第8讲 2.1等式性质与不等式性质 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦等式与不等式性质，通过分层题型构建从基础应用到综合拓展的知识逻辑，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-7、多选9-11、填空12-13、解答14-16|性质直接应用、大小比较、简单取值范围|从概念理解到性质应用，形成"定义-性质-简单推理"逻辑链| |综合拓展|单选8（创新）、解答17-18（提高）|创新定义迁移、复杂取值范围证明（如糖水不等式）|从基础应用到拓展探究，体现"性质-变式-综合论证"进阶|

新课标高中数学暑假预习分层梯度练习 第8讲 等式性质与不等式性质 分层梯度课时练习（含答案解析） （一）单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.若 ，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用不等式可加性 因为，所以. 故选：B 2.已知 ，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用不等式性质， 因为, 在不等号两边同乘一个负数，不等号改变方向。 . 故选：C 3.若 ，，则 的取值范围为（ ） A.. B. . C. . D. . 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 相加得 . 故选：B 4.已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 5.若 ，，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 利用不等式的现在，同向不等式可加。 故选：A 6.已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，由，两式相加得，故A正确； 对于B，令，满足， 此时，，故B错误； 对于C，令，满足， 此时，，故C错误； 对于D，令，满足， 此时，，故D错误. 故选：A. 7.已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以，则 故选：C 8.（创新）定义： 等价于 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 得，相加得 。 故选：A 二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9.下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 故选：BD 10.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由，得，而，则，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：AD 11.已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】对于A，由，则且，得，故A正确； 对于B，当时，若，有，不满足条件，故B错误； 对于C，当，由，因此，C错误； 对于D，当，则，D正确． 故选：AD． 三、填空题 12.比较大小： ________ （填不等号）。 【答案】， 【解析】配方恒正。 13.已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，， 所以，即，所以， 所以， 则的取值范围是. 四、解答题 14.用作差法比较 与 的大小。 【解析】作差 ()-) = ， 故 。 15.求证：若 ，，则 。 【证明】， 由 得 ，又 ， 故 ， 即 。 16.已知 ，比较 与 大小。 【解析】作差分解得( )-( ) = - =( -b)-( -b)=( -b)2( +b) 又 所以( )-( )>0， 故 。 17.（提高）已知 ，，求 范围。 【解析】因为，， 所以 所以。 18.（提高）证明糖水不等式：，则 。 【解析】作差 因为 所以 所以 即. 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学暑假预习分层梯度练习 第8讲 等式性质与不等式性质 分层梯度课时练习 （一）单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.若 ，则正确的是（ ） A. B. C. D. 2.已知 ，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3.若 ，，则 的取值范围为（ ） A.. B. . C. . D. . 4.已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5.若 ，，则一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6.已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 7.已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（创新）定义： 等价于 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9.下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11.已知a，b，c为实数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12.比较大小： ________ （填不等号）。 13.已知，，则的取值范围是 . 四、解答题 14.用作差法比较 与 的大小。 15.求证：若 ，，则 。 16.已知 ，比较 与 大小。 17.（提高）已知 ，，求 范围。 18.（提高）证明糖水不等式：，则 。 学科网（北京）股份有限公司 $