·云南昆明·三模）以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为 （3）（2025·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 课后练习题 1.（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2.（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 5.（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 6.（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 7.（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 8.（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 9.（25-26高三上·江苏盐城·期中）对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 10.（多选题）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11.（多选题）（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 12.（多选题）（25-26高二下·山东临沂·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 13.（25-26高一上·湖南·月考）已知，，则的取值范围为 ． 14.（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 15.（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 16.（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 17.（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知表示中的最大者，若，，则的最小值为_____. 18.（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，且，则的值为____________． 19.（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 20.（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 21.（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 等式性质与不等式性质 一、等式与不等式性质 知识点一：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点二：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点三：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 知识点四：糖水不等式及其变形 若实数a，b，c，满足，，则 ， ＞ ，(b－m＞0)； ＞ ； ＜ ，(b－m＞0) 题型一 不等式性质的应用 例1．（1）（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）若，，则下列不等式正确的是（ C  ） A． B． C． D． （2）（25-26·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误.对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确；对于C：取，时，则，，，则，故C错误；对于D：当，时，，，则，故D错误；故选：B. （3）（25-26高一上·江苏徐州·阶段练习）下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【详解】对于A，若，不一定有，如当时，故A错误； 对于B，因为，所以，又因为，所以，故B错误； 对于C，若，，则不一定成立，如当，时，，此时，故C错误；对于D， ，因为，，所以， 所以，故，故D正确.故选：D. （4）（多选题）（25-26高一上·贵州安顺·期末）若，则下列结论一定正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C． D．若，，则 【详解】选项A：当时，若，不等式两边同时除以，不等号方向不变，可得；当时，若，不等式两边同时除以，不等号方向改变，可得. A错误选项B：因为因为 且 ，所以 ，，，，则 ，即 ，所以 ，选项B正确.选项C：因为 （任何实数的平方都大于等于0）整理得 ，则 ，选项C正确.选项D：通过举反例来判断，当 ，，， 时，，，所以，，则 ，选项D错误.故选：BC. 例2．（1）（多选题）（2025·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的. 因为根据不等式性质可得正确.因为，所以所以即所以故C错误.因为，所以，所以正确.故选：BD （2）（多选题）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】选项A：因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故A正确；选项B：因为，，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；选项C：因为，，所以，即，当且仅当时取等号，故C正确；选项D：，当且仅当时取等号，所以，故D正确.故选：ACD （3）（多选题）（25-26高一上·湖北·阶段练习）已知，则下列结论中正确的有（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D． 【详解】对A：当时，结论不成立，故A错误；对于B：因为，所以，所以故B正确；对于C：，因为，所以，所以，即，故C正确；对于D：等价于，成立，故D正确；故选：BCD． （4）（多选题）（25-26高一上·云南大理·阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【详解】对于A，若且，当，时，则，故A错误；对于B，，因为，所以，，所以，即，故B正确；对于C，若，则，则，当时，，所以，故C正确；对于D，若且，因为，所以，必为一正一负；又，所以，，当时，；当时，则，故D错误.故选：BC. 题型二 作差或作商比大小 例3（1）（浙江高一月考）已知，，则、 的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 【解析】， ,，又， ，.故选C. （2）（24-25高一上·重庆长寿·期末）设，为正数，且，记，，则（    ） A． B． C． D．，大小关系不确定 【详解】，∵，为正数，且，，则，∴，∴，故选：C 例4．（1）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（1）已知，，试比较与的大小. （2）已知a，b，m，n均为正实数，求证: . 【答案】（1）时，；时，. （2）证明：因为a，b，m，n均为正实数，则，，，均为正数， 又因为，当且仅当时，等号成立，可得，所以. （2）（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）， ，，将上述三个不等式相加可得： ，所以 （3）（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． （1）请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； （2）求证：． 【答案】(1)不等式为或； 证明如下：，因为，故，故. (2)由（1）中不等式可知，，故，两边开方得：. （4）（北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）若，则. （1）若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：； （2）证明不等式：. 【解析】证明：(1)当时，，故， 由，且， 利用不等式性质可得，； (2)欲证，只需证明，即，①当时，显然不等式成立， ②当时，不妨令，即，故， 由于，显然成立，故原不等式成立； 同理，当时，原不等式也成立. 综上所述，对于任意，，均成立. 例5．（1）（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）（1）已知，，，，比较p与q的大小，并说明理由； （2）已知，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1），理由：由， ，作差得 .因 ，，故 ，又 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2），理由：作差得 .因 ，，故 ，，又 ，所以 ，即 ，当且仅当 时取等号. （2）（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明； （2）已知，求证：的充要条件是. 【详解】（1）由 都是正实数，且，即. （2）充分性：如果， 所以， 必要性：如果， 那么由于，则所以，即综上知，的充要条件是. （3）（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（1）若，，，试比较与的大小； （2）比较两个代数式的大小：与. 【详解】（1） ，，，，，，，.，，又， ，即. （2），则. （4）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【详解】（1）因为，，所以，，， 所以，，故的范围为，的范围为； （2） (i)，证明如下：， 因为，，所以，，所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得. 题型三 利用不等式求值或取值范围 例6．（1）（2025·安徽·模拟预测））已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】A：由，得，又，所以，A错误；B：由，，所以，B错误；C：由，则，又，所以，C正确；D：因为，又，所以，∴D错误.故选：C （2）（25-26高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，所以，解得，即可得，因为，，所以，故选：A． （3）（24-25高一上·河北张家口·期末）已知，，则ab的最大值为（   ） A． B． C．3 D．4 【详解】，由不等式的性质，，所以所以，所以，当且仅当时，且已知，解得，即的最大值为.故选：A. 例7.（1）（安徽合肥市高一期中）已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______. 【解析】∵，∴.∵，∴.由不等式的性质，得，即，故的最大值为32，此时，即，∴.故答案为：32；3. （2）（2025云南大理）已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】由已知及三角形三边关系得，所以，则，两式相加得，所以.故选：C （3）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知实数满足，. （1）求实数的取值范围； （2）求的取值范围. 【详解】（1）由，，所以， 由， 所以，即，即实数的取值范围为．因为，由，所以，又，所以，所以，∴，即实数的取值范围为． （2）设，则，解得， ∴，∵，．∴，，∴，即的取值范围为． 题型四 不等式的综合问题 例8.（1）（2025·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】由可得：，当时取等号，所以的最小值为.故选：B （2）（重庆·高考真题）若，且，则的最小值是. A． B．3 C．2 D． 【详解】因为，所以． 而，且 所以，当且仅当时等号成立. （3）表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是 ． 【解析】设，则，，，因，则得．又因，所以，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为2． 例9.（1）（2025·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 【解析】因为，故，由得，解得，故. （2）（2025·广东广州·模拟预测）（多选题）已知，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在，使得 D． 【详解】对于A，由及，得，所以，A正确.对于B，由及，得，所以.同理可得. 又，所以，所以，B正确.对于C，由及，得，所以，得，所以，得，C错误.对于D，由，得，所以.因为，，所以，所以，D正确.故选：ABD. 例10（1）（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【解析】若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于等于2，所以，又当，时，，所以的最大值为2．若，则，此时，因为，所以和中至少有一个小于2，所以．综上，的最大值为2． （2）（2026·云南昆明·三模）以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为 【详解】由题意可知,所以有，因为所以，当且仅当，即时取等号， 另外，当且仅当即时取等号， 综合上述，所以有即，当且仅当时取等号.故答案为：2. （3）（2025·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ． 【详解】令其中，所以， 若，则，故，令，因此,故,则， 若，则，即， ，则,故,则，当且仅当且时等号成立，如取时可满足等号成立，综上可知的最小值为， 课后练习题 1.（26-27高二上·山西晋中·开学考试）已知，，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，若，则，故A错误；对于B，若，满足，则，故B错误；对于C，显然成立，C正确；对于D，，当时等号成立，故D错误.故选：C 2.（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由题意，即，故A错误；对于B，由题意，即，故B错误；对于C，由题意，即，故C正确；对于D，由题意，即，故D错误.故选：C 3.（25-26高二下·北京·期末）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】选项A.已知，则，已知，则.因此，故A错误. 选项B.已知，则.因为，则，故B正确.选项C.由，所以，进而，故C错误.选项D.取，左边，右边，，不等式不成立，故D错误.故选：B 4.（25-26高二下·山东泰安·期末）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 【详解】当时，满足，但，选项错误；若，则，又，则，选项错误；若，则，，但不能推出，选项错误；由得，若，则，，选项正确.故选： 5.（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误；因为，所以， 故B错误；因为，由糖水不等式得，故C正确；因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 6.（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为，则，得到，则，得到，故方式二比方式一先到学校．故选A 7.（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则，因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立，但，则，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，但，则， 故这四个数中，最大的为.故选：A. 8.（2026·北京·高考真题）为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（     ） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【详解】由题意，设高一学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为，高二学生选择甲基地的人数为，选择乙基地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲基地的学生人数：，选择乙基地的学生人数：，∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得，∴选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断.故选：B 9.（25-26高三上·江苏盐城·期中）对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【详解】因为 ，即，当且仅当且时，上述不等式中的两个等号同时成立，故.故选：B. 10.（多选题）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】A选项，当时，，所以A选项错误；B选项，若，则，所以，所以B选项正确；C选项，若，则，所以C选项错误；D选项，若，则，则，所以D选项正确.故选：BD 11.（多选题）（25-26高一下·湖北荆门·期末）已知，，为实数，则（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，都大于，则 D．若，，，则 【详解】对于A，因为，所以，故，可得，A对；对于B，举特殊值，取，，则，与结论矛盾，B错；对于C，作差得，若，则，反之，，C错；对于D，根据基本不等式，当且仅当，即时，取等号，D对故选：AD 12.（多选题）（25-26高二下·山东临沂·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由可知，且.选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确；选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确；选项D：变形不等式，已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确.故选：ACD 13.（25-26高一上·湖南·月考）已知，，则的取值范围为 ． 【详解】由题意，由，得，又，故，即．故答案为： 14.（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【详解】， ，故.故答案为：. 15.（25-26高一上·北京·阶段检测）已知，，，则A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）是________. 【详解】因为，，所以A，B，C的大小关系（按照从小到大的顺序用不等式表示）为．故答案为：. 16.（25-26高三上·山东菏泽·期中）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定_______（填第一种或者第二种）方式比较经济. 【详解】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购，第二次购物时的价格为元，仍购，两次购物的平均价格为；若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购物品，第二次仍花元钱，能购物品，两次购物的平均价格为，比较两次购的平均价格：，第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济.故答案为：第二种. 17.（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知表示中的最大者，若，，则的最小值为_____. 【详解】设，则，因为，，所以，所以，所以，所以，解得，所以m的最小值为3，即的最小值为3．故答案为：3． 18.（24-25高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，且，则的值为____________． 【详解】由已知条件，，，可得：当时，取到最大值， ；当时，取到最小值为， .因此，而题设给出， 故必有，当且仅当或时成立.当时，，，，； 当时，，，，.因此，的值为 19.（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③，由①+③得：， 由②得：④，由①④得：．故，，. （2） 因为，，则，故． 20.（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【详解】（1） ，因为，所以，即. （2）由，得，，，因此，所以. 21.（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【详解】（1）因为，，所以，即，所以， 因为，所以； （2）．因为，均为正实数，所以．当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，；当时，； （3）设，所以， 所以.由， 由，所以，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $