2.2 基本不等式（六大题型2）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式核心应用，通过六类题型系统覆盖恒成立、对勾函数、实际应用等高考高频考点，以题载法构建知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立问题|4题|含参数不等式求最值范围|从“最值转化”深化不等式应用条件| |对勾函数求最值|4题|函数最值判断与证明|结合函数图像理解不等式适用场景| |实际应用|4题|利润、行程等建模问题|体现数学眼光观察现实世界的数量关系| |均值不等式应用|4题|综合条件下的最值求解|强化数学思维的逻辑推理过程| |“1”的妙用|4题|条件最值构造技巧|培养数学语言表达等量关系的能力| |内容及辨析|4题|概念判断与简单应用|夯实“一正二定三相等”核心原理|

2.2 基本不等式 题型一 基本不等式的恒成立问题 1．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 2．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 3．若满足且恒成立，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先结合题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出的最小值为，最后得到，求解参数范围即可. 【详解】因为， 且由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 4．已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可； （2）根据恒成立可得：，进而通过解绝对值不等式求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即，时取等号. 因此可得：的最小值为. （2）若不等式恒成立，即恒成立，只需满足：， 根据（1）的计算结果可知：的最小值为. 即得：，即：，解得：. 故的取值范围为 题型二 对勾函数求最值 5．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 6．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：当时，， 当且仅当，即时取得等号，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD 7．已知，若，的最小值为__________. 【答案】6 【分析】对函数进行变形，使其满足基本不等式的使用条件，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值，为. 故答案为：6. 8．（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 【答案】（1）时函数有最大值为2；（2）时目标式最小值为16；（3），时目标式的最大值为. 【分析】（1）根据对勾函数最值的求法求函数最大值，并确定取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件； （3）由代入目标式，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件. 【详解】（1）由题意，则， 当且仅当时等号成立，所以时函数有最大值为2； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以时目标式最小值为16； （3）由，则， 所以， 当且仅当，对应时取等号， 所以，时目标式的最大值为. 题型三 基本不等式的实际应用 9．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 10．位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【答案】BD 【分析】分别求出小明和小刚上山和下山所用的时间之和，再由基本不等式化简即可． 【详解】解：小明上山和下山所用时间之和为，故A错误，B正确； 对于C，D，小刚上山和下山所用时间之和为，因为， 所以，， 所以， 所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确． 故选：BD． 11．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 12．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 题型四 基本（均值）不等式的应用 13．某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】C 【详解】由题意设，仓库到车站的距离x＞0， 当x＝2，，由于，即， 所以两项费用之和为， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km. 14．已知，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据基本不等式判断A、B、C，根据，利用二次函数性质判断D． 【详解】对于A，由，则， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，由，则， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，由， 当且仅当且，即时，等式成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为，所以 所以， 当时，取得最小值，最小值为，故D错误． 15．如图，矩形的周长为24，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】设，，则可得，又设，根据勾股定理解出x关于a、b的表达式，再代入面积公式，最后结合基本不等式即可求解最大值． 【详解】设，，则，也即，且，所以， 设，则，在中，， 由勾股定理得，解得， 因此的面积， 又， 所以， 又，当且仅当即时取等号，此时满足， 所以，面积的最大值为． 故答案为． 16．现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)，；，. (2)建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元 【分析】（1）设，，其中，根据所给数据得到方程，求出、，即可得解； （2）设两项费用之和为（单位：万元），利用基本不等式计算可得. 【详解】（1）依题意设，，其中， 当时，，， 解得，， 所以，， （2）设两项费用之和为（单位：万元）， 则， 当且仅当，即时“”成立， 所以这家公司把仓储物流中心建在距离车站千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是万元． 题型五 基本不等式“1”的妙用求最值 17．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 18．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 19．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】利用基本不等式“1”的代换即可解答. 【详解】令，所以，且， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，即，所以 所以，又因为，此时， 所以当时，的最小值为. 20．已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用基本不等式来建立和与积的关系，从而求出的最大值； （2）构造，则，展开后根据基本不等式计算即可求出最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以，即 化简可得： 当且仅当时，等号成立. 因此，的最大值为. （2）因为，所以. 所以 当且仅当（即）时取等号. 结合，解得，. 因此，的最小值为. 题型六 基本不等式的内容及辨析 21．已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 22．下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，时，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：AD 23．已知正数，满足，若，则________． 【答案】6 【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值. 【详解】由题意，由，得， 即，故． 又，所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时，解得或，则， 所以. 故答案为：. 24．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）9；（2）． 【分析】（1）将变形为，根据基本不等式即可求解. （2）先证明，再利用基本不等式求的最小值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． （2），当且仅当时，等号成立； ∴ 又，当且仅当时， 即，等号成立； ∴，当且仅当， 即时等号成立， 所以的最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式 题型一 基本不等式的恒成立问题 1．已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 2．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 3．若满足且恒成立，则的取值范围是_________. 4．已知. (1)求的最小值 ， (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围 题型二 对勾函数求最值 5．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中的真命题有（   ） A．当时，的最小值是3 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 7．已知，若，的最小值为__________. 8．（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 题型三 基本不等式的实际应用 9．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 10．位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 11．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 12．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 题型四 基本（均值）不等式的应用 13．某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 14．已知，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为9 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 15．如图，矩形的周长为24，在和边上分别取点和，将四边形沿折叠，使点与点重合，此时点的对应点为，则面积的最大值为___________． 16．现有一家物流公司计划租地建造仓储物流中心，设仓储物流中心到车站的距离为（单位：千米，），经过市场调查了解到以下信息：仓储物流中心每月土地占地费（单位：万元）与成反比；每月储存货物费（单位：万元）与成正比.已知在距离车站1千米处建造仓储物流中心时，和分别为16万元和2万元. (1)分别求，关于的函数表达式； (2)当这家公司把仓储物流中心建在距离车站多少千米处时，才能使两项费用之和最小？最小值是多少？ 题型五 基本不等式“1”的妙用求最值 17．已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 18．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 19．已知正实数，满足，则的最小值为__________. 20．已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 题型六 基本不等式的内容及辨析 21．已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 22．下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 23．已知正数，满足，若，则________． 24．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $