五年级 第八讲 容斥原理-数学思维训练手册 五年级、六年级（无答案）

数学思维训练手册（五年级、六年级） 第八讲 容斥原理 ·知识导引● 1.两量重叠问题 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AUB的元素的个数，可分 以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A十B(意思是把A、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=A∩B(意思是“排除”了重复 计算的元素个数)。 2.三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数十B类元素的个数十C类元素 的个数一既是A类又是B类的元素个数一既是B类又是C类的元素个数一既是A类又 是C类的元素个数十同时是A类、B类、C类的元素个数。 用符号表示为： AUBUC=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C 基础应用 例1 五(2)班参加数独兴趣小组的有28人，参加九连环兴趣小组的有29人，有12人两个小 组都参加，这个班有多少人参加这两个兴趣小组？ ○分析与解答如图所示，A圆表示参加数独兴趣小组的人，B圆表示参 加九连环兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两 B 个小组的人。图中A圆不含阴影部分表示只参加数独兴趣小组未参加九 连环兴趣小组的人，有28一12=16（人），图中B圆不含阴影部分表示只参加九连环兴趣小组 未参加数独兴趣小组的人，有29-12=17（人）。 方法一：由此得到参加这两个兴趣小组的人有16+12+17=45（人）。 方法二：根据包含排除法，直接可得参加这两个兴趣小组的人=参加数独兴趣小组的人十参加九连 环兴趣小组的人一两个小组都参加的人，即28+29一12=45（人）。 24 五年级思维题第八讲容斥原理 拓展训练 例2五(1)班有48人，在一次体育测评中，跳远达标的学生有30人，长跑达标的有20人，跳 远、长跑都没有达标的有6人。 (1)跳远、长跑都达标的有多少人？ (2)只有跳远达标的有多少人？ ○分析与解答(1)由题意知，有48一6=42（人）至少有一项达标，根据包含排除原理，两项 都达标的学生有30+20一42=8（人）。 (2)只有跳远达标的人数=跳远达标的人数一跳远、长跑都达标的人数，即30一8=22（人）。 例3在1~2014这2014个自然数中，恰好是3、5、，7中两个数的倍数的数共有多少个？ ○分析丐解答恰好是两个数的倍数：既是3的倍数又是5的倍数：既是5的倍数又是7的倍 数；既是3的倍数又是7的倍数。既是3的倍数又是5的倍数，即15的倍数，共有：2014÷15= 134(个)…4；既是5的倍数又是7的倍数，即35的倍数，共有：2014÷35=57（个）…19；既是 3的倍数又是7的倍数，即21的倍数，共有：2014÷21=95（个）…19。而这三类都包含既是3 的倍数又是5的倍数还是7的倍数，即105的倍数，共有：2014÷105=19（个）…19，所以恰好 是3、5、7中两个数的倍数的数共有134+57+95-3×19=229（个）。 巩固提高 1.在100位游客中，有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语，既懂英语 又懂俄语的有多少人？ 2.一个班有48人，完成作业的情况有三种，一种是完成语文作业没有完成数学作业；一种是完 成数学作业没有完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了。已知完成语文作业的有 37人，完成数学作业的有42人，这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？ 3.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 数学思维训练手册（五年级、六年级） 4.妈妈要买一些花布置房间，从花市买回来一些花共46朵，其中红颜色的有22朵，塑料花有 21朵，玫瑰花有18朵，其中红色塑料花有5朵，红玫瑰花有6朵，塑料玫瑰花有7朵，红色塑 料玫瑰花有多少朵？ 5.50名同学面向老师站成一行，老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数，然后让 报数是3的倍数的同学向后转，接着又让报数是？的倍数的同学向后转，现在面向老师的同 学有多少名？ 6.两张长4厘米、宽2厘米的长方形纸，摆放成如图所示形状，把它放在桌面上，覆盖面积有多 少平方厘米？ 记录你的优秀 你完成了 道题目，做对了 道题目。 请点亮自己的专属奖牌（用你喜欢的颜色涂色即可）： 答对4题及以上 答对3题 答对1~2题 获奖感言我自信已掌握了以下知识点： 以上6道题目中，我最喜欢第( )题，因为它： 26