专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式重难点题型专训

（2个知识点+10大基础题型+2大提高题型+自我检测）

 

知识点01 一元二次不等式

1.一元二次不等式

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.

2.一元二次不等式的解法

（1）解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

②计算对应方程的判别式；

③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.

（2）解含参数的一元二次不等式的一般步骤：

①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；

②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.

3.分式、高次、绝对值不等式的解法

（1）解分式不等式的一般步骤：

①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.

②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解.

（2）解高次不等式的一般步骤：

高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.

（3）解绝对值不等式的一般步骤：

对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.

4.一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件.

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为.

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为.

 

【即时训练】

1．（24-25高一上·陕西·期末）若关于的不等式的解集为，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

2．（24-25高一上·广东深圳·期末）当关于x的不等式对一切实数x都成立时，k的取值范围是_________．

 

知识点02 三个“二次”的关系

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点.

【注】：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标.

（2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.

2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

	∆>0	∆=0	∆<0
y=ax2+bx+ c (a>0)的图象
ax2+bx+ c=0 (a>0)的根	有两个不相等的实数根 x1，x2（x1<x2）	有两个相等的实数根	没有实数根
ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集	或		R
ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集	{x|x1<x<x2}