6.1.3 平面向量的数量积专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量的数量积 01 平面向量数量积的相关概念与运算 1.(2026·浙江省·模拟题)已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】向量的数量积的概念及其运算 【解析】向量与的夹角为，，， 则，即， 解得． 2.(2026·黑龙江省大庆市·模拟题)已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】向量的数量积的概念及其运算 【解析】向量与的夹角为，，， 则． 3.(2026·内蒙古自治区·联考题)已知向量，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】向量数量积的坐标运算 【解析】，， ， ． 4.(2026·湖南省株洲市·期中考试)已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】向量模的坐标表示、利用向量的数量积求向量的夹角、投影向量 【解析】设向量，的夹角为，， ， 所以， 从而在上的投影向量的坐标为． 5.(2026·广东省湛江市·期中考试)若向量，满足，，则在上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】投影向量 【解析】由题意，，， 所以在上的投影向量为：． 6.(2026·山东省·模拟题)已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】向量的加法运算、投影向量、向量的减法运算 【解析】由题，且在上的投影向量为单位向量， 不妨设在菱形中，为的中点， 则，． 7.【多选】(2026·安徽省·期末考试)已知为坐标原点，点，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【知识点】两角和与差的余弦公式、向量的数量积的概念及其运算、向量的长度（模） 【解析】对于，，， ，， ，， ，， ，， 则，，则，故A正确； 对于，， ， 不能恒成立，故B错误； 对于，， ， ，故C正确； 对于，， ， 不能恒成立，故D错误． 02 数量积与模 1.(2026·河南省三门峡市·期末考试)已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】利用向量的数量积求向量的模、向量的加减与数乘混合运算、向量的数量积与向量的垂直关系 【解析】因为，， 由平方可得，，所以， ，， 所以 ， ， 又， 当且仅当与共线时，等号成立， 即， 所以，即． 2.(2026·陕西省·期末考试)在中，，，且点满足，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【知识点】利用向量的数量积求向量的模 【解析】由题 所以 3.(2026·山东省·期中考试)若向量，满足，，，则           ． 【答案】  【知识点】利用向量的数量积求向量的模 【解析】由题意，可得， 因为，，所以， 所以． 4.(2026·内蒙古自治区·模拟题)设，，，则           【答案】  【知识点】向量模的坐标表示、向量数量积的坐标运算、向量线性运算的坐标表示 【解析】由，， 可得， 因为， 所以， 解得， 所以，， 5.(2026·河南省·月考试卷)在中，内角，，所对的边分别为，，，，，为边上的点． 若，求角的平分线的长 求边上中线长的最小值． 【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、利用向量的数量积求向量的模、利用余弦定理解三角形 【答案】解：因为，，， 所以， 所以． 又， 所以 因为是的中点， 所以 平方相加可整理得 ，当且仅当时取等号， 所以长的最小值为．  03 数量积与夹角 1.(2026·福建省·期末考试)已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】向量的数量积与向量的垂直关系 【解析】由题意可得，， 对于，，所以与不垂直； 对于，，所以与不垂直； 对于，，所以与不垂直； 对于，，所以与垂直． 2.(2026·湖北省武汉市·月考试卷)已知向量，满足，，，则，(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】利用向量的数量积求向量的模、利用向量的数量积求向量的夹角 【解析】因为，，， 所以， ，，，， 所以， 因为， 所以， 3.【多选】(2026·云南省·单元测试)设向量，，则(    ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】CD  【知识点】向量模的坐标表示、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量平行（共线）关系的坐标表示、向量线性运算的坐标表示、投影向量 【解析】由题意，，， 所以，， 则，故A错误； 因为，，所以由， 所以与不平行，故B错误； 又，即，故正确； 因为，， 所以在上的投影向量为，故D正确． 4.(2026·天津市·期末考试)已知向量，，若，则           ． 【答案】  【知识点】向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量线性运算的坐标表示 【解析】因为向量，，， 由， 则， 解得． 5.(2026·内蒙古自治区·月考试卷)已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为          ． 【答案】  【知识点】利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量平行（共线）关系的坐标表示 【解析】与的夹角为锐角， ，即，解得， 又与不共线， 所以，解得， 所以的取值范围为且， 6.(2026·甘肃省·期末考试)已知向量，． 设与的夹角为，求的值； 若与垂直，求实数的值． 【知识点】利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系、向量线性运算的坐标表示 【答案】向量，， 则， 且， ； 设与的夹角为， 则； 若与垂直， 则， 即， 所以， 解得．  进阶训练 1.(2026·安徽省·模拟题)已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【知识点】向量的数量积的概念及其运算、向量的加减与数乘混合运算 【解析】如图， D、分别是边、的中点，且， ． 2.(2026·河南省·期末考试)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【知识点】利用向量的数量积求向量的模、点到圆上点的最值问题 【解析】由，得， ， 如图， 不妨设， 则的终点在以为圆心，以为半径的圆周上， 又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点的两条射线上． 不妨以为例，则的最小值是到直线的距离减． 即． 3.(2026·四川省成都市·期末考试)已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【知识点】正弦型函数的图象变换、由部分图象求三角函数解析式、向量的数量积的概念及其运算 【解析】因为函数图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象， 所以， 因为， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 过点作轴，垂足为， 则，所以， 所以周期． 所以，所以， 4.(2026·云南省·单元测试)已知为的外心，，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【知识点】利用向量的数量积求向量的夹角、二倍角余弦公式、向量在平面几何中的应用 【解析】根据题意，设，则， 若为的外心，则设， 若，则， 则有， 即， 变形可得， 由图可得：，则， 则有， 变形可得， 5.(2026·天津市·模拟题)在中，，，是中点，，试用，表示为          ，若，则的最大值为          ． 【答案】 【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、向量的加减与数乘混合运算、向量的数量积与向量的垂直关系、利用向量的数量积求向量的夹角 【解析】中，，，是中点，， 如图， ， 又， ， 即， ， 即， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为，故C的最大值为， 即的最大值为． 6.(2026·江苏省淮安市·月考试卷)在平面直角坐标系中，已知向量，，． 若，求的值； 若与的夹角为，求的值． 【知识点】利用同角三角函数基本关系化简、利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角、向量平行（共线）关系的坐标表示、求正弦型函数的值域或最值、辅助角公式 【答案】且， ，                                                          ， ； ， ， 与的夹角为， ， ， ，  又， ， ，   7.(2026·浙江省绍兴市·其他类型)已知角是的内角，若，． 若，求角的值； 设，当取最大值时，求在上的投影向量用坐标表示． 【知识点】向量模的坐标表示、向量数量积的坐标运算、向量平行（共线）关系的坐标表示、由正弦型函数的值域或最值求参、投影向量、辅助角公式 【答案】角是的内角，， 又，，且， ，即， ， ，， ，即； ， ，要使取得最大值，则，即． ，又， 在上的投影向量为．  2 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的数量积 01 平面向量数量积的相关概念与运算 1.(2026·浙江省·模拟题)已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 2.(2026·黑龙江省大庆市·模拟题)已知向量与的夹角为，，，则(    ) A. B. C. D. 3.(2026·内蒙古自治区·联考题)已知向量，则(    ) A. B. C. D. 4.(2026·湖南省株洲市·期中考试)已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.(2026·广东省湛江市·期中考试)若向量，满足，，则在上的投影向量是(    ) A. B. C. D. 6.(2026·山东省·模拟题)已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则(    ) A. B. C. D. 7.【多选】(2026·安徽省·期末考试)已知为坐标原点，点，，，，则(    ) A. B. C. D. 02 数量积与模 1.(2026·河南省三门峡市·期末考试)已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.(2026·陕西省·期末考试)在中，，，且点满足，则(    ) A. B. C. D. 3.(2026·山东省·期中考试)若向量，满足，，，则           ． 4.(2026·内蒙古自治区·模拟题)设，，，则           5.(2026·河南省·月考试卷)在中，内角，，所对的边分别为，，，，，为边上的点． 若，求角的平分线的长 求边上中线长的最小值． 03 数量积与夹角 1.(2026·福建省·期末考试)已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是(    ) A. B. C. D. 2.(2026·湖北省武汉市·月考试卷)已知向量，满足，，，则，(    ) A. B. C. D. 3.【多选】(2026·云南省·单元测试)设向量，，则(    ) A. B. C. D. 在上的投影向量为 4.(2026·天津市·期末考试)已知向量，，若，则           ． 5.(2026·内蒙古自治区·月考试卷)已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为          ． 6.(2026·甘肃省·期末考试)已知向量，． 设与的夹角为，求的值； 若与垂直，求实数的值．  进阶训练 1.(2026·安徽省·模拟题)已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.(2026·河南省·期末考试)已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 3.(2026·四川省成都市·期末考试)已知函数，图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图象，的部分图象如图所示，若，则等于(    ) A. B. C. D. 4.(2026·云南省·单元测试)已知为的外心，，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.(2026·天津市·模拟题)在中，，，是中点，，试用，表示为          ，若，则的最大值为          ． 6.(2026·江苏省淮安市·月考试卷)在平面直角坐标系中，已知向量，，． 若，求的值； 若与的夹角为，求的值． 7.(2026·浙江省绍兴市·其他类型)已知角是的内角，若，． 若，求角的值； 设，当取最大值时，求在上的投影向量用坐标表示． 2 学科网（北京）股份有限公司 $