五年级 第十二讲 游戏对策-数学思维训练手册 五年级、六年级（无答案）

数学思维训练手册（五年级、六年级 第十二讲 游戏对策 知识导引 在数学竞赛中，有一类很有趣的智力游戏题，技巧性比较强。在这类智力游戏中，双 方总是竭尽全力争取胜利，避免失败，仔细思考如何选择策略。用数学的观点和方法来研 究取胜的策略。这类问题叫作对策问题。 基础应用 例1 甲、乙两人从甲开始轮流往一张圆桌上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚， 硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动。谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地 方放下一枚硬币的时候即获胜。谁有必胜策略？ ○分析与解答采用“对称”思想。由于圆是中心对称的，甲可以先把硬币放在桌面中心； 然后只要乙能找到位置放一枚硬币，根据圆的中心对称性，甲一定能找到与这一位置中心对称 的地方放上一枚硬币。由于圆桌的面积是有限的，最后乙找不到放硬币的地方，甲获胜。所以 甲有必胜策略。 拓展训练 例2 有200枚围棋子放在盒子里，甲、乙两人轮流各取1枚或2枚，取到最后一枚为胜者，甲 必胜的对策是什么？ ○分析与解答由于每人可取1枚或2枚，当甲取1枚时，乙可以取2枚；当甲取2枚时，乙 可以取1枚；所以不妨将3枚棋子作为一组。由200÷3=66（组）…2（枚），为了确保拿到这 堆棋子的最后1枚或2枚，甲应争取先拿，且拿走2枚，然后乙随便取1枚或2枚，甲就相应地 取2枚或1枚，使两人各取一次后一共取走3枚，这样甲就必是胜方。 例3在黑板上写下一列自然数：2、3、4、5、…、1993、1994。甲先擦去其中一个数，然后乙再擦 去一个数，如此轮流擦下去，若最后剩下两个互质数时，甲取胜；若最后剩下两个数不是互质数 时，乙取胜。这个游戏中谁取胜的可能性最大？ ○分析与解答在2、3、4、5、…、1993、1994这列数中，共有997个偶数、996个奇数，而且这 36 五年级思维题第十二讲游戏对策 列数都是连续的自然数。大家知道，相邻的两个自然数一定是互质数。如果甲先擦去一个偶 数2，就还剩下996个偶数和996个奇数，这时乙擦去某一个奇数时，甲就擦去其相邻后面的 那个偶数；乙擦去某一个偶数时，甲就擦去其相邻前面的那个奇数。像这样擦995次后，就只 剩下相邻的一奇数一偶数，它们必是互质数，甲必胜。 巩固提高 1.盘子里有80粒珠子，甲、乙二人每次轮流取走1至3粒珠子，谁能最后取完盘子里的珠子谁 获胜。如果双方都采取最佳取法，甲先取，那么获胜的一定是谁？ 2.有两个箱子分别装有73个、118个球，两人轮流在一箱中任意取球，规定取得最后球者为 胜，先取球者胜还是后取球者胜？ 3.一种游戏，有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中2个、4个或8个，谁最后一个 把棋子取完就算获胜。如果你先取，那么第一次取几个才能保证自己获胜？ 4.甲、乙二人依次在一个正十边形中画对角线（不相邻的两个顶点的连线）。规定：新画的对角 线不能与已经画出的对角线相交，谁画出最后一条符合要求的对角线，谁就获胜。甲先画， 他怎样才能取胜？ 37 数学思维训练手册（五年级、六年级） 5.如图，在一个3×3的方格纸中，甲、乙两人轮流往方格中填写1,3,4,5,6,7,8,9,10九个数 中的一个，数字不能重复，最后甲的得分是上下两行六个数字之和，乙的得分是左右两列六 个数字之和，得分多者为胜，请你为甲找出一种必胜的方法。 6.黑板上写着一排连续的自然数，从1~81，甲、乙两人轮流划掉任意连续的3个数。如果在 甲划过之后乙再也划不成了，甲就取胜了，甲有必胜的策略吗？ 记录你的优秀 你完成了 道题目，做对了 道题目。 请点亮自己的专属奖牌（用你喜欢的颜色涂色即可）： 答对4题及以上 答对3题 答对1~2题 获奖感言我自信已掌握了以下知识点： 以上6道题目中，我最喜欢第( )题，因为它： 38