平面向量的数量积及平面向量的应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积及应用，通过模拟题构建从基础计算到几何与实际应用的知识链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-2、填空7、解答9|数量积、夹角、模长计算|从定义出发，结合垂直条件推导性质| |几何应用|选择3-6、填空8、解答10、12|投影向量、动态几何（动点）、最值问题|由静态几何到动态变化，体现向量工具性| |实际应用|选择11|速度合成与航行问题|将物理情境抽象为向量模型，培养应用意识|

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用 一、选择题 1.(2026·甘肃庆阳模拟)已知单位向量a与b的夹角为,则向量a-2b与向量b的数量积为(　　) A.-1 B.-2 C.- D.- 2.(2026·四川成都模拟)已知向量a,b满足|a|=|b|=2,(2a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 3.(2026·湖南长沙模拟)已知平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,3),则向量在上的投影向量为(　　) A.(,) B.(2,6) C.(,) D.(,) 4.(2026·北京西城模拟)已知等腰三角形ABC中,AB=AC=3,BC=4,点P是边BC上的动点,则·(+)(　　) A.为定值10 B.为定值5 C.不为定值,与点P位置有关 D.为定值12 5.(2026·安徽合肥模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=,=,P为CD上一点,且满足=m+,若S△ABC=2,则||的最小值是(　　) A.2 B.4 C. D. 6.(多选)(2026·湖北恩施模拟)已知a=(1,1),b=(0,1),设c=ka+b,d=2a-b,则下列说法正确的是(　　) A.若c与d垂直,则k=1 B.若c与d平行,则k=-2 C.若c与d的夹角为钝角,则k<- D.若k=3,则tan<c,d>= 二、填空题 7.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2AD=4,点M为边CD上的动点,若∠AMB=α,则cos α的最小值是 　　　　.  8.如图,已知正方形ABCD的边长为2,P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点,且满足PA⊥ PB,则·的取值范围是　　　　.  三、解答题 9.(2026·广东中山模拟)已知平面向量a,c满足|a|=,|c|=2,且|a+c|=|a-c|. (1)求a·c; (2)求a-c与c的夹角的余弦值. 10.(2026·辽宁沈阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足=k,=k,其中k∈(0,1). (1)当k=时,求·的值; (2)求·的取值范围. 11.(多选)(2026·安徽黄山模拟)如图,一条河两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π),则下列说法正确的为(　　) A.当船的航行时间最短时,θ= B.当船的航行距离最短时,cos θ= C.当θ=时,船的航行时间为6分钟 D.当θ=时,船的航行距离为 km 12.在面积为2的平行四边形ABCD中,∠DAB=,点P是AD所在直线上的一个动点,则+-·的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用 课时作业 选题明细表 知识点、方法 题号 平面向量数量积的运算 1,3 平面向量数量积的应用 2,4,6,9 平面向量的综合应用 5,7,8,10,11,12 一、选择题 1.(2026·甘肃庆阳模拟)已知单位向量a与b的夹角为,则向量a-2b与向量b的数量积为(　　) A.-1 B.-2 C.- D.- 【答案】 D 【解析】 由题意得,a·b=|a||b|cos =1×1×=,所以(a-2b)·b=a·b-2b2=-2=-.故选D. 2.(2026·四川成都模拟)已知向量a,b满足|a|=|b|=2,(2a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由题意得(2a-b)·b=2a·b-b2=0,则a·b==2,所以cos<a,b>===, 又0≤<a,b>≤π,所以<a,b>=.故选B. 3.(2026·湖南长沙模拟)已知平面内三点A(1,0),B(0,1),C(2,3),则向量在上的投影向量为(　　) A.(,) B.(2,6) C.(,) D.(,) 【答案】 A 【解析】 因为A(1,0),B(0,1),C(2,3),所以=(-1,1),=(1,3), 所以·=-1×1+1×3=2,||==, 所以向量在上的投影向量为·=·==(1,3)=(,).故选A. 4.(2026·北京西城模拟)已知等腰三角形ABC中,AB=AC=3,BC=4,点P是边BC上的动点,则·(+)(　　) A.为定值10 B.为定值5 C.不为定值,与点P位置有关 D.为定值12 【答案】 A 【解析】如图,取BC的中点O,连接AO,由AB=AC=3,BC=4,得AO⊥BC,AO=, +=2,所以·(+)=2·=2||||cos∠PAO=2||2=10.故选A. 5.(2026·安徽合肥模拟)如图,在△ABC中,∠BAC=,=,P为CD上一点,且满足=m+,若S△ABC=2,则||的最小值是(　　) A.2 B.4 C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意得,=m+=m+,因为C,P,D三点共线,所以m+=1,解得m=. 由S△ABC=||||sin∠BAC=||·||=2,得||·||=8, 将=+两边平方可得==++· =++||||·cos∠BAC≥×2||||+||||=||||=, 当且仅当||=||=2时,等号成立,所以||的最小值为.故选C. 6.(多选)(2026·湖北恩施模拟)已知a=(1,1),b=(0,1),设c=ka+b,d=2a-b,则下列说法正确的是(　　) A.若c与d垂直,则k=1 B.若c与d平行,则k=-2 C.若c与d的夹角为钝角,则k<- D.若k=3,则tan<c,d>= 【答案】 BD 【解析】 由题知c=(k,k+1),d=(2,1), 由c·d=3k+1=0,得k=-,A错误; 由k=2(k+1),得k=-2,B正确; 由c·d=3k+1<0,得k<-,又当k=-2时,c,d平行,所以k∈(-∞,-2)∪(-2,-),C错误; 若k=3,则c·d=10,|c||d|=5,所以cos<c,d>=,得sin<c,d>=,所以tan<c,d>=,D正确. 故选BD. 二、填空题 7.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2AD=4,点M为边CD上的动点,若∠AMB=α,则cos α的最小值是　　　　.  【答案】 - 【解析】如图所示建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0),C(1,),D(-1,), 设M(x,)(-1≤x≤1),则=(x+2,),=(x-2,), cos α===,令x2-1=t,则-1≤t≤0, cos α==-=-,可得cos α∈[-,0],故cos α的最小值是-. 8.如图,已知正方形ABCD的边长为2,P为正方形ABCD内部(不含边界)的动点,且满足 PA⊥PB,则·的取值范围是　　　　.  【答案】 [0,4] 【解析】如图,因为PA⊥PB,所以点P在以AB为直径的半圆上,取CD的中点O,连接PO, 由向量极化恒等式知·=-=-1, 当点P在A(或B)处时,POmax=; 当点P在的中点时,POmin=1,所以||∈[1,],所以·的取值范围是[0,4]. 三、解答题 9.(2026·广东中山模拟)已知平面向量a,c满足|a|=,|c|=2,且|a+c|=|a-c|. (1)求a·c; (2)求a-c与c的夹角的余弦值. 【解】 (1)由题知|a+c|=|a-c|,即=, 整理得a·c=0. (2)(a-c)·c=a·c-c2=-4,|a-c|====, cos<a-c,c>===-. 10.(2026·辽宁沈阳模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,∠DAB=60°,若M,N分别是边BC,CD上的点,且满足=k,=k,其中k∈(0,1). (1)当k=时,求·的值; (2)求·的取值范围. 【解】 (1)当k=时,=,=,因为在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1, ∠DAB=60°,所以·=||||·cos∠DAB=2×1×=1, 所以·=(+)·(+)=·+++·=1+×22+×12+×1=. (2)因为=k,=k, 所以=+k,=(1-k)+, 所以·=(+k)·[(1-k)+] =·+(1-k)+k+k(1-k)· =1+4(1-k)+k+k(1-k) =-k2-2k+5=-(k+1)2+6, 因为k∈(0,1),所以2<-(k+1)2+6<5,所以·的取值范围为(2,5). 11.(多选)(2026·安徽黄山模拟)如图,一条河两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小为|v2|=2 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π),则下列说法正确的为(　　) A.当船的航行时间最短时,θ= B.当船的航行距离最短时,cos θ= C.当θ=时,船的航行时间为6分钟 D.当θ=时,船的航行距离为 km 【答案】 AC 【解析】 对于A,将船的速度v1和水流速度v2进行合成, 船垂直于河岸方向的分速度v=|v1|·sin θ, 河宽d=500 m=0.5 km,则航行时间t=== , 当sin θ=1,即θ=时,t取得最小值, 所以当船的航行时间最短时,θ=,故A正确; 对于B,当船的航行距离最短时,合速度方向垂直于河岸, 如图,则cos (π-θ)==,所以cos θ=-,故B错误; 对于C,当θ=时,船垂直于河岸方向的分速度v=|v1|sin θ=10×=5 km/h, 船的航行时间t=== h,即6分钟,故C正确; 对于D,将船的速度v1和水流速度v2合成为v0,则v0=v1+v2, 当θ=时,v1·v2=|v1||v2|·cos =10×2×(-)=-10, 所以|v0|====2, 因为船垂直于河岸方向的分速度v=|v1|sin θ=10×=5 km/h, 所以船的航行时间t=== h, 所以船的航行距离为|v0|t=2×= km,故D错误.故选AC. 12.在面积为2的平行四边形ABCD中,∠DAB=,点P是AD所在直线上的一个动点,则+-·的最小值为　　　　.  【答案】 2 【解析】 如图,取BC的中点Q,连接PQ,则+=2, 由极化恒等式得·=[-]=(4-), 所以+-·=-3· =4-(4-) =+≥2||·|| =||·||≥S▱ABCD=2, 当且仅当||=||且PQ⊥BC时,等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $