二次函数与一元二次方程、不等式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式重点题型专练 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 例1．（1）（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，整理可得，解得或，所以不等式的解集为. （2）（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，由，得，解得，不符合题意； 对于B，由，，则解集不为，不符合题意； 对于C，由，，解集为，符合题意． 对于D，由，，解得，不符合题意．故选：C． （3）（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【详解】，解得． （4）（多选题）（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 【详解】不等式即，解得或，故不等式的解集为或，A正确；不等式即，即，即， 解得，故不等式的解集为，B正确；不等式即或，解得或，即不等式的解集为或，C错误；由关于x的不等式 的解集为知，方程有两个实数根为1和5，且， 由韦达定理得，可得，故，即，即， 即的解集是，D正确.故选：ABD （5）（多选题）（25-26高一下·湖北荆州·期末）设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 【详解】不等式等价于解得因为是的充分不必要条件则对应的集合必须是集合的真子集，所以ABC符合题意，D不符合题意； 例2．（1）（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）求不等式的解集； （2）记（1）中的解集为集合A，非空集合.设，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【详解】（1）由，故，，解得，所以解集； （2）由题意可知：，因为非空，故，故，而“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集，故，且等号不同时成立，解得. （2）（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【详解】（1）原不等式可化为：，故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ，这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根，利用韦达定理得：，所以 且，代入要求解的不等式中，得：，因为，所以，解得：或， 故不等式的解集为 . 题型二：一元二次不等式（含参）的求解 例3．（1）（2026·河北沧州·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由，解得，所以集合 ，由，可得，所以，因为，所以，当时，不符合题意，所以，因为，所以，即实数的取值范围是．故选：B． （2）（25-26高一上·天津河东·阶段检测）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【详解】因为，，方程的解集为，且，所以不等式的解集为，故D正确．故选：D （3）（多选题）（25-26高一上·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【详解】当时，，此时解集为或，当时，，此时解集为，当时，，此时解集为或，当时，不等式为，此时解集为，当时，，此时解集为，故A 、B正确， C、D错误.故选：AB （4）（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，不等式，即，，故不等式的解集为，故A可能；当时，，即，当时，的解集为，故D可能；当时，不等式无解，故B可能；当时，的解集为.故选：C （5）（25-26高一上·北京·阶段检测）若集合，，且是的充分不必要条件，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】，，，，是的充分不必要条件，，.当，即时，，要满足是的充分不必要条件，则有或，解得； 当，即时，，显然不满足是的充分不必要条件.综上可得实数a取值范围是.故选：B. 例4．（1）（25-26高一上·安徽六安·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】显然当时，不等式有无数个整数解，不符合题意；当时，原不等式可化为；当时，不等式的解集为，不符合题意；当，即时，解不等式得，则该不等式最多有2个整数解，不符合题意；当，即时，解不等式得， 则满足题意的3个整数解为4，5，6，所以，所以.故选：B. （2）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【详解】令，解得或.当时，，不等式的解集为，要使关于x的不等式恰有两个整数解，则，解得；故选：D. （3）（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，由于该不等式的解集中的整数恰有个，有， 由不等式可得，又由于，故，解得，由于，且时，满足不等式，故该不等式的4个整数解为，因此，得且，结合，因此且，解得，故选：A. （4）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】解不等式，得或.解方程，得. ①当，即时，，不等式的解集为空集，不符合题意， 所以； ②当，即时，不等式的解集为，此时不等式组的解集为，根据题意，得，即； ③当，即时，不等式的解集为，要使不等式组的解集中仅有一个整数，则，即.综上，的取值范围为，对比选项只有不在范围内.故选：C. （5）（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，解得：，不满足条件；故，关于的不等式可得，所以，即，方程的两根为，当时，不等式可化为，，解集为：，不满足条件；当时，不等式可化为，当时，则，即，不等式的解集为：，要使不等式有且只有一个整数解，则，又因为，不满足条件；当时，则，即，不等式的解集为空集，当时，则，即，不等式的解集为，要使不等式有且只有一个整数解，则，解得：，故实数的取值范围是：.故选：B. （6）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，得，因为不等式）的整数解恰有4个，则或，所以或．故选：． （7）（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设集合，，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】，.当时，，， ，不满足中恰含有3个整数，则不符合题意；当时， ，，，不满足中恰含有3个整数，则不符合题意；当时， ，，要满足中恰含有3个整数，则这三个整数为，，故D选项正确.故选：D. （8）（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，故的解集中有整数1，而， 故不等式的解集中的三个整数为，故，所以，故，故选：D. 例5．（1）（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式： （1）． （2） 【详解】（1）对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根，故不等式的解集为； 当时，方程有两个根，故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． （2）解：关于x的不等式，可化为（1）当时，，解得．（2）当，所以所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}，当，即时，不等式的解集为．当，即时，不等式的解集为或}，．（3）当时，因为方程的两根为—1和，又因为，所以．即不等式的解集是，综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或} （2）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知． （1）若的解集为，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【详解】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为，当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为，综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为，时，不等式的解集为． （3）（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，则，即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即，当时，则，因式分解可得：，当时，有，则此时不等式解集为，当时，等价于，若，即时，不等式解集为，若，即时，不等式解集为，若，即时，不等式解集为空集，综上所述，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. （3）因为，所以，因为， 则，则题目等价于，，令，因为，所以， 则，由基本不等式，当且仅当时取等号，因此的最大值为，即，所以实数a的取值范围为. （4）（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. （1）解关于x的不等式； （2）设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. 【详解】（1），即，当时，此时不等式的解集为，解方程得或，当时，，则不等式解集为；当时，，则不等式解集为；当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为，综上，当时，此时不等式的解集为； 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （2）因为为真命题，故对，，即， 法1：当，即时，函数在上单调递增，故对，，满足条件；当，即时，则，解得，综上，实数的取值范围是. 法2：因为，所以，又，所以，所以，又，当且仅当，即时取“”.所以，所以实数的取值范围是. （5）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，解关于的不等式． 【详解】（1）若，则，因为 开口向上，，，所以函数在区间上的最大值为3； （2）因为不等式的解集为，所以的解集为和，由韦达定理得：，，解得； （3）若，整理得， 当时，，解得；当时，，当时，， 的解集为；当时，，的解集为当时，，的解集为； 当时，，的解集为；综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. （6）（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）设关于的函数． （1）若时，，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若，求关于的不等式的解集． 【详解】（1）时，，； （2）， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为，当时，，，可得到时，随着的增大而减少，时，随着的增大而增大，此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为．当时，，，可得到时，随着的增大而减少，时，随着的增大而增大，此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为；时，最小值为；时，最小值为． （3）时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根，，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为，当时，解集为，当时，解集为. （7）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意，当时，由，得到，解得，所以实数的取值范围为. （2）当时，，即，可得，因为，①当时，即，不等式的解集为 ②当时，，因为，所以不等式的解集为 ③当时，．又，所以不等式的解集为,综上：，不等式的解集为，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （3）由题对任意，不等式恒成立．即，因为时，恒成立．可得，设，则，所以，可得因为，当且仅当是取等号．所以，当且仅当是取等号．故得m的取值范围． （8）（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）解关于的不等式（其中）． 【详解】（1），当且仅当，即，即时等号成立.则的最大值为. （2）因为 , 且 ,则，解得 或 （舍去），当且仅当时等号成立，则的最小值为. （3）不等式化为，（其中）， 当时，解得；当时，不等式化为，若，即，解得；若，无实数解；若，即，解得，所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 题型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 例6．（1）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由不等式的解集为可知，且，，所以，所以不等式可化为，又，则，解得或． （2）（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为不等式的解集为，所以，且，所以.所以不等式可化为，所以或. 所以不等式的解集为.故选：A （3）（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【详解】因为，，由不等式的解集可得,令，得，得或，由不等式的解集可得、是方程的解，所以，所以. （4）（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数开口向下，且方程的两根为.对于A：二次函数开口向下，故，A正确；对于B：根据韦达定理：，，结合得，，将代入不等式，得，两边同除以得，因式分解为，解得，B正确；对于C：，由得，即，C正确；对于D：由得，得，因，故，由基本不等式得，等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到，故该式最小值不为，D错误.故选：D. （5）（多选题）（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 【详解】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，.不等式 化为： ，由 可得 ，解得 ，所以不等式 的解集为 ，故B正确；对于C，因为， ， 可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值是，故C正确；对于D，当 时， ，则 ，当 时， 取到最大值 ，由 得， 或 ， 的值域是 ，因 在 上的最小值为 ，最大值为1，从而得 或 ，因此 ，故D正确.故选：BCD. 例7．（1）（25-26高一下·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根，根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ，移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或，结合，最终解集为. （2）（25-26高二下·河南·阶段检测）已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知：是方程的两根，且，则，可得，，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. （3）（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【详解】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得，因为，所以，即取，A正确；选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以，，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误；C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为，所以，已知，所以不等式解集为，C正确；D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确.故选：ACD （4）（多选题）（25-26高一上·四川广元·阶段检测）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 【详解】对于选项A，因为不等式的解集为，所以，故A错误； 对于选项B，可以知道，是方程的两个不等实根，所以，，所以，，所以，即，得，故B正确；对于选项C，，，所以，因为，所以，故C正确；对于选项D，关于的不等式有解，即求的最小值， 令，因为，所以，所以，所以，在时单调递增，所以，所以，解得或，故D错误. 故选： （5）（多选题）（24-25高一上·山东德州·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 【详解】对于A，因为，则，且和是方程的两根，则，得到，所以，故A正确；对于B，若，则，此时等价于，即， 显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误； 对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无交点，所以且，故C正确；对于D，因为，由选项A知，，且，由，得到，即，解得或，所以D正确，故选：ACD. 例8．（1）（多选题）（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 【详解】因为关于x的不等式的解集为，所以，且方程的两根为和1，所以，解得,所以，解得，故A正确；由，可得，故B错误；，即为，即，即，解得，故C正确；由B选项可得，设，则， 则在上单调递减，在上单调递增，所以.因为不等式恒成立，所以，解得，故D正确.故选:ACD. （2）（多选题）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，又关于一元二次不等式的解集为，即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，，又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的，又开口向下，对称轴为，由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确；又，，所以，故C正确；因为、为关于的方程的两根，所以，， 又，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误.故选：BC （3）（25-26高二下·天津·阶段检测）已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【详解】（1）由 的解集为或 ，得与1是方程 的两个实根，且，因此，解得， ，所以， ． （2）由 ，，则不等式化为： ， 当时，不等式化为 ，无解；当时， ，解得 ； 当 时， ，解得；当 时， ，解得或，所以当时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为；当 时，原不等式的解集为． （3）由方程 有两个不等的正实数根，， 得，由 ，得 ，则 ，即 ，由 ，，得 ，，解得 ，因此 ，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为 （4）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，，不等式的解集为，求的值； （3）若恒成立且时，求的最小值． 【详解】（1）由题意得的两根为和，且，所以，， 即，，则不等式可化为，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）由题意得，因为不等式的解集为，所以的两根为和，所以，，解得. （3）对于成立，则，得， 设，因为，所以，则，设，此时，当且仅当，即，即时，等号成立，由，即时，取最小值为3． （5）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合. （1）若且，求实数的取值范围； （2）若，，求集合； （3）若，且关于的不等式的解集为，求实数的值. 【详解】（1）因为且，所以无解，所以，即，所以， 所以实数的取值范围是． （2）因为，，所以， ①当时，，即；②当时，， 当时，，，所以当时，， 若即时，或，若即时，， 若即时，或.综上，时，， 时，，时，或， 时，，时，或. （3）因为，所以，即，因为的解集为， 则方程的两根为，，根据韦达定理，， 又因为，根据韦达定理和完全平方公式可得， 即，又因为，所以化简上式得到，所以实数. （6）（24-25高一上·四川广安·阶段检测）函数 （1）当恒成立时，求实数的取值范围； （2）当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 （3）若恒成立，求实数的取值范围 【详解】（1）当时，恒成立； 当时，恒成立，则，解得； 当时，显然不恒成立.综上，的取值范围是. （2）由有两个实数根，所以，且，解得或，所以，因为，即，则，解得或， 综上，或. （3）若恒成立，对恒成立，则，即为. 题型四：一元二次方程的实根分布问题 例9．（1）（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【详解】当，即，方程为，解得，方程有实数根，符合题意； 当，即，∵此时一元二次方程有实数根，∴，解得且； 综上，的取值范围是． （2）（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】判别式： ，解得或，对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立，所以两根都大于1的充要条件是，，推不出，因此充分性不成立，，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. （3）（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，设的两根为，由都在区间内，得，解得，所以m的取值范围为.故选：D （4）（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意；当时，则，解得；当时，则，解得， 故或．故选：B （5）（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【详解】若方程有一个正根和一个负根，则，，，得， 则是方程有一个正根和一个负根的充要条件，A错误； 是方程有一个正根和一个负根的既不充分也不必要条件，B错误； 是方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件，C正确； 是方程有一个正根和一个负根的必要不充分条件，D错误.故选：C （6）（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：．故选：A． 例10．（1）（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【详解】令（），原方程转化为．关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根，因此有。解得．故选：D． （2）（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 【详解】A选项，方程无实数根的充要条件是，解得，，故必要条件是，故A正确．B选项，方程有一正一负根的充要条件是，解得，B正确；C选项，方程有两正实数根的充要条件是，解得，C正确；D选项，方程有实数根的充要条件是，解得，D错误；故选：D． （3）（多选题）．（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 【详解】因为二次函数，所以方程，所以，故A正确；方程的两根为，且，所以一元二次不等式的解集为，故B正确；若且，则，故C错误；二次函数对称轴为，开口向上，所以当时，函数的图像在上单调递减，所以函数最小值为（舍去）或； 当时，函数的图像在上单调递增，所以函数最小值为（舍去）或；当时，函数的图像在上单调递减，在上单调递增，所以函数最小值为，故此情况无解，综上，的值为或4，故D正确；故选：ABD （4）（多选题）（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【详解】对于A选项，当时，方程为，，即方程无实数解，A错；对于B选项，若方程有两个正根，则，解得，即方程有两个正根的充要条件是，B错；对于C选项，若方程无实数根，则，解得，故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对；对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得，故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错.故选：ABD. （5）（多选题）（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 【详解】对于A：在上恒成立，令，则，即，解得，即实数的取值范围是，故A正确；对于B：关于的不等式的解集是，，则关于的不等式等价于，即，即，解得或，所以关于的不等式的解集是，故B正确；对于C：要使关于的方程的一根比大且另一根比小，令，则，即，解得，所以的取值范围为，故C错误；对于D：若集合中只有一个元素，当时，符合题意；当时，则，解得；综上可得或，所以由“集合中只有一个元素”推不出“”，故充分性不成立；由“”推得出“集合中只有一个元素”，故必要性成立；所以“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD. 例11．（1）（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【详解】令二次函数，其图象开口向上.已知方程有两个根，则，化简得，解得或.因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0.即对称轴，即，解得.处的函数值大于： ，解得.因此. （2）（25-26高一下·浙江宁波·阶段检测）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【详解】方程，解得，依题意，，解得，所以a的取值范围为. （3）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． （4）（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的最小值为m，方程在上有两个不相等的实根，则t的范围是________. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号，则，方程，由，得，依题意，关于的一元二次方程在上有两个不相等的实根， 因此，解得，所以t的值范围是.故答案为： （5）（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 【详解】因为有两个不等实根，故.,设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得,解得,因此. （6）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知实数，且满足，则的最大值是________． 【详解】将原式整理得：，依题意，这个关于的方程有正根．因为两根之积为1，故有两个正根．可列不等式组：，解得，结合，可得． 故答案为：. （7）（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. 【详解】不妨设关于的方程的两实数根为，，且两根均大于1， 设，则，则，且，则， 所以，则整数m的值为.故答案为： （8）（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根，可得，解得或，设两个根分别为，由韦达定理得，，则，可得，解得，可得的取值范围是.故答案为： （9）（25-26高一上·江西抚州·阶段检测）设，是方程的两实根，，是方程的两实根，若，则实数的取值范围为____________． 【详解】因为，是方程的两实根，且，所以.因为，是方程的两实根，所以，同理可得.设，所以，同理可得.当时，要使，只需，即，解得；当时，，所以. 又，所以或，均不满足，故不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为.故答案为:. （10）（25-26高一上·重庆·阶段检测）若关于 的方程 有两个不相等的正实根 ，则 的最小值是_____. 【详解】由题意可得，所以， 所以 ， 当且仅当即时取等号，所以 的最小值是8.故答案为：8 （11）（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 【详解】因为方程，存在2个根，所以，解得或设方程的两个根为，，因为两根一正一负，所以，解得；因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得，综上可得，. 故答案为：. 例12．（1）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. （1）若，且，，求的最小值； （2）若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. （3）若，解关于x的不等式. 【详解】（1）因为，所以，即；所以，当且仅当时取等号；所以的最小值是； （2）当时，，对称轴为；因为有两个大于1的不等实根， 所以，解得，所以的取值范围是； （3）当时，，因为，即，即. 当时，原不等式可化为，解得；当时，由，解得； 当时，由，解得.综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． （1）若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【详解】（1）令，由题意可知： 的图象与轴有两个交点，且交点位于之间，包括端点， 所以即解得：，即实数的取值范围是 （2）由得：令，由题意可得： 的图象与轴交点横坐标一个小于1，另一个大于1且小于2，所以即，解得，即实数的取值范围是. （3）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 （1）若集合，求集合N； （2）若集合，求集合 （3）是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由集合，得方程的两根为1或5， 则，解得，由，即为，则， 即，解得，所以. （2）若，则方程，解得，由，则，即，当时，不等式为，解得，即；当，不等式变形为， 令，解得或，当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；当时，，不等式解集为；综上所述，当时，； 当时，；当时，；当时， . （3）由，解得或，令，解得， 即的解集为，若存在整数m，使解集M中恰有3个整数，则这三个整数解为， 可得，即，解得或，又或，则满足条件的整数m的值为或3. （4）（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立，故不等式对任意的恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得，由题意可知，且，解得或，由韦达定理可得，，可得，故， 所以，因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、，所以，因为，则，由可得，由可得或，故，由知，存在使不等式成立，把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得，故实数的取值范围是. （5）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，. （1）若集合，求a，b的值； （2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的不等式的解集中恰有2个整数解，求实数m的取值范围. 【详解】（1）由题意，二次函数开口向上，且的两根为b和3，, 代入，可得，解得，由韦达定理，，解得， 所以. （2）恒成立，即恒成立，当时，成立； 当时，需使，解得，综上，的取值范围是. （3）不等式，即的解集中恰有2个整数，设，对于方程，首先，或， 则，，则解集中恰有两个整数，则， 即，解得或，当时，对称轴， ，，，，则，要使得中恰有两个整数解，则一定是0和，则，则；当时，对称轴，，，，，则，要使得中恰有两个整数解，则一定是4和5，则，则，综上，实数m的取值范围是. （6）（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数（）． （1）若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，当时，不等式对一切实数不恒成立；当时，则有，解得，所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，不等式为，解得；当时，不等式为，解得；当时，不等式为，当时，，解得或； 当时，，解得；当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）关于的方程有四个不等实根，即方程有两个不同正根，则，由，得，且存在，不等式成立，而是关于的一次函数，因此， 即，又，解得，所以实数的取值范围是. （7）（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出的取值范围 （2）若满足，求的值. （3）若，求证：； 【详解】（1）因为一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，即； （2），且，， ，整理得，解得：，由（1）知， 检验：当时，，即； (3)证明：因为，把和代入上式， 得，，，， ，，，即. （8）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的正实数根． （1）求实数的取值范围； （2）的最大值． 【详解】（1）对于方程，设其两根为.由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0.由得，解得；由得，解得.综上所述，的取值范围是. （2） .因为，所以当时，原式取得最大值为. （9）（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数，其中. （1）若关于的方程有两不等实根，且两实数根平方之和等于11，求的值； （2）解关于的不等式； （3）求满足的所有整数解之和为18的的取值范围. 【详解】（1）因为，所以由，得， 因为方程有两不等实根，即有两不等实根，所以，又，所以， 所以，解得或，当时，舍去，当时，符合要求，因此. （2）因为，所以由，得， 当时，由，解得，当时，易知无解， 当时，由，解得，综上，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为. （3）由（2）知，要满足的所有整数解之和为18则只能，此时解集为， 整数解为：，所以. （10）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数. （1）若，，求的取值范围； （2）记方程的两个根为、，且、， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. 【详解】（1）因为函数，，， 即，即，且，设，其中、，所以，解得，即， 由不等式的性质可得，所以，故，即的取值范围是. （2）（i）方程的两个根为、，且、，由韦达定理可得， ，设，则原方程的根对应新方程关于的根，原方程为，代入得， 即，由韦达定理，，而，故求的范围即求的范围，设二次函数的两根， 则有，我们要求的是的范围，由上述不等式组可得的取值范围为， 故的取值范围是， （ii），因为、，则，， 因为，，所以，则，故， 故；由重要不等式可得，故，即的取值范围是. （11）（25-26高一上·广东清远·阶段检测）已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围： （3）当时，若关于的方程有两个不同的实数根和，且满足，求实数的取值范围． 【详解】（1）此时，不等式即． 通过因式分解可得，二次函数图象开口向上，零点为所以不等式的解集为． （2）当时，，显然对于任意恒成立，满足的解集为．当时：函数是二次函数，的解集为，则二次函数图象开口向下且与轴最多有一个交点． 即，由，结合，解得． 综上，实数的取值范围是． （3）有两个不同的实数根和，则，即，解得， 由可得：，此时，所以有， 则，解得．所以实数的取值范围是． （12）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为． （1）判定的形状； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根，求的取值范围． 【详解】（1）∵方程的解集中只有一个元素，∴，即．∵方程的根为，∴，即．将代入，可得，从而，∴是等边三角形． （2）∵，∴方程可化为，即．∵方程有两个不相等的正实数根，设两根为， ∴，即，即，解得或， 即a的取值范围是或． 题型五：一元二次不等式的恒成立与有解问题 例13．（1）（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由“，使得”是假命题，则，都有为真命题， 当，则，满足，当，则，满足,综上，，则实数m的取值范围是. （2）（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】分两种情况进行讨论：当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得；综上所述，的取值范围为. （3）（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意可得对任意恒成立，而，当且仅当时等号成立，则，所以，则的最小值为． （4）（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根，所以，解得，所以，由得， 当时，，所以，则的取值范围是，故A正确. （5）（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【详解】设，若，则，而对恒成立，故对恒成立即对恒成立，而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍；若，则当时，，故在上恒成立；当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故，故，即，故，当且仅当时等号成立，故的最大值为，故选：D. （6）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为命题“，使得”为假命题，所以命题“，使得”为真命题，当时，在上恒成立，符合题意；当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，化简得，解得，因为，所以；当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，解得，而，所以此时无解；综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 例14．（1）（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则不等式变为在上恒成立，设，对称轴，当时，函数在上单调递增，最小值为或，所以；当时，最小值在对称轴处取得，即，解得或，所以，综上，a的取值范围为.故选：C. （2）（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为当时，不等式恒成立，所以恒成立，整理得恒成立，令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确.故选：C （3）（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，当时，，不合题意； 当时，，当时，当时，；当时，，若对于，都有或成立，只需在时恒成立，若，即时，满足题意；若，即时，只要即可， 解得，则．综上可知，故选：B． （4）（25-26高一上·广西玉林·期中）已知命题为真命题，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为真命题，所以在上恒成立，、即，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，所以．所以为集合是集合的真子集，所以是成立的充分不必要条件，是的充要条件， 是的一个必要不充分条件，是的既不充分也不必要条件．故选：A （5）（25-26高一上·福建福州·期中）“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，命题“”的否定为“”是真命题， 即在上恒成立.显然当时不合题意；若时，设，其图象对称轴为直线，当时，方程的根的判别式，即抛物线与轴相交，此时，显然不合题意； 当时，需使，解得.综上，可得实数的取值范围为.故选：D. （6）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【详解】因为，可得，且，则，可得，令，则，可得， 因为，故，因此，当且仅当，即，时，等号成立，可得，所以实数k的最大值为9.故选：B. 例15．（1）（25-26高一上·江西景德镇·期中）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意在上恒成立，显然，令，其对称轴为，且，当，即时，恒成立， 当，即时，只需，可得，所以，综上，.故选：A （2）（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：因为不等式对任意恒成立，所以，，因为，对称轴为，在上单调递减，所以，当时，有最小值，所以， 所以，当且仅当且时等号成立，即时等号成立，满足.所以的最大值为.故选：C （3）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【详解】将不等式变形为：，令，所以是关于的函数；当时，满足条件；当时，满足条件；当时，即时，在上单调递减，若，使得关于的不等式成立，则，解得：或，由于，则；当时，即或时，在上单调递增，若，使得关于的不等式成立，则，解得：或，由于或，则或；综上，实数的取值范围为：或；故选：A （4）（25-26高一上·山东济南·开学考试）设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立，等价于当时，，当时，，即，所以；若q为真命题，即存在，不等式成立，等价于当时，.由于，，所以，解得.若p，q都是真命题，则；所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或.故选：D. （5）（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得命题的否定为真命题，令函数，则函数对称轴，当，即，函数最小值为，由题意得，即.∴当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴.∴，故选：A. （6）（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或，综上，实数的取值范围是. 故选：D （7）（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，若要使不等式有实数解；则需要满足即可，又，则；则，解得或； 故选：A． （8）（25-26高一上·陕西榆林·期中）对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为关于的不等式有解，所以，解得或，设方程的两个根分别为和，则，，又因为解集区间长度不超过个单位长度，所以，所以，即，所以，解得， 综上可得实数的取值范围是.故选：B. 例16．（1）（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【详解】由题可得，又因为，当且仅当，即时取等号， 又因为不等式在上有解，所以，故A正确．故选：A. （2）（多选题）（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【详解】对于A：，则，故A正确； 对于B：，则，故B错误；对于C：原式子可化为，则，即，解得，所以实数的取值范围为，故C正确；对于D：不等式可变形为，则，解得，因，则，此时，即，所以的取值范围为，故D正确．故选：ACD （3）（多选题）（25-26高一上·四川凉山·期中）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 【详解】由不等式的解集为，则，且，即，对于A，由的对称轴，则是的两根，所以，得，且，故A正确；对于BC，由A知即，所以不等式变为， 又，所以，解得或，故B正确，C错误；对于D，令，由对恒成立，由于表示开口向上的抛物线，所以，解得，又，所以，故D错误.故选：AB. （4）（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9.因为一元二次不等式在上恒成立，所以，即，解得. 所以. （5）（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立，则有 ， 解得.即实数a的取值范围为. 例17．（1）（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立.当时，，则，解集不是实数集，故排除.当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即，解得，综合，可得，即. （2），不等式两边同时除以，，.这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为；当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. （2）（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立，所以对一切实数恒成立，所以，当时，，不满足成立；当时，需满足，即，解得，综上，实数的取值范围为 （2）解：，， 因为的实数根为，所以，当，即时，的解集为；当，即时，的解集为；当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. （3）（25-26高一上·广西玉林·阶段检测）已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 【详解】（1）因为，不等式的解集为，结合二次函数图象的对称性， 不等式的解集为，且不等式的解集为，所以方程的两个根分别为2和3，则，得，，经验证满足不等式的解集为，所以. （2）由（1）知，，不等式可化为， 由（1）知不等式的解集为，所以恒成立，所以，解得，不等式等价于， 所以，得，因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得，综上，的取值范围为. （3）若，同（1）分析，不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得，所以不等式的解集为，则恒成立，所以，解得，所以所求不等式为，解得或，即不等式的解集为且. （4）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数m的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围. 【详解】（1）函数，不等式，即， 当，即时，得，解得，不合题意；当时，由的解集为，可得，解得， 所以实数m的取值范围为. （2）不等式，即，变形得， 当，即时，得，解得； 当，即时，，因为，解得或； 当，即时，，因为，解得， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，，不等式，即， 而，则原命题等价于，，即， 令，则，由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号，即 ，因此当时，，则，所以的取值范围为. （5）（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知关于的函数，其中为实数． （1）若，求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）由不等式可得：，因为，所以按以下分类求解： 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为或， （2）由不等式可得：，当时，由二次函数图象开口向上，可知不等式的解集不为，满足题意；当时，，此时不等式的解集不为，满足题意；当时，由二次函数图象开口向下，要满足不等式的解集不为，则只需要， 解得：，由于此时的，所以只取，综上可得：的取值范围为; （3）由可得：，由于，所以，又因为对恒成立，设，则，因为，所以，即，此时取等号条件为，所以. （6）（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知二次函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 【详解】（1）恒成立，故，所以. （2）对称轴， ①当，即时，当时，，故，所以； ②当，即时，当时，，故，所以，舍去. ③当，即，当时，，故，所以或（舍去）.综上：或. （3）当时，；当时，； （i）当，即时，符合题意； （ⅱ）当时，此不等式组无解.综上：. （7）（25-26高一上·安徽·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； （2）已知，. （i）若，使得恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，求不等式的解集. 【详解】（1）由题意可知方程有两个解分别为，，且， 即，则，则代入得：又，所以，解得或，故所求不等式的解集为或. （2）（i）依题意，的对称轴为， 对恒成立在上的最大值小于恒成立， ①当时，在上单调递增，， ，解得，符合条件； ②当时，在上单调递减，， ，解得，符合条件；综上所述，实数的取值范围为. （ii）依题意，；已知，则； ①若，即时，结合图象可知在上单调递减，又，在上恒成立； ②若，即或，令，解得，，其中， （a）若，则，故，结合图象可知在上恒成立； （b）若，则，故，结合图象，即的解集为，综上所述，当时，的解集为；当时，的解集为. （8）（25-26高一上·辽宁·期中）记不等式为不等式（*）． （1）当时，解关于的不等式（*）； （2）当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； （3）当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． 【详解】（1）当时，当时，易知的解集是； 当时，不等式（*）为，于是，由知，则（*）的解集是．综上所述：当时，的解集是； 由，（*）的解集是． （2）当时，，即． 当时，，则不等式（*）的解集是注意到，故解集中三个整数为0，1，2，则，即 所以实数的取值范围是． （3）不等式（*）整理为令，注意到为的零点．当时，在不恒成立；当时，由及二次函数图像知，是的不变号零点且二次函数图象开口向下则且，则则，当时，取最大值为1． 此时，，则满足题意．所以的最大值为1． （9）（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）求解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意；当，即时，由不等式的解集为，则，即，解得，综上，实数的取值范围为. （2）不等式，即，当，即时，原不等式化为，解得；当，即时，方程，即的两根为，，若，则，，所以原不等式的解集为，若，则，，所以原不等式的解集为，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （3）不等式即，对恒成立，即，因为，所以，对恒成立，令，令，则，所以，因为，当且仅当时，等号成立，所以，故即可.所以实数的取值范围为. （10）（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，不等式对恒成立． （i）证明：； （ii）求的最小值． 【详解】（1）因为，所以，即因为不等式的解集为， 所以（二次函数开口向上），且和是方程的两个根.则，  解得： （2）（i）略 （ii）方法一：由①知，因为，令，则.将代入，得，因为，两边除以，整理得，则，令，则上式变为.根据均值不等式，对于正实数m，n，有， 则，当且仅当，即时等号成立.所以，再验证等号是否成立：当时，即，所以，由，可得，所以： 所以的最小值为. 方法二：（ii）由（i）可知，所以. 因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． （11）（25-26高一上·湖北黄冈·期中）设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【详解】（1）由不等式的解集为可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. （2）由得，又因为，所以原不等式化为，即，当时，原不等式化为或；当时，原不等式化为当时，不等式的解集为 当时，，由不等式得：当时，，由不等式得：综上所述，不等式的解集为：当时，； 当时，；当时，；当时，或. （3）由得，∵对恒成立， ∴，化简得，且，代入得：，令，则， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. （12）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知二次函数，其中 （1）若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； （2）当时，若不等式对恒成立. （i）求的范围； （ii）求的最小值. 【详解】（1）由不等式的解集为可知，且为方程的两根， 则有，，故， 即，解得，故不等式的解集为. （2）（i）当时，若不等式对恒成立，即对恒成立， ，即，两边同时除以，可得，故的范围为. （ii）由（i）可知， 故，令， 则， 当且仅当时，即时取等号，故的最小值为1. 题型六：一元二次不等式的实际问题 例18．（1）（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 【详解】因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速.故选：B （2）（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． 【详解】设每次倒出升溶液第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为，依题意有，即，解得， 又，即，所以每次至少倒出升溶液；故答案为: （3）（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去，该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元.因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元，所以，即，解得，又因为且，所以，即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元.故答案为：. （4）（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为_____． 【详解】设，根据矩形的性质，易知，可得,代入可得，解得，则矩形花坛的面积为，令，则，解得或，综上，或.故答案为：. 例19．某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资．请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得，解得， 因为且，所以，所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，由条件①得，整理得；因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，由条件②得，解得； 又因为，所以．所以． 例20．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本，销售额为，成本为， 故利润函数为：，要求日获利不少于1300元，即解不等式：，化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费，由题意知，当时，， ， 得：，所以，即；，所以，即，则两项费用之和为：，由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 例21．（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． （1）当年产量为20台时，求公司所获年利润； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ （3）当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即，解得，又因为，所以，即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，，此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元，当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元，综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 例22．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. （2）若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. （3）当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【详解】（1）由题知，又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本，整理得，解得，又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则，代入函数解析式得，当且仅当时，等号成立，此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. 例23．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元，调整后的研发人员的年总投入为万元，由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以，又因为，且，所以，所以；由②可知，化简可得，因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以，由上可知，所以，所以存在实数满足条件. 例24．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为，因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为），则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：，整理得：，解得：，所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与一元二次方程、不等式重点题型专练 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 例1．（1）（25-26高一下·河南·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）下列不等式中解集为R的是（    ） A． B． C． D． （3）（26-27高一上·山西运城·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． （4）（多选题）（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．已知关于x的不等式 的解集为， 则的解集是 （5）（多选题）（25-26高一下·湖北荆州·期末）设集合，条件，下列条件中是的充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 例2．（1）（25-26高一上·江苏南通·期中）（1）求不等式的解集； （2）记（1）中的解集为集合A，非空集合.设，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. （2）（25-26高一上·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 题型二：一元二次不等式（含参）的求解 例3．（1）（2026·河北沧州·模拟预测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·天津河东·阶段检测）当时，关于的不等式 的解集为（   ） A． B． C．或 D． （3）（多选题）（25-26高一上·四川成都·期中）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高一上·北京·阶段检测）若集合，，且是的充分不必要条件，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（1）（25-26高一上·安徽六安·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 （3）（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（    ） A． B． C． D． （5）（2025·陕西渭南·二模）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （6）（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （7）（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）设集合，，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （8）（25-26高一上·河南平顶山·阶段检测）若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5．（1）（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式： （1）． （2） （2）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知． （1）若的解集为，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式． （3）（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. （4）（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）设，. （1）解关于x的不等式； （2）设命题p：，，若为真命题，求a的取值范围. （5）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若不等式的解集为，求实数，的值； （3）若，解关于的不等式． （6）（26-27高一上·辽宁沈阳·开学考试）设关于的函数． （1）若时，，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若，求关于的不等式的解集． （7）（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数. （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. （8）（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值； （3）解关于的不等式（其中）． 题型三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 例6．（1）（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·江苏南通·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （3）（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）不等式的解集为或，则（    ） A．3 B．1 C． D． （4）（25-26高二下·河北唐山·期末）已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 （5）（多选题）（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的值域是，则的取值范围是 例7．（1）（25-26高一下·陕西安康·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二下·河南·阶段检测）已知关于 的不等式的解集为，其中 ，则的最小值为（     ） A． B． C． D． （3）（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 （4）（多选题）（25-26高一上·四川广元·阶段检测）已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是或 （5）（多选题）（24-25高一上·山东德州·阶段检测）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 例8．（1）（多选题）（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 （2）（多选题）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 （3）（25-26高二下·天津·阶段检测）已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式 的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足 ，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 （4）（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，，不等式的解集为，求的值； （3）若恒成立且时，求的最小值． （5）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合. （1）若且，求实数的取值范围； （2）若，，求集合； （3）若，且关于的不等式的解集为，求实数的值. （6）（24-25高一上·四川广安·阶段检测）函数 （1）当恒成立时，求实数的取值范围； （2）当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 （3）若恒成立，求实数的取值范围 题型四：一元二次方程的实根分布问题 例9．（1）（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． （2）（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （3）（25-26高一上·山东威海·期中）已知方程的两根都在区间内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 （5）（25-26高一上·山东济南·开学考试）方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． （6）（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例10．（1）（25-26高一上·湖南湘潭·阶段检测）已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． （2）（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知关于x的方程，下列结论错误的是（    ） A．方程无实数根的必要条件是 B．方程有一正一负根的充要条件是 C．方程有两正实数根的充要条件是 D．方程有实数根的充要条件是或 （3）（多选题）（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知二次函数，一元二次方程的两根为，一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．方程的两根之差的绝对值为2. B．一元二次不等式的解集为 C．若且，则的取值范围是 D．若函数的图像在上的最小值为3，则的值为或4 （4）（多选题）（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 （5）（多选题）（25-26高一上·江苏苏州·期中）下列命题正确的是（   ） A．在上恒成立，则实数的取值范围是 B．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D．“集合中只有一个元素”是“”的必要不充分条件 例11．（1）（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． （2）（25-26高一下·浙江宁波·阶段检测）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． （3）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． （4）（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知，，则的最小值为m，方程在上有两个不相等的实根，则t的范围是________. （5）（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． （6）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知实数，且满足，则的最大值是________． （7）（25-26高一上·江苏南京·期中）若关于的方程的两根均大于1，则整数m的值为______. （8）（25-26高一上·上海浦东新·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. （9）（25-26高一上·江西抚州·阶段检测）设，是方程的两实根，，是方程的两实根，若，则实数的取值范围为____________． （10）（25-26高一上·重庆·阶段检测）若关于 的方程 有两个不相等的正实根 ，则 的最小值是_____. （11）（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 例12．（1）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数. （1）若，且，，求的最小值； （2）若，且有两个大于1的不等实根，求a的取值范围. （3）若，解关于x的不等式. （2）（25-26高一上·天津南开·阶段检测）设二次函数． （1）若关于的方程有两个不相等的实数根，且两根都大于等于且小于等于2，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有一个根小于1，另一个根大于1且小于2，求实数的取值范围． （3）（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的不等式的解集为M，不等式的解集为 （1）若集合，求集合N； （2）若集合，求集合 （3）是否存在整数m，使得解集M中恰有3个整数？若存在，求出所有满足条件的整数m的值，若不存在，请说明理由. （4）（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. （5）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）已知，. （1）若集合，求a，b的值； （2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； （3）当时，关于x的不等式的解集中恰有2个整数解，求实数m的取值范围. （6）（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数（）． （1）若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若存在使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围． （7）（25-26高一上·吉林白城·阶段检测）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）直接写出的取值范围 （2）若满足，求的值. （3）若，求证：； （8）（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的正实数根． （1）求实数的取值范围； （2）的最大值． （9）（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知函数，其中. （1）若关于的方程有两不等实根，且两实数根平方之和等于11，求的值； （2）解关于的不等式； （3）求满足的所有整数解之和为18的的取值范围. （10）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数. （1）若，，求的取值范围； （2）记方程的两个根为、，且、， （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围. （11）（25-26高一上·广东清远·阶段检测）已知函数． （1）当时，解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围： （3）当时，若关于的方程有两个不同的实数根和，且满足，求实数的取值范围． （12）（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知a，b，c是的三边长，关于的方程的解集中只有一个元素，方程的根为． （1）判定的形状； （2）若关于的方程有两个不相等的正实数根，求的取值范围． 题型五：一元二次不等式的恒成立与有解问题 例13．（1）（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． （4）（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （5）（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． （6）（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例14．（1）（25-26高一上·重庆江北·阶段检测）已知不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·安徽·期中）已知函数，若对于，都有或成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高一上·广西玉林·期中）已知命题为真命题，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． （5）（25-26高一上·福建福州·期中）“”是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （6）（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 例15．（1）（25-26高一上·江西景德镇·期中）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． （4）（25-26高一上·山东济南·开学考试）设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 （5）（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （6）（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （7）（25-26高一上·天津南开·阶段检测）若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． （8）（25-26高一上·陕西榆林·期中）对于区间，我们将的值称为该区间的长度．若关于的不等式有解，且解集的区间长度不超过，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例16．（1）（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（        ） A． B． C． D． （2）（多选题）（25-26高二下·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（　　） A．，则实数的取值范围为 B．，则实数的取值范围为 C．，则实数的取值范围为 D．，使得不等式成立，则实数的取值范围为 （3）（多选题）（25-26高一上·四川凉山·期中）关于的不等式的解集为，关于的不等式的解集为或.则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为或 C．的解集为 D．若不等式对恒成立，则的取值范围为 （4）（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． （5）（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 例17．（1）（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. （2）（25-26高一下·天津河北·开学考试）设． （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． （3）（25-26高一上·广西玉林·阶段检测）已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． （4）（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数m的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）记不等式的解集为，若，求实的取值范围. （5）（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知关于的函数，其中为实数． （1）若，求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集不为，求的取值范围； （3）若对恒成立，求的取值范围． （6）（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知二次函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. （7）（25-26高一上·安徽·期中）已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； （2）已知，. （i）若，使得恒成立，求实数的取值范围； （ii）若，求不等式的解集. （8）（25-26高一上·辽宁·期中）记不等式为不等式（*）． （1）当时，解关于的不等式（*）； （2）当时，关于的不等式（*）的解集中整数恰好有3个，求实数的取值范围； （3）当时，关于的不等式（*）在上恒成立，求的最大值． （9）（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）求解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． （10）（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若，不等式对恒成立． （i）证明：； （ii）求的最小值． （11）（25-26高一上·湖北黄冈·期中）设函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. （12）（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知二次函数，其中 （1）若关于的不等式的解集为，解关于的不等式； （2）当时，若不等式对恒成立. （i）求的范围； （ii）求的最小值. 题型六：一元二次不等式的实际问题 例18．（1）（25-26高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（    ） A．甲、乙两车均超过规定限速 B．甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C．甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D．甲、乙两车均未超过规定限速 （2）（25-26高一上·福建泉州·期中）为配制一种药液，进行了二次稀释．先在体积为10升的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出一部分溶液后用水补满，再搅拌均匀，第二次倒出相同数量的溶液后用水补满．若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的64%，则每次至少倒出_____升溶液． （3）（25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. （4）（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，那么要使矩形花坛的面积大于27，则的取值范围为_____． 例19．某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资．请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 例20．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 例21．（25-26高一上·北京顺义·期末）某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． （1）当年产量为20台时，求公司所获年利润； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ （3）当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 例22．（25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元. （1）求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. （2）若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. （3）当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 例23．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元. （1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ （2）是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 例24．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. （1）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） （2）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $